Produit scalaire et espaces euclidiens

Par bilinéarité, \(\langle 0_E, y\rangle = \langle 0 \cdot 0_E, y\rangle = 0\,\langle 0_E, y\rangle = 0\). Pour la seconde identité, on développe par bilinéarité puis on utilise la symétrie : $$ \begin{aligned} \langle x + y, x + y\rangle &= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle + \langle y, x\rangle + \langle y, y\rangle && \text{(bilinéarité)} \\ &= \langle x, x\rangle + 2\langle x, y\rangle + \langle y, y\rangle && \text{(symétrie : } \langle y, x\rangle = \langle x, y\rangle\text{)}. \end{aligned} $$

Par la Proposition des premières identités, \(\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2\). En isolant \(\langle x, y\rangle\), on obtient l'identité.

Si \(y = 0_E\), les deux membres valent \(0\) et \((x, 0_E)\) est colinéaire, donc l'énoncé est vrai ; supposons désormais \(y \ne 0_E\). Pour \(t \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} 0 \le \|x + t y\|^2 &= \langle x + t y, x + t y\rangle \\ &= \|y\|^2\, t^2 + 2\langle x, y\rangle\, t + \|x\|^2 && \text{(développement par la Proposition des premières identités)}. \end{aligned} $$ C'est un trinôme en \(t\) de coefficient dominant \(\|y\|^2 > 0\), positif pour tout \(t\), donc de discriminant \(\le 0\) : $$ \bigl(2\langle x, y\rangle\bigr)^2 - 4\,\|y\|^2\,\|x\|^2 \le 0, \quad\text{soit}\quad \langle x, y\rangle^2 \le \|x\|^2\,\|y\|^2, $$ et en prenant la racine carrée, \(|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|\). L'égalité a lieu ssi le discriminant est nul, ssi le trinôme a une racine réelle (double) \(t_0\), ssi \(\|x + t_0 y\| = 0\), ssi \(x = -t_0 y\) : c'est-à-dire ssi \((x, y)\) est colinéaire (et le cas \(y = 0_E\) est colinéaire aussi).

Le premier point est la positivité et le caractère défini du produit scalaire. Pour le second, \(\|\lambda x\|^2 = \langle \lambda x, \lambda x\rangle = \lambda^2 \langle x, x\rangle = \lambda^2 \|x\|^2\), donc \(\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|\). Pour l'inégalité triangulaire : $$ \begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2 && \text{(Proposition des premières identités)} \\ &\le \|x\|^2 + 2\,\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 && \text{(Cauchy-Schwarz)} \\ &= \bigl( \|x\| + \|y\| \bigr)^2, \end{aligned} $$ et en prenant la racine carrée (les deux membres sont \(\ge 0\)), \(\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|\).

Par la Proposition des premières identités, \(\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2\), qui vaut \(\|x\|^2 + \|y\|^2\) exactement quand \(\langle x, y\rangle = 0\), soit \(x \perp y\). Pour la famille, on développe par bilinéarité : $$ \begin{aligned} \Bigl\| \sum_{i=1}^p x_i \Bigr\|^2 &= \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p \langle x_i, x_j\rangle && \text{(bilinéarité)} \\ &= \sum_{i=1}^p \langle x_i, x_i\rangle && \text{(les termes } i \ne j \text{ s'annulent par orthogonalité)} \\ &= \sum_{i=1}^p \|x_i\|^2. \end{aligned} $$

Si \(F \perp G\), alors en particulier \(\langle u_i, v_j\rangle = 0\) car \(u_i \in F\), \(v_j \in G\). Réciproquement, supposons tous les \(\langle u_i, v_j\rangle = 0\). Tout \(x \in F\) s'écrit \(x = \sum_i a_i u_i\) et tout \(y \in G\) s'écrit \(y = \sum_j b_j v_j\) ; par bilinéarité $$ \langle x, y\rangle = \sum_{i} \sum_{j} a_i b_j \langle u_i, v_j\rangle = 0, $$ donc \(F \perp G\).

Supposons \(\sum_{i=1}^p \lambda_i e_i = 0_E\). On effectue le produit scalaire avec \(e_j\) pour un \(j\) fixé : $$ \begin{aligned} 0 = \langle 0_E, e_j\rangle = \Bigl\langle \sum_{i=1}^p \lambda_i e_i,\ e_j\Bigr\rangle &= \sum_{i=1}^p \lambda_i \langle e_i, e_j\rangle && \text{(bilinéarité)} \\ &= \lambda_j \langle e_j, e_j\rangle = \lambda_j \|e_j\|^2 && \text{(l'orthogonalité annule } i \ne j\text{)}. \end{aligned} $$ Comme \(e_j \ne 0_E\), \(\|e_j\|^2 \ne 0\), donc \(\lambda_j = 0\). Ceci vaut pour tout \(j\), donc la famille est libre.

Résultat admis. Une preuve constructive orthonormalise une base quelconque par le procédé de Gram-Schmidt de la Remarque précédente ; ce procédé n'étant pas exigible au programme, on admet l'existence générale et on l'illustre par la construction sur petit exemple ci-dessus.

Comme \(\mathcal{B}\) est une base, \(x = \sum_{i=1}^n x_i e_i\) pour des coordonnées uniques \(x_i\). On effectue le produit scalaire avec \(e_j\) : $$ \begin{aligned} \langle x, e_j\rangle &= \Bigl\langle \sum_{i=1}^n x_i e_i,\ e_j\Bigr\rangle = \sum_{i=1}^n x_i \langle e_i, e_j\rangle && \text{(bilinéarité)} \\ &= x_j && \text{(}\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{i,j}\text{)}. \end{aligned} $$ Donc \(x_j = \langle x, e_j\rangle\) pour tout \(j\).

Écrivons \(x = \sum_i x_i e_i\) et \(y = \sum_j y_j e_j\). Par bilinéarité et \(\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{i,j}\), $$ \langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j \langle e_i, e_j\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = {}^t X\, Y. $$ En prenant \(y = x\), \(\|x\|^2 = \sum_i x_i^2 = {}^t X X\), et \(x_i = \langle x, e_i\rangle\) par la Proposition précédente.

\(0_E \in F^\perp\) car \(\langle 0_E, y\rangle = 0\) pour tout \(y\). Si \(x, x' \in F^\perp\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), alors pour tout \(y \in F\), \(\langle \lambda x + \mu x', y\rangle = \lambda \langle x, y\rangle + \mu \langle x', y\rangle = 0\) par bilinéarité, donc \(\lambda x + \mu x' \in F^\perp\).

Muni de la restriction du produit scalaire, \(F\) est lui-même un espace euclidien, donc il possède une base orthonormée \((e_1, \dots, e_p)\). Pour \(x \in E\), posons \(u = \sum_{i=1}^p \langle x, e_i\rangle\, e_i \in F\) et \(w = x - u\). Pour chaque \(j\), $$ \langle w, e_j\rangle = \langle x, e_j\rangle - \sum_{i=1}^p \langle x, e_i\rangle \langle e_i, e_j\rangle = \langle x, e_j\rangle - \langle x, e_j\rangle = 0, $$ donc \(w\) est orthogonal à chaque \(e_j\), donc (par le test sur les générateurs) à tout \(F\) : \(w \in F^\perp\). Ainsi \(x = u + w \in F + F^\perp\), d'où \(E = F + F^\perp\). Enfin, si \(z \in F \cap F^\perp\) alors \(\langle z, z\rangle = 0\), donc \(z = 0_E\) par le caractère défini. Par le critère de décomposition nulle du ch.1 la somme est directe, \(E = F \oplus F^\perp\), et la formule de dimension du ch.1 donne \(\dim F^\perp = \dim E - \dim F\).

Soit \((e_1, \dots, e_p)\) orthonormale et \(F = \mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_p)\) ; alors \((e_1, \dots, e_p)\) est une base orthonormée de \(F\). Par le Théorème du supplémentaire orthogonal, \(E = F \oplus F^\perp\), et \(F^\perp\) (espace euclidien) a une base orthonormée \((f_1, \dots, f_q)\). La concaténation \((e_1, \dots, e_p, f_1, \dots, f_q)\) est une base de \(E\) (concaténation du ch.1 de bases d'une somme directe) ; elle est orthonormée car chaque \(e_i\) est orthogonal à chaque \(f_k\) (puisque \(f_k \in F^\perp\)) et les deux familles sont orthonormales.

Écrivons \(P = P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}\), dont la \(j\)-ème colonne \(C_j\) est la colonne de coordonnées de \(e'_j\) dans \(\mathcal{B}\). Le coefficient \((i, j)\) de \({}^t P\, P\) est \({}^t C_i\, C_j = \langle e'_i, e'_j\rangle\) (expression matricielle du produit scalaire dans la base orthonormée \(\mathcal{B}\)). Comme \(\mathcal{B}'\) est orthonormée, \(\langle e'_i, e'_j\rangle = \delta_{i,j}\), donc \({}^t P\, P = I_n\) : \(P\) est orthogonale. La réciproque est le même calcul lu à l'envers : \({}^t P P = I_n\) signifie que les nouvelles colonnes sont orthonormées pour \(\mathcal{B}\), donc la nouvelle famille est une base orthonormée.