Variables aléatoires finies

Disjonction. Pour \(i \ne j\), \((X = x_i) \cap (X = x_j)\) est l'ensemble des \(\omega \in \Omega\) avec \(X(\omega) = x_i\) et \(X(\omega) = x_j\) ; comme \(x_i \ne x_j\), aucun tel \(\omega\) n'existe, donc l'intersection est vide. Recouvrement. Pour tout \(\omega \in \Omega\), \(X(\omega) \in X(\Omega) = \{x_1, \dots, x_p\}\), donc \(\omega\) est dans exactement un \((X = x_i)\). La réunion vaut donc \(\Omega\). Par additivité de \(P\) sur une partition finie (rappelée du chapitre précédent), $$ \begin{aligned} 1 \ =\ P(\Omega) \ &=\ P\!\left(\bigcup_{i = 1}^{p} (X = x_i)\right) && \text{(recouvrement)} \\ &=\ \sum_{i = 1}^{p} P(X = x_i) && \text{(disjonction + additivité).} \end{aligned} $$

L'événement \((Y = y) = (g(X) = y)\) est, par définition, \(\{\omega \in \Omega, \ g(X(\omega)) = y\}\), ou encore \(\{\omega \in \Omega, \ X(\omega) \in g^{-1}(\{y\})\}\). En posant \(A_y = \{x \in X(\Omega), \ g(x) = y\}\), cela se réécrit $$ \begin{aligned} (Y = y) &= \bigcup_{x \in A_y} (X = x) && \text{(partition par valeur de \(X\))}, \\ P(Y = y) &= \sum_{x \in A_y} P(X = x) && \text{(union disjointe, additivité de \(P\)).} \end{aligned} $$ La disjonction vient de la disjonction des \((X = x)\) pour \(x\) distincts (Proposition sur le système complet).

La fonction \(g : x \mapsto ax + b\) sur \(\mathbb{R}\) est injective (car \(a \ne 0\)) : si \(a x_1 + b = a x_2 + b\) alors \(x_1 = x_2\). Donc pour tout \(y \in Y(\Omega)\), l'ensemble des antécédents \(\{x \in X(\Omega), \ ax + b = y\}\) est un singleton : son unique élément est \(x = (y - b)/a\). Par la Proposition précédente, \(P(Y = y) = P(X = (y - b)/a)\).

Pour \(y > 0\), \(g(x) = y\) se réécrit \(x^2 = y\), c'est-à-dire \(x = \sqrt{y}\) ou \(x = -\sqrt{y}\) ; l'ensemble des antécédents dans \(X(\Omega)\) contient au plus ces deux valeurs distinctes, d'où la formule par somme. Pour \(y = 0\), \(x^2 = 0\) force \(x = 0\), donc l'ensemble des antécédents est \(\{0\}\) si \(0 \in X(\Omega)\), vide sinon. On applique la Proposition sur la loi de \(g(X)\).

On partitionne \(\Omega\) selon le système complet associé à \(X\) : en écrivant \(X(\Omega) = \{x_1, \dots, x_p\}\), toute \(\omega \in \Omega\) est dans exactement un événement \((X = x_i)\). Alors $$ \begin{aligned} \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\{\omega\}) &= \sum_{i = 1}^{p} \ \sum_{\omega \in (X = x_i)} X(\omega) P(\{\omega\}) && \text{(partition de \(\Omega\))} \\ &= \sum_{i = 1}^{p} \ \sum_{\omega \in (X = x_i)} x_i \, P(\{\omega\}) && \text{(\(X(\omega) = x_i\) sur \((X = x_i)\))} \\ &= \sum_{i = 1}^{p} x_i \ \sum_{\omega \in (X = x_i)} P(\{\omega\}) && \text{(on sort \(x_i\) de la somme)} \\ &= \sum_{i = 1}^{p} x_i \, P(X = x_i) && \text{(\(P\) est additive sur un ensemble fini)} \\ &= E(X) && \text{(définition de \(E(X)\)).} \end{aligned} $$

On utilise la formule sur \(\Omega\). Encadrement — borne supérieure. À partir de \(X(\omega) \le b\) pour toute \(\omega \in \Omega\), on multiplie par \(P(\{\omega\}) \ge 0\) et on somme : $$ \begin{aligned} \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\{\omega\}) &\le \sum_{\omega \in \Omega} b \, P(\{\omega\}) && \text{(monotonie de \(\Sigma\))} \\ E(X) &\le b \sum_{\omega \in \Omega} P(\{\omega\}) && \text{(formule sur \(\Omega\), on sort \(b\))} \\ E(X) &\le b \cdot 1 \ =\ b && \text{(\(\sum_\omega P(\{\omega\}) = 1\)).} \end{aligned} $$ Encadrement — borne inférieure. Symétriquement à partir de \(a \le X(\omega)\), \(a \le E(X)\). En particulier, dans le cas \(a = 0\), \(X \ge 0\) donne \(E(X) \ge 0\). Croissance. À partir de \(X(\omega) \le Y(\omega)\) sur \(\Omega\), on multiplie par \(P(\{\omega\}) \ge 0\) et on somme : $$ \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\{\omega\}) \ \le\ \sum_{\omega \in \Omega} Y(\omega) P(\{\omega\}), \qquad \text{c'est-à-dire } E(X) \le E(Y). $$

Par la formule sur \(\Omega\) et la linéarité de la somme finie (rappelée de Méthodes de calcul) : $$ \begin{aligned} E(aX + b) &= \sum_{\omega \in \Omega} (a X(\omega) + b) P(\{\omega\}) && \text{(formule sur \(\Omega\) appliquée à \(aX + b\))} \\ &= a \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\{\omega\}) + b \sum_{\omega \in \Omega} P(\{\omega\}) && \text{(linéarité de \(\Sigma\))} \\ &= a \, E(X) + b \cdot 1 && \text{(formule sur \(\Omega\) et \(\sum_\omega P(\{\omega\}) = 1\))} \\ &= a \, E(X) + b. \end{aligned} $$

Par la formule sur \(\Omega\) et la linéarité de \(\Sigma\) : $$ \begin{aligned} E(aX + bY) &= \sum_{\omega \in \Omega} \bigl( a X(\omega) + b Y(\omega) \bigr) P(\{\omega\}) && \text{(formule sur \(\Omega\))} \\ &= a \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\{\omega\}) + b \sum_{\omega \in \Omega} Y(\omega) P(\{\omega\}) && \text{(linéarité de \(\Sigma\))} \\ &= a \, E(X) + b \, E(Y) && \text{(formule sur \(\Omega\) appliquée à \(X\) et \(Y\)).} \end{aligned} $$

Par linéarité, \(E(aX + b) = a E(X) + b\), donc $$ \begin{aligned} (aX + b) - E(aX + b) &= (aX + b) - (a E(X) + b) && \text{(par linéarité)} \\ &= a \bigl( X - E(X) \bigr) && \text{(le \(b\) se simplifie).} \end{aligned} $$ On élève au carré et on prend l'espérance ; en sortant la constante \(a^2\) (linéarité à nouveau) : $$ V(aX + b) \ =\ E\!\bigl( a^2 (X - E(X))^2 \bigr) \ =\ a^2 \, E\!\bigl( (X - E(X))^2 \bigr) \ =\ a^2 \, V(X). $$ La forme avec l'écart-type s'en déduit par racine carrée : \(\sigma(aX + b) = \sqrt{a^2 V(X)} = |a| \, \sigma(X)\).

On note \(X(\Omega) = \{x_1, \dots, x_p\}\).

• (\(\Rightarrow\)). Supposons \(V(X) = 0\). Par la formule via théorème de transfert, $$ V(X) \ =\ \sum_{i = 1}^{p} (x_i - E(X))^2 \, P(X = x_i) \ =\ 0. $$ C'est une somme de termes positifs ou nuls égale à zéro, donc chaque terme est nul : pour tout \(i\), \((x_i - E(X))^2 P(X = x_i) = 0\). Si \(P(X = x_i) > 0\), alors \((x_i - E(X))^2 = 0\), donc \(x_i = E(X)\). Ainsi toutes les valeurs de probabilité strictement positive valent l'unique nombre \(a := E(X)\) ; en posant \(a = E(X)\), \(P(X = a) = \sum_{x_i = a} P(X = x_i) = \sum_{i = 1}^{p} P(X = x_i) = 1\).
• (\(\Leftarrow\)). Supposons \(P(X = a) = 1\) pour un \(a \in \mathbb{R}\). Alors \(\sum_{i, \ x_i \ne a} P(X = x_i) = 1 - P(X = a) = 0\), donc \(P(X = x_i) = 0\) pour tout \(x_i \ne a\). Alors \(E(X) = a \cdot 1 + \sum_{x_i \ne a} x_i \cdot 0 = a\), et $$ V(X) \ =\ (a - a)^2 \cdot 1 \ +\ \sum_{x_i \ne a} (x_i - a)^2 \cdot 0 \ =\ 0. $$

On développe \((X - E(X))^2 = X^2 - 2 E(X) X + E(X)^2\). Le nombre \(E(X)\) est une constante, donc par linéarité de l'espérance : $$ \begin{aligned} V(X) &= E\!\bigl( (X - E(X))^2 \bigr) && \text{(définition)} \\ &= E\!\bigl( X^2 - 2 E(X) X + E(X)^2 \bigr) && \text{(développement du carré)} \\ &= E(X^2) - 2 E(X) \cdot E(X) + E(X)^2 \cdot 1 && \text{(linéarité, \(E(X)\) et \(E(X)^2\) sortent)} \\ &= E(X^2) - 2 E(X)^2 + E(X)^2 && \text{(arithmétique)} \\ &= E(X^2) - E(X)^2. \end{aligned} $$ Comme \(V(X) \ge 0\), on obtient \(E(X^2) \ge E(X)^2\) ; l'égalité force \(V(X) = 0\), c'est-à-dire \(X\) quasi certainement constante.

La variable \(X^*\) est la transformée affine \(X^* = (1/\sigma(X)) X + (-E(X)/\sigma(X))\). Par les propositions sur les transformées affines, $$ \begin{aligned} E(X^*) &= \tfrac{1}{\sigma(X)} E(X) - \tfrac{E(X)}{\sigma(X)} && \text{(\(E(aX + b) = a E(X) + b\))} \\ &= \tfrac{E(X) - E(X)}{\sigma(X)} \ =\ 0, \\ V(X^*) &= \left( \tfrac{1}{\sigma(X)} \right)^2 V(X) && \text{(\(V(aX + b) = a^2 V(X)\))} \\ &= \tfrac{V(X)}{\sigma(X)^2} \ =\ \tfrac{V(X)}{V(X)} \ =\ 1 && \text{(\(\sigma(X)^2 = V(X)\)).} \end{aligned} $$

Par la définition de l'espérance, $$ E(X) \ =\ 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p \ =\ p. $$ Pour la variance, on calcule \(E(X^2)\) par le théorème de transfert avec \(g(x) = x^2\) (en notant \(0^2 = 0\) et \(1^2 = 1\)) : $$ E(X^2) \ =\ 0^2 \cdot (1 - p) + 1^2 \cdot p \ =\ p. $$ Puis par Koenig-Huygens, $$ \begin{aligned} V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 && \text{(Koenig-Huygens)} \\ &= p - p^2 && \text{(valeurs au-dessus)} \\ &= p (1 - p) && \text{(factorisation de \(p\)).} \end{aligned} $$ L'écart-type vaut \(\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}\).

Positivité. Le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) est un entier positif (de Méthodes de calcul), et les deux facteurs \(p^k\) et \((1 - p)^{n - k}\) sont positifs ou nuls puisque \(p \in [0, 1]\) et \(1 - p \in [0, 1]\). Leur produit est donc positif ou nul. Somme égale à un. Par le binôme de Newton (Méthodes de calcul) appliqué aux réels \(p\) et \(1 - p\) : $$ \begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} &= \bigl( p + (1 - p) \bigr)^n && \text{(binôme de Newton)} \\ &= 1^n \ =\ 1 && \text{(en simplifiant \(p + (1-p) = 1\)).} \end{aligned} $$

Espérance. Par la définition de \(E\) appliquée à la loi binomiale, $$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k = 0}^{n} k \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} && \text{(définition de \(E\))} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} k \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} && \text{(le terme \(k = 0\) est nul)} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} n \binom{n - 1}{k - 1} p^k (1 - p)^{n - k} && \text{(par \(k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}\), \textit{Méthodes de calcul})} \\ &= n p \sum_{k = 1}^{n} \binom{n - 1}{k - 1} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k} && \text{(on sort \(np\))} \\ &= n p \sum_{j = 0}^{n - 1} \binom{n - 1}{j} p^j (1 - p)^{n - 1 - j} && \text{(décalage \(j = k - 1\))} \\ &= n p \cdot 1 \ =\ n p && \text{(binôme de Newton à nouveau).} \end{aligned} $$ Variance. Pour \(n = 1\), \(\mathcal{B}(1, p) = \mathcal{B}(p)\), donc \(V(X) = p(1 - p) = 1 \cdot p \cdot (1 - p)\) est déjà connu. Pour \(n \ge 2\), on calcule \(E(X(X - 1))\) par la même technique avec l'identité \(k(k - 1) \binom{n}{k} = n(n - 1) \binom{n - 2}{k - 2}\) (Méthodes de calcul) : $$ \begin{aligned} E(X(X - 1)) &= \sum_{k = 0}^{n} k(k - 1) \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} && \text{(théorème de transfert)} \\ &= \sum_{k = 2}^{n} n(n - 1) \binom{n - 2}{k - 2} p^k (1 - p)^{n - k} && \text{(les termes \(k = 0\) et \(k = 1\) sont nuls)} \\ &= n(n - 1) p^2 \sum_{j = 0}^{n - 2} \binom{n - 2}{j} p^j (1 - p)^{n - 2 - j} && \text{(décalage \(j = k - 2\))} \\ &= n(n - 1) p^2 \cdot 1 \ =\ n(n - 1) p^2 && \text{(Newton).} \end{aligned} $$ Puis \(E(X^2) = E(X(X - 1)) + E(X) = n(n - 1) p^2 + n p\), et par Koenig-Huygens $$ \begin{aligned} V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 && \text{(Koenig-Huygens)} \\ &= n(n - 1) p^2 + n p - n^2 p^2 && \text{(on substitue)} \\ &= n p \bigl( (n - 1) p + 1 - n p \bigr) && \text{(factorisation par \(n p\))} \\ &= n p (1 - p) && \text{(\((n - 1)p - np = -p\)).} \end{aligned} $$ Les deux cas donnent \(V(X) = n p (1 - p)\).

Par la définition de l'espérance et les sommes classiques de Méthodes de calcul (\(\sum_{k = 1}^{n} k = n(n + 1)/2\), \(\sum_{k = 1}^{n} k^2 = n(n + 1)(2 n + 1)/6\)) : $$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \tfrac{1}{n} \ =\ \tfrac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k && \text{(définition, \(1/n\) en facteur)} \\ &= \tfrac{1}{n} \cdot \tfrac{n(n + 1)}{2} \ =\ \tfrac{n + 1}{2} && \text{(forme close de \(\sum k\)).} \end{aligned} $$ Pour \(E(X^2)\) par le théorème de transfert avec \(g(x) = x^2\), $$ \begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k = 1}^{n} k^2 \cdot \tfrac{1}{n} \ =\ \tfrac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k^2 && \text{(transfert + \(1/n\) en facteur)} \\ &= \tfrac{1}{n} \cdot \tfrac{n(n + 1)(2 n + 1)}{6} \ =\ \tfrac{(n + 1)(2 n + 1)}{6} && \text{(forme close de \(\sum k^2\)).} \end{aligned} $$ Par Koenig-Huygens, $$ \begin{aligned} V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 && \text{(Koenig-Huygens)} \\ &= \tfrac{(n + 1)(2 n + 1)}{6} - \tfrac{(n + 1)^2}{4} && \text{(valeurs ci-dessus)} \\ &= \tfrac{2(n + 1)(2 n + 1) - 3(n + 1)^2}{12} && \text{(dénominateur commun \(12\))} \\ &= \tfrac{(n + 1) \bigl( 2(2 n + 1) - 3(n + 1) \bigr)}{12} && \text{(factorisation par \((n + 1)\))} \\ &= \tfrac{(n + 1)(n - 1)}{12} \ =\ \tfrac{n^2 - 1}{12} && \text{(simplification).} \end{aligned} $$

On pose \(Y = X - a + 1\). Alors \(Y\) prend ses valeurs dans \(\llbracket 1, b - a + 1 \rrbracket\), chacune avec probabilité \(1/(b - a + 1)\), donc \(Y \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, b - a + 1 \rrbracket)\). Par la proposition précédente avec \(n = b - a + 1\), \(E(Y) = (b - a + 2)/2\) et \(V(Y) = ((b - a + 1)^2 - 1)/12\). Or \(X = Y + a - 1\) est une transformée affine de \(Y\) de pente \(1\) et translation \(a - 1\) ; par linéarité de l'espérance et la proposition sur la variance d'une transformée affine, $$ \begin{aligned} E(X) &= E(Y) + (a - 1) && \text{(linéarité de \(E\))} \\ &= \tfrac{b - a + 2}{2} + a - 1 \ =\ \tfrac{b - a + 2 + 2a - 2}{2} \ =\ \tfrac{a + b}{2}, \\ V(X) &= 1^2 \cdot V(Y) \ =\ V(Y) && \text{(\(V(aZ + b) = a^2 V(Z)\) avec pente \(1\))} \\ &= \tfrac{(b - a + 1)^2 - 1}{12}. \end{aligned} $$