Éducation Nationale Française · ECGapprofondies

Espaces probabilisés quelconques

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 43 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Probabilités sur un ensemble fini, Séries numériques

Ce chapitre étend la boîte à outils du chapitre Probabilités sur un ensemble fini à un univers général $\Omega$, infini en pratique (par exemple une suite infinie de lancers de pièce, ou le rang d'apparition du premier pile dans un temps d'attente géométrique). La nouveauté est double : on admet les unions dénombrables dans l'ensemble des événements, et l'on remplace l'additivité finie par la $\sigma$-additivité (additivité sur les familles dénombrables disjointes). De ces deux ajustements découlent le théorème de la limite monotone (calculer la probabilité d'une union infinie comme limite de probabilités d'unions finies) et la formule des probabilités totales généralisée (qui somme un système complet infini). Conventions : $\Omega$ désigne l'univers, éventuellement infini ; $\mathcal{A}$ désigne l'ensemble des événements (une sous-famille distinguée de $\mathcal{P}(\Omega)$ que l'on décrit par trois propriétés de stabilité — le programme ne soulève aucune difficulté théorique sur $\mathcal{A}$) ; $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est l'espace probabilisé ; tout ce qui dans le chapitre Probabilités sur un ensemble fini n'utilisait pas la finitude de $\Omega$ reste valable, et l'on rappelle les résultats de ce chapitre sans les redémontrer. Le vocabulaire de la convergence des séries (séries à termes positifs à sommes partielles majorées, convergence absolue) est repris du chapitre Séries numériques.

Signaler une erreur

I L'ensemble des événements et l'espace probabilisable

I.1 Ensemble des événements et espace probabilisable

Lorsque $\Omega$ est fini, on a déclaré que toute partie de $\Omega$ est un événement — l'ensemble des événements était $\mathcal{P}(\Omega)$. Quand $\Omega$ est infini (par exemple l'ensemble $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$ de toutes les suites infinies de lancers de pièce), ce choix n'est plus tenable en pratique. On ne retient qu'une sous-famille distinguée $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega)$, stable par les opérations dont la théorie a besoin — passage au complémentaire, union dénombrable, intersection dénombrable. Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est alors appelé un espace probabilisable. À ce niveau le programme ne soulève aucune difficulté théorique sur $\mathcal{A}$ : on le décrit par trois règles de stabilité et l'on n'en construit jamais explicitement un dans le cas infini.

Signaler une erreur

Définition — Ensemble des événements, espace probabilisable

Soit $\Omega$ un ensemble non vide. Un ensemble des événements sur $\Omega$ est une famille $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ de parties de $\Omega$, appelées événements, telle que :

$\Omega \in \mathcal{A}$ ;
stabilité par passage au complémentaire : si $A \in \mathcal{A}$, alors $\overline{A} \in \mathcal{A}$ ;
stabilité par union dénombrable : si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'événements de $\mathcal{A}$, alors $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$ ;
stabilité par intersection dénombrable : si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'événements de $\mathcal{A}$, alors $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$.

Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est appelé espace probabilisable. Les quatre conditions couvrent aussi les unions et intersections finies (poser $A_n = A$ à partir d'un certain rang).

Exemple

Quand $\Omega$ est fini ou dénombrable (par exemple $\Omega = \{1, \dots, 6\}$ pour un dé, $\Omega = \mathbb{N}$ pour un temps d'attente), le choix canonique est $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$. Les trois règles de stabilité sont alors trivialement vérifiées puisque toute partie est admise. On retrouve le cadre du chapitre Probabilités sur un ensemble fini.

Exemple

Sur l'univers infini des lancers de pièce $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$, un ensemble des événements $\mathcal{A}$ adapté à l'expérience existe : il contient tout événement de la forme « le lancer au rang $n$ donne $H$ » pour $n \in \mathbb{N}^*$, toute union, intersection ou complémentaire fini ou dénombrable de tels événements, et ainsi de suite. On ne décrit jamais $\mathcal{A}$ explicitement — le programme énonce « aucune difficulté théorique ne sera soulevée » — mais on considère que tout événement construit par unions, intersections ou complémentaires dénombrables d'événements de base appartient à $\mathcal{A}$.

Proposition — La stabilité par intersection dénombrable se déduit de l'union dénombrable

La stabilité par intersection dénombrable dans la définition précédente est redondante : elle découle de la stabilité par complémentaire et de la stabilité par union dénombrable, via De Morgan. Concrètement, si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'événements de $\mathcal{A}$, alors $$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n = \overline{\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \overline{A_n}}.$$ On énonce les deux règles dans la définition par clarté ; en pratique on utilise celle qui se prête le mieux.

Preuve

Chaque $A_n \in \mathcal{A}$, donc par stabilité par complémentaire $\overline{A_n} \in \mathcal{A}$. Par stabilité par union dénombrable, $\bigcup_n \overline{A_n} \in \mathcal{A}$. Par stabilité par complémentaire à nouveau, $\overline{\bigcup_n \overline{A_n}} \in \mathcal{A}$. Reste à vérifier l'identité de De Morgan. Pour tout $\omega \in \Omega$ : $$\begin{aligned} \omega \in \overline{\bigcup_n \overline{A_n}} &\Longleftrightarrow \omega \notin \bigcup_n \overline{A_n} && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N},\ \omega \notin \overline{A_n} && \text{(négation d'une disjonction dénombrable)} \\ &\Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N},\ \omega \in A_n && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\Longleftrightarrow \omega \in \bigcap_n A_n. \end{aligned}$$

Méthode — Vérifier qu'une famille est un ensemble d'événements

Étant donnée une sous-famille $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega)$, effectuer les trois vérifications dans l'ordre :

$\Omega \in \mathcal{A}$ (l'univers lui-même est un événement) ;
stabilité par complémentaire : prendre un $A \in \mathcal{A}$ générique et vérifier $\overline{A} \in \mathcal{A}$ ;
stabilité par union dénombrable : prendre une suite générique $(A_n) \subset \mathcal{A}$ et vérifier $\bigcup_n A_n \in \mathcal{A}$.

Par la proposition précédente, la stabilité par intersection dénombrable s'en déduit automatiquement ; on n'a pas à la vérifier séparément. Dans le cas $\Omega$ infini, le programme interdit tout détour théorique — on admet qu'un ensemble des événements adapté à l'expérience existe.

Compétences à pratiquer

Identifier un ensemble d'événements valide

I.2 Opérations dénombrables et systèmes complets

Les opérations finies du chapitre Probabilités sur un ensemble fini ($\cup$, $\cap$, complémentaire, distributivité, De Morgan, formule du crible sur des unions finies) restent valables sur un espace probabilisable ; on en rappelle les notations. Les nouveautés sont l'union et l'intersection dénombrables d'événements, par lesquelles l'ensemble des événements est stable par définition, et la notion de système complet étendue à une famille dénombrable.

Signaler une erreur

Proposition — Distributivité généralisée

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable, $(A_k)_{k \in I}$ une famille d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable), et $B$ un événement. Alors $$B \cap \bigcup_{k \in I} A_k = \bigcup_{k \in I} (B \cap A_k) \qquad \text{et} \qquad B \cup \bigcap_{k \in I} A_k = \bigcap_{k \in I} (B \cup A_k).$$

Preuve

On démontre la première identité par appartenance ; la seconde est symétrique. Pour $\omega \in \Omega$ : $$\begin{aligned} \omega \in B \cap \bigcup_{k \in I} A_k &\Longleftrightarrow \omega \in B \text{ et } \omega \in \bigcup_{k \in I} A_k && \text{(définition de } \cap \text{)} \\ &\Longleftrightarrow \omega \in B \text{ et } \exists k \in I,\ \omega \in A_k && \text{(définition de } \cup \text{)} \\ &\Longleftrightarrow \exists k \in I,\ \omega \in B \text{ et } \omega \in A_k && \text{(}\omega \in B \text{ ne dépend pas de } k\text{)} \\ &\Longleftrightarrow \exists k \in I,\ \omega \in B \cap A_k && \text{(définition de } \cap \text{)} \\ &\Longleftrightarrow \omega \in \bigcup_{k \in I} (B \cap A_k). && \text{(définition de } \cup \text{)} \end{aligned}$$

Proposition — Lois de De Morgan généralisées

Soit $(A_k)_{k \in I}$ une famille d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable). Alors $$\overline{\bigcup_{k \in I} A_k} = \bigcap_{k \in I} \overline{A_k} \qquad \text{et} \qquad \overline{\bigcap_{k \in I} A_k} = \bigcup_{k \in I} \overline{A_k}.$$

Preuve

La première identité est déjà apparue dans la démonstration de la proposition précédente (stabilité par intersection dénombrable). Pour la seconde, on applique la première à la famille $(\overline{A_k})_{k \in I}$ puis on prend le complémentaire des deux membres : $$\overline{\bigcup_k \overline{A_k}} = \bigcap_k \overline{\overline{A_k}} = \bigcap_k A_k,$$ donc $\overline{\bigcap_k A_k} = \overline{\overline{\bigcup_k \overline{A_k}}} = \bigcup_k \overline{A_k}$ (involution du complémentaire).

Définition — Système complet dénombrable d'événements

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable et $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable). Une famille $(A_i)_{i \in I}$ d'événements de $\mathcal{A}$ est un système complet d'événements lorsque :

les $A_i$ sont deux à deux disjoints : $\forall i, j \in I,\ i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset$ ;
leur réunion vaut $\Omega$ : $\bigcup_{i \in I} A_i = \Omega$.

C'est l'extension du cas fini du chapitre Probabilités sur un ensemble fini : $I$ peut maintenant être infini (typiquement $I = \mathbb{N}$).

Exemple

Sur le lancer infini d'une pièce $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$, posons $A_i = $ « le premier pile apparaît au rang $i$ » pour $i \in \mathbb{N}^*$ et $A_0 = $ « pile n'apparaît jamais ». La famille $(A_i)_{i \in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable : tout résultat $\omega \in \Omega$ a soit un premier pile à un certain rang $i \geq 1$ (un unique tel $i$), soit aucun pile, donc les événements sont deux à deux disjoints et leur réunion est $\Omega$.

Exemple

Sur $\Omega = \mathbb{N}$ avec $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathbb{N})$, la famille des singletons $(\{n\})_{n \in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable (les singletons sont deux à deux disjoints, leur réunion est $\mathbb{N}$). C'est le système complet atomique de $\mathbb{N}$, analogue naturel du système atomique du cas $\Omega$ fini.

Compétences à pratiquer

Manipuler des unions et intersections dénombrables

II Probabilité sur un espace probabilisable

II.1 Probabilité et $\sigma$-additivité

La seule nouveauté par rapport au chapitre Probabilités sur un ensemble fini est la $\sigma$-additivité : la formule d'additivité sur les événements disjoints s'étend du fini au dénombrable. Toutes les autres propriétés de $P$ (le contraire, la monotonie, le crible pour les unions finies, la somme sur un système complet) restent inchangées. On précise ensuite ce que la $\sigma$-additivité coûte côté convergence des séries : la somme infinie de droite est la somme d'une série à termes positifs à sommes partielles majorées (rappel du chapitre Séries numériques).

Signaler une erreur

Définition — Probabilité et espace probabilisé

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ est une application $$P : \mathcal{A} \longrightarrow [0, 1]$$ telle que :

$P(\Omega) = 1$ ;
$\sigma$-additivité : pour toute famille $(A_i)_{i \in I}$ d'événements de $\mathcal{A}$ deux à deux disjoints avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable), $$P\Bigl(\bigcup_{i \in I} A_i\Bigr) = \sum_{i \in I} P(A_i).$$

Le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est alors appelé espace probabilisé. Quand $I$ est fini, le membre de droite est une somme finie (la formule d'additivité finie du chapitre Probabilités sur un ensemble fini) ; quand $I$ est dénombrable, c'est la somme d'une série.

Pourquoi la série de droite converge

Lorsque $I$ est dénombrable, la convergence de $\sum_{i \in I} P(A_i)$ n'est pas une hypothèse supplémentaire : elle est automatique. Prenons $I = \mathbb{N}$ (un ensemble d'indices dénombrable générique peut être ré-indexé) et considérons les sommes partielles $$S_n = \sum_{i=0}^{n} P(A_i) = P\Bigl(\bigsqcup_{i=0}^{n} A_i\Bigr) \leq P(\Omega) = 1$$ (l'égalité $\sum_{i=0}^n P(A_i) = P(\bigsqcup_{i=0}^n A_i)$ provient du cas d'additivité FINIE de la définition — prendre $I = \{0, \dots, n\}$ dans la formule de $\sigma$-additivité ; l'inégalité $\leq 1$ utilise que $P$ prend ses valeurs dans $[0, 1]$ et l'inclusion $\bigsqcup_i A_i \subset \Omega$, qui donne $P(\bigsqcup_i A_i) \leq P(\Omega) = 1$ par un argument en ligne : $\Omega = \bigsqcup_i A_i \sqcup (\Omega \setminus \bigsqcup_i A_i)$ et l'additivité finie force $P(\Omega) - P(\bigsqcup_i A_i) \geq 0$). La suite $(S_n)$ est donc une suite positive croissante majorée par $1$, et une série à termes positifs à sommes partielles majorées converge (rappel du chapitre Séries numériques). La formule de $\sigma$-additivité somme alors la série convergente vers une valeur dans $[0, 1]$, cohérente avec $P(\bigcup A_i) \leq 1$.

Signaler une erreur

Exemple

Sur $\Omega = \mathbb{N}$ avec $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathbb{N})$, définissons $P$ par ses valeurs sur les singletons : $P(\{n\}) = 1/2^{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et prolongeons à un événement quelconque $E \subset \mathbb{N}$ par $P(E) = \sum_{n \in E} 1/2^{n+1}$. Alors $P$ est une probabilité sur $(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))$. En effet : $$\begin{aligned} P(\mathbb{N}) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n+1}} && \text{(définition, avec } E = \mathbb{N} \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - 1/2} && \text{(série géométrique, rappel du chapitre \textit{Séries numériques})} \\ &= 1. \end{aligned}$$ Pour tout $E \subset \mathbb{N}$, la série $\sum_{n \in E} 1/2^{n+1}$ a des termes positifs majorés par la série convergente $\sum 1/2^{n+1} = 1$, donc converge et $P(E) \in [0, 1]$. Enfin, la $\sigma$-additivité est admise dans cet exemple : pour une suite $(E_i)$ d'événements deux à deux disjoints dans $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, la somme $\sum_{n \in \bigcup_i E_i} 1/2^{n+1}$ peut être réorganisée par paquets indexés par $i$, ce qui donne $$P\Bigl(\bigcup_i E_i\Bigr) = \sum_{n \in \bigcup_i E_i} \frac{1}{2^{n+1}} = \sum_{i} \sum_{n \in E_i} \frac{1}{2^{n+1}} = \sum_i P(E_i).$$ (L'identité de regroupement est une propriété des séries à termes positifs convergentes que le programme admet à ce niveau sans justification supplémentaire.)

Exemple

Sur le même espace probabilisé $(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), P)$ avec $P(\{n\}) = 1/2^{n+1}$, calculer la probabilité de l'événement $A = $ « $n$ est pair ».

Correction

$A = \{0, 2, 4, \dots\} = \{2k \mid k \in \mathbb{N}\}$, donc $$\begin{aligned} P(A) &= \sum_{k=0}^{+\infty} P(\{2k\}) && \text{(}A \text{ est l'union disjointe de ses singletons, } \sigma \text{-additivité)} \\ &= \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{2k+1}} && \text{(définition de } P \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{4^k} && \text{(factoriser } 1/2 \text{, } 1/2^{2k+1} = (1/2) \cdot (1/4)^k \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - 1/4} && \text{(série géométrique de raison } 1/4 \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}. \end{aligned}$$

Proposition — Propriétés de $P$ reprises du cas fini

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $A, B \in \mathcal{A}$.

Événement impossible : $P(\emptyset) = 0$.
Contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Monotonie et différence : si $A \subset B$, alors $P(A) \leq P(B)$ et $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$.
Formule du crible (unions finies seulement) : pour tous événements $A, B, C$, $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B);$$ $$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).$$
Somme sur un système complet : si $(A_i)_{i \in I}$ est un système complet d'événements (fini ou dénombrable), alors $\sum_{i \in I} P(A_i) = 1$.

Les démonstrations de Événement impossible, Contraire, Monotonie et Crible sont reprises verbatim du chapitre Probabilités sur un ensemble fini — elles n'utilisent que l'additivité finie, contenue dans la $\sigma$-additivité. La nouveauté est la somme sur un système complet éventuellement infini.

Preuve

Seule la nouveauté est démontrée ici ; les autres sont rappelées. Si $(A_i)_{i \in I}$ est un système complet d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable), les $A_i$ sont deux à deux disjoints et leur réunion vaut $\Omega$, donc par $\sigma$-additivité $$\begin{aligned} 1 = P(\Omega) &= P\Bigl(\bigcup_{i \in I} A_i\Bigr) && \text{(système complet : } \bigcup A_i = \Omega \text{)} \\ &= \sum_{i \in I} P(A_i). && \text{(} \sigma \text{-additivité sur une famille disjointe)} \end{aligned}$$ Important. La formule du crible énoncée ci-dessus ne porte que sur des unions finies ($2$ ou $3$ événements). Le chapitre n'énonce pas de crible pour une union infinie ; lorsque l'on doit calculer $P(\bigcup_n B_n)$ pour une suite non disjointe, l'outil est le théorème de la limite monotone ci-dessous, et non un crible infini.

Compétences à pratiquer

Vérifier la $\sigma$-additivité et calculer P

II.2 Théorème de la limite monotone

Lorsque l'événement à mesurer est limite d'une suite d'événements (croissante ou décroissante pour l'inclusion), on peut faire passer la limite à l'intérieur de $P$. C'est l'outil principal pour calculer des probabilités d'événements infinis — un outil dont le chapitre fini n'avait pas besoin. Le théorème lui-même est admis (programme : « les démonstrations ne sont pas exigibles ») ; son corollaire, qui couvre les suites quelconques, en découle par une construction d'une ligne.

Signaler une erreur

Proposition — Théorème de la limite monotone — admis

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'événements.

Cas croissant : si $(A_n)$ est croissante pour l'inclusion ($\forall n,\ A_n \subset A_{n+1}$), alors la suite $(P(A_n))$ est convergente et $$P\Bigl(\bigcup_{k=0}^{+\infty} A_k\Bigr) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n).$$
Cas décroissant : si $(A_n)$ est décroissante pour l'inclusion ($\forall n,\ A_{n+1} \subset A_n$), alors la suite $(P(A_n))$ est convergente et $$P\Bigl(\bigcap_{k=0}^{+\infty} A_k\Bigr) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n).$$

La démonstration n'est pas exigible au programme ; on admet l'énoncé. Une intuition : dans le cas croissant, $P(A_n)$ est croissante (par monotonie de $P$) et majorée par $1$, donc convergente ; l'égalité identifie la limite à $P(\bigcup A_k)$.

Proposition — Corollaire — suite quelconque

Soit $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite quelconque d'événements (aucune monotonie supposée). Alors $$P\Bigl(\bigcup_{k=0}^{+\infty} B_k\Bigr) = \lim_{n \to +\infty} P\Bigl(\bigcup_{k=0}^{n} B_k\Bigr) \qquad \text{et} \qquad P\Bigl(\bigcap_{k=0}^{+\infty} B_k\Bigr) = \lim_{n \to +\infty} P\Bigl(\bigcap_{k=0}^{n} B_k\Bigr).$$ La démonstration n'est pas exigible au programme ; on indique la construction. Posons $C_n = \bigcup_{k=0}^{n} B_k$ ; la suite $(C_n)$ est croissante pour l'inclusion (chaque $C_{n+1} = C_n \cup B_{n+1} \supset C_n$), et $\bigcup_{n} C_n = \bigcup_{k} B_k$. Le théorème de la limite monotone (cas croissant) appliqué à $(C_n)$ donne la première identité. L'identité d'intersection est symétrique (poser $D_n = \bigcap_{k=0}^{n} B_k$, décroissante).

Méthode — Calculer la probabilité d'une union ou intersection infinie

Quatre voies, par ordre d'efficacité décroissante :

Suite deux à deux disjointe : appliquer la $\sigma$-additivité directement — $P(\bigsqcup_n A_n) = \sum_n P(A_n)$ ;
Suite monotone : croissante ou décroissante pour l'inclusion — appliquer le théorème de la limite monotone ;
Suite quelconque : appliquer le corollaire — écrire $\bigcup_k B_k$ comme la limite de $\bigcup_{k=0}^{n} B_k$ pour $n \to +\infty$, et utiliser l'outil adapté au cas fini (crible, monotonie, complémentaire) ;
En dernier recours : passer au complémentaire pour transformer une union en intersection (ou inversement) lorsque De Morgan rend la nouvelle suite plus maniable.

Exemple

Lancer infini d'une pièce avec la probabilité standard ($P(\text{pile au rang } n) = 1/2$ pour tout $n$, les lancers étant indépendants — la définition formelle de l'indépendance mutuelle d'une suite infinie d'événements est donnée au section 4 ci-dessous ; dans cet exemple on n'utilise que la formule produit résultante sur un nombre fini de lancers, $P(\text{pile à chaque rang de } 1 \text{ à } n) = (1/2)^n$, c'est la définition du cas fini déjà connue du chapitre Probabilités sur un ensemble fini). Soit $H_n = $ « pile au rang $n$ ». Calculer $P\bigl(\bigcap_{k=1}^{+\infty} H_k\bigr)$, la probabilité d'obtenir uniquement des piles pour toujours.

Correction

La suite $D_n = \bigcap_{k=1}^{n} H_k = $ « pile à chaque rang de $1$ à $n$ » est décroissante pour l'inclusion ($D_{n+1} = D_n \cap H_{n+1} \subset D_n$). Par le théorème de la limite monotone (cas décroissant), $$\begin{aligned} P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{+\infty} H_k\Bigr) &= \lim_{n \to +\infty} P(D_n) && \text{(limite monotone, décroissante)} \\ &= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^n} && \text{(par indépendance (§4), } P(D_n) = (1/2)^n \text{)} \\ &= 0. \end{aligned}$$ L'événement « uniquement des piles à jamais » a une probabilité nulle mais est non vide (la suite constante $(H, H, H, \dots)$ en fait partie) — un événement négligeable non vide, sujet de la sous-section suivante.

Exemple

Même cadre. Soit $T_n = $ « face au rang $n$ » et considérons l'événement « au moins une face apparaît » $= \bigcup_{n=1}^{+\infty} T_n$. Calculer sa probabilité en passant au complémentaire et en appliquant le théorème de la limite monotone.

Correction

Le complémentaire est « à chaque rang, pile apparaît » $= \bigcap_{n=1}^{+\infty} H_n$, dont la probabilité est nulle d'après l'exemple précédent. Donc $$\begin{aligned} P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{+\infty} T_n\Bigr) &= 1 - P\Bigl(\overline{\bigcup_{n=1}^{+\infty} T_n}\Bigr) && \text{(contraire)} \\ &= 1 - P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{+\infty} \overline{T_n}\Bigr) && \text{(De Morgan)} \\ &= 1 - P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{+\infty} H_n\Bigr) && \text{(}\overline{T_n} = H_n\text{)} \\ &= 1 - 0 = 1. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de la limite monotone

II.3 Événements presque sûrs et négligeables

Dans un univers infini, la dichotomie rigide « événement impossible = vide » / « événement certain = $\Omega$ » devient trop grossière : il existe des événements non vides de probabilité nulle (par exemple « uniquement des piles à jamais » dans le lancer infini — exemple précédent) et des parties strictes de $\Omega$ de probabilité $1$ (son complémentaire). Le nouveau vocabulaire capte cette distinction fine.

Signaler une erreur

Définition — Événement négligeable, événement presque sûr

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $A \in \mathcal{A}$.

$A$ est négligeable lorsque $P(A) = 0$ ;
$A$ est presque sûr (ou quasi sûr) lorsque $P(A) = 1$.

Une propriété est dite vraie presque sûrement lorsqu'elle est réalisée sur un événement presque sûr. L'événement impossible $\emptyset$ est négligeable et l'événement certain $\Omega$ est presque sûr ; le nouveau vocabulaire prend son intérêt dans certains espaces probabilisés où $\Omega$ est infini, dans lesquels il peut exister des événements négligeables non vides et des événements presque sûrs strictement inclus dans $\Omega$ (l'exemple du lancer infini ci-dessous en exhibe les deux).

Exemple

Lancer infini d'une pièce. L'événement « uniquement des piles » (non vide : il contient la suite constante $(H, H, H, \dots)$) est négligeable d'après l'exemple du Théorème de la limite monotone : sa probabilité est nulle. L'événement complémentaire « au moins une face apparaît » est presque sûr : sa probabilité vaut $1$, et c'est pourtant une partie stricte de $\Omega$ (la suite constante $(H, H, H, \dots)$ est dans $\Omega$ mais pas dans cet événement).

Exemple

Même cadre. L'événement « il n'y a qu'un nombre fini de piles » est négligeable. On le décompose en l'union disjointe de : $E_0 = $ « pile n'apparaît jamais », plus, pour chaque $N \geq 1$, $E_N = $ « pile au rang $N$, face à tout rang $> N$ ». D'après l'exemple du Théorème de la limite monotone, $P(E_0) = 0$. Pour chaque $N \geq 1$, $E_N \subset F_N^{(k)}$ où $F_N^{(k)} = $ « face à tout rang dans $\{N+1, \dots, N + k\}$ », pour tout $k \geq 1$ ; la suite $(F_N^{(k)})_{k \geq 1}$ est décroissante en $k$ avec $P(F_N^{(k)}) = (1/2)^{k}$, donc par monotonie $P(E_N) \leq P(F_N^{(k)}) = (1/2)^{k} \to 0$, et donc $P(E_N) = 0$. L'union disjointe dénombrable $\bigsqcup_{N \geq 0} E_N$ a alors pour probabilité $\sum_{N \geq 0} P(E_N) = 0$ par $\sigma$-additivité — une union disjointe dénombrable d'événements négligeables est négligeable.

Compétences à pratiquer

Identifier les événements négligeables et presque sûrs

III Conditionnement

III.1 Probabilité conditionnelle

La définition du chapitre fini de la probabilité conditionnelle $P_C(B) = P(C \cap B) / P(C)$, valable lorsque $P(C) \neq 0$, s'étend verbatim au cas général. La nouveauté est que le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P_C)$ est lui-même un espace probabilisé — ce qui signifie que tous les outils du section 2 (théorème de la limite monotone et $\sigma$-additivité inclus) s'appliquent à $P_C$. Dans cette section on réserve le $\mathcal{A}$ cursif à l'ensemble des événements et l'on utilise la lettre romaine $C$ pour l'événement conditionnant, afin d'éviter toute confusion.

Signaler une erreur

Définition — Probabilité conditionnelle $P_C$

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $C \in \mathcal{A}$ avec $P(C) \neq 0$. La probabilité conditionnelle sachant $C$ est l'application $$P_C : \mathcal{A} \longrightarrow [0, 1], \qquad P_C(B) = \frac{P(C \cap B)}{P(C)}.$$ La notation $P_C(B)$ se lit « la probabilité de $B$ sachant $C$ » ; certains auteurs écrivent $P(B \mid C)$, ce qui est synonyme. La formule est l'extension verbatim du cas fini.

Proposition — La probabilité conditionnelle définit un espace probabilisé

Soit $C \in \mathcal{A}$ avec $P(C) \neq 0$. L'application $P_C$ définie ci-dessus est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$. En particulier, tout résultat du section 1 et du section 2 (propriétés de $P$, théorème de la limite monotone, corollaire pour les suites quelconques, somme sur un système complet) s'applique aussi à $P_C$.

Preuve

Trois vérifications.

Valeurs dans $[0, 1]$. Pour tout $B \in \mathcal{A}$, $C \cap B \subset C$, donc $0 \leq P(C \cap B) \leq P(C)$ par monotonie, et en divisant par $P(C) > 0$ on obtient $0 \leq P_C(B) \leq 1$.
Masse totale $1$. $P_C(\Omega) = P(C \cap \Omega)/P(C) = P(C)/P(C) = 1$.
$\sigma$-additivité. Pour une famille deux à deux disjointe $(B_i)_{i \in I}$ avec $I \subset \mathbb{N}$, la famille $(C \cap B_i)_{i \in I}$ est elle aussi deux à deux disjointe (leur intersection est $C \cap B_i \cap B_j = C \cap \emptyset = \emptyset$), donc par $\sigma$-additivité de $P$, $$\begin{aligned} P_C\Bigl(\bigcup_{i \in I} B_i\Bigr) &= \frac{P\bigl(C \cap \bigcup_i B_i\bigr)}{P(C)} && \text{(définition de } P_C \text{)} \\ &= \frac{P\bigl(\bigcup_i (C \cap B_i)\bigr)}{P(C)} && \text{(distributivité généralisée)} \\ &= \frac{\sum_i P(C \cap B_i)}{P(C)} && \text{(} \sigma \text{-additivité de } P \text{ sur les disjoints)} \\ &= \sum_i \frac{P(C \cap B_i)}{P(C)} && \text{(diviser chaque terme)} \\ &= \sum_i P_C(B_i). && \text{(définition de } P_C \text{)} \end{aligned}$$

Méthode — Utiliser $P_C$ dans une expérience à plusieurs étapes

La formule des probabilités composées du chapitre Probabilités sur un ensemble fini s'étend telle quelle aux intersections finies dans le cas général : pour $A_1, \dots, A_n \in \mathcal{A}$ avec $P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) \neq 0$, $$P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdot P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \cdots P_{A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}}(A_n).$$ Pour une intersection infinie d'événements décroissants, ne pas écrire de produit composé à une infinité de facteurs. Appliquer plutôt le théorème de la limite monotone : $P(\bigcap_n A_n) = \lim_n P(A_1 \cap \dots \cap A_n)$, et utiliser la formule composée finie sous la limite.

Compétences à pratiquer

Calculer des probabilités conditionnelles dans le cas général

III.2 Formule des probabilités totales

Résultat phare du chapitre. La formule des probabilités totales du chapitre Probabilités sur un ensemble fini (qui somme un système complet fini) s'étend à un système complet dénombrable : le membre de droite devient une série convergente. C'est l'énoncé nommé du programme pour ce chapitre et l'outil principal des problèmes faisant intervenir un premier succès infini (temps d'attente géométriques, répétitions d'épreuves jusqu'à succès).

Signaler une erreur

Proposition — Formule des probabilités totales — système complet infini

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(A_n)_{n \in I}$ un système complet d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable) et $P(A_n) \neq 0$ pour tout $n \in I$. Pour tout événement $B \in \mathcal{A}$ : $$\textcolor{blue}{première forme :} \quad P(B) = \sum_{n \in I} P(B \cap A_n);$$ $$\textcolor{blue}{forme conditionnelle :} \quad P(B) = \sum_{n \in I} P(A_n) \cdot P_{A_n}(B).$$ Quand $I$ est fini, on retrouve la formule des probabilités totales finies. Quand $I$ est dénombrable, les deux membres de droite sont des séries convergentes (à termes positifs, majorées par $P(B) \leq 1$).

Preuve

Première forme. Puisque $(A_n)_{n \in I}$ est un système complet, les $A_n$ sont deux à deux disjoints et $\bigcup_n A_n = \Omega$. Donc $$\begin{aligned} B &= B \cap \Omega && \text{(}B \subset \Omega\text{)} \\ &= B \cap \bigcup_{n \in I} A_n && \text{(système complet)} \\ &= \bigcup_{n \in I} (B \cap A_n) && \text{(distributivité généralisée)}, \end{aligned}$$ et les événements $(B \cap A_n)$ sont deux à deux disjoints (l'intersection $B \cap A_n \cap A_m \subset A_n \cap A_m = \emptyset$ pour $n \neq m$). Appliquer la $\sigma$-additivité de $P$ à la famille disjointe $(B \cap A_n)_{n \in I}$ : $$P(B) = P\Bigl(\bigcup_{n \in I} (B \cap A_n)\Bigr) = \sum_{n \in I} P(B \cap A_n).$$
Forme conditionnelle. Pour chaque $n \in I$, $P(A_n) \neq 0$ par hypothèse, donc la définition de $P_{A_n}$ donne $P(B \cap A_n) = P(A_n) \cdot P_{A_n}(B)$. En substituant dans la première forme, $$P(B) = \sum_{n \in I} P(B \cap A_n) = \sum_{n \in I} P(A_n) \cdot P_{A_n}(B).$$

Remarque sur les événements de probabilité nulle. Si un système complet écrit contient des $A_n$ avec $P(A_n) = 0$, on retire ces indices : par monotonie $P(B \cap A_n) \leq P(A_n) = 0$, donc ils contribuent à $0$ dans la première forme (qui reste donc valable : la somme sur les indices retenus égale $P(B)$), et ne sont pas définis dans la seconde forme (car $P_{A_n}$ n'est pas définie lorsque $P(A_n) = 0$). L'union des $A_n$ retenus diffère de $\Omega$ par un événement négligeable, donc ils forment ce qu'on pourrait appeler un « système presque complet » — la forme conditionnelle est valable avec la sommation restreinte aux indices retenus.

Méthode — Appliquer les probabilités totales avec un système complet infini

Cinq étapes :

identifier le système complet $(A_n)_{n \in I}$ qui découpe $\Omega$ — typiquement : le rang du premier succès, la valeur d'une observation discrète, la cause d'un événement ;
vérifier que $P(A_n) \neq 0$ pour tout $n$ retenu, et que la famille est bien deux à deux disjointe d'union $\Omega$ ;
calculer les probabilités a priori $P(A_n)$ (souvent un schéma géométrique ou binomial) ;
calculer les conditionnelles $P_{A_n}(B)$ (souvent constantes en $n$, ou une fonction simple de $n$) ;
sommer la série $\sum_n P(A_n) P_{A_n}(B)$, en identifiant celle-ci avec une série de référence (géométrique, exponentielle, dérivée de la géométrique — rappel du chapitre Séries numériques).

Exemple

On lance une pièce équilibrée indéfiniment et de façon indépendante. Soit $A_n = $ « le premier pile apparaît au rang $n$ » pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $A_0 = $ « pile n'apparaît jamais ». La famille $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable ; d'après la sous-section précédente, $P(A_0) = 0$, donc par la remarque sur les indices de probabilité nulle de la démonstration ci-dessus, la forme conditionnelle des probabilités totales se somme uniquement sur $n \geq 1$. On a $P(A_n) = (1/2)^{n-1} \cdot (1/2) = 1/2^n$ pour $n \geq 1$ (face aux rangs $1, \dots, n - 1$ puis pile au rang $n$, par indépendance — voir section 4 ci-dessous pour la définition formelle de l'indépendance mutuelle sur le lancer infini ; on l'utilise ici informellement). Soit $B = $ « le deuxième pile apparaît exactement au rang $2n + 1$ » pour un $n \geq 1$ fixé. Calculer $P(B)$.

Correction

On applique les probabilités totales le long du système complet $(A_k)_{k \geq 1}$, où $A_k = $ « le PREMIER pile est au rang $k$ ». Sachant $A_k$, le deuxième pile apparaît au rang $2n + 1$ ssi le pile suivant après le rang $k$ tombe exactement au rang $2n + 1$, c'est-à-dire face aux rangs $k+1, k+2, \dots, 2n$ et pile au rang $2n + 1$. Cela n'est possible que pour $1 \leq k \leq 2n$ (sinon le premier pile est déjà au rang $2n + 1$ ou plus, ce qui contredit « deuxième pile au rang $2n + 1$ »). Pour un tel $k$, par indépendance, $$P_{A_k}(B) = \frac{1}{2^{(2n - k) + 1}} = \frac{1}{2^{2n - k + 1}}.$$ Pour $k \geq 2n + 1$, $P_{A_k}(B) = 0$. Donc $$\begin{aligned} P(B) &= \sum_{k=1}^{+\infty} P(A_k) P_{A_k}(B) && \text{(probabilités totales, système infini)} \\ &= \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2^k} \cdot \frac{1}{2^{2n - k + 1}} && \text{(contribution nulle pour } k \geq 2n+1\text{)} \\ &= \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2^{2n + 1}} && \text{(simplifier les exposants)} \\ &= \frac{2n}{2^{2n + 1}} && \text{(} 2n \text{ termes identiques)} \\ &= \frac{n}{2^{2n}}. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Appliquer la formule des probabilités totales avec un système complet infini

IV Indépendance mutuelle d'une suite infinie

IV.1 Indépendance mutuelle — extension dénombrable

L'indépendance de deux événements, l'indépendance deux à deux et l'indépendance mutuelle d'un nombre fini d'événements sont rappelées du chapitre Probabilités sur un ensemble fini telles quelles. La nouveauté : la définition pour une suite infinie. L'indépendance mutuelle de $(A_i)_{i \in I}$ avec $I$ infini se vérifie sur toute partie finie non vide $J \subset I$, jamais sur l'intersection infinie complète (laquelle relève du théorème de la limite monotone). Le modèle standard où cela apparaît est le lancer infini d'une pièce avec lancers indépendants.

Signaler une erreur

Définition — Indépendance mutuelle d'une famille d'événements

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(A_i)_{i \in I}$ une famille d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable). La famille est mutuellement indépendante lorsque pour toute partie FINIE non vide $J \subset I$, $$P\Bigl(\bigcap_{j \in J} A_j\Bigr) = \prod_{j \in J} P(A_j).$$ Quand $I$ est fini, c'est la définition finie du chapitre Probabilités sur un ensemble fini inchangée. Quand $I$ est dénombrable, la définition ne teste que des produits finis — elle ne fait jamais référence à un produit infini ni à une intersection infinie.

Exemple

Lancer infini d'une pièce $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$ avec la probabilité standard qui modélise des lancers indépendants et équilibrés. Soit $H_n = $ « pile au rang $n$ » pour $n \in \mathbb{N}^*$. La famille $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est mutuellement indépendante : pour toute partie finie $J \subset \mathbb{N}^*$, l'événement $\bigcap_{j \in J} H_j$ enregistre « pile à chaque rang de $J$, n'importe quoi aux autres rangs » et le modèle standard lui attribue la probabilité $\prod_{j \in J} P(H_j) = (1/2)^{|J|}$, où $|J|$ est le cardinal de $J$. C'est l'exemple phare du programme d'une famille infinie mutuellement indépendante.

Proposition — Mutuelle entraîne deux à deux

Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille mutuellement indépendante d'événements. Alors elle est deux à deux indépendante : pour tous $i \neq j$ dans $I$, $P(A_i \cap A_j) = P(A_i) P(A_j)$. La réciproque est fausse (rappel du contre-exemple du chapitre Probabilités sur un ensemble fini).

Preuve

On applique la définition de l'indépendance mutuelle à la partie finie $J = \{i, j\}$ : $P(A_i \cap A_j) = P(A_i) P(A_j)$. La réciproque est fausse car trois événements deux à deux indépendants peuvent ne pas être mutuellement indépendants (contre-exemple : sur un couple uniforme de lancers de pièce, les événements « pile à la pièce $1$ », « pile à la pièce $2$ » et « les deux pièces donnent le même résultat » sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement — le troisième est déterminé par les deux premiers).

Proposition — Probabilité de l'intersection infinie

Soit $(A_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite mutuellement indépendante d'événements. Alors $$P\Bigl(\bigcap_{k=0}^{+\infty} A_k\Bigr) = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{n} P(A_k).$$ En particulier, si $\lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{n} P(A_k) = 0$ (les produits finis tendent vers $0$), alors $\bigcap_k A_k$ est négligeable.

Preuve

Posons $C_n = \bigcap_{k=0}^{n} A_k$. La suite $(C_n)$ est décroissante pour l'inclusion ($C_{n+1} = C_n \cap A_{n+1} \subset C_n$), et $\bigcap_n C_n = \bigcap_k A_k$. Par le théorème de la limite monotone (cas décroissant) appliqué à $(C_n)$, $$\begin{aligned} P\Bigl(\bigcap_{k=0}^{+\infty} A_k\Bigr) &= \lim_{n \to +\infty} P(C_n) && \text{(limite monotone, décroissante)} \\ &= \lim_{n \to +\infty} P\Bigl(\bigcap_{k=0}^{n} A_k\Bigr) && \text{(définition de } C_n \text{)} \\ &= \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{n} P(A_k). && \text{(indépendance mutuelle sur la partie finie } \{0, \dots, n\} \text{)} \end{aligned}$$

Exemple

Lancer infini d'une pièce. On retrouve la probabilité de « uniquement des piles à jamais » calculée au Théorème de la limite monotone par le théorème de la limite monotone seul. Appliquer la proposition précédente à la famille mutuellement indépendante $(H_n)_{n \geq 1}$ avec $P(H_n) = 1/2$ : $$P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{+\infty} H_n\Bigr) = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^n} = 0.$$ Les deux arguments (limite monotone seule, vs. limite monotone + indépendance mutuelle) donnent la même réponse ; le second est plus conceptuel car il relie la probabilité d'une intersection infinie à un comportement multiplicatif des probabilités individuelles.

Méthode — Travailler avec une famille mutuellement indépendante infinie

Trois règles opératoires :

vérifier l'indépendance mutuelle sur toute partie FINIE non vide $J \subset I$, jamais sur l'intersection infinie ;
calculer $P(A_i \cap A_j) = P(A_i) P(A_j)$ comme conséquence gratuite (deux à deux) ;
calculer $P(\bigcap_{k \in \mathbb{N}} A_k)$ via le théorème de la limite monotone sur $C_n = \bigcap_{k=0}^{n} A_k$ et la formule de produit fini — exactement la démonstration de la proposition précédente.

Pour une RÉUNION d'une famille mutuellement indépendante infinie, il n'existe pas de formule directe en termes de $\prod P(A_k)$ seul ; on passe au complémentaire (qui fournit une famille mutuellement indépendante par stabilité par complémentaire — rappel du chapitre Probabilités sur un ensemble fini) et l'on calcule l'intersection : $P(\bigcup_{k} A_k) = 1 - P(\bigcap_k \overline{A_k}) = 1 - \lim_n \prod_{k=0}^{n} (1 - P(A_k))$.

Exemple

On lance une pièce équilibrée indéfiniment et de façon indépendante. Calculer la probabilité de l'événement « au moins un pile apparaît ».

Correction

Soit $H_n = $ « pile au rang $n$ » pour $n \geq 1$. L'événement « au moins un pile apparaît » est $\bigcup_{n \geq 1} H_n$ ; son complémentaire est « jamais aucun pile » $= \bigcap_{n \geq 1} \overline{H_n}$. La famille $(\overline{H_n})$ est mutuellement indépendante (rappel de la stabilité par complémentaire) avec $P(\overline{H_n}) = 1/2$, donc par la proposition précédente, $$\begin{aligned} P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{+\infty} \overline{H_n}\Bigr) &= \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} P(\overline{H_k}) && \text{(intersection infinie d'une famille mutuellement indépendante)} \\ &= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^n} && \\ &= 0. \end{aligned}$$ Par la règle du contraire, $$P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{+\infty} H_n\Bigr) = 1 - 0 = 1.$$ « Au moins un pile apparaît » est presque sûr.

Pour aller plus loin

Les chapitres suivants — Variables aléatoires discrètes, Couples de variables aléatoires discrètes, Convergences et approximations — se construisent tous sur le cadre installé ici. La formule des probabilités totales sur un système complet infini est l'outil principal pour calculer la loi d'une variable aléatoire discrète ; le théorème de la limite monotone réapparaît dès qu'on passe d'une approximation à rang fini à un objet limite ; l'indépendance mutuelle d'une suite infinie est le fondement de la loi des grands nombres, qui moyenne des copies indépendantes d'une variable aléatoire. L'espace probabilisé général $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ reste en arrière-plan de tout argument probabiliste à partir de maintenant.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Manipuler l'indépendance mutuelle sur une suite infinie

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes de synthèse