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Convexité et extrema

⌚ ~83 min ▢ 10 blocs ✓ 48 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Dérivation, Formules de Taylor et développements limités, Fonctions usuelles, Limites et continuité

Ce chapitre étudie la forme d'un graphe et l'optimisation d'une fonction d'une variable réelle — deux questions auxquelles la dérivée ne répondait que partiellement, et que la dérivée seconde tranche maintenant. D'abord, la convexité : une fonction est convexe lorsque toute corde de son graphe est située au-dessus de l'arc qu'elle sous-tend ; on lit cela sur le signe de $f''$, on localise les points d'inflexion où la convexité bascule, on dresse la liste des fonctions usuelles convexes et concaves ($\exp$, $\ln$, les puissances $x^\alpha$), et on énonce l'inégalité de Jensen, l'inégalité de convexité pour $n$ points pondérés. Ensuite, les extrema : une fonction continue sur un segment atteint ses bornes ; un extremum intérieur d'une fonction dérivable force la dérivée à s'annuler (un point critique), et le signe de $f''$ en un tel point décide s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum local. Le chapitre s'achève sur le résultat qui relie ses deux moitiés : pour une fonction convexe, tout minimum local est automatiquement global — minimiser une fonction convexe se ramène donc à résoudre $f'(x) = 0$. Convention. Dans tout ce chapitre, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point, et $\mathcal{C}_f$ le graphe de $f$. Pour deux points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ de $\mathcal{C}_f$, la corde $[AB]$ est le segment qui les joint ; un point générique de $[a, b]$ s'écrit $(1-t)a + tb$ avec $t \in [0, 1]$. La dérivabilité et la continuité en une extrémité de $I$ s'entendent au sens unilatéral, comme rappelé du chapitre Dérivation. Les résultats de convexité de la première section sont énoncés sans démonstration (le programme les admet) ; le seul résultat démontré du chapitre est le test du second ordre pour un extremum, établi à partir de la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ rappelée du chapitre Formules de Taylor et développements limités.

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I Fonctions convexes et concaves

I.1 Inégalité de convexité et corde

Fixons deux points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ du graphe, avec $a < b$. Lorsque $t$ parcourt $[0, 1]$, l'abscisse $(1-t)a + tb$ balaie tout le segment $[a, b]$, et la corde $[AB]$ y prend la hauteur $(1-t)f(a) + tf(b)$. Comparer cette hauteur à la valeur $f\big((1-t)a + tb\big)$ de la fonction elle-même donne la notion centrale : $f$ est convexe lorsque la corde est toujours au-dessus du graphe, concave lorsqu'elle est toujours en dessous. Cette unique inégalité, demandée pour tout couple de points et tout $t$, capture l'intuition « courbe vers le haut / vers le bas » sans aucune référence à une dérivée — elle s'applique donc même aux fonctions non dérivables.

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Définition — Fonction convexe et concave

Soit $f \colon I \to \mathbb{R}$. La fonction $f$ est convexe sur $I$ lorsque $$\forall a, b \in I, \ \forall t \in [0, 1], \qquad f\big((1-t)a + tb\big) \le (1-t)f(a) + tf(b),$$ et concave sur $I$ lorsque l'inégalité inverse est vérifiée : $$\forall a, b \in I, \ \forall t \in [0, 1], \qquad f\big((1-t)a + tb\big) \ge (1-t)f(a) + tf(b).$$ Géométriquement, $f$ est convexe lorsque toute corde de $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de l'arc, concave lorsque toute corde est située en dessous.

$\qquad$

Exemple

La fonction $x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$, et $x \mapsto |x|$ est convexe sur $\mathbb{R}$ : sur les deux graphes, toute corde tracée entre deux points reste au-dessus de la courbe. Symétriquement, $x \mapsto -x^2$ est concave sur $\mathbb{R}$. Aucune dérivée n'est nécessaire pour le lire — $x \mapsto |x|$ est convexe bien qu'elle ne soit pas dérivable en $0$.

Proposition — Convexe contre concave

Soit $f \colon I \to \mathbb{R}$. Alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $-f$ est concave sur $I$. Par conséquent, tout énoncé sur les fonctions convexes possède un énoncé miroir sur les fonctions concaves, obtenu en remplaçant $f$ par $-f$.

Immédiat à partir de la définition : multiplier l'inégalité de convexité par $-1$ la renverse. Résultat admis.

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Compétences à pratiquer

Lire la convexité sur la corde

I.2 Caractérisations C¹ et C²

L'inégalité des cordes est malcommode à vérifier directement. Pour une fonction régulière, elle se convertit en un test sur les dérivées bien plus facile à utiliser en pratique. L'idée est géométrique : en parcourant une courbe convexe de gauche à droite, la pente de la tangente ne cesse d'augmenter — donc $f'$ est croissante — et la courbure $f''$ est positive. Trois caractérisations équivalentes en découlent ; toutes sont énoncées sans démonstration, le programme les admettant.

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Proposition — Convexité par la monotonie de $f'$

Soit $f \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{R})$. Alors $$f \text{ convexe sur } I \iff f' \text{ croissante sur } I, \qquad\qquad f \text{ concave sur } I \iff f' \text{ décroissante sur } I.$$ Résultat admis.

Proposition — Convexité par le signe de $f''$

Soit $f \in \mathcal{C}^2(I, \mathbb{R})$. Alors $$f \text{ convexe sur } I \iff \big(\forall x \in I,\ f''(x) \ge 0\big), \qquad\qquad f \text{ concave sur } I \iff \big(\forall x \in I,\ f''(x) \le 0\big).$$ Résultat admis (il découle de la caractérisation précédente, $f'$ étant croissante exactement lorsque $f'' \ge 0$).

Proposition — Convexité par la position des tangentes

Soit $f \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{R})$. Alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes, et $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de chacune de ses tangentes. En formules, $f$ convexe signifie : pour tout $a \in I$, $$\forall x \in I, \qquad f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a).$$

Résultat admis.

Méthode — Étudier la convexité d'une fonction $\mathcal{C}^2$

Pour déterminer sur quels intervalles une fonction $\mathcal{C}^2$ $f$ est convexe ou concave :

Calculer $f'$, puis $f''$.
Dresser le tableau de signe de $f''$.
Sur chaque intervalle où $f'' \ge 0$, $f$ est convexe ; où $f'' \le 0$, $f$ est concave.

Exemple

Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

La fonction est un polynôme, donc $\mathcal{C}^2$ (et même $\mathcal{C}^\infty$) sur $\mathbb{R}$. On calcule : $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x && \text{(dérivation terme à terme)} \\ f''(x) &= 6x - 6 = 6(x - 1) && \text{(en dérivant à nouveau).} \end{aligned}$$ Ainsi $f''(x) \le 0$ sur $\,]{-\infty}, 1]$ et $f''(x) \ge 0$ sur $[1, +\infty[$. Par la caractérisation par le signe de $f''$, $f$ est concave sur $\,]{-\infty}, 1]$ et convexe sur $[1, +\infty[$.

Compétences à pratiquer

Étudier la convexité par la dérivée seconde

I.3 Fonctions usuelles convexes et concaves

Le catalogue ci-dessous rassemble la convexité des fonctions de référence. Chaque ligne se justifie par le signe de $f''$, à l'aide des dérivées rappelées du chapitre Fonctions usuelles. Ces formes méritent d'être mémorisées : elles apparaissent constamment dans les inégalités et les problèmes d'optimisation.

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Proposition — Catalogue des fonctions usuelles

Les résultats suivants sont vrais :

$x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ $\quad$ ($f'' = 2 \ge 0$) ;
$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$ $\quad$ ($\exp'' = \exp > 0$) ;
$\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$ $\quad$ ($\ln''(x) = -1/x^2 < 0$) ;
pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $x \mapsto x^\alpha$ sur $\mathbb{R}_+^*$ vérifie $f''(x) = \alpha(\alpha - 1) x^{\alpha - 2}$, donc elle est convexe lorsque $\alpha \le 0$ ou $\alpha \ge 1$, et concave lorsque $0 \le \alpha \le 1$.

Justifications par la caractérisation $\mathcal{C}^2$ ci-dessus ; résultats admis.

Exemple

Deux membres de la famille des puissances. Pour $\alpha = 1/2$, la fonction $\sqrt{x} = x^{1/2}$ a $\alpha = 1/2 \in [0, 1]$, donc est concave sur $\mathbb{R}_+^*$ (on vérifie $f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2} < 0$). Pour $\alpha = -1$, la fonction $x \mapsto 1/x = x^{-1}$ a $\alpha = -1 \le 0$, donc est convexe sur $\mathbb{R}_+^*$ (en effet $f''(x) = 2 x^{-3} > 0$).

Méthode — Lire la convexité dans le catalogue

Pour énoncer la convexité d'une fonction usuelle sans recalculer $f''$ : reconnaître à quelle entrée du catalogue elle correspond. Pour une puissance $x^\alpha$ sur $\mathbb{R}_+^*$, situer $\alpha$ par rapport à $0$ et $1$ : convexe en dehors de $[0, 1]$, concave dans $[0, 1]$.

Compétences à pratiquer

Identifier une fonction usuelle convexe ou concave

I.4 Point d'inflexion

Sur le graphe de $x \mapsto x^3$, la courbure est vers le bas à gauche de $0$ et vers le haut à droite : la fonction est concave puis convexe. Le point où ce basculement se produit s'appelle un point d'inflexion. C'est la signature géométrique d'un changement de convexité, et pour une fonction $\mathcal{C}^2$ il se détecte par un changement de signe de $f''$.

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Définition — Point d'inflexion

Soit $f \colon I \to \mathbb{R}$ dérivable sur $I$ et soit $x_0$ un point intérieur de $I$. Le point $A(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ lorsque $f$ change de convexité en $x_0$ : il existe $\varepsilon > 0$ tel que $f$ soit convexe sur $[x_0 - \varepsilon, x_0]$ et concave sur $[x_0, x_0 + \varepsilon]$, ou inversement. Comme $f$ est dérivable, la tangente en $x_0$ existe, et en un tel point elle traverse la courbe.

Proposition — Détecter une inflexion par $f''$

Soit $f \in \mathcal{C}^2(I, \mathbb{R})$ et soit $x_0$ un point intérieur de $I$. Alors $A(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0$. En particulier, une simple annulation de $f''$ sans changement de signe n'est pas une inflexion (par exemple $f''(x_0) = 0$ avec $f''$ gardant le même signe de part et d'autre). Résultat admis.

Méthode — Localiser les points d'inflexion

Pour une fonction $\mathcal{C}^2$ $f$ :

Calculer $f''$ et résoudre $f''(x) = 0$.
Dresser le tableau de signe de $f''$.
Ne garder que les points où $f''$ change de signe : ce sont les abscisses des points d'inflexion.

Exemple

Trouver les points d'inflexion de $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

On a $f''(x) = 6x$, qui s'annule uniquement en $x = 0$ et y change de signe (négatif pour $x < 0$, positif pour $x > 0$) : $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 && \text{(en dérivant $x^3$)} \\ f''(x) &= 6x && \text{(en dérivant à nouveau).} \end{aligned}$$ Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $x = 0$, le point $A(0, 0)$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ (la fonction est concave sur $\,]{-\infty}, 0]$ et convexe sur $[0, +\infty[$). C'est le seul.

Compétences à pratiquer

Localiser un point d'inflexion

I.5 Inégalité de Jensen

L'inégalité de convexité compare $f$ en un barycentre de deux points au même barycentre des deux valeurs. L'inégalité de Jensen étend cela à un nombre fini quelconque de points $x_1, \dots, x_n$ pondérés par des poids positifs $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de somme $1$. C'est le moteur de toute une famille d'inégalités classiques — en particulier l'inégalité arithmético-géométrique, obtenue à partir de la concavité de $\ln$.

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Théorème — Inégalité de Jensen

Soit $f$ convexe sur $I$, soit $n \in \mathbb{N}^*$, et soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in [0, 1]$ vérifiant $\sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1$. Alors $$\forall (x_1, \dots, x_n) \in I^n, \qquad f\!\left( \sum_{k=1}^{n} \lambda_k x_k \right) \le \sum_{k=1}^{n} \lambda_k f(x_k).$$ Si $f$ est concave, l'inégalité est inversée. Dans le cas des poids égaux $\lambda_k = \frac{1}{n}$, $$f\!\left( \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \right) \le \frac{f(x_1) + \dots + f(x_n)}{n}.$$ Résultat admis.

Méthode — Appliquer Jensen à une inégalité classique

Pour démontrer une inégalité de type « moyenne » :

Identifier une fonction convexe (ou concave) $f$ dont les valeurs produisent les deux membres.
Appliquer Jensen avec les poids égaux $\lambda_k = \frac{1}{n}$ (ou des poids choisis).
Revenir en arrière, en utilisant les règles de calcul de $f$ (pour $\ln$, transformer une somme de logarithmes en logarithme d'un produit).

Exemple

Montrer l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous $x_1, \dots, x_n > 0$, $$\big( x_1 x_2 \cdots x_n \big)^{1/n} \le \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.$$

Correction

La fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$, donc l'inégalité de Jensen inversée s'applique avec les poids égaux $\lambda_k = \frac{1}{n}$ : $$\begin{aligned} \ln\!\left( \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \right) &\ge \frac{\ln x_1 + \dots + \ln x_n}{n} && \text{(Jensen, $\ln$ concave)} \\ &= \frac{1}{n} \ln(x_1 \cdots x_n) && \text{(une somme de logs est le log du produit)} \\ &= \ln\!\big( (x_1 \cdots x_n)^{1/n} \big) && \text{($\tfrac{1}{n}\ln u = \ln u^{1/n}$).} \end{aligned}$$ Comme $\ln$ est croissante, appliquer $\exp$ (ou comparer les arguments) préserve l'inégalité : $$\frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \ge (x_1 \cdots x_n)^{1/n},$$ ce qui est l'énoncé.

Compétences à pratiquer

Appliquer l'inégalité de Jensen

II Extrema d'une fonction sur un intervalle

II.1 Extrema locaux et globaux

Nous rappelons, du chapitre Dérivation, le vocabulaire des extrema. Une fonction $f$ sur $I$ admet un maximum global en $c \in I$ lorsque $f(x) \le f(c)$ pour tout $x \in I$, et un maximum local en $c$ lorsque cela n'est vrai que sur un voisinage de $c$ (un $I \cap [c - \varepsilon, c + \varepsilon]$) ; les minima se définissent symétriquement, et un extremum est un maximum ou un minimum. Un extremum global est en particulier local ; la réciproque est fausse. La première question est l'existence : $f$ atteint-elle seulement un maximum et un minimum ? Sur un segment, la réponse est oui, par le théorème des bornes atteintes rappelé ci-dessous.

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Proposition — Théorème des bornes atteintes (rappel)

Soit $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ continue, avec $a < b$. Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_m, x_M \in [a, b]$ tels que $f(x_m) = \min_{[a, b]} f$ et $f(x_M) = \max_{[a, b]} f$. Rappelé du chapitre Fonctions usuelles (« l'image d'un segment est un segment ») ; le résultat y est admis.

Exemple

Les hypothèses comptent. Prenons $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Sur la droite entière $\mathbb{R}$ (qui n'est pas un segment), $f$ atteint son maximum $1$ en $x = 0$, mais sa borne inférieure $0$ n'est pas atteinte (aucun $x$ ne donne $f(x) = 0$, bien que $f(x) \to 0$ en $\pm\infty$). Sur le segment $[-1, 1]$, au contraire, le théorème garantit que les deux bornes sont atteintes : $\max = f(0) = 1$ et $\min = f(\pm 1) = \frac{1}{2}$, toutes deux atteintes.

Compétences à pratiquer

Identifier les extrema locaux et globaux

II.2 Points critiques et condition nécessaire

L'existence acquise, on localise maintenant les extrema d'une fonction dérivable. La clé, rappelée du chapitre Dérivation, est l'observation de Fermat : en un extremum atteint à l'intérieur de $I$, la tangente est horizontale, donc la dérivée s'annule. Un tel point s'appelle un point critique. Cela fournit une condition nécessaire — un filtre qui resserre les candidats — mais, comme on le rappelle, elle n'est pas suffisante.

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Définition — Point critique

Soit $f$ dérivable sur $I$ et soit $x_0$ un point intérieur de $I$. Le point $x_0$ est un point critique de $f$ lorsque $f'(x_0) = 0$. Graphiquement, la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x_0$ est horizontale.

Proposition — Condition nécessaire — Fermat (rappel)

Soit $f$ dérivable sur $I$, et soit $x_0$ un point intérieur de $I$ en lequel $f$ admet un extremum local. Alors $f'(x_0) = 0$ (donc $x_0$ est un point critique). Rappelé et démontré au chapitre Dérivation. La condition est nécessaire mais non suffisante : $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$ sans extremum en $0$. De plus le point doit être intérieur : en une extrémité, un extremum ne force pas l'annulation de $f'$.

Méthode — Trouver les candidats extrema

Pour lister tout point où $f$ (dérivable) pourrait atteindre un extremum sur $I$, rassembler deux familles distinctes de candidats — à ne pas confondre :

les points critiques intérieurs : les $x_0 \in I$ intérieurs résolvant $f'(x_0) = 0$, où Fermat s'applique ;
les extrémités de $I$ (lorsque $I$ est fermé), examinées séparément : Fermat ne s'y applique pas, donc $f'$ peut ne pas s'y annuler (voire ne pas y être définie).

Les extrema sont cherchés parmi ces deux familles ; chaque candidat est ensuite testé (par le signe de $f'$, ou par $f''$ ci-dessous).

Exemple

Trouver les points critiques de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$ et les classer par le signe de $f'$.

Correction

On résout $f'(x) = 0$ : $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) && \text{(en dérivant)} \\ f'(x) &= 0 \iff x = -1 \ \text{ ou } \ x = 1 && \text{(racines de $x^2 - 1$).} \end{aligned}$$ Sur $\mathbb{R}$ (ouvert, tous les points intérieurs), les points critiques sont $x = -1$ et $x = 1$. Le signe de $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ est : positif sur $\,]{-\infty}, -1[$, négatif sur $\,]{-1}, 1[$, positif sur $\,]1, +\infty[$. Donc $f'$ passe de $+$ à $-$ en $x = -1$ (maximum local) et de $-$ à $+$ en $x = 1$ (minimum local). Aucun n'est global ($f \to \pm\infty$ en $\pm\infty$).

Compétences à pratiquer

Trouver les points critiques

II.3 Condition suffisante par la dérivée seconde

Un point critique peut être un maximum, un minimum, ou ni l'un ni l'autre. Lorsque $f$ est deux fois dérivable, le signe de $f''$ au point critique tranche : un $f''$ strictement positif signifie que la courbe se courbe vers le haut, d'où un minimum local ; un $f''$ strictement négatif, un maximum local. C'est le seul résultat du chapitre que l'on démontre, et la démonstration est courte — elle lit le comportement local sur la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ rappelée du chapitre Formules de Taylor et développements limités.

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Théorème — Condition suffisante du second ordre

Soit $f \in \mathcal{C}^2(I, \mathbb{R})$ et soit $x_0$ un point intérieur de $I$ avec $f'(x_0) = 0$.

Si $f''(x_0) > 0$, alors $f$ admet un minimum local en $x_0$.
Si $f''(x_0) < 0$, alors $f$ admet un maximum local en $x_0$.
Si $f''(x_0) = 0$, on ne peut rien conclure en général.

Preuve

Traitons le cas $f''(x_0) > 0$ (le cas $f''(x_0) < 0$ s'en déduit en l'appliquant à $-f$). Comme $f \in \mathcal{C}^2$, la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $x_0$ (rappelée du chapitre Formules de Taylor et développements limités) donne, près de $x_0$, $$\begin{aligned} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o\big((x - x_0)^2\big) && \text{(Taylor-Young à l'ordre $2$)} \\ &= f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o\big((x - x_0)^2\big) && \text{(car $f'(x_0) = 0$).} \end{aligned}$$ D'où $$f(x) - f(x_0) = (x - x_0)^2 \left( \frac{f''(x_0)}{2} + \varepsilon(x) \right), \qquad \varepsilon(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} 0,$$ où l'on a écrit $o\big((x-x_0)^2\big) = (x-x_0)^2 \varepsilon(x)$. Comme $\frac{f''(x_0)}{2} > 0$, pour $x$ assez proche de $x_0$ on a $\frac{f''(x_0)}{2} + \varepsilon(x) > 0$, tandis que $(x - x_0)^2 \ge 0$. Donc $f(x) - f(x_0) \ge 0$ sur un voisinage de $x_0$, c'est-à-dire que $f$ admet un minimum local en $x_0$. Pour le dernier point, $f(x) = x^4$ et $g(x) = x^3$ vérifient tous deux $f'(0) = f''(0) = 0$, pourtant $x^4$ admet un minimum en $0$ et $x^3$ n'en admet pas — donc $f''(x_0) = 0$ n'apporte aucune information.

Méthode — Classer un point critique

En un point critique intérieur $x_0$ (donc $f'(x_0) = 0$) :

Calculer $f''(x_0)$.
Si $f''(x_0) > 0$ : minimum local. Si $f''(x_0) < 0$ : maximum local.
Si $f''(x_0) = 0$ : le test est muet — revenir au signe de $f'$ autour de $x_0$ (un changement de signe donne la nature ; pas de changement signifie pas d'extremum).

Exemple

Classer le point critique de $f(x) = x^2 - 4x + 1$ sur $\mathbb{R}$ avec la dérivée seconde.

Correction

On localise puis on classe : $$\begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 && \text{(en dérivant)} \\ f'(x) &= 0 \iff x = 2 && \text{(unique point critique)} \\ f''(x) &= 2 > 0 && \text{(constante, donc $f''(2) = 2 > 0$).} \end{aligned}$$ Comme $f''(2) > 0$, le point $x = 2$ est un minimum local, avec $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$. (Comme $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ — $f'' \ge 0$ partout — ce minimum est en fait global, anticipant la sous-section suivante.)

Compétences à pratiquer

Classer un point critique par la dérivée seconde

II.4 Convexité et extrema globaux

Voici le résultat qui relie convexité et optimisation — et la raison pour laquelle les fonctions convexes sont si prisées en économie et en gestion. Pour une fonction quelconque, un minimum local ne dit rien du comportement global. Mais pour une fonction convexe, un minimum local est forcément global : il n'y a pas d'autres creux à craindre. Minimiser une fonction convexe se ramène donc à trouver un unique point critique, sans avoir à comparer les valeurs sur tout l'intervalle.

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Proposition — Local devient global pour une fonction convexe

Soit $f$ convexe sur l'intervalle $I$. Alors tout minimum local de $f$ sur $I$ est un minimum global sur $I$. Symétriquement, si $f$ est concave, tout maximum local est global. En particulier, si $f$ est convexe et $\mathcal{C}^1$ sur $I$, alors tout point critique intérieur ($f'(x_0) = 0$) est un minimum global de $f$ sur $I$.

Résultat admis.

Méthode — Minimiser une fonction convexe

Pour minimiser une fonction $\mathcal{C}^2$ $f$ montrée convexe sur $I$ :

Vérifier la convexité : $f''(x) \ge 0$ sur tout $I$.
Résoudre $f'(x) = 0$ pour un point critique intérieur $x_0$.
Conclure directement : $x_0$ est le minimum global — aucune comparaison avec d'autres points n'est nécessaire.

Exemple

Minimiser $f(x) = e^x - x$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

La fonction est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. On vérifie la convexité et on trouve le point critique : $$\begin{aligned} f'(x) &= e^x - 1 && \text{(en dérivant)} \\ f''(x) &= e^x > 0 && \text{(donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$)} \\ f'(x) &= 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0 && \text{(unique point critique).} \end{aligned}$$ Comme $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, le point critique $x = 0$ est un minimum global (aucun autre point n'est à vérifier). La valeur minimale est $f(0) = e^0 - 0 = 1$. Ainsi $e^x - x \ge 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Pour aller plus loin

La machinerie de convexité de ce chapitre est l'ombre, à une variable, d'une théorie bien plus riche. En deuxième année, les mêmes questions — où sont les extrema, quand un point critique est-il un minimum — se posent pour des fonctions de plusieurs variables, où le rôle de « $f'' \ge 0$ » est tenu par une condition de positivité sur une matrice de dérivées secondes. Le principe « pour un objectif convexe, un point critique est un minimum global » subsiste mot pour mot, et fonde l'optimisation convexe en économie, en finance et en apprentissage automatique.

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Compétences à pratiquer

Minimiser une fonction convexe

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Combiner convexité et optimisation