Variables aléatoires discrètes

Disjonction. Pour \(i \ne j\) dans \(I\), \([X = u_i] \cap [X = u_j]\) est l'ensemble des \(\omega \in \Omega\) avec \(X(\omega) = u_i\) et \(X(\omega) = u_j\) ; comme la famille \((u_i)\) est injective, \(u_i \ne u_j\) et aucun tel \(\omega\) n'existe, donc l'intersection est vide. Recouvrement. Pour tout \(\omega \in \Omega\), \(X(\omega) \in X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}\), donc il existe exactement un indice \(i\) tel que \(X(\omega) = u_i\) ; donc \(\omega \in [X = u_i]\) et l'union recouvre \(\Omega\). Par \(\sigma\)-additivité de \(P\) sur cette partition disjointe dénombrable (chapitre Espaces probabilisés quelconques), $$ \begin{aligned} 1 \ =\ P(\Omega) \ &=\ P\!\left(\bigsqcup_{i \in I} [X = u_i]\right) && \text{(recouvrement)} \\ &=\ \sum_{i \in I} P(X = u_i) && \text{(}\sigma\text{-additivité).} \end{aligned} $$ La série est à termes positifs de somme \(1\), donc absolument convergente.

Pour le sens direct, \(p_i = P(X = u_i) \in [0, 1]\) car \(P\) est à valeurs dans \([0, 1]\) ; \(\sum p_i = 1\) par la Proposition de système complet dénombrable du Définition et événements liés à \(X\). La réciproque est admise (la construction place la probabilité \(p_i\) sur le singleton \(\{u_i\}\) et étend par \(\sigma\)-additivité, exactement comme dans l'exemple « singletons pondérés sur \(\mathbb{N}\) » du chapitre Espaces probabilisés quelconques).

\(Y(\Omega) = g(X(\Omega))\) est l'image de l'ensemble au plus dénombrable \(X(\Omega)\) par \(g\), donc au plus dénombrable. Pour chaque \(y \in Y(\Omega)\), l'ensemble \(\{i \in I \mid g(u_i) = y\}\) est au plus dénombrable et $$ [Y = y] = \bigcup_{i \in I,\ g(u_i) = y} [X = u_i]. $$ C'est une union dénombrable disjointe d'événements (disjointe car les \([X = u_i]\) sont deux à deux disjoints d'après Définition et événements liés à \(X\)), donc appartient à \(\mathcal{A}\) par stabilité par union dénombrable (chapitre Espaces probabilisés quelconques). Les deux conditions de la Définition de v.a.\ discrète sont vérifiées, donc \(Y\) est une v.a.\ discrète.

On applique la \(\sigma\)-additivité de \(P\) à la décomposition disjointe dénombrable \([Y = y] = \bigsqcup_{g(u_i) = y} [X = u_i]\) de la preuve précédente.

Par linéarité de \(E\), \(E(aX + b) = a E(X) + b\), donc $$ (aX + b - E(aX + b))^2 = (aX + b - a E(X) - b)^2 = a^2 (X - E(X))^2. $$ Comme \(X\) admet une variance, \((X - E(X))^2\) admet une espérance ; par linéarité de \(E\), \(a^2 (X - E(X))^2\) aussi, d'espérance \(a^2 E((X - E(X))^2)\). Donc \(aX + b\) admet une variance et $$ V(aX + b) = E(a^2 (X - E(X))^2) = a^2 E((X - E(X))^2) = a^2 V(X). $$

\(X\) admet une espérance \(E(X)\) par hypothèse. On démontre les deux sens de l'équivalence puis on en déduit la formule.

• Sens \((X - E(X))^2\) a \(E\) \(\Rightarrow\) \(X^2\) a \(E\). Utiliser la majoration élémentaire \((a + b)^2 \le 2 a^2 + 2 b^2\) avec \(a = X - E(X)\) et \(b = E(X)\) pour obtenir \(X^2 = (a + b)^2 \le 2 (X - E(X))^2 + 2 E(X)^2\). Le membre de droite est une v.a.\ discrète positive d'espérance \(2 V(X) + 2 E(X)^2\) (linéarité, constante \(E(X)^2\)). Par Existence par domination, \(X^2\) admet une espérance.
• Sens \(X^2\) a \(E\) \(\Rightarrow\) \((X - E(X))^2\) a \(E\). Développer \((X - E(X))^2 = X^2 - 2 E(X) X + E(X)^2\). Chaque sommand admet une espérance (\(X^2\) par hypothèse, \(X\) par l'hypothèse de l'énoncé, \(E(X)^2\) est constante). Par linéarité, \((X - E(X))^2\) admet une espérance.
• La formule. Une fois les deux côtés d'espérance définie, on développe et applique la linéarité de \(E\) : $$ \begin{aligned} V(X) &= E\bigl((X - E(X))^2\bigr) && \text{(Définition)} \\ &= E\bigl(X^2 - 2 E(X) X + E(X)^2\bigr) && \text{(développer)} \\ &= E(X^2) - 2 E(X) \cdot E(X) + E(X)^2 && \text{(linéarité, } E(X) \text{ est constante)} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2. \end{aligned} $$

Posons \(m = E(X)\). Par transfert, \(V(X) = E((X - m)^2) = \sum_i (u_i - m)^2 P(X = u_i)\) comme série absolument convergente de termes positifs. Une série à termes positifs de somme nulle a tous ses termes nuls (chapitre Séries numériques) : pour tout \(i\) avec \(u_i \ne m\), \((u_i - m)^2 > 0\), forçant \(P(X = u_i) = 0\). Deux cas. Si \(m \notin X(\Omega)\), alors tout \(u_i \ne m\) et \(\sum_i P(X = u_i) = 0\) — or la Proposition de système complet du Définition et événements liés à \(X\) donne \(\sum_i P(X = u_i) = 1\), contradiction ; ce cas est donc impossible. Donc \(m \in X(\Omega)\), et $$ P(X = m) = 1 - \sum_{i \mid u_i \ne m} P(X = u_i) = 1 - 0 = 1, $$ donc \(X = m\) presque sûrement.

Croissance : pour \(x \le y\), \([X \le x] \subset [X \le y]\), donc \(F_X(x) \le F_X(y)\) par monotonie de \(P\). Limite en \(-\infty\) : pour \(x \to -\infty\), \([X \le x] \downarrow \emptyset\) (tout \(\omega \in \Omega\) a \(X(\omega) \in \mathbb{R}\), donc pour \(x < X(\omega)\), \(\omega \notin [X \le x]\)), donc par limite monotone (chapitre Espaces probabilisés quelconques), \(F_X(x) \to P(\emptyset) = 0\). Limite en \(+\infty\) : \([X \le x] \uparrow \Omega\) quand \(x \to +\infty\) (tout \(\omega \in \Omega\) a \(X(\omega) \in \mathbb{R}\), donc pour \(x \ge X(\omega)\), \(\omega \in [X \le x]\)), donc \(F_X(x) \to P(\Omega) = 1\). Continuité à droite : pour \(x_n \downarrow x_0\), \([X \le x_n] \downarrow [X \le x_0]\), la limite monotone donne \(F_X(x_n) \to F_X(x_0)\). (À ce niveau, on admet les détails techniques de passage à la limite sur un paramètre continu plutôt qu'une suite.)

On écrit \([X \le x] = [X < x] \sqcup [X = x]\) (partition disjointe). En appliquant \(P\) : $$ F_X(x) = P(X < x) + P(X = x). $$ Par l'argument de limite monotone de la Proposition précédente appliqué à \([X \le t] \uparrow [X < x]\) quand \(t \uparrow x\) (strictement), \(P(X < x) = \lim_{t \to x^-} F_X(t) = F_X(x^-)\). Donc \(P(X = x) = F_X(x) - F_X(x^-)\).

Posons \(q = 1 - p \in {]0, 1[}\). Par la série géométrique (chapitre Séries numériques), $$ \sum_{k=1}^{+\infty} p q^{k-1} = p \sum_{k=1}^{+\infty} q^{k-1} = p \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac{p}{p} = 1. $$

Posons \(q = 1 - p\). Espérance. Par transfert (existence et valeur) : la série $$ \sum_{k \ge 1} k \cdot p q^{k-1} = p \sum_{k \ge 1} k q^{k-1} $$ converge absolument (termes positifs, série géométrique dérivée première en \(q \in {]0, 1[}\), chapitre Séries numériques). Donc \(X\) a une espérance et $$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^{+\infty} k \cdot p q^{k-1} && \text{(Définition / transfert)} \\ &= p \sum_{k=1}^{+\infty} k q^{k-1} && \text{(factoriser } p\text{)} \\ &= p \cdot \frac{1}{(1 - q)^2} && \text{(géométrique dérivée première, ch.~\textit{Séries numériques})} \\ &= p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}. \end{aligned} $$ Moment d'ordre 2. On décompose \(k^2 = k(k - 1) + k\) pour utiliser la géométrique dérivée seconde. La série \(\sum k(k-1) p q^{k-1}\) converge absolument (termes positifs, géométrique dérivée seconde en \(q \in {]0, 1[}\)). Avec l'étape précédente, \(E(X^2)\) existe et $$ \begin{aligned} E(X(X - 1)) &= \sum_{k=1}^{+\infty} k(k - 1)\, p q^{k-1} && \text{(transfert)} \\ &= p q \sum_{k=2}^{+\infty} k(k - 1)\, q^{k-2} && \text{(factoriser } pq\text{ ; le terme } k = 1 \text{ est nul)} \\ &= p q \cdot \frac{2}{(1 - q)^3} && \text{(géométrique dérivée seconde)} \\ &= p q \cdot \frac{2}{p^3} = \frac{2 q}{p^2} = \frac{2(1 - p)}{p^2}. \end{aligned} $$ Par linéarité, \(E(X^2) = E(X(X - 1)) + E(X) = 2(1 - p)/p^2 + 1/p = (2 - 2p + p)/p^2 = (2 - p)/p^2\). Variance par Koenig-Huygens. $$ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{2 - p}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}. $$

Pour \(x < 1\), \([X \le x] = \emptyset\) (car \(X \ge 1\) toujours), donc \(F_X(x) = 0\). Pour un entier \(k \ge 1\), posons \(q = 1 - p\) : $$ \begin{aligned} F_X(k) &= \sum_{j=1}^{k} p q^{j-1} && \text{(Définition de } F_X\text{ ; somme finie)} \\ &= p \cdot \frac{1 - q^k}{1 - q} && \text{(somme géométrique finie)} \\ &= 1 - q^k = 1 - (1 - p)^k. \end{aligned} $$ Pour un \(x \ge 1\) non entier, \(X(\Omega) \subset \mathbb{N}^*\) donne \([X \le x] = [X \le \lfloor x \rfloor]\), donc \(F_X(x) = F_X(\lfloor x \rfloor) = 1 - (1 - p)^{\lfloor x \rfloor}\).

On factorise \(e^{-\lambda}\) et on applique la série exponentielle (chapitre Séries numériques, admise) : $$ \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1. $$

Espérance. Par transfert, \(E(X) = \sum_{k \ge 0} k e^{-\lambda} \lambda^k / k!\) sous réserve de convergence absolue. La série est à termes positifs et coïncide avec la queue de la série exponentielle après un décalage d'un cran : $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{+\infty} k\, e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} &= e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{+\infty} k \cdot \frac{\lambda^k}{k!} && \text{(le terme } k = 0 \text{ est nul)} \\ &= e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\lambda^k}{(k - 1)!} && \text{(simplifier } k / k! = 1 / (k - 1)!\text{)} \\ &= e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k - 1)!} && \text{(factoriser un } \lambda \text{)} \\ &= e^{-\lambda} \lambda \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{\lambda^j}{j!} && \text{(changement } j = k - 1\text{)} \\ &= e^{-\lambda} \lambda \cdot e^{\lambda} = \lambda. && \text{(série exponentielle)} \end{aligned} $$ La série exponentielle converge pour tout argument réel (chapitre Séries numériques, admise), donc la convergence absolue requise par le théorème de transfert est acquise ; \(X\) admet une espérance égale à \(\lambda\). Moment d'ordre 2. On décompose \(k^2 = k(k - 1) + k\). De même, $$ \begin{aligned} E(X(X - 1)) &= \sum_{k=0}^{+\infty} k(k - 1)\, e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} && \text{(transfert)} \\ &= e^{-\lambda} \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{\lambda^k}{(k - 2)!} && \text{(}k = 0, 1 \text{ contribuent nul ; simplifier } k(k-1)/k! = 1/(k-2)!\text{)} \\ &= e^{-\lambda} \lambda^2 \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k - 2)!} && \text{(factoriser } \lambda^2\text{)} \\ &= e^{-\lambda} \lambda^2 \cdot e^{\lambda} = \lambda^2. \end{aligned} $$ Donc \(E(X^2) = E(X(X - 1)) + E(X) = \lambda^2 + \lambda\). Variance par Koenig-Huygens. $$ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda. $$