Éducation Nationale Française · ECGapprofondies
Séries numériques
Une série numérique est la suite des sommes partielles \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\) construite à partir d'une suite réelle \((u_n)\). Sa nature (convergente ou divergente) se lit sur la convergence ou la divergence de \((S_n)\) : tout le chapitre se ramène à « la convergence des suites appliquée à un type particulier de suites », et chaque outil de Suites : limites et convergence et de Comparaison asymptotique s'y applique. La nouveauté est double : déterminer quelles sommes \(\sum u_n\) on sait effectivement calculer (séries géométriques, séries géométriques dérivées, série exponentielle), et déterminer la nature de quelles familles sans calculer la somme (séries de Riemann \(\sum 1/n^\alpha\) ; séries absolument convergentes ; critères de comparaison et d'équivalence pour les séries à termes de signe constant). Conventions. \((u_n), (v_n)\) désignent des suites réelles ; le symbole \(\sum u_k\) désigne la série ; \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\) est une somme partielle ; \(\sum_{k=0}^{+\infty} u_k\) désigne la somme de la série (notation employée uniquement après avoir établi la convergence) ; \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\) est le reste d'ordre \(n\) (défini uniquement lorsque la série converge). L'indice de sommation est muet. La nature de \(\sum u_k\) ne dépend pas de l'indice de départ, mais la valeur de la somme en dépend.
I
Convergence d'une série numérique
I.1
Définition d'une série ; somme partielle et nature
À partir d'une suite réelle \((u_n)\), l'objet naturel est la somme courante \(S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n\). La question « que signifie la somme infinie \(u_0 + u_1 + \dots\) ? » est exactement la question « la suite \((S_n)\) a-t-elle une limite ? ». C'est tout le contenu de la définition ci-dessous. L'image : empiler des briques de hauteur \(u_k\), et \(S_n\) est la hauteur de la pile après \(n + 1\) briques.
Définition — Série, somme partielle, nature
Soit \((u_n)_{n \ge 0}\) une suite réelle. La série de terme général \(u_k\), notée \(\sum u_k\), est la suite \((S_n)_{n \ge 0}\) définie par $$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n.$$ Le terme \(S_n\) est la somme partielle de rang \(n\) de la série. - La série \(\sum u_k\) est convergente lorsque la suite \((S_n)\) converge, c'est-à-dire qu'il existe \(S \in \mathbb{R}\) tel que \(S_n \to S\).
- La série \(\sum u_k\) est divergente lorsque \((S_n)\) ne converge pas.
- Deux séries sont dites de même nature lorsqu'elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.
Définition — Somme et reste d'une série convergente
On suppose \(\sum u_k\) convergente, avec \(S_n \to S\). Le réel \(S\) est la somme de la série ; on note $$S = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \lim_{n \to +\infty} S_n.$$ Le reste d'ordre \(n\) est $$R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k,$$ et \(R_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\).
Deux réflexes de notation comptent. D'abord, \(\sum u_k\) désigne la suite des sommes partielles ; ce n'est pas un nombre, même lorsque la série converge. Le nombre, c'est \(\sum_{k=0}^{+\infty} u_k\), avec la borne \(+\infty\) explicite, et cette notation s'emploie uniquement après avoir établi la convergence. Ensuite, l'indice de départ est parfois \(0\), parfois \(1\) (la série harmonique \(\sum 1/n\) commence à \(n = 1\) pour éviter de diviser par zéro), parfois \(2\) ou plus. La nature de la série ne dépend pas de l'indice de départ — voir la Proposition ci-dessous — mais la valeur de la somme oui.
Exemple
La série harmonique est \(\sum_{n \ge 1} 1/n\) (départ en \(n = 1\) puisque \(1/0\) n'est pas défini). Sa nature est tranchée au Séries de Riemann : elle diverge. Exemple
Pour \(q \in \mathbb{R}\), la série géométrique de raison \(q\) est \(\sum_{k \ge 0} q^k\). Sa somme partielle admet une forme close. Pour \(q \ne 1\), $$S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$ La nature est tranchée au Série géométrique et ses deux premières séries dérivées : convergence si et seulement si \(|q| < 1\). Exemple — Une série dont on calcule directement la somme
Pour \(u_k = 1/2^k\) (\(k \ge 0\)), on vérifie directement (la technique est rappelée de Méthodes de calcul pour la forme close d'une somme géométrique finie) : $$(1 - 1/2) \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^{n+1}}$$ (la somme intérieure se télescope après un décalage d'un cran). D'où $$S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{n+1}} \right) = 2 - \frac{1}{2^n}.$$ Quand \(n \to +\infty\), \(1/2^n \to 0\), donc \(S_n \to 2\). La série \(\sum_{k \ge 0} 1/2^k\) converge et $$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 2.$$ Le reste vaut \(R_n = 2 - S_n = 1/2^n \to 0\). L'énoncé général pour une raison \(q\) quelconque est la proposition sur les séries géométriques du Série géométrique et ses deux premières séries dérivées. Proposition — Indépendance de l'indice de départ pour la nature
Soient \((u_n)_{n \ge 0}\) une suite réelle et \(n_0, n_1 \in \mathbb{N}\). Les séries \(\sum_{k \ge n_0} u_k\) et \(\sum_{k \ge n_1} u_k\) sont de même nature : changer l'indice de départ ne change ni la convergence ni la divergence. Mise en garde. En cas de convergence, la valeur de la somme dépend de l'indice de départ.
Supposons \(n_1 \ge n_0\) (le cas symétrique est analogue). Pour tout \(n \ge n_1\), $$\sum_{k=n_0}^{n} u_k = \sum_{k=n_1}^{n} u_k + \underbrace{\sum_{k=n_0}^{n_1 - 1} u_k}_{\text{une constante réelle fixée}}.$$ Les deux suites de sommes partielles diffèrent donc d'une constante fixée ; l'une converge si et seulement si l'autre converge, par la linéarité des opérations algébriques sur les limites de suites (rappelée de Suites : limites et convergence).
Méthode — Démontrer la convergence et calculer la somme
Pour établir la convergence et calculer la somme d'une série \(\sum u_k\) : - Écrire la somme partielle \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\).
- Trouver une forme close pour \(S_n\) (formule géométrique, télescopage, factorisation, récurrence…).
- Passer à la limite \(n \to +\infty\).
- Si la limite existe et vaut \(S\), conclure que \(\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = S\).
Compétences à pratiquer
- Calculer une somme partielle
- Identifier la nature d'une série
- Calculer le reste d'une série convergente
I.2
Condition nécessaire et combinaisons linéaires
Deux faits gratuits avant d'aborder les familles concrètes. Le premier est une condition nécessaire de convergence — un détecteur de divergence gratuit. Le second est la linéarité de l'algèbre des séries convergentes, héritée de l'algèbre des limites de suites.
Proposition — Condition nécessaire de convergence
Si \(\sum u_k\) converge, alors \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\). Contraposée (« divergence grossière »). Si \((u_n)\) ne tend pas vers \(0\), alors \(\sum u_k\) diverge.
Supposons \(\sum u_k\) convergente, avec \(S_n \to S\). Pour \(n \ge 1\), $$u_n = S_n - S_{n-1}.$$ On a \(S_n \to S\) et \(S_{n-1} \to S\) (une sous-suite a la même limite), donc par la règle sur la différence des limites de suites, \(u_n \to S - S = 0\).
Exemple
La série \(\sum (-1)^k\) diverge par la contraposée : le terme général \((-1)^n\) ne tend pas vers \(0\) (il oscille entre \(-1\) et \(+1\)). Exemple
La série \(\sum k^2 / (1 + k^2)\) diverge grossièrement : \(n^2 / (1 + n^2) = 1 / (1/n^2 + 1) \to 1 \ne 0\).
La réciproque est FAUSSE
Crucial. La réciproque est fausse : \(u_n \to 0\) n'implique pas que \(\sum u_k\) converge. Le contre-exemple canonique est la série harmonique \(\sum_{n \ge 1} 1/n\) : on a bien \(1/n \to 0\), pourtant la série diverge (démonstration au Séries de Riemann, cas \(\alpha = 1\) du théorème de Riemann). La condition \(u_n \to 0\) est donc nécessaire, mais pas suffisante. Pour décider la nature d'une série dont le terme général tend vers \(0\), il faut l'un des critères de comparaison du section 3.
Proposition — Combinaisons linéaires de séries convergentes
Soient \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) deux séries et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). - Deux séries convergentes. Si \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) convergent toutes deux, alors \(\sum (\lambda u_k + \mu v_k)\) converge, avec $$\sum_{k=0}^{+\infty} (\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda \sum_{k=0}^{+\infty} u_k + \mu \sum_{k=0}^{+\infty} v_k.$$
- Convergente plus divergente. Si \(\sum u_k\) converge et \(\sum v_k\) diverge, alors \(\sum (u_k + v_k)\) diverge.
Posons \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\) et \(T_n = \sum_{k=0}^{n} v_k\).
- Deux séries convergentes. La somme partielle de \(\sum (\lambda u_k + \mu v_k)\) vaut $$\sum_{k=0}^{n} (\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda S_n + \mu T_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda S + \mu T$$ par les opérations algébriques sur les limites de suites (rappelées de Suites : limites et convergence), où \(S = \lim S_n\) et \(T = \lim T_n\).
- Convergente plus divergente. Supposons par l'absurde que \(\sum (u_k + v_k)\) converge. D'après le point précédent appliqué à \(\sum (u_k + v_k)\) et \(\sum (-u_k)\) (tous deux convergents par hypothèse), \(\sum v_k = \sum [(u_k + v_k) + (-u_k)]\) convergerait, ce qui contredit l'hypothèse.
Somme de deux séries divergentes
Important. Si \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) divergent toutes deux, alors on ne peut rien dire en général sur \(\sum (u_k + v_k)\) — elle peut diverger, converger ou converger trivialement. Illustration canonique : prendre \(u_n = 1/n\) et \(v_n = -1/n\) (\(n \ge 1\)). Les deux séries \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) divergent (série harmonique), mais \(u_n + v_n = 0\), donc \(\sum (u_k + v_k) = \sum 0\) converge trivialement avec somme \(0\).
Méthode — Appliquer la linéarité prudemment
Ne jamais scinder une somme infinie en deux sommes infinies sans avoir vérifié au préalable que chacune converge. La marche correcte : - Écrire la somme partielle \(\sum_{k=0}^{n} (\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda \sum_{k=0}^{n} u_k + \mu \sum_{k=0}^{n} v_k\) (c'est la linéarité finie, toujours valide).
- Établir la convergence des deux séries \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) séparément.
- Passer alors seulement à la limite et conclure \(\sum (\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda \sum u_k + \mu \sum v_k\) comme une égalité entre nombres.
Exemple — Linéarité dans une somme partielle finie
Pour deux suites \((u_k), (v_k)\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), l'identité finie \(\sum_{k=0}^{n} (\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda \sum_{k=0}^{n} u_k + \mu \sum_{k=0}^{n} v_k\) est toujours valide (sans hypothèse de convergence). En prenant \(u_k = 1/2^k\), \(v_k = 1\), \(\lambda = 3\), \(\mu = -5\) : $$\sum_{k=0}^{n} \left( \frac{3}{2^k} - 5 \right) = 3 \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} - 5 (n+1) = 3 \left( 2 - \frac{1}{2^n} \right) - 5 (n+1).$$ Le second morceau \(-5(n+1) \to -\infty\), donc la somme partielle tend vers \(-\infty\) et la série diverge — cohérent avec « convergente (\(\sum 1/2^k\) converge) plus divergente (\(\sum 5\) diverge grossièrement) implique divergente ». Le point : l'identité finie est automatique ; l'identité infinie demande que chaque morceau converge. Compétences à pratiquer
- Reconnaître une divergence grossière
- Appliquer la linéarité pour calculer ou analyser
I.3
Séries télescopiques
La série convergente la plus simple est celle dont la somme partielle se réduit à deux termes : presque tout se simplifie au milieu, ne laissant que les extrémités. Ce « télescopage » est la seconde technique directe — au côté de la série géométrique du Série géométrique et ses deux premières séries dérivées — pour calculer des sommes à la main.
Proposition — Série télescopique
Soit \((u_n)_{n \ge 0}\) une suite réelle. La somme partielle de la série \(\sum (u_{k+1} - u_k)\) vaut $$\sum_{k=0}^{n} (u_{k+1} - u_k) = u_{n+1} - u_0.$$ Par conséquent : - \(\sum (u_{k+1} - u_k)\) converge si et seulement si \((u_n)\) converge ;
- dans ce cas, sa somme vaut \(\sum_{k=0}^{+\infty} (u_{k+1} - u_k) = \left(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\right) - u_0\).
On développe la somme partielle et on observe les simplifications terme à terme : $$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} (u_{k+1} - u_k) &= (u_1 - u_0) + (u_2 - u_1) + (u_3 - u_2) + \dots + (u_{n+1} - u_n) \\
&= -u_0 + (u_1 - u_1) + (u_2 - u_2) + \dots + (u_n - u_n) + u_{n+1} \\
&= u_{n+1} - u_0. \end{aligned}$$ La série \(\sum (u_{k+1} - u_k)\), vue comme la suite \((u_{n+1} - u_0)_{n \ge 0}\), converge donc si et seulement si \((u_{n+1})\) converge — équivalemment, si et seulement si \((u_n)\) converge — et dans ce cas, sa limite vaut \(\lim u_n - u_0\).
Exemple
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)}\).
Décomposition en éléments simples : \(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\). En posant \(v_k = 1/k\), le terme général vaut \(v_k - v_{k+1}\), donc la série est de la forme télescopique miroir. La somme partielle vaut $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = v_1 - v_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1.$$ La série converge donc et $$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1.$$
Exemple — Un télescopage divergent
La série \(\displaystyle\sum_{k \ge 1} \ln\!\left( 1 + \frac{1}{k} \right)\) est de forme télescopique : \(\ln(1 + 1/k) = \ln((k+1)/k) = \ln(k+1) - \ln(k)\). La somme partielle vaut $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \big[\ln(k+1) - \ln(k)\big] = \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty.$$ La série diverge — bien que le terme général \(\ln(1 + 1/k) \to 0\) (rappel du piège : \(u_n \to 0\) n'est pas suffisant pour la convergence). Méthode — Étudier une suite via la série des différences
La relation télescopique se lit dans les deux sens. Pour étudier une suite \((u_n)\), il est parfois plus simple d'étudier les différences \(u_{n+1} - u_n\). La nature de \(\sum (u_{k+1} - u_k)\) est la nature de la suite \((u_n)\) : - Former la différence \(d_n = u_{n+1} - u_n\).
- Utiliser les critères de comparaison du section 3 (ou un argument direct) pour décider si \(\sum d_k\) converge ou diverge.
- La convergence de \(\sum d_k\) est la convergence de \((u_n)\) ; la divergence de \(\sum d_k\) est la divergence de \((u_n)\).
Compétences à pratiquer
- Calculer une somme télescopique
- Détecter une divergence télescopique
- Étudier une suite par la série des différences
II
Séries de référence classiques
II.1
Série géométrique et ses deux premières séries dérivées
La série géométrique est la famille paramétrique standard dont la somme close se calcule à la main (à côté des télescopages du Séries télescopiques et d'un petit nombre d'autres). Sa « série dérivée première » \(\sum k q^{k-1}\) et sa « série dérivée seconde » \(\sum k(k-1) q^{k-2}\) sont tout aussi classiques ; elles apparaissent à répétition dans les chapitres Variables aléatoires finies et Variables aléatoires discrètes comme les sommes qui sous-tendent l'espérance et la variance d'une loi de type géométrique. On énonce ensemble la convergence et les formules closes.
Proposition — Série géométrique et ses deux premières séries dérivées
Soit \(q \in \mathbb{R}\). - Série géométrique. \(\sum_{k \ge 0} q^k\) converge si et seulement si \(|q| < 1\) ; dans ce cas $$\sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \frac{1}{1 - q}.$$
- Série dérivée première. \(\sum_{k \ge 1} k q^{k-1}\) converge si et seulement si \(|q| < 1\) ; dans ce cas $$\sum_{k=1}^{+\infty} k q^{k-1} = \frac{1}{(1 - q)^2}.$$
- Série dérivée seconde. \(\sum_{k \ge 2} k(k-1) q^{k-2}\) converge si et seulement si \(|q| < 1\) ; dans ce cas $$\sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1) q^{k-2} = \frac{2}{(1 - q)^3}.$$ La valeur de la somme de la série dérivée seconde est admise à ce stade (elle s'obtient par la même astuce d'un cran que pour la dérivée première, appliquée une seconde fois — l'exécution technique est laissée de côté ; le sens « seulement si » se traite par le même argument de divergence grossière que les deux premiers cas et est démontré ci-dessous).
On traite les trois séries dans l'ordre, les deux sens pour la série géométrique et la dérivée première ; pour la dérivée seconde, le sens « si » est admis et le sens « seulement si » utilise le même argument de divergence grossière que les deux autres.
- Géométrique, sens « si ». On suppose \(|q| < 1\). Pour \(q \ne 1\), la somme partielle admet la forme close $$S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$ Comme \(|q| < 1\), \(|q^{n+1}| = |q|^{n+1} \to 0\), donc \(q^{n+1} \to 0\) et \(S_n \to 1/(1-q)\).
- Géométrique, sens « seulement si ». On suppose \(|q| \ge 1\). Alors \(|q^n| = |q|^n\) est constant égal à \(1\) (si \(|q| = 1\)) ou tend vers \(+\infty\) (si \(|q| > 1\)). Dans les deux cas, le terme général \(u_n = q^n\) ne tend pas vers \(0\) (si \(|q| = 1\) on a \(|q^n| = 1\) ; si \(|q| > 1\) on a \(|q^n| \to +\infty\)). Par la contraposée de la condition nécessaire (Condition nécessaire et combinaisons linéaires), la série diverge grossièrement. Le cas \(q = 1\) est direct : \(S_n = n + 1 \to +\infty\), divergence.
- Dérivée première, sens « si ». On suppose \(|q| < 1\), \(q \ne 1\). Écrivons la somme partielle $$T_n = \sum_{k=1}^{n} k q^{k-1}.$$ Multiplions par \(1 - q\) : $$\begin{aligned} (1 - q) T_n &= \sum_{k=1}^{n} k q^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} k q^k && \text{(distributivité)} \\ &= \sum_{k=1}^{n} k q^{k-1} - \sum_{j=2}^{n+1} (j-1) q^{j-1} && \text{(changement } j = k+1\text{)} \\ &= 1 \cdot q^0 + \sum_{k=2}^{n} [k - (k-1)] q^{k-1} - n q^n && \text{(extraire premier/dernier)} \\ &= 1 + \sum_{k=2}^{n} q^{k-1} - n q^n && \text{(simplifier } k - (k-1) = 1\text{)} \\ &= \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} - n q^n && \text{(absorber le } 1 = q^0\text{).} \end{aligned}$$ Donc \(T_n = \dfrac{1}{1 - q} \left[ \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} - n q^n \right]\). La première partie tend vers \(\sum_{k=1}^{+\infty} q^{k-1} = \sum_{j=0}^{+\infty} q^j = 1/(1-q)\) par le cas géométrique. La seconde partie \(n q^n\) tend vers \(0\) : pour \(|q| < 1\), la croissance comparée \(|n q^n| = n |q|^n\) tend vers \(0\) (puissance \(\cdot\) géométrique de raison \(< 1\), rappelée de Suites : limites et convergence). En passant à la limite, $$T_n \to \frac{1}{1 - q} \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{(1 - q)^2}.$$
- Dérivée première, sens « seulement si ». On suppose \(|q| \ge 1\). Pour \(n \ge 1\), \(|n q^{n-1}| = n |q|^{n-1} \ge n \cdot 1 = n \to +\infty\) ; le terme général ne tend pas vers \(0\), donc la série diverge grossièrement.
- Dérivée seconde, sens « si ». Admise à ce stade (le même calcul d'un cran, appliqué deux fois, donne la formule ; on utilise le résultat librement).
- Dérivée seconde, sens « seulement si ». Pour \(|q| \ge 1\), \(|k(k-1) q^{k-2}| = k(k-1) |q|^{k-2} \ge k(k-1) \to +\infty\) ; divergence grossière.
Exemple
Avec \(q = 1/2\) : $$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2, \qquad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^{k-1}} = \frac{1}{(1 - 1/2)^2} = 4, \qquad \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{k(k-1)}{2^{k-2}} = \frac{2}{(1 - 1/2)^3} = 16.$$ Exemple — L'étape de décalage d'indice
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k}\).
La forme dérivée première canonique est \(\sum k q^{k-1}\). On extrait un facteur \(1/2\) pour s'y ramener : $$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k} = \sum_{k=1}^{+\infty} k \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{+\infty} k \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2.$$
Méthode — Calculer une somme de type géométrique
Pour calculer une somme \(\sum_{k} P(k) q^k\) où \(P\) est un polynôme de petit degré et \(|q| < 1\) : - Identifier la raison \(q\) et vérifier \(|q| < 1\) (sinon divergence grossière, sauf dans le cas trivial où le facteur polynomial est identiquement nul — par exemple \(P \equiv 0\) — où la somme vaut \(0\)).
- Identifier l'« ordre » du facteur polynomial : un constant \(\to\) série géométrique ; un facteur \(k\) \(\to\) dérivée première ; un facteur \(k(k-1)\) \(\to\) dérivée seconde ; un polynôme de degré supérieur se ramène à une combinaison de \(1\), \(k\), \(k(k-1)\) (et produits supérieurs si nécessaire).
- Utiliser la formule close correspondante. Décaler l'indice en extrayant des puissances de \(q\) pour se ramener aux formes canoniques \(\sum_{k \ge 0} q^k\), \(\sum_{k \ge 1} k q^{k-1}\), \(\sum_{k \ge 2} k(k-1) q^{k-2}\).
Compétences à pratiquer
- Calculer une somme géométrique
- Calculer une somme géométrique dérivée
- Identifier le domaine de divergence
II.2
Séries de Riemann
La série de Riemann \(\sum 1/n^\alpha\), indexée par un unique paramètre réel \(\alpha\), est l'échelle canonique à laquelle on compare les séries à termes positifs. Son seuil de convergence est \(\alpha = 1\) : elle converge si et seulement si \(\alpha > 1\), et le cas frontière \(\alpha = 1\) est la série harmonique divergente. La démonstration en \(\alpha > 1\) repose sur la comparaison de \(\sum 1/k^\alpha\) avec l'intégrale \(\int_1^n \mathrm{d}t/t^\alpha\), application standard de l'intégration sur un segment.
Proposition — Série de Riemann
Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), la série \(\sum_{n \ge 1} 1/n^\alpha\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
Trois cas.
- Cas \(\alpha \le 0\). Le terme général \(1/n^\alpha = n^{-\alpha}\) ne tend pas vers \(0\) (il est constant égal à \(1\) si \(\alpha = 0\), et tend vers \(+\infty\) si \(\alpha < 0\)). Par la contraposée de la condition nécessaire (Condition nécessaire et combinaisons linéaires), la série diverge grossièrement.
- Cas \(\alpha > 1\). On utilise la comparaison avec l'intégrale de \(t \mapsto 1/t^\alpha\), continue et décroissante sur \(\,]0, +\infty[\,\). Pour tout \(k \ge 2\) et tout \(t \in [k-1, k]\), \(1/k^\alpha \le 1/t^\alpha\). En intégrant sur \([k-1, k]\), $$\frac{1}{k^\alpha} \le \int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}.$$ En sommant pour \(k\) de \(2\) à \(n\), $$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^\alpha} \le \int_{1}^{n} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} = \left[ \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{1}^{n} = \frac{n^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha} = \frac{1 - n^{1-\alpha}}{\alpha - 1} \le \frac{1}{\alpha - 1},$$ puisque \(1 - \alpha < 0\) donne \(n^{1-\alpha} \to 0\) et la fraction \((1 - n^{1-\alpha})/(\alpha - 1)\) est positive et majorée par \(1/(\alpha - 1)\). En ajoutant la constante \(1/1^\alpha = 1\) des deux côtés, $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^\alpha} \le 1 + \frac{1}{\alpha - 1}.$$ La suite des sommes partielles \((S_n)\) est croissante (série à termes positifs) et majorée ; par le théorème de la limite monotone (rappelé de Suites : limites et convergence), \((S_n)\) converge. La série converge.
- Cas \(0 < \alpha \le 1\). Même comparaison, inégalité opposée : pour \(k \ge 1\) et \(t \in [k, k+1]\), \(1/t^\alpha \le 1/k^\alpha\). En intégrant sur \([k, k+1]\), $$\int_{k}^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \le \frac{1}{k^\alpha}.$$ En sommant pour \(k\) de \(1\) à \(n\), $$\int_{1}^{n+1} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^\alpha} = S_n.$$ L'intégrale de gauche tend vers \(+\infty\) : pour \(\alpha < 1\), \(\int_{1}^{n+1} \mathrm{d}t/t^\alpha = ((n+1)^{1-\alpha} - 1)/(1 - \alpha) \to +\infty\) puisque \(1 - \alpha > 0\) ; pour \(\alpha = 1\), \(\int_{1}^{n+1} \mathrm{d}t/t = \ln(n+1) \to +\infty\). Donc \(S_n \to +\infty\) et la série diverge. Le cas \(\alpha = 1\) donne la divergence de la série harmonique \(\sum 1/n\).
Exemple
\(\sum_{n \ge 1} 1/n^2\) converge (\(\alpha = 2 > 1\)). Sa somme vaut \(\pi^2/6\) (résultat célèbre, valeur admise, le calcul est hors du cadre de ce chapitre). \(\sum_{n \ge 1} 1/n\) diverge (harmonique, \(\alpha = 1\)). \(\sum_{n \ge 1} 1/\sqrt{n}\) diverge (\(\alpha = 1/2 \le 1\)). \(\sum_{n \ge 1} 1/n^{1{,}0001}\) converge ; \(\sum_{n \ge 1} 1/n^{0{,}9999}\) diverge — le seuil est tranchant. Compétences à pratiquer
- Identifier la nature d'une série de Riemann
- Justifier par la comparaison série-intégrale
- Reconnaître la divergence harmonique
II.3
La série exponentielle
La troisième famille de référence est la série exponentielle \(\sum x^k / k!\) : pour tout réel \(x\), elle converge, et sa somme vaut \(e^x\). À ce stade, le résultat est admis ; la démonstration utilise l'inégalité de Taylor, établie dans Formules de Taylor et développements limités. On utilise la formule librement à partir d'ici.
Proposition — Série exponentielle — admise
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la série \(\sum x^k / k!\) converge et $$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x.$$ La démonstration est reportée à Formules de Taylor et développements limités. Exemple
Avec \(x = 1\) : \(\sum_{k=0}^{+\infty} 1/k! = e\). Avec \(x = -1\) : \(\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k / k! = e^{-1} = 1/e\). Avec \(x = 2\) : \(\sum_{k=0}^{+\infty} 2^k / k! = e^2\). Exemple — Décalage d'indice dans la série exponentielle
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k!}\).
On décale depuis \(k \ge 0\) en retranchant le terme \(k = 0\) : $$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} - \frac{1}{0!} = e - 1.$$
Compétences à pratiquer
- Calculer une somme de type exponentiel
- Décaler l'indice pour la série exponentielle
- Combiner la série exponentielle avec la linéarité
III
Séries à termes de signe constant
III.1
Nature d'une série à termes positifs
Le cadre le plus simple est celui où le terme général est de signe constant. Lorsque \(u_n \ge 0\) à partir d'un certain rang, la suite des sommes partielles \((S_n)\) est croissante, et le théorème de la limite monotone tranche tout : soit \((S_n)\) est majorée (la série converge), soit elle ne l'est pas (la série diverge vers \(+\infty\)). L'histoire miroir pour les séries à termes négatifs s'obtient par la substitution \(u_n \to -u_n\).
Proposition — Nature d'une série à termes positifs
Soit \((u_n)\) une suite réelle avec \(u_n \ge 0\) à partir d'un certain rang. Alors la suite des sommes partielles \((S_n)\) est croissante à partir d'un certain rang, et l'une des deux situations suivantes se produit : - \((S_n)\) est majorée, et \(\sum u_k\) converge ;
- \((S_n)\) n'est pas majorée, et \(S_n \to +\infty\), c'est-à-dire \(\sum u_k\) diverge (vers \(+\infty\)).
Soit \(n_0\) un rang à partir duquel \(u_n \ge 0\). Pour tout \(n \ge n_0\), \(S_{n+1} - S_n = u_{n+1} \ge 0\), donc \((S_n)_{n \ge n_0}\) est croissante. Par le théorème de la limite monotone (rappelé de Suites : limites et convergence), une suite croissante à partir d'un certain rang admet soit une limite finie (si elle est majorée), soit la limite \(+\infty\) (si elle n'est pas majorée). Ce sont les deux cas de l'énoncé.
Exemple
Pour \(u_n = 1/(2^n + n)\) (\(n \ge 0\)) : \(u_n \ge 0\), donc \(\sum u_k\) est une série à termes positifs. La somme partielle est majorée par \(\sum 1/2^k \le 2\) (formule géométrique), donc la série converge par la proposition. Exemple — Analogue pour les séries à termes négatifs
Pour \(u_n = -1/2^n\) (\(n \ge 0\)) : tous les termes sont négatifs, donc \(-u_n \ge 0\), et \(\sum (-u_k) = \sum 1/2^k\) converge de somme \(2\). Par le point « convergente plus convergente » de la linéarité, \(\sum u_k = -\sum (-u_k)\) converge de somme \(-2\). De façon générale, on traite une série à termes négatifs en la transposant en une série à termes positifs via \(u_n \to -u_n\). Compétences à pratiquer
- Majorer la somme partielle
- Reconnaître le rang de signe constant
- Lire la dichotomie
III.2
Critères de comparaison pour les séries à termes positifs
Trois critères admis ramènent la question de la nature d'une série à termes positifs à une série de référence connue (Riemann \(\sum 1/n^\alpha\), géométrique \(\sum q^k\), exponentielle \(\sum 1/k!\)). L'hypothèse « signe constant » est essentielle : chacun de ces critères tombe en défaut sans elle. Pour les séries de signe quelconque, on passe au section 4 (convergence absolue).
Proposition — Comparaison par inégalité — admise
Soient \((u_n), (v_n)\) des suites réelles avec \(0 \le u_n \le v_n\) à partir d'un certain rang. Alors : - si \(\sum v_k\) converge, alors \(\sum u_k\) converge ;
- si \(\sum u_k\) diverge, alors \(\sum v_k\) diverge.
Proposition — Comparaison par négligeabilité — admise
Soient \((u_n), (v_n)\) des suites avec \(u_n \ge 0\) et \(v_n > 0\) à partir d'un certain rang (afin que le quotient \(u_n / v_n\) soit défini), et \(u_n = o(v_n)\) (au sens de Comparaison asymptotique). Alors : - si \(\sum v_k\) converge, alors \(\sum u_k\) converge ;
- si \(\sum u_k\) diverge, alors \(\sum v_k\) diverge.
Proposition — Comparaison par équivalence — admise
Soient \((u_n), (v_n)\) des suites avec \(u_n > 0\) et \(v_n > 0\) à partir d'un certain rang (strictement positives, afin que \(u_n / v_n\) soit défini et que les équivalents soient sans ambiguïté), et \(u_n \sim v_n\) (au sens de Comparaison asymptotique). Alors \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) sont de même nature. La démonstration est admise.
Analogue pour les séries à termes négatifs
Les trois critères ci-dessus s'appliquent à l'identique aux séries à termes négatifs (avec \(u_n \le 0, v_n \le 0\) à partir d'un certain rang, les inégalités étant renversées si nécessaire) : il suffit d'appliquer le cas positif à \(-u_n\) et \(-v_n\).
L'hypothèse de signe constant est essentielle
Crucial. Les trois critères de comparaison exigent que les suites soient de signe constant (positif ou négatif) à partir d'un certain rang. Les appliquer à une suite de signe non constant — typiquement une série avec un facteur \((-1)^n\) — est un défaut : les démonstrations admises ci-dessus reposent de manière critique sur la positivité (la somme partielle d'une série à termes positifs est croissante, ce qui permet d'appliquer le théorème de la limite monotone). Dans le cas de signe mixte, les équivalents et négligeabilités de Comparaison asymptotique ne « préservent » pas la nature de la série : il existe des couples \((u_n), (v_n)\) avec \(u_n / v_n \to 1\) tels que \(\sum u_k\) converge et \(\sum v_k\) diverge, mais leur construction sort du cadre de ce programme (elle utilise un argument sur les séries alternées). Deux conséquences pratiques : premièrement, ne jamais appliquer le critère par équivalence à \(u_n \sim (-1)^n / n^\alpha\) ou à un équivalent de signe mixte similaire — le critère est muet. Deuxièmement, la voie pour les séries de signe quelconque est la convergence absolue (section 4).
Méthode — Décider la nature d'une série à termes positifs par comparaison
Pour décider la nature de \(\sum u_k\) quand \(u_n \ge 0\) à partir d'un certain rang : - Vérifier que le terme général est de signe constant à partir d'un certain rang. Sinon, passer au section 4.
- Trouver le comportement dominant de \(u_n\) quand \(n \to +\infty\) en utilisant les outils de Comparaison asymptotique (factoriser le terme dominant, croissances comparées).
- Comparer avec une série de référence : typiquement Riemann \(\sum 1/n^\alpha\) (pour les termes en \(1/n^\alpha\)), géométrique \(\sum q^k\) (pour les termes en \(q^n\)), exponentielle \(\sum 1/k!\) (pour les termes faisant intervenir \(k!\) au dénominateur).
- Appliquer le critère d'équivalence (préféré — le plus court), de négligeabilité, ou d'inégalité.
Exemple
Déterminer la nature de \(\sum_{n \ge 1} 1/(n^2 + 1)\).
Le terme général \(1/(n^2 + 1)\) est positif pour \(n \ge 1\). Calculons son équivalent : \(1/(n^2 + 1) \sim 1/n^2\) (factoriser \(n^2\) au dénominateur, le facteur \(1 + 1/n^2 \to 1\)). Les deux côtés sont positifs. La série de Riemann \(\sum 1/n^2\) converge (\(\alpha = 2 > 1\)), donc par le critère d'équivalence, \(\sum 1/(n^2 + 1)\) converge.
Exemple
Déterminer la nature de \(\sum_{n \ge 1} \ln(1 + 1/n^2)\).
Pour \(n \ge 1\), \(1/n^2 > 0\), donc \(\ln(1 + 1/n^2) > 0\) : série à termes positifs. Par l'équivalent \(\ln(1 + x) \sim x\) en \(0\) (rappelé de Comparaison asymptotique), avec \(x = 1/n^2 \to 0\), \(\ln(1 + 1/n^2) \sim 1/n^2\). Les deux côtés sont positifs ; \(\sum 1/n^2\) converge (Riemann \(\alpha = 2\)) ; la série converge.
Exemple
Déterminer la nature de \(\sum_{n \ge 1} 1/\sqrt{n^2 + n}\).
Pour \(n \ge 1\), \(1/\sqrt{n^2 + n} > 0\) : série à termes positifs. Factorisons \(n^2\) sous la racine : $$\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{1}{n \sqrt{1 + 1/n}} \sim \frac{1}{n}$$ (par \(\sqrt{1 + 1/n} \to 1\), rappelé de Comparaison asymptotique via la continuité de \(\sqrt{\cdot}\) en \(1\)). Les deux côtés sont positifs. La série harmonique \(\sum 1/n\) diverge (Riemann \(\alpha = 1\)) ; donc \(\sum 1/\sqrt{n^2 + n}\) diverge par le critère d'équivalence.
Compétences à pratiquer
- Appliquer le critère d'équivalence
- Appliquer le critère de négligeabilité
- Appliquer le critère d'inégalité
- Choisir la bonne série de référence
IV
Convergence absolue
IV.1
Définition ; la convergence absolue implique la convergence
Pour les séries dont le terme général est de signe non constant, les critères de comparaison ne s'appliquent pas. Le filet de sécurité est la convergence absolue : passer de \(\sum u_k\) à \(\sum |u_k|\), qui est une série à termes positifs et relève du section 3. Le théorème de ce paragraphe garantit que si \(\sum |u_k|\) converge, alors \(\sum u_k\) converge aussi.
Définition — Convergence absolue
Une série \(\sum u_k\) est absolument convergente lorsque la série à termes positifs \(\sum |u_k|\) converge. Exemple
La série \(\sum_{k \ge 0} (-1)^k / 2^k\) est absolument convergente : \(|(-1)^k / 2^k| = 1/2^k\), et \(\sum 1/2^k\) converge (géométrique de raison \(q = 1/2\), \(|q| < 1\)). Exemple — Une série qui converge sans converger absolument
La série \(\sum_{k \ge 1} (-1)^k / k\) (« série harmonique alternée ») n'est pas absolument convergente : \(|(-1)^k / k| = 1/k\), et \(\sum 1/k\) est la série harmonique divergente. La série elle-même converge (sa somme vaut \(-\ln 2\)) ; on admet cette convergence à ce stade, la preuve standard utilisant le critère des séries alternées hors programme. La notion de « convergence sans convergence absolue » est nommée ci-dessous. Proposition — La convergence absolue implique la convergence
Si une série \(\sum u_k\) est absolument convergente, alors elle est convergente.
On définit la partie positive et la partie négative de \(u_n\) : $$u_n^+ = \max(u_n, 0) \ge 0, \qquad u_n^- = \max(-u_n, 0) \ge 0.$$ Alors \(u_n^+, u_n^- \ge 0\) et les deux identités $$|u_n| = u_n^+ + u_n^-, \qquad u_n = u_n^+ - u_n^-$$ sont vraies pour tout \(n\) (vérifier suivant le signe de \(u_n\) : si \(u_n \ge 0\) alors \(u_n^+ = u_n\) et \(u_n^- = 0\) ; si \(u_n < 0\) alors \(u_n^+ = 0\) et \(u_n^- = -u_n\)). De \(u_n^+ \ge 0\) et \(u_n^+ \le u_n^+ + u_n^- = |u_n|\), on a $$0 \le u_n^+ \le |u_n|.$$ De même, \(0 \le u_n^- \le |u_n|\).
- Par le critère de comparaison par inégalité (Critères de comparaison pour les séries à termes positifs) appliqué aux deux séries à termes positifs \(\sum u_k^+\) et \(\sum u_k^-\) et à la référence convergente \(\sum |u_k|\) (convergente par hypothèse), \(\sum u_k^+\) et \(\sum u_k^-\) convergent toutes deux.
- Par la linéarité des séries convergentes (Condition nécessaire et combinaisons linéaires), \(\sum u_k = \sum (u_k^+ - u_k^-) = \sum u_k^+ - \sum u_k^-\) converge.
Interprétation : convergence absolue comme différence de séries à termes positifs
La démonstration donne plus que l'énoncé : toute série absolument convergente \(\sum u_k\) est la différence de deux séries à termes positifs convergentes, à savoir \(\sum u_k^+\) et \(\sum u_k^-\). C'est le miroir du fait élémentaire que tout réel est la différence de deux réels positifs ou nuls (ses parties positive et négative) ; et de même, toute fonction continue sur un intervalle est la différence de deux fonctions continues positives sur cet intervalle. Concrètement, cette décomposition est le socle utilisé dans Variables aléatoires discrètes et Couples de variables aléatoires discrètes pour définir l'espérance \(E(X) = \sum k \,P(X = k)\) lorsque le support est infini : la convergence absolue de \(\sum |k| \,P(X = k)\) garantit une valeur finie sans ambiguïté de l'espérance, indépendante de tout réarrangement de l'indexation.
Définition — Semi-convergence
Une série \(\sum u_k\) est dite semi-convergente lorsqu'elle converge mais n'est pas absolument convergente. Cette notion est introduite uniquement comme vocabulaire ; les séries semi-convergentes ne sont pas étudiées opérationnellement dans ce cours (aucun critère ne permet de les détecter dans le cadre du programme). Exemple
La série harmonique alternée \(\sum_{k \ge 1} (-1)^k / k\) est semi-convergente : elle converge (somme \(-\ln 2\), convergence admise à ce stade), mais \(\sum 1/k\) diverge (harmonique), donc la série des valeurs absolues diverge. En revanche, la série \(\sum (-1)^k / k^2\) est absolument convergente (et non simplement semi-convergente), puisque \(\sum 1/k^2\) converge (Riemann \(\alpha = 2\)).
La réciproque est FAUSSE
Crucial. La réciproque de « la convergence absolue implique la convergence » est fausse. La série harmonique alternée \(\sum_{k \ge 1} (-1)^k / k\) converge (somme \(-\ln 2\), convergence admise à ce stade) sans être absolument convergente (puisque \(\sum 1/k\) diverge). C'est donc une série semi-convergente, au sens de la définition que l'on vient de poser. Le critère de convergence absolue est donc une condition suffisante, et non nécessaire, de convergence.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la convergence absolue
- Lire la définition
- Conclure la convergence à partir de la convergence absolue
IV.2
Utilisation pratique — ramener la question à une série à termes positifs
La leçon pratique du Définition ; la convergence absolue implique la convergence est opérationnelle : toute étude de nature d'une série de terme général de signe variable commence par examiner \(\sum |u_k|\). Si la série des valeurs absolues converge, l'originale converge. Si la série des valeurs absolues diverge, le critère est sans conclusion — il faut un autre argument.
Méthode — Décider la nature par la convergence absolue
Pour une série \(\sum u_k\) de terme général de signe variable : - Vérifier d'abord la condition nécessaire (Condition nécessaire et combinaisons linéaires) : a-t-on \(u_n \to 0\) ? Sinon, la série diverge grossièrement — aucun test supplémentaire n'est nécessaire.
- Si \(u_n \to 0\), calculer \(|u_n|\).
- Appliquer un critère de comparaison du Critères de comparaison pour les séries à termes positifs à la série à termes positifs \(\sum |u_k|\).
- Si \(\sum |u_k|\) converge, conclure que \(\sum u_k\) converge (absolument, donc en particulier).
- Si \(\sum |u_k|\) diverge, le critère de convergence absolue est sans conclusion : \(\sum u_k\) peut encore converger (semi-convergence), mais un autre argument est nécessaire — somme partielle explicite, télescopage, ou technique plus fine hors programme.
Exemple
Déterminer la nature de \(\sum_{n \ge 1} \cos(n) / n^2\).
On examine la série des valeurs absolues : $$\left| \frac{\cos(n)}{n^2} \right| = \frac{|\cos(n)|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}.$$ La série à termes positifs \(\sum 1/n^2\) converge (Riemann \(\alpha = 2 > 1\)). Par le critère de comparaison par inégalité, \(\sum |\cos(n)/n^2|\) converge, c'est-à-dire \(\sum \cos(n)/n^2\) est absolument convergente. Donc \(\sum \cos(n)/n^2\) converge.
Exemple
Déterminer la nature de \(\sum_{n \ge 0} (-1)^n / 2^n\).
\(|(-1)^n / 2^n| = 1/2^n\), et \(\sum 1/2^n\) est une série géométrique convergente (\(q = 1/2\), \(|q| < 1\)). Donc \(\sum (-1)^n / 2^n\) est absolument convergente, donc convergente. (Calcul direct : la série est elle-même géométrique de raison \(q = -1/2\), \(|q| = 1/2 < 1\), de somme \(1/(1 - (-1/2)) = 2/3\).)
Pour aller plus loin
Le chapitre Variables aléatoires discrètes réutilise la convergence absolue pour définir l'espérance d'une variable aléatoire discrète à support infini ; le chapitre Couples de variables aléatoires discrètes l'étend aux sommes doubles de la forme \(\sum_i \sum_j a_{i,j}\). Le chapitre Intégrales généralisées développe l'analogue fonctionnel : les intégrales sur un intervalle non borné convergent par une comparaison analogue, avec \(\sum u_n\) remplacé par \(\int_0^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d}t\). La série de Riemann y réapparaît comme l'intégrale \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t / t^\alpha\), avec le même seuil \(\alpha = 1\). La démonstration de la somme exponentielle \(e^x = \sum x^k / k!\) utilise l'inégalité de Taylor, établie dans Formules de Taylor et développements limités.
Compétences à pratiquer
- Décider la nature par la convergence absolue
- Combiner la convergence absolue avec le critère d'inégalité
- Lire les limites du critère absolu
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de synthèse
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