Fonctions usuelles

Soient \(\varepsilon \in \{1, -1\}\) et \(\sigma_\varepsilon(x, y) = (-x, \varepsilon y)\) : \(\sigma_1\) est la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et \(\sigma_{-1}\) la symétrie par rapport à l'origine, et \(\sigma_\varepsilon \circ \sigma_\varepsilon = \mathrm{Id}\). Si \(\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f\), alors \(\Gamma_f = \sigma_\varepsilon\big(\sigma_\varepsilon(\Gamma_f)\big) \subset \sigma_\varepsilon(\Gamma_f)\), donc \(\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) = \Gamma_f\) : l'invariance de \(\Gamma_f\) équivaut à l'inclusion \(\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f\). On utilise qu'un point \((u, v)\) est sur \(\Gamma_f\) exactement lorsque \(u \in E\) et \(v = f(u)\). Les deux premiers points sont les deux cas d'une même équivalence, $$ \forall x \in E, \ f(-x) = \varepsilon f(x) \iff \sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f, $$ avec \(\varepsilon = 1\) pour les fonctions paires et \(\varepsilon = -1\) pour les fonctions impaires.
(\(\Rightarrow\)) Supposons que \(f(-x) = \varepsilon f(x)\) pour tout \(x \in E\), et soit \((x, y) \in \Gamma_f\), donc \(x \in E\) et \(y = f(x)\). Alors \(-x \in E\) et \(f(-x) = \varepsilon f(x) = \varepsilon y\), donc \(\sigma_\varepsilon(x, y) = (-x, \varepsilon y) \in \Gamma_f\). (\(\Leftarrow\)) Supposons \(\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f\) et soit \(x \in E\). Le point \((x, f(x))\) est sur \(\Gamma_f\), donc \(\sigma_\varepsilon\big(x, f(x)\big) = \big(-x, \varepsilon f(x)\big)\) est sur \(\Gamma_f\), c'est-à-dire \(f(-x) = \varepsilon f(x)\).
La valeur en \(0\). Si \(0 \in E\) et si \(f\) est impaire, alors prendre \(x = 0\) dans \(f(-x) = -f(x)\) donne \(f(0) = -f(0)\), donc \(2f(0) = 0\) et \(f(0) = 0\).

Soit \(x \in E\) ; par la définition de \(\varepsilon_f\) et de \(\varepsilon_g\), \(f(-x) = \varepsilon_f f(x)\) et \(g(-x) = \varepsilon_g g(x)\), avec \(\varepsilon_f, \varepsilon_g \in \{1, -1\}\).
Produit. $$ \begin{aligned} (fg)(-x) &= f(-x) \, g(-x) && \text{(définition du produit)} \\ &= \varepsilon_f f(x) \, \varepsilon_g g(x) && \text{(parité de \(f\) et de \(g\))} \\ &= \varepsilon_f \varepsilon_g \, (fg)(x), \end{aligned} $$ donc \(fg\) est paire si \(\varepsilon_f \varepsilon_g = 1\) et impaire si \(\varepsilon_f \varepsilon_g = -1\).
Quotient. Si \(g(x) \ne 0\), alors \(g(-x) = \varepsilon_g g(x) \ne 0\) : l'ensemble où \(g\) ne s'annule pas est symétrique par rapport à \(0\). Pour un tel \(x\), $$ \begin{aligned} \frac{f}{g}(-x) &= \frac{f(-x)}{g(-x)} && \text{(définition du quotient)} \\ &= \frac{\varepsilon_f f(x)}{\varepsilon_g g(x)} && \text{(parité de \(f\) et de \(g\))} \\ &= \varepsilon_f \varepsilon_g \, \frac{f}{g}(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{1}{\varepsilon_g} = \varepsilon_g\).
Somme. Si \(\varepsilon_f = \varepsilon_g = \varepsilon\), $$ \begin{aligned} (f + g)(-x) &= f(-x) + g(-x) && \text{(définition de la somme)} \\ &= \varepsilon f(x) + \varepsilon g(x) && \text{(parité de \(f\) et de \(g\))} \\ &= \varepsilon \, (f + g)(x). \end{aligned} $$ Si \(f\) est paire et \(g\) impaire, alors \((f + g)(-x) = f(x) - g(x)\), qui est égal à \((f + g)(x)\) pour tout \(x\) si et seulement si \(g = 0\), et à \(-(f + g)(x)\) pour tout \(x\) si et seulement si \(f = 0\) ; l'autre cas est le même, la somme étant commutative. Donc la somme n'est en général ni paire ni impaire : elle n'est l'une des deux que si \(f\) ou \(g\) est la fonction nulle, la seule fonction à la fois paire et impaire. Par exemple \(x \mapsto 1 + x\), somme de la fonction paire \(x \mapsto 1\) et de la fonction impaire \(x \mapsto x\), prend la valeur \(2\) en \(1\) et la valeur \(0\) en \(-1\), et \(0 \ne 2\), \(0 \ne -2\).
Composée. Le nombre \(f(-x) = \varepsilon_f f(x)\) est dans \(F\), car \(F\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(f(x) \in F\), donc $$ \begin{aligned} (h \circ f)(-x) &= h\big(f(-x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= h\big(\varepsilon_f f(x)\big), \end{aligned} $$ la dernière étape par la parité de \(f\). Si \(f\) est paire, \(\varepsilon_f = 1\) et c'est \(h\big(f(x)\big) = (h \circ f)(x)\) : \(h \circ f\) est paire. Si \(f\) est impaire, c'est \(h\big(-f(x)\big) = \varepsilon_h \, h\big(f(x)\big) = \varepsilon_h \, (h \circ f)(x)\), où \(\varepsilon_h\) est défini pour \(h\) comme \(\varepsilon_f\) l'est pour \(f\) : \(h \circ f\) a la parité de \(h\).
Seconde démonstration : les cas. Pour le produit et la somme, les deux parités de \(f\) et de \(g\) donnent quatre cas, qui couvrent toutes les possibilités. Toutes deux paires : \((fg)(-x) = f(x) \, g(x)\) et \((f + g)(-x) = f(x) + g(x)\), donc \(fg\) et \(f + g\) sont paires. Toutes deux impaires : \((fg)(-x) = \big(-f(x)\big)\big(-g(x)\big) = (fg)(x)\), donc \(fg\) est paire, et \((f + g)(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x)\), donc \(f + g\) est impaire. L'une paire et l'autre impaire : \((fg)(-x) = f(x)\big(-g(x)\big) = -(fg)(x)\) ou \(\big(-f(x)\big) g(x) = -(fg)(x)\), donc \(fg\) est impaire ; la somme n'est en général ni paire ni impaire, comme l'a montré la première démonstration avec \(x \mapsto 1 + x\). Les résultats sont rassemblés dans le tableau.

\(f\)	\(g\)	\(f + g\)	\(fg\)
paire	paire	paire	paire
paire	impaire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	paire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	impaire	impaire	paire

On démontre l'existence et l'unicité par analyse et synthèse.
Analyse. Supposons que \(f = p + i\) avec \(p\) paire et \(i\) impaire, et soit \(x \in E\). Alors \(-x \in E\), et $$ \begin{aligned} f(x) &= p(x) + i(x), \\ f(-x) &= p(-x) + i(-x) && \text{(\(f = p + i\) au point \(-x\))} \\ &= p(x) - i(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(p\) est paire et \(i\) impaire. En additionnant les deux égalités on obtient \(f(x) + f(-x) = 2p(x)\), et en les soustrayant \(f(x) - f(-x) = 2i(x)\). Donc \(p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}\) et \(i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}\) pour tout \(x \in E\) : le couple \((p, i)\) est déterminé par \(f\), ce qui démontre l'unicité.
Synthèse. Définissons \(p\) et \(i\) par ces deux formules. Pour \(x \in E\), $$ \begin{aligned} p(-x) &= \frac{f(-x) + f(x)}{2} && \text{(définition de \(p\) en \(-x\))} \\ &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} && \text{(commutativité de la somme)} \\ &= p(x), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} i(-x) &= \frac{f(-x) - f(x)}{2} && \text{(définition de \(i\) en \(-x\))} \\ &= -\frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(mise en facteur de \(-1\))} \\ &= -i(x), \end{aligned} $$ donc \(p\) est paire et \(i\) est impaire. De plus $$ \begin{aligned} p(x) + i(x) &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(définitions)} \\ &= \frac{2f(x)}{2} && \text{(les termes \(f(-x)\) se simplifient)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ donc \(f = p + i\) : le couple existe.
Seconde démonstration de l'unicité : une fonction paire et impaire est nulle. L'existence est la synthèse de la première démonstration. Soient \((p, i)\) et \((p', i')\) deux couples avec \(f = p + i = p' + i'\). Alors \(h = p - p' = i' - i\). La fonction \(h = p - p'\) est paire, comme différence de deux fonctions paires, et \(h = i' - i\) est impaire, comme différence de deux fonctions impaires. Pour tout \(x \in E\) cela donne \(h(x) = h(-x) = -h(x)\), donc \(2h(x) = 0\) : \(h = 0\). Donc \(p = p'\) et \(i = i'\).

Soient \(y \in F\) et \(x = f^{-1}(y) \in E\), de sorte que \(y = f(x)\). Alors \(-x \in E\), et, \(f\) étant impaire, \(f(-x) = -f(x) = -y\). Donc \(-y = f(-x)\) appartient à \(F\) : l'ensemble \(F\) est symétrique par rapport à \(0\). De plus $$ \begin{aligned} f^{-1}(-y) &= f^{-1}\big(f(-x)\big) && \text{(\(-y = f(-x)\))} \\ &= -x && \text{(\(f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E\))} \\ &= -f^{-1}(y), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x = f^{-1}(y)\). Cela vaut pour tout \(y \in F\) : \(f^{-1}\) est impaire.

Soit \(H\) l'ensemble des réels \(t\) tels que, pour tout \(x \in E\), \(x + t \in E\), \(x - t \in E\) et \(f(x + t) = f(x)\). Par hypothèse \(T \in H\), et \(0 \in H\). L'ensemble \(H\) est stable par opposé et par somme : c'est un sous-groupe additif de \(\mathbb{R}\).
Opposé. Soient \(t \in H\) et \(x \in E\). Alors \(x - t \in E\) et \(x + t \in E\), et, \(t\) étant dans \(H\) au point \(x - t \in E\), \(f(x) = f\big((x - t) + t\big) = f(x - t)\). Donc \(-t \in H\).
Somme. Soient \(s, t \in H\) et \(x \in E\). Alors \(x + t \in E\), donc \(x + t + s \in E\) ; \(x - t \in E\), donc \(x - t - s \in E\) ; et $$ \begin{aligned} f\big(x + (t + s)\big) &= f\big((x + t) + s\big) && \text{(associativité de l'addition)} \\ &= f(x + t) && \text{(\(s \in H\), au point \(x + t \in E\))} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(t \in H\). Donc \(t + s \in H\).
Premier point. Par récurrence sur \(k \in \mathbb{N}\), \(kT \in H\) : c'est vrai pour \(k = 0\), et \(kT \in H\) donne \((k + 1)T = kT + T \in H\) par la somme. Pour \(k < 0\), \(kT = -\big((-k)T\big) \in H\) par l'opposé. Donc, pour tout \(k \in \mathbb{Z}\) et tout \(x \in E\), \(x + kT \in E\) et \(f(x + kT) = f(x)\).
Deuxième point. Soit \(k \in \mathbb{N}^*\). Alors \(kT > 0\) et \(kT \in H\) : l'ensemble \(E\) est \(kT\)-périodique et \(f(x + kT) = f(x)\) pour \(x \in E\), donc \(kT\) est une période de \(f\).
Troisième point. Soit \(T' > T\) une période de \(f\), de sorte que \(E\) est aussi \(T'\)-périodique : \(T' \in H\). Comme \(-T \in H\), \(T' - T = T' + (-T) \in H\), et \(T' - T > 0\) : c'est une période de \(f\).

Soit \(x \in E\).
Somme, produit, quotient. $$ \begin{aligned} (f + g)(x + T) &= f(x + T) + g(x + T) && \text{(définition de la somme)} \\ &= f(x) + g(x) && \text{(\(f\) et \(g\) sont \(T\)-périodiques)} \\ &= (f + g)(x). \end{aligned} $$ La même chaîne donne $$ \begin{aligned} (fg)(x + T) &= f(x + T) \, g(x + T) && \text{(définition du produit)} \\ &= f(x) \, g(x) && \text{(\(f\) et \(g\) sont \(T\)-périodiques)} \\ &= (fg)(x), \end{aligned} $$ et, si \(g\) ne s'annule pas sur \(E\), $$ \begin{aligned} \frac{f}{g}(x + T) &= \frac{f(x + T)}{g(x + T)} && \text{(définition du quotient)} \\ &= \frac{f(x)}{g(x)} && \text{(\(f\) et \(g\) sont \(T\)-périodiques)} \\ &= \frac{f}{g}(x). \end{aligned} $$ Composée. $$ \begin{aligned} (h \circ f)(x + T) &= h\big(f(x + T)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= h\big(f(x)\big) && \text{(\(f\) est \(T\)-périodique)} \\ &= (h \circ f)(x). \end{aligned} $$ Dilatation. Soient \(\omega \ne 0\), \(\eta = \frac{\omega}{\lvert \omega \rvert} \in \{1, -1\}\), et \(\varphi(x) = f(\omega x)\) sur \(E_\omega\). Pour \(x \in E_\omega\), \(\omega x \in E\), donc \(\omega x + \eta T \in E\) et \(\omega x - \eta T \in E\), car \(E\) est \(T\)-périodique ; ce sont \(\omega \big(x + \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\big)\) et \(\omega \big(x - \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\big)\), donc \(x \pm \frac{T}{\lvert \omega \rvert} \in E_\omega\) : l'ensemble \(E_\omega\) est \(\frac{T}{\lvert \omega \rvert}\)-périodique. Alors $$ \begin{aligned} \varphi\Big(x + \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\Big) &= f\Big(\omega x + \omega \, \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\Big) && \text{(définition de \(\varphi\))} \\ &= f(\omega x + \eta T) && \text{(\(\omega / \lvert \omega \rvert = \eta\))} \\ &= f(\omega x) && \text{(\(f(y + kT) = f(y)\) pour \(k \in \mathbb{Z}\), ici \(k = \eta\))} \\ &= \varphi(x). \end{aligned} $$ L'avant-dernière étape est la Proposition « Périodes d'une fonction » pour \(k = 1\) si \(\omega > 0\) et \(k = -1\) si \(\omega < 0\).

De \(\frac{T}{T'} = \frac{p}{q}\) on tire \(qT = pT'\). Par la Proposition « Périodes d'une fonction », \(qT\), multiple de la période \(T\) de \(f\), est une période de \(f\), et \(pT' = qT\), multiple de la période \(T'\) de \(g\), est une période de \(g\). Donc \(f\) et \(g\) sont toutes deux \(qT\)-périodiques, sur l'ensemble \(qT\)-périodique \(E\), et la Proposition « Opérations sur les fonctions périodiques » montre que \(f + g\) et \(fg\) sont \(qT\)-périodiques.

Soit \(t_k\) la translation de vecteur \(kT\,\vec{\imath}\), \(t_k(x, y) = (x + kT, y)\).
Invariance. Soit \((x, y) \in \Gamma_f\), donc \(x \in E\) et \(y = f(x)\). Par la Proposition « Périodes d'une fonction », \(x + kT \in E\) et \(f(x + kT) = f(x) = y\), donc \(t_k(x, y) = (x + kT, y) \in \Gamma_f\). Ainsi \(t_k(\Gamma_f) \subset \Gamma_f\) pour tout \(k \in \mathbb{Z}\) ; appliqué à \(-k\), cela donne \(t_{-k}(\Gamma_f) \subset \Gamma_f\), donc \(\Gamma_f = t_k\big(t_{-k}(\Gamma_f)\big) \subset t_k(\Gamma_f)\), et \(t_k(\Gamma_f) = \Gamma_f\).
La réunion. Comme \(\Gamma_0 \subset \Gamma_f\), l'invariance donne \(t_k(\Gamma_0) \subset t_k(\Gamma_f) = \Gamma_f\) pour tout \(k\) : la réunion des translatés de \(\Gamma_0\) est contenue dans \(\Gamma_f\). Réciproquement soient \((x, y) \in \Gamma_f\) et \(k = \big\lfloor \frac{x - a}{T} \big\rfloor\). Par la définition de la partie entière, \(k \le \frac{x - a}{T} < k + 1\), c'est-à-dire \(a \le x - kT < a + T\). Posons \(r = x - kT\) : alors \(r \in E\) par la Proposition « Périodes d'une fonction », \(r \in [a, a + T[\), et \(f(r) = f(x) = y\). Donc \((r, y) \in \Gamma_0\), et \((x, y) = t_k(r, y)\) appartient au translaté \(t_k(\Gamma_0)\). Donc \(\Gamma_f\) est la réunion des translatés de \(\Gamma_0\). La dernière phrase est ce qu'a montré le calcul de \(k\) et de \(r\).

Montrons la lecture contraposée de l'injectivité : pour \(x, x' \in D\), \(x \ne x' \Rightarrow f(x) \ne f(x')\). Soient \(x, x' \in D\) avec \(x \ne x'\). Par trichotomie, \(x < x'\) ou \(x' < x\), le cas \(x = x'\) étant exclu ; l'énoncé est symétrique en \(x\) et \(x'\), donc, quitte à échanger leurs noms, on peut supposer \(x < x'\). Si \(f\) est strictement croissante, alors \(f(x) < f(x')\) ; si \(f\) est strictement décroissante, alors \(f(x) > f(x')\). Dans les deux cas, les deux images sont strictement ordonnées, donc \(f(x) \ne f(x')\). Puisque nous avons prouvé la contraposée, \(f\) est injective.
Seconde démonstration : le cas croissant, puis \(-f\). Supposons d'abord \(f\) strictement croissante, et soient \(x, x' \in D\) tels que \(f(x) = f(x')\). Si \(x < x'\), alors \(f(x) < f(x')\) ; si \(x' < x\), alors \(f(x') < f(x)\) ; les deux contredisent \(f(x) = f(x')\). Par trichotomie, \(x = x'\) : \(f\) est injective. Supposons maintenant \(f\) strictement décroissante. L'application \(-f \colon D \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto -f(x)\) est strictement croissante, puisque \(x < x'\) donne \(f(x) > f(x')\), c'est-à-dire \(-f(x) < -f(x')\) ; par le premier cas, elle est injective. Pour \(x, x' \in D\), \(f(x) = f(x') \iff -f(x) = -f(x')\), donc deux éléments qui ont la même image par \(f\) ont la même image par \(-f\), et ils sont égaux : \(f\) est injective.

Supposons \(f\) croissante sur \(I\) et sur \(J\), et soient \(x, y \in E\) avec \(x \le y\). On distingue trois cas, qui couvrent toutes les possibilités.

• \(y \le a\). Alors \(x \le y \le a\), donc \(x\) et \(y\) appartiennent à \(I\), et \(f(x) \le f(y)\) parce que \(f\) est croissante sur \(I\).
• \(x \ge a\). Alors \(a \le x \le y\), donc \(x\) et \(y\) appartiennent à \(J\), et \(f(x) \le f(y)\) parce que \(f\) est croissante sur \(J\).
• \(x < a < y\). Alors \(x, a \in I\) avec \(x \le a\), donc \(f(x) \le f(a)\), et \(a, y \in J\) avec \(a \le y\), donc \(f(a) \le f(y)\). Donc \(f(x) \le f(a) \le f(y)\).

Dans chaque cas \(f(x) \le f(y)\) : \(f\) est croissante sur \(E\). Pour la monotonie stricte, prendre \(x < y\) et remplacer chaque \(\le\) entre valeurs par \(<\) ; dans le troisième cas \(x < a < y\) donne \(f(x) < f(a) < f(y)\). Pour les cas décroissants, renverser les inégalités entre valeurs.

Soient \(x, y \in E\) avec \(x \le y\) ; pour les énoncés stricts, avec \(x < y\).
Somme. Soient \(f\) et \(g\) croissantes. $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le f(y) + g(y) && \text{(addition de \(f(x) \le f(y)\) et \(g(x) \le g(y)\))} \\ &= (f + g)(y). \end{aligned} $$ Si \(f\) est strictement croissante et \(x < y\), alors \(f(x) < f(y)\), et la même chaîne donne \((f + g)(x) < (f + g)(y)\). Pour des fonctions décroissantes, renverser les inégalités entre valeurs.
Multiple. Soit \(f\) croissante, de sorte que \(f(x) \le f(y)\). Multiplier par \(\lambda \ge 0\) conserve l'inégalité, \(\lambda f(x) \le \lambda f(y)\), et multiplier par \(\lambda \le 0\) la renverse, \(\lambda f(x) \ge \lambda f(y)\). Pour \(f\) décroissante, les rôles sont échangés. Si \(f\) est strictement monotone et \(\lambda \ne 0\), la multiplication par \(\lambda\) conserve ou renverse une inégalité stricte.
Produit. Soient \(f, g \ge 0\) croissantes. $$ \begin{aligned} (fg)(x) &= f(x) \, g(x) && \text{(définition du produit)} \\ &\le f(y) \, g(x) && \text{(\(f(x) \le f(y)\), multipliée par \(g(x) \ge 0\))} \\ &\le f(y) \, g(y) && \text{(\(g(x) \le g(y)\), multipliée par \(f(y) \ge f(x) \ge 0\))} \\ &= (fg)(y). \end{aligned} $$ Soient maintenant \(f, g \ge 0\) décroissantes, de sorte que \(0 \le f(y) \le f(x)\) et \(0 \le g(y) \le g(x)\) : ce sont les hypothèses de la chaîne précédente en échangeant \(x\) et \(y\), donc la même chaîne donne \((fg)(y) \le (fg)(x)\), et \(fg\) est décroissante. Le contre-exemple : \(x \mapsto x\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(-1 < 0\) mais \((-1)^2 = 1 > 0 = 0^2\), donc \(x \mapsto x^2\) n'est pas croissante.
Inverse. Soit \(f > 0\) croissante, de sorte que \(0 < f(x) \le f(y)\). $$ \begin{aligned} \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(y)} &= \frac{f(y) - f(x)}{f(x) \, f(y)} && \text{(même dénominateur)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le numérateur \(f(y) - f(x)\) est positif ou nul et que le dénominateur \(f(x) \, f(y)\) est strictement positif. Donc \(\frac{1}{f}\) est décroissante, et strictement si \(f(x) < f(y)\), le numérateur étant alors strictement positif. Si \(f > 0\) est décroissante, la même chaîne en échangeant \(x\) et \(y\) montre que \(\frac{1}{f}\) est croissante.

Compter les renversements. Pour \(\delta \in \{1, -1\}\) et \(u, v \in \mathbb{R}\), écrivons \(u \le_\delta v\) pour \(u \le v\) si \(\delta = 1\) et pour \(u \ge v\) si \(\delta = -1\). Soit \(\delta_f = 1\) si \(f\) est croissante et \(\delta_f = -1\) si \(f\) est décroissante, et de même \(\delta_g\) : pour \(x \le y\) dans \(E\), \(f(x) \le_{\delta_f} f(y)\), et pour \(u \le v\) dans \(F\), \(g(u) \le_{\delta_g} g(v)\). On affirme que $$ u \le_\delta v \ \Longrightarrow \ g(u) \le_{\delta \delta_g} g(v) \qquad (u, v \in F). $$ Pour \(\delta = 1\) c'est la définition de \(\delta_g\). Pour \(\delta = -1\) l'hypothèse est \(v \le u\), qui donne \(g(v) \le_{\delta_g} g(u)\), c'est-à-dire \(g(u) \le_{-\delta_g} g(v)\). Soient maintenant \(x \le y\) dans \(E\). En appliquant \(f\), puis l'affirmation à \(u = f(x)\) et \(v = f(y)\) avec \(\delta = \delta_f\), $$ x \le y \ \Longrightarrow \ f(x) \le_{\delta_f} f(y) \ \Longrightarrow \ g\big(f(x)\big) \le_{\delta_f \delta_g} g\big(f(y)\big). $$ Chaque fonction décroissante renverse l'ordre une fois, et deux renversements le rétablissent : \(g \circ f\) est croissante si \(\delta_f \delta_g = 1\), c'est-à-dire si \(f\) et \(g\) ont le même sens, et décroissante si \(\delta_f \delta_g = -1\). Le même argument avec des inégalités strictes donne l'énoncé strict.
Seconde démonstration : les quatre cas. Soient \(x \le y\) dans \(E\).

• \(f\) et \(g\) croissantes. \(f(x) \le f(y)\), donc \(g\big(f(x)\big) \le g\big(f(y)\big)\) : \(g \circ f\) est croissante.
• \(f\) croissante et \(g\) décroissante. \(f(x) \le f(y)\), donc \(g\big(f(x)\big) \ge g\big(f(y)\big)\) : \(g \circ f\) est décroissante.
• \(f\) décroissante et \(g\) croissante. \(f(x) \ge f(y)\), c'est-à-dire \(f(y) \le f(x)\), donc \(g\big(f(y)\big) \le g\big(f(x)\big)\) : \(g \circ f\) est décroissante.
• \(f\) et \(g\) décroissantes. \(f(y) \le f(x)\), donc \(g\big(f(y)\big) \ge g\big(f(x)\big)\), c'est-à-dire \(g\big(f(x)\big) \le g\big(f(y)\big)\) : \(g \circ f\) est croissante.

Pour les énoncés stricts, remplacer \(\le\) par \(<\) et \(\ge\) par \(>\) partout.

Première démonstration : la contraposée. Supposons \(f\) croissante. D'abord \(f\) est strictement croissante : pour \(x < y\) dans \(E\), \(f(x) \le f(y)\), et \(f(x) \ne f(y)\) car \(f\) est injective, donc \(f(x) < f(y)\). Soient maintenant \(y < y'\) dans \(F\), et \(x = f^{-1}(y)\), \(x' = f^{-1}(y')\). Montrons la contraposée : si \(x \ge x'\), alors \(y \ge y'\). Supposons que \(x \ge x'\). Comme \(f\) est croissante, \(f(x) \ge f(x')\), c'est-à-dire \(y \ge y'\). Puisque nous avons prouvé la contraposée, \(y < y'\) donne \(x < x'\), c'est-à-dire \(f^{-1}(y) < f^{-1}(y')\) : \(f^{-1}\) est strictement croissante. Supposons maintenant \(f\) décroissante. Alors \(-f \colon E \to -F\), avec \(-F = \{-y \mid y \in F\}\), est une bijection croissante, le multiple de \(f\) par \(-1\), donc, par le cas qui vient d'être démontré, \(-f\) est strictement croissante, ainsi que sa réciproque \((-f)^{-1} \colon -F \to E\) ; donc \(f\) est strictement décroissante. Pour \(y \in F\), \((-f)\big(f^{-1}(y)\big) = -y\), donc \(f^{-1}(y) = (-f)^{-1}(-y)\) : \(f^{-1}\) est la composée de \(y \mapsto -y\), strictement décroissante de \(F\) dans \(-F\), et de \((-f)^{-1}\), strictement croissante, donc elle est strictement décroissante par la Proposition « Composée de fonctions monotones ».
Seconde démonstration : l'ordre se reflète. D'abord \(f\) est strictement monotone : supposons \(f\) croissante ; pour \(x < y\) dans \(E\), \(f(x) \le f(y)\) et \(f(x) \ne f(y)\) car \(f\) est injective, donc \(f(x) < f(y)\) ; le cas décroissant est le même en renversant les inégalités. Ensuite, une fonction strictement croissante reflète l'ordre : si \(f(x) < f(x')\), alors \(x < x'\). En effet, par trichotomie \(x < x'\), \(x = x'\) ou \(x > x'\) ; l'égalité donnerait \(f(x) = f(x')\) et \(x > x'\) donnerait \(f(x) > f(x')\), et les deux contredisent \(f(x) < f(x')\). Pour une fonction strictement décroissante le même argument montre que \(f(x) < f(x')\) donne \(x > x'\). On l'applique à \(x = f^{-1}(y)\) et \(x' = f^{-1}(y')\), pour lesquels \(f(x) = y\) et \(f(x') = y'\) : si \(y < y'\), alors \(x < x'\) lorsque \(f\) est strictement croissante, et \(x > x'\) lorsque \(f\) est strictement décroissante. Donc \(f^{-1}\) est strictement monotone dans le sens de \(f\).

On démontre les trois énoncés du premier point par un cercle d'implications, \((1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)\) : (1) \(f\) est bornée ; (2) \(\exists K \ge 0, \ \forall x \in E, \ \lvert f(x) \rvert \le K\) ; (3) \(\lvert f \rvert\) est majorée.
\((1) \Rightarrow (2)\). Soit \(m \le f(x) \le M\) pour tout \(x \in E\), et \(K = \max\big(\lvert m \rvert, \lvert M \rvert\big) \ge 0\). Pour \(x \in E\), $$ \begin{aligned} -K &\le -\lvert m \rvert && \text{(\(\lvert m \rvert \le K\))} \\ &\le m && \text{(\(-\lvert m \rvert \le m\))} \\ &\le f(x) && \text{(\(m\) est un minorant)} \\ &\le M && \text{(\(M\) est un majorant)} \\ &\le \lvert M \rvert && \text{(\(M \le \lvert M \rvert\))} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\lvert M \rvert \le K\). Comme \(\lvert u \rvert \le K \iff -K \le u \le K\), cela donne \(\lvert f(x) \rvert \le K\).
\((2) \Rightarrow (3)\). Si \(\lvert f(x) \rvert \le K\) pour tout \(x\), alors \(K\) est un majorant de \(\lvert f \rvert\).
\((3) \Rightarrow (1)\). Si \(\lvert f(x) \rvert \le M'\) pour tout \(x\), alors \(-M' \le -\lvert f(x) \rvert \le f(x) \le \lvert f(x) \rvert \le M'\) : \(f\) est minorée par \(-M'\) et majorée par \(M'\).
Le second point. Pour \(x \in E\) et \(m \in \mathbb{R}\), \(f(x) \ge m \iff -f(x) \le -m\). Donc \(m\) est un minorant de \(f\) si et seulement si \(-m\) est un majorant de \(-f\), et \(f\) est minorée si et seulement si \(-f\) est majorée.

Somme. Soient \(f(x) \le M\) et \(g(x) \le M'\) pour tout \(x \in E\). Alors $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le M + M', \end{aligned} $$ la dernière étape additionnant les deux inégalités, donc \(f + g\) est majorée par \(M + M'\). La même chaîne avec \(\ge\) et des minorants donne le cas minoré, et les deux ensemble donnent le cas borné.
Produit et multiple. Soient \(\lvert f(x) \rvert \le K\) et \(\lvert g(x) \rvert \le K'\) pour tout \(x \in E\) (la Proposition « Fonction bornée et valeur absolue »). Alors $$ \begin{aligned} \lvert (fg)(x) \rvert &= \lvert f(x) \rvert \, \lvert g(x) \rvert && \text{(valeur absolue d'un produit)} \\ &\le K K', \end{aligned} $$ la dernière étape multipliant deux inégalités entre nombres positifs, et \(\lvert (\lambda f)(x) \rvert = \lvert \lambda \rvert \, \lvert f(x) \rvert \le \lvert \lambda \rvert K\) : \(fg\) et \(\lambda f\) sont bornées.
Inverse. Si \(\lvert f(x) \rvert \ge c > 0\) pour tout \(x\), alors \(f\) ne s'annule pas et $$ \Big\lvert \frac{1}{f(x)} \Big\rvert = \frac{1}{\lvert f(x) \rvert} \le \frac{1}{c}, $$ parce que \(\lvert f(x) \rvert \ge c > 0\) donne \(\frac{1}{\lvert f(x) \rvert} \le \frac{1}{c}\) : \(\frac{1}{f}\) est bornée.
Le contre-exemple. Sur \(\mathbb{R}_+\), \(-x \le 0\) et \(-x^2 \le 0\), et leur produit est \((-x)(-x^2) = x^3\). Pour \(M \in \mathbb{R}\), le nombre \(x = \lvert M \rvert + 1\) vérifie \(x^3 \ge x > M\), donc \(x \mapsto x^3\) n'est pas majorée.

Une idée traverse la démonstration : \(\sup_E f\) est le plus petit majorant de \(f\), donc il est au plus égal à tout majorant de \(f\).
Comparaison. Pour tout \(x \in E\), \(f(x) \le g(x) \le \sup_E g\), donc \(\sup_E g\) est un majorant de \(f\), et \(\sup_E f \le \sup_E g\).
Somme. Pour tout \(x \in E\), $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le \sup_E f + \sup_E g, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f(x) \le \sup_E f\) et \(g(x) \le \sup_E g\), donc \(\sup_E f + \sup_E g\) est un majorant de \(f + g\), et \(\sup_E (f + g) \le \sup_E f + \sup_E g\). L'inégalité peut être stricte : sur \([0, 1]\), pour \(f(x) = x\) et \(g(x) = -x\), \(f + g = 0\) a pour borne supérieure \(0\), alors que \(\sup f + \sup g = 1 + 0 = 1\).
Multiple, opposé et maximum. Ces trois énoncés sont les Propositions « Somme, multiple et opposé » et « Maximum et borne supérieure » du chapitre Nombres réels, appliquées à l'ensemble image \(A = f(E)\), qui est non vide car \(E \ne \emptyset\) et majoré car \(f\) l'est. En effet \((\lambda f)(E) = \lambda A\) et \((-f)(E) = -A\), et un maximum de \(f\) est un plus grand élément de \(A\). Pour \(\lambda > 0\), l'énoncé sur \(\sup(\lambda A)\) donne \(\sup_E (\lambda f) = \lambda \sup_E f\), et pour \(\lambda = 0\) les deux membres valent \(0\), puisque \(E \ne \emptyset\). L'énoncé sur \(\inf(-A)\) donne \(\inf_E (-f) = -\sup_E f\). La Proposition « Maximum et borne supérieure » donne \(\sup_E f = \max_E f\) lorsque \(f\) a un maximum, et le maximum lorsque \(\sup_E f\) est une valeur de \(f\).

\(\exp\), \(\ln\) : continuité, monotonie et limites aux extrémités font partie des rappels du lycée ; la preuve par dérivation apparaît dans Dérivation, la construction par séries entières dans Formules de Taylor et développements limités. \(x \mapsto x^\alpha\) : une fois \(\exp\) et \(\ln\) acquises, l'identité \(x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)\) donne les règles de calcul par substitution algébrique directe et par l'additivité de \(\exp\) sur son argument. La continuité de \(x \mapsto x^\alpha\) sur \(\,]0, +\infty[\) découle de la continuité de \(\exp\) sur \(\mathbb{R}\) et de \(\ln\) sur \(\,]0, +\infty[\) par la règle de la composée de Limites et continuité. Stricte monotonie : \(x \mapsto \alpha \ln x\) est strictement croissante (resp. décroissante) sur \(\,]0, +\infty[\) lorsque \(\alpha > 0\) (resp. \(\alpha < 0\)) car \(\ln\) est strictement croissante, et \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) — une composition préservant / inversant la monotonie donne le résultat ; le cas \(\alpha = 0\) donne la fonction constante \(1\). Limites aux extrémités : par limites de composées, \(\lim_{x \to 0^+} x^\alpha = \exp(\alpha \cdot (-\infty)) = 0\) si \(\alpha > 0\), \(+\infty\) si \(\alpha < 0\) ; \(\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = \exp(\alpha \cdot (+\infty))\), avec la lecture symétrique.

Admise à ce stade. Les preuves standards utilisent l'étude par dérivation de Dérivation ou les développements de Taylor de Formules de Taylor et développements limités ; l'intuition est qu'une exponentielle domine tout polynôme qui domine lui-même toute puissance d'un logarithme.

L'identité fondamentale est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de côtés \(\cos \theta\) et \(\sin \theta\) et d'hypoténuse le rayon unité du cercle. La parité vient de la symétrie du cercle unité par rapport à l'axe des abscisses (qui échange \(\theta\) et \(-\theta\) en inversant le signe de l'ordonnée \(\sin\)). La \(2\pi\)-périodicité est incluse dans la définition. Les bornes viennent de « un point du cercle unité a des coordonnées de module au plus \(1\) ». Les formules d'addition, la continuité et les variations sont toutes admises à ce stade ; les formules d'addition se déduisent d'un argument géométrique de rotation des axes sur le cercle unité (ou d'une identité d'exponentielle complexe) ; les variations se lisent directement sur l'abscisse et l'ordonnée du point mobile sur le cercle unité lorsque \(\theta\) parcourt l'intervalle correspondant — cette lecture géométrique est à la base du cadrage « Aucune autre formule n'est exigible » du programme. Une preuve par dérivation de la continuité et de ces variations apparaît au chapitre suivant, Dérivation.

La continuité découle des opérations sur les fonctions continues de Limites et continuité, appliquées au quotient \(\sin / \cos\) sur l'ouvert où \(\cos\) ne s'annule pas (admis comme conséquence). La parité et la \(\pi\)-périodicité sont directes à partir de la parité / périodicité de \(\sin\) et \(\cos\) via le quotient. La stricte croissance sur \(\,]-\pi/2, \pi/2[\,\) et les deux limites latérales \(\pm\infty\) sont admises à ce stade — les deux se lisent sur la description géométrique du cercle unité : lorsque \(\theta\) monte de \(0\) à \(\pi/2^-\), l'ordonnée \(\sin \theta\) monte jusqu'à \(1\) tandis que l'abscisse \(\cos \theta\) descend vers \(0^+\), donc le quotient \(\tan \theta\) monte vers \(+\infty\) ; lecture symétrique sur \(\,]-\pi/2, 0]\). Une preuve par dérivation apparaît dans Dérivation. Les autres branches héritent du même comportement par \(\pi\)-périodicité.

La parité, la positivité et l'inégalité triangulaire proviennent de Nombres réels. La limite en \(\pm\infty\) découle de \(|x| = x\) si \(x \ge 0\) (donc \(|x| \to +\infty\) lorsque \(x \to +\infty\)) et \(|x| = -x\) si \(x < 0\) (donc \(|x| \to +\infty\) lorsque \(x \to -\infty\)). Continuité : sur chaque demi-droite ouverte \(\,]0, +\infty[\) (resp. \(\,]-\infty, 0[\)), \(|\cdot|\) vaut l'identité \(x\) (resp. \(-x\)), donc est continue comme polynôme. En \(0\), \(\lim_{x \to 0^+} |x| = 0\) et \(\lim_{x \to 0^-} |x| = 0\), toutes deux égales à \(|0| = 0\), donc \(|\cdot|\) est continue en \(0\) par le lien bilatérale / latérales de Limites et continuité.

Croissance large. Soient \(x_1 \le x_2\) dans \(\mathbb{R}\), et notons \(n_i = \lfloor x_i \rfloor\). Alors \(n_1 \le x_1 \le x_2 < n_2 + 1\), soit \(n_1 < n_2 + 1\), soit \(n_1 \le n_2\). Donc \(\lfloor x_1 \rfloor \le \lfloor x_2 \rfloor\).
Covariance par translation. Soient \(x \in \mathbb{R}\), \(n = \lfloor x \rfloor\), donc \(n \le x < n + 1\). En ajoutant \(1\) aux trois membres : \(n + 1 \le x + 1 < n + 2\). Par l'unicité définissant \(\lfloor x + 1 \rfloor\), ceci signifie \(\lfloor x + 1 \rfloor = n + 1 = \lfloor x \rfloor + 1\).
Continuité. En \(x_0 \in \mathbb{Z}\) : pour \(x \in \,]x_0 - 1, x_0[\), \(\lfloor x \rfloor = x_0 - 1\), donc \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} \lfloor x \rfloor = x_0 - 1\). Pour \(x \in [x_0, x_0 + 1[\), \(\lfloor x \rfloor = x_0\), donc \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} \lfloor x \rfloor = x_0 = \lfloor x_0 \rfloor\). Les deux limites latérales diffèrent (\(x_0 - 1 \ne x_0\)), donc par le lien bilatérale / latérales de Limites et continuité, \(\lfloor \cdot \rfloor\) n'a pas de limite bilatérale en \(x_0\), elle n'y est donc pas continue. La limite à droite vaut \(\lfloor x_0 \rfloor\), donc \(\lfloor \cdot \rfloor\) est continue à droite en \(x_0\).
En \(x_0 \notin \mathbb{Z}\) : posons \(n = \lfloor x_0 \rfloor\), de sorte que \(n < x_0 < n + 1\). Sur l'intervalle ouvert \(\,]n, n+1[\) contenant \(x_0\), \(\lfloor x \rfloor = n\) est constante, donc continue en \(x_0\).

Admis à ce stade. La preuve standard construit la limite comme le sup (resp. l'inf) directement à partir de la définition de la monotonie, combinée à la caractérisation du supremum de Nombres réels.

Par dichotomie. On traite le cas \(f(a) \le y \le f(b)\) ; l'autre cas est symétrique. On construit deux suites \((a_n), (b_n)\) par \(a_0 = a\), \(b_0 = b\), et à chaque étape le milieu \(m_n = (a_n + b_n)/2\) : $$\text{si } f(m_n) \le y, \text{ on pose } a_{n+1} = m_n,\ b_{n+1} = b_n ; \quad \text{sinon } a_{n+1} = a_n,\ b_{n+1} = m_n.$$ Par construction : $$\begin{aligned} & f(a_n) \le y \le f(b_n) \quad \text{pour tout } n, \\ & (a_n) \text{ croissante dans } [a, b], \quad (b_n) \text{ décroissante dans } [a, b], \\ & b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \end{aligned}$$ Chacune de \((a_n)\) et \((b_n)\) est monotone et bornée dans \([a, b]\), donc convergente par le théorème de la limite monotone des suites de Suites : limites et convergence ; la troisième ligne impose une limite commune \(c \in [a, b]\). Par le lien séquentiel à sens unique de Limites et continuité appliqué à \(f\) continue en \(c\), $$f(a_n) \to f(c) \quad \text{et} \quad f(b_n) \to f(c).$$ Le passage à la limite dans \(f(a_n) \le y \le f(b_n)\) donne \(f(c) \le y \le f(c)\), donc \(f(c) = y\).

On démontre la caractérisation « convexe » des intervalles : si \(y_1, y_2 \in f(I)\) avec \(y_1 < y_2\) et \(y \in [y_1, y_2]\), alors \(y \in f(I)\). Écrivons \(y_1 = f(x_1)\) et \(y_2 = f(x_2)\) avec \(x_1, x_2 \in I\). Le segment fermé entre \(x_1\) et \(x_2\) (i.e. \([\min(x_1, x_2),\, \max(x_1, x_2)]\)) est contenu dans \(I\) car \(I\) est un intervalle ; sur ce segment, \(f\) est continue, avec \(y\) compris entre les deux valeurs aux extrémités \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\). Par le TVI, il existe \(c\) dans ce segment tel que \(f(c) = y\), donc \(y \in f(I)\).

Admise à ce niveau. La proposition « image d'un intervalle » ci-dessus donne que \(f([a, b])\) est un intervalle ; le contenu supplémentaire est que cet intervalle est fermé et borné — autrement dit, que le supremum et l'infimum sont atteints. La preuve repose sur le théorème de Bolzano-Weierstrass (toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente), lui-même hors du cadre de ce chapitre.

(a) Par Fonctions bornées et monotones, la stricte monotonie entraîne l'injectivité. La fonction \(f\) est surjective sur \(f(I)\) par définition. Par la proposition « l'image d'un intervalle est un intervalle », \(J = f(I)\) est un intervalle.
(c) Supposons \(f\) strictement croissante (cas strictement décroissant symétrique). Soient \(y_1, y_2 \in J\) avec \(y_1 < y_2\), et notons \(x_i = f^{-1}(y_i) \in I\) pour \(i \in \{1, 2\}\), de sorte que \(f(x_i) = y_i\). Si \(x_1 \ge x_2\), alors par stricte croissance de \(f\) on aurait \(f(x_1) \ge f(x_2)\), soit \(y_1 \ge y_2\), contradiction. Donc \(x_1 < x_2\), soit \(f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)\). Donc \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \(J\).
(b) La continuité de \(f^{-1}\) est admise. La route standard applique le théorème de la limite monotone à la fonction monotone \(f^{-1}\) sur l'intervalle \(J\) pour extraire des limites latérales en tout point, puis identifie ces limites à \(f^{-1}(y_0)\) en chaque \(y_0 \in J\).

La continuité et la stricte monotonie associée (strictement croissante, même sens que \(\tan\) sur la branche centrale) découlent du théorème de la bijection appliqué à \(\tan\) sur \(\,]-\pi/2, \pi/2[\,\). La bornitude \(|\arctan x| < \pi/2\) vient du fait que l'image est l'intervalle ouvert \(\,]-\pi/2, \pi/2[\,\). La réciprocité est l'identité \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_J\) et \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_I\) avec \(I = \,]-\pi/2, \pi/2[\,\) et \(J = \mathbb{R}\). L'imparité vient de l'imparité de \(\tan\) sur sa branche centrale : si \(y = \arctan x\), alors \(\tan(-y) = -\tan(y) = -x\), donc \(\arctan(-x) = -y = -\arctan x\) par unicité du représentant central. Enfin, \(\arctan\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) admet, par le théorème de la limite monotone, une limite en \(\pm\infty\) égale à son sup / inf sur \(\mathbb{R}\) — et puisque l'image est \(\,]-\pi/2, \pi/2[\,\), le sup vaut \(\pi/2\) et l'inf vaut \(-\pi/2\).