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Limites et continuité

⌚ ~610 min ▢ 74 blocs ✓ 293 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Nombres réels, Suites : limites et convergence

Vue d'ensemble du chapitre

Une fonction réelle associe un réel à chaque point d'une partie de $\mathbb{R}$, et le chapitre étudie ce que font ses valeurs quand la variable s'approche d'un point, ou tend vers l'infini. Le lycée a décrit la limite par des intervalles et lu les opérations sur les limites dans des tableaux ; il a aussi admis les énoncés qui rendent une fonction continue si utile — le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de la bijection, la limite d'une suite récurrente comme point fixe. Ce chapitre fait de la limite et de la continuité d'une fonction des objets démontrés : aucun résultat du chapitre n'est admis, et ni dérivée, ni développement limité, ni équivalent, ni série, ni intégrale, ni nombre complexe n'est utilisé. Trois idées traversent le chapitre. La première est qu'une limite est une seule phrase : les neuf définitions du lycée — une limite finie ou infinie, en un point ou à l'infini — sont un seul énoncé sur les voisinages, écrit une fois et employé pour l'unicité, les opérations, l'ordre et la composition. La deuxième est que la continuité est locale avant d'être globale : une fonction est continue en un point quand sa limite y est sa valeur, ce qui passe aux suites et aux opérations, et ce n'est qu'ensuite qu'on l'exige sur tout un intervalle. La troisième est que les théorèmes globaux dépendent de l'intervalle : le théorème des valeurs intermédiaires, l'image d'un intervalle, le théorème des bornes atteintes et le théorème de la bijection se démontrent à partir de la propriété de la borne supérieure et des théorèmes sur les suites, et chacun exige un intervalle, ou un segment, dans son énoncé. Un dernier fil, la continuité uniforme, remplace le rayon $\alpha$, qui dépend du point, par un rayon qui n'en dépend plus, et le théorème de Heine dit qu'un segment la donne gratuitement.
Conventions. Une fonction s'écrit $f \colon E \to \mathbb{R}$ avec $E$ une partie quelconque de $\mathbb{R}$ ; le point $a$ où l'on prend une limite appartient à $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ et est adhérent à $E$, et une limite appartient aussi à $\overline{\mathbb{R}}$. Les inégalités des définitions sont larges ; le rayon se note $\alpha$ (jamais $\delta$), la tolérance $\varepsilon$, les seuils $A$ et $B$. Avec cette convention, une limite en un point du domaine est la valeur de la fonction en ce point (la Proposition « Limite en un point de définition ») ; la limite du lycée, qui ignore la valeur, est la limite épointée, qui a sa propre Définition. « Croissante » signifie au sens large, et « strictement croissante » au sens strict. La composée d'une fonction avec elle-même se note $f \circ f$, et $C^0(I, \mathbb{R})$ est l'ensemble des fonctions réelles continues sur un intervalle $I$. Les fonctions $\sqrt{\cdot}$, $\exp$, $\ln$, $\cos$, $\sin$ et $\tan$ sont connues du lycée et utilisées comme telles ; leur étude vient plus tard. Les fonctions sont réelles : les fonctions à valeurs complexes relèvent de l'étude des nombres complexes. Dans un ensemble listé, un $n$-uplet ou un intervalle, le séparateur est la virgule.

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Prérequis

Ce chapitre suppose connus les chapitres Limites et Continuité : la limite d'une fonction donnée par des intervalles, les opérations sur les limites et les formes indéterminées, l'encadrement et la comparaison, les croissances comparées, la limite fondamentale $\frac{\sin x}{x} \to 1$ en $0$, énoncée là et démontrée ici, la continuité en un point, les catalogues de fonctions continues, la composée, et l'énoncé « une fonction dérivable est continue », démontré dans l'étude des dérivées. Le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de la bijection, la méthode de dichotomie et la limite d'une suite récurrente comme point fixe sont des énoncés du lycée ; ils sont démontrés ici. Les fonctions de référence et leurs propriétés du lycée sont utilisées sans démonstration : $x \mapsto x^n$, les polynômes et les fractions rationnelles sur leurs ensembles de définition, $\sqrt{\cdot}$, $\exp$, $\ln$, $\cos$ et $\sin$ sont continues, et $\tan$ l'est sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ ; $\sqrt{\cdot}$ et $x \mapsto x^{\alpha}$ pour $\alpha > 0$ sont strictement croissantes sur $\mathbb{R}_+$ ; $\exp$ et $\ln$ sont réciproques l'une de l'autre et strictement croissantes, $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ pour $x, y > 0$, $e^x > 0$ pour tout $x$, $e^0 = 1$, $\ln 1 = 0$, $\exp x \to +\infty$ et $\ln x \to +\infty$ en $+\infty$, $\exp x \to 0$ en $-\infty$, et $\ln x \to -\infty$ en $0^+$ ; les puissances réelles $x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$ pour $x > 0$, avec $(xy)^{\alpha} = x^{\alpha} y^{\alpha}$ et $(x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}$ ; $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ et $\frac{\ln(1 + x)}{x} \to 1$ en $0$ (le nombre dérivé en $0$, rencontré au lycée sans aucune théorie de la dérivée) ; $e^x > 1 + x$ pour $x \ne 0$ et $\ln x \le x - 1$ pour $x > 0$ (convexité stricte, au lycée), la seconde avec égalité seulement en $x = 1$ ; $\lvert \sin x \rvert \le \lvert x \rvert \le \lvert \tan x \rvert$ pour $\lvert x \rvert < \frac{\pi}{2}$ (la géométrie du cercle) ; $\lvert \cos x \rvert \le 1$ et $\lvert \sin x \rvert \le 1$, $\sin 0 = 0$, $\cos 0 = 1$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos \pi = -1$, $\sin(n\pi) = 0$ pour $n \in \mathbb{Z}$, $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques, $\cos x > 0$ sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, $\sin x > 0$ sur $]0, \frac{\pi}{2}[$ et $\sin$ est impaire ; la partie entière et la valeur absolue comme fonctions, avec $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ ; le trinôme du second degré ; et l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Du chapitre Raisonner et rédiger : les schémas de démonstration d'un énoncé universel et d'un énoncé existentiel, de l'unicité, par disjonction des cas, par contraposée et par l'absurde, et la récurrence. Du chapitre Logique : la négation des quantificateurs, qui donne la négation de $f(x) \to \ell$. Du chapitre Ensembles : les intervalles, les parties d'un ensemble, la réunion et l'intersection, et les parties convexes. Du chapitre Applications : une application, la restriction, l'image d'une partie, la composée, les applications injectives, surjectives et bijectives, la réciproque d'une bijection, et la Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité ». Du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre : « croissante » pour un ordre. Du chapitre Nombres réels : l'ordre de $\mathbb{R}$ et les règles de calcul sur les inégalités, les intervalles et leur caractérisation $\forall x, y \in I, \ [x, y] \subset I$, la valeur absolue et les inégalités triangulaires, $\max(a, b)$, la borne supérieure et sa caractérisation $\varepsilon$, la propriété de la borne supérieure — une partie non vide de $\mathbb{R}$ majorée a une borne supérieure, ce qui est admis là — la propriété d'Archimède, la partie entière, la densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, les Propositions « Somme et produit avec un rationnel » et « Existence des racines carrées », et la droite achevée $\overline{\mathbb{R}}$ avec son ordre, ses opérations et la Proposition « Borne supérieure et borne inférieure dans la droite achevée ». Les voisinages d'un point $a$ et de $\pm\infty$ sont définis ici. Du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire : les fonctions monotones et bornées, la monotonie d'une somme, d'un produit, d'une composée et d'une réciproque, la réciproque d'une bijection monotone l'étant dans le même sens, le maximum et le minimum, et les Propositions « Recoller des morceaux monotones » et « Périodes d'une fonction ». Du chapitre Suites réelles : la limite d'une suite dans $\overline{\mathbb{R}}$, son unicité, les opérations, l'encadrement et le passage à la limite, le théorème de la limite monotone, les suites adjacentes et les segments emboîtés, les suites extraites avec les Propositions « La limite passe aux suites extraites », « Deux suites extraites de limites distinctes » et « Suites extraites paire et impaire », le théorème de Bolzano–Weierstrass, les Propositions « Suites de limite nulle », « Encadrement à zéro », « Une borne supérieure est limite de termes de l'ensemble », « Le décalage », « Limite de $q^n$ » et « Une suite bornée à une seule valeur d'adhérence converge », les suites $u_{n+1} = f(u_n)$ avec les intervalles stables et la monotonie, et les croissances comparées des suites, $\frac{n^a}{q^n} \to 0$ et $\frac{(\ln n)^b}{n^a} \to 0$. Le chapitre n'utilise ni dérivée, ni accroissements finis, ni tableau de variations lu, ni développement limité, ni équivalent, ni série, ni intégrale, ni nombre complexe, ni espace vectoriel, ni compacité.

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I Limite d'une fonction en un point

De la limite du lycée à une définition

Le lycée a décrit une limite par une intuition — « $f(x)$ s'approche de $\ell$ quand $x$ s'approche de $a$ » — et par des intervalles. La limite d'une fonction devient un énoncé quantifié : pour toute proximité prescrite autour de $\ell$, les valeurs de $f$ restent aussi proches dès que $x$ est assez proche de $a$. L'énoncé a neuf versions, puisque le point $a$ et la limite $\ell$ peuvent chacun être réels, $+\infty$ ou $-\infty$ ; dès que « proche de » est une notion de voisinage, valable pour un réel comme pour $\pm\infty$, les neuf versions sont une seule phrase. Les voisinages donnent le vocabulaire, et la limite, ses premières propriétés et les limites latérales s'énoncent avec lui.

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I.1 Voisinages et points adhérents

Proche d'un point

Dire que $x$ est proche de $a$, c'est dire que $x$ est dans un voisinage de $a$ : un intervalle centré en $a$ quand $a$ est réel, une demi-droite $[A, +\infty[$ quand $a = +\infty$, une demi-droite $]-\infty, -A]$ quand $a = -\infty$. Le même mot sert pour « $f(x)$ est proche de $\ell$ », du côté des valeurs. Une fonction n'est définie que sur une partie $E$ de $\mathbb{R}$, et une limite en $a$ a un sens quand des points de $E$ s'approchent arbitrairement de $a$, que $a$ appartienne à $E$ ou non : un tel point $a$ est dit adhérent à $E$.

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Définition — Voisinage ; propriété vraie au voisinage de $a$

Soit $a \in \overline{\mathbb{R}}$. Un voisinage de $a$ est une partie $V$ de $\mathbb{R}$ qui contient l'un des voisinages de base suivants :

$[a - \eta, a + \eta]$ avec $\eta > 0$, quand $a \in \mathbb{R}$ ;
$[A, +\infty[$ avec $A \in \mathbb{R}$, quand $a = +\infty$ ;
$]-\infty, -A]$ avec $A \in \mathbb{R}$, quand $a = -\infty$.

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $P(x)$ une propriété des points $x \in E$. La propriété $P$ est vraie au voisinage de $a$ s'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $P(x)$ soit vraie pour tout $x \in E \cap V$. Trois faits se lisent aussitôt sur la définition.

Une partie qui contient un voisinage de $a$ est un voisinage de $a$, et l'intersection de deux voisinages de $a$ est un voisinage de $a$ : elle contient le voisinage de base de rayon le plus petit, ou de seuil le plus grand. Donc deux propriétés vraies au voisinage de $a$ le sont ensemble au voisinage de $a$.
Pour $m \in \mathbb{R}$, la demi-droite $]-\infty, m[$ est un voisinage de tout $c \in \overline{\mathbb{R}}$ avec $c < m$, et $]m, +\infty[$ est un voisinage de tout $c \in \overline{\mathbb{R}}$ avec $c > m$. En effet, pour un réel $c < m$, $]-\infty, m[$ contient $\left[c - \frac{m - c}{2}, c + \frac{m - c}{2}\right]$, et pour $c = -\infty$ elle contient $]-\infty, m - 1]$ ; l'autre demi-droite est symétrique.
Deux éléments $c < d$ de $\overline{\mathbb{R}}$ sont séparés par un réel $m$ avec $c < m < d$ : $m = \frac{c + d}{2}$ si $c$ et $d$ sont réels, $m = c + 1$ si $c$ est réel et $d = +\infty$, $m = d - 1$ si $c = -\infty$ et $d$ est réel, et $m = 0$ si $c = -\infty$ et $d = +\infty$.

Définition — Point adhérent

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$. Le point $a$ est adhérent à $E$ si tout voisinage de $a$ rencontre $E$, c'est-à-dire $E \cap V \ne \emptyset$ pour tout voisinage $V$ de $a$. Un voisinage contient un voisinage de base, et un voisinage de base est un voisinage, donc il suffit de tester les voisinages de base. Ainsi :

$a \in \mathbb{R}$ est adhérent à $E$ si et seulement si $E \cap [a - \eta, a + \eta] \ne \emptyset$ pour tout $\eta > 0$ ; en particulier, tout point de $E$ est adhérent à $E$ ;
$+\infty$ est adhérent à $E$ si et seulement si $E$ n'est pas majoré ;
$-\infty$ est adhérent à $E$ si et seulement si $E$ n'est pas minoré.

Proposition — Points adhérents et suites

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$. Le point $a$ est adhérent à $E$ si et seulement s'il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $E$ avec $x_n \to a$.

Preuve

Démontrons les deux implications.
($\Rightarrow$) Une suite dans les voisinages de base. Supposons que $a$ soit adhérent à $E$. Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $V_n = \left[a - \frac{1}{n + 1}, a + \frac{1}{n + 1}\right]$ si $a \in \mathbb{R}$, $V_n = [n, +\infty[$ si $a = +\infty$, et $V_n = \,]-\infty, -n]$ si $a = -\infty$. Chaque $V_n$ est un voisinage de base de $a$, donc $E \cap V_n \ne \emptyset$ : choisissons $x_n \in E \cap V_n$. La suite tend vers $a$. Si $a \in \mathbb{R}$, soit $\varepsilon > 0$. Par la propriété d'Archimède il existe $N \in \mathbb{N}$ avec $N + 1 \ge \frac{1}{\varepsilon}$, et pour $n \ge N$, $$ \begin{aligned} \lvert x_n - a \rvert &\le \frac{1}{n + 1} && \text{($x_n \in V_n$)} \\ &\le \frac{1}{N + 1} && \text{($n \ge N$)} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $N + 1 \ge \frac{1}{\varepsilon}$. Si $a = +\infty$, soit $A \in \mathbb{R}$ et prenons $N \in \mathbb{N}$ avec $N \ge A$ : pour $n \ge N$, $x_n \ge n \ge N \ge A$. Si $a = -\infty$, soit $A \in \mathbb{R}$ et prenons $N \ge -A$ : pour $n \ge N$, $x_n \le -n \le -N \le A$. Donc $x_n \to a$ dans chaque cas ; seul $x_n \in V_n$ a servi.
($\Leftarrow$) Soit $(x_n)$ une suite de $E$ avec $x_n \to a$, et $V$ un voisinage de $a$. Il contient un voisinage de base. S'il contient $[a - \eta, a + \eta]$, la définition de $x_n \to a$ avec $\varepsilon = \eta$ donne un rang $N$ avec $\lvert x_n - a \rvert \le \eta$ pour $n \ge N$, donc $x_N \in E \cap V$. S'il contient $[A, +\infty[$, la définition de $x_n \to +\infty$ avec ce $A$ donne un rang $N$ avec $x_N \ge A$, donc $x_N \in E \cap V$ ; le cas $]-\infty, -A]$ est le même. Donc $E \cap V \ne \emptyset$ pour tout voisinage $V$ de $a$ : $a$ est adhérent à $E$.

Exemple — Les points adhérents de trois parties

Déterminer les points adhérents dans $\overline{\mathbb{R}}$ de $E_1 = \,]0, 1[ \, \cup \{2\}$, de $E_2 = \mathbb{N}^*$ et de $E_3 = \mathbb{Z}$.

Correction

Testons les voisinages de base, comme la Définition « Point adhérent » le permet.
La partie $E_1$. Un point de $E_1$ est adhérent à $E_1$. Le point $0$ est adhérent : pour $\eta > 0$, le nombre $\min\left(\eta, \frac{1}{2}\right)$ est dans $]0, 1[$ et dans $[-\eta, \eta]$. Le point $1$ est adhérent : $1 - \min\left(\eta, \frac{1}{2}\right)$ est dans $]0, 1[$ et dans $[1 - \eta, 1 + \eta]$. Un réel $a < 0$ n'est pas adhérent : avec $\eta = \frac{\lvert a \rvert}{2}$, l'intervalle $[a - \eta, a + \eta]$ est dans $]-\infty, 0[$, qui ne rencontre pas $E_1$. Un réel $a > 1$ avec $a \ne 2$ n'est pas adhérent : avec $\eta = \frac{1}{2} \min(a - 1, \lvert a - 2 \rvert) > 0$, l'intervalle $[a - \eta, a + \eta]$ est dans $]1, +\infty[$ et ne contient pas $2$, alors que $E_1 \cap \,]1, +\infty[ \, = \{2\}$. L'ensemble $E_1$ est borné, donc ni $+\infty$ ni $-\infty$ n'est adhérent. Les points adhérents de $E_1$ sont les éléments de $[0, 1] \cup \{2\}$.
La partie $E_2$. Les entiers $k \ge 1$ sont adhérents à $E_2$, comme points de $E_2$. Un réel $a \notin \mathbb{Z}$ n'est pas adhérent : avec $k = \lfloor a \rfloor$ et $\eta = \frac{1}{2} \min(a - k, k + 1 - a) > 0$, l'intervalle $[a - \eta, a + \eta]$ est dans $]k, k + 1[$, qui ne contient aucun entier. Un entier $a \le 0$ n'est pas adhérent : $[a - \frac{1}{2}, a + \frac{1}{2}]$ ne contient aucun entier autre que $a$, et $a \notin E_2$. L'ensemble $E_2$ n'est pas majoré, par la propriété d'Archimède, donc $+\infty$ est adhérent ; il est minoré par $1$, donc $-\infty$ ne l'est pas. Les points adhérents de $E_2$ sont les éléments de $\mathbb{N}^* \cup \{+\infty\}$.
La partie $E_3$. De la même façon, les points adhérents de $\mathbb{Z}$ sont les entiers, et aucune borne n'est exclue puisque $\mathbb{Z}$ n'est ni majoré ni minoré : ce sont les éléments de $\mathbb{Z} \cup \{-\infty, +\infty\}$.

Exemple — Un point isolé d'une partie

Soit $E = [1, 2] \cup \{3\}$. Montrer que $3$ est adhérent à $E$ mais non adhérent à $E \setminus \{3\}$.

Correction

Le point $3$ appartient à $E$, donc il est adhérent à $E$. L'ensemble $E \setminus \{3\}$ est $[1, 2]$. Le voisinage de base $\left[3 - \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{2}\right] = \left[\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right]$ de $3$ ne contient que des nombres au moins égaux à $\frac{5}{2} > 2$, donc il ne rencontre pas $[1, 2]$. Par la Définition « Point adhérent », $3$ n'est pas adhérent à $[1, 2]$. Le point $3$ est isolé dans $E$ : près de $3$, l'ensemble $E$ se réduit à $\{3\}$, et aucun point de $E$ autre que $3$ ne s'en approche.

Piège : un point adhérent n'appartient pas forcément à l'ensemble

Adhérent ne veut pas dire appartenant. Les points adhérents de $]0, 1[$ sont les points de $[0, 1]$ : $0$ et $1$ sont adhérents à $]0, 1[$ sans lui appartenir, et une limite en $0$ d'une fonction définie sur $]0, 1[$ a un sens. Réciproquement, un point de $E$ est adhérent à $E$ mais peut être le seul point de $E$ près de lui, comme $3$ pour $[1, 2] \cup \{3\}$. Une limite en $a$ est un énoncé sur les points de $E$ proches de $a$, et le point $a$ lui-même en fait partie dès que $a \in E$ : c'est pourquoi une fonction définie en $a$ ne peut avoir en $a$ d'autre limite que sa valeur, comme le montre la Proposition « Limite en un point de définition ». Le point $+\infty$ est adhérent à $E$ si et seulement si $E$ n'est pas majoré, ce qui n'a rien à voir avec une appartenance de $+\infty$ à une partie de $\mathbb{R}$ : il n'y appartient jamais.

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Compétences à pratiquer

Reconnaître un voisinage ★
Trouver le rayon d'un voisinage ★
Décrire les points adhérents d'un ensemble ★★

I.2 Limites finies et infinies

Tolérance et rayon

Dire que $f(x) \to \ell$ en $a$, c'est dire que, quelle que soit la tolérance $\varepsilon > 0$ exigée autour de $\ell$, il existe un rayon $\alpha > 0$ tel que $f(x)$ soit à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$ dès que $x \in E$ est à distance au plus $\alpha$ de $a$. Le rayon dépend de la tolérance : plus $\varepsilon$ est petit, plus $\alpha$ est en général petit. Trois Définitions donnent la limite finie en un point réel, la limite infinie en un point réel et les limites à l'infini, avec des inégalités larges. La Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) » montre que des inégalités strictes, ou des voisinages, définissent la même notion, et que les neuf cas sont une seule phrase.

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Définition — Limite finie en un point réel

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $E$, et $\ell \in \mathbb{R}$. La fonction $f$ admet la limite $\ell$ en $a$ si $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x \in E, \ \lvert x - a \rvert \le \alpha \Rightarrow \lvert f(x) - \ell \rvert \le \varepsilon. $$ On note alors $\textcolor{colordef}{f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell}$ ou $\textcolor{colordef}{\lim_{x \to a} f(x) = \ell}$, et l'on dit que $f$ tend vers $\ell$ en $a$.

Définition — Limite infinie en un point réel

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $E$. La fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si $$ \forall A \in \mathbb{R}, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x \in E, \ \lvert x - a \rvert \le \alpha \Rightarrow f(x) \ge A. $$ Symétriquement, $f$ tend vers $-\infty$ en $a$ si $$ \forall A \in \mathbb{R}, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x \in E, \ \lvert x - a \rvert \le \alpha \Rightarrow f(x) \le A. $$

Définition — Limites à l'infini

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ avec $E$ non majoré (donc $+\infty$ adhérent à $E$). Alors :

$f$ tend vers $\ell \in \mathbb{R}$ en $+\infty$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists B \in \mathbb{R}, \forall x \in E, x \ge B \Rightarrow \lvert f(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$ ;
$f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si $\forall A \in \mathbb{R}, \exists B \in \mathbb{R}, \forall x \in E, x \ge B \Rightarrow f(x) \ge A$ ;
$f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$ si $\forall A \in \mathbb{R}, \exists B \in \mathbb{R}, \forall x \in E, x \ge B \Rightarrow f(x) \le A$.

Les définitions symétriques en $-\infty$ (lorsque $E$ n'est pas minoré) remplacent la demi-droite $x \ge B$ par $x \le B$.

Proposition — Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages)

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Les voisinages de base ouverts de $c \in \overline{\mathbb{R}}$ sont $]c - \eta, c + \eta[$ avec $\eta > 0$ si $c \in \mathbb{R}$, $]A, +\infty[$ si $c = +\infty$, et $]-\infty, -A[$ si $c = -\infty$. Les trois énoncés suivants sont équivalents.

(a) Pour tout voisinage de base $W$ de $\ell$, il existe un voisinage de base $V$ de $a$ tel que $f(x) \in W$ pour tout $x \in E \cap V$.
(b) Le même énoncé avec des voisinages de base ouverts.
(c) Pour tout voisinage $W$ de $\ell$, il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $f(E \cap V) \subset W$.

L'énoncé (a) lu dans les neuf cas est exactement celui des Définitions « Limite finie en un point réel », « Limite infinie en un point réel » et « Limites à l'infini » : $x \in [a - \alpha, a + \alpha]$ est $\lvert x - a \rvert \le \alpha$, $x \in [B, +\infty[$ est $x \ge B$, $f(x) \in [\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon]$ est $\lvert f(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$, et $f(x) \in [A, +\infty[$ est $f(x) \ge A$. Donc les neuf définitions sont un seul énoncé, (c), et (b) est leur forme avec des inégalités strictes.

Preuve

Deux inclusions entre voisinages de base. Pour $c \in \overline{\mathbb{R}}$ : (i) un voisinage de base ouvert est contenu dans le voisinage de base fermé de même paramètre : $]c - \eta, c + \eta[ \, \subset [c - \eta, c + \eta]$, $]A, +\infty[ \, \subset [A, +\infty[$, $]-\infty, -A[ \, \subset \, ]-\infty, -A]$ ; (ii) un voisinage de base ouvert contient un voisinage de base fermé d'un autre paramètre : $\left[c - \frac{\eta}{2}, c + \frac{\eta}{2}\right] \subset \, ]c - \eta, c + \eta[$, $[A + 1, +\infty[ \, \subset \, ]A, +\infty[$, $]-\infty, -A - 1] \subset \, ]-\infty, -A[$. En particulier un voisinage de base ouvert est un voisinage, par (ii). Démontrons (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) $\Rightarrow$ (a).
(a) $\Rightarrow$ (b). Soit $W^\circ$ un voisinage de base ouvert de $\ell$. Par (ii) il contient un voisinage de base fermé $W$ de $\ell$. Par (a), il existe un voisinage de base fermé $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$. Par (i), $V$ contient un voisinage de base ouvert $V^\circ$ de $a$, et $f(E \cap V^\circ) \subset W \subset W^\circ$.
(b) $\Rightarrow$ (c). Soit $W$ un voisinage de $\ell$. Il contient un voisinage de base fermé, qui contient un voisinage de base ouvert $W^\circ$ par (i). Par (b), il existe un voisinage de base ouvert $V^\circ$ de $a$ avec $f(E \cap V^\circ) \subset W^\circ \subset W$, et $V^\circ$ est un voisinage de $a$.
(c) $\Rightarrow$ (a). Un voisinage de base fermé $W$ de $\ell$ est un voisinage de $\ell$. Par (c), il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$, et $V$ contient un voisinage de base fermé $V_0$ de $a$ par définition ; alors $f(E \cap V_0) \subset f(E \cap V) \subset W$.

Exemple — La bande $\varepsilon$ et le rayon $\alpha$

Lecture géométrique de $f(x) \to \ell$ en $a$.

Le graphe de $f$ entre dans la bande horizontale $[\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon]$ autour de $\ell$ dès que $x$ entre dans la bande verticale $[a - \alpha, a + \alpha]$ autour de $a$. Un $\varepsilon$ plus petit appelle, en général, un $\alpha$ plus petit.

Exemple — $3x + 1 \to 7$ en $2$ par la définition

Montrer par la définition que $f(x) = 3x + 1$ tend vers $7$ en $2$.

Correction

Soit $\varepsilon > 0$, et posons $\alpha = \frac{\varepsilon}{3} > 0$, la valeur qui résout $3 \lvert x - 2 \rvert \le \varepsilon$. Pour $x \in \mathbb{R}$ avec $\lvert x - 2 \rvert \le \alpha$, $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - 7 \rvert &= \lvert (3x + 1) - 7 \rvert && \text{(définition de $f$)} \\ &= \lvert 3x - 6 \rvert && \text{(simplification)} \\ &= 3 \lvert x - 2 \rvert && \text{(on factorise $3$ hors de la valeur absolue)} \\ &\le 3\alpha && \text{($\lvert x - 2 \rvert \le \alpha$)} \\ &= \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape par le choix de $\alpha$. Donc pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\alpha > 0$ tel que $\lvert x - 2 \rvert \le \alpha$ entraîne $\lvert f(x) - 7 \rvert \le \varepsilon$ : par la Définition « Limite finie en un point réel », $3x + 1 \to 7$ en $2$.

Exemple — $1/x^2 \to +\infty$ en $0$ par la définition

Montrer par la définition que $f(x) = \frac{1}{x^2}$, définie sur $E = \mathbb{R}^*$, tend vers $+\infty$ en $0$.

Correction

Soit $A \in \mathbb{R}$. Posons $A' = \max(A, 1) > 0$ et $\alpha = \frac{1}{\sqrt{A'}} > 0$. Pour $x \in \mathbb{R}^*$ avec $\lvert x \rvert \le \alpha$, on a $0 < x^2 = \lvert x \rvert^2 \le \alpha^2$, et $$ \begin{aligned} \frac{1}{x^2} &\ge \frac{1}{\alpha^2} && \text{($0 < x^2 \le \alpha^2$)} \\ &= A' && \text{(définition de $\alpha$)} \\ &\ge A, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $A' = \max(A, 1) \ge A$. Donc pour tout $A \in \mathbb{R}$ il existe $\alpha > 0$ tel que $\lvert x - 0 \rvert \le \alpha$ entraîne $f(x) \ge A$ : par la Définition « Limite infinie en un point réel », $\frac{1}{x^2} \to +\infty$ en $0$.

Exemple — $1/x \to 0$ en $+\infty$ par la définition

Montrer par la définition que $f(x) = \frac{1}{x}$, définie sur $E = \,]0, +\infty[$, tend vers $0$ en $+\infty$.

Correction

Soient $\varepsilon > 0$ et $B = \frac{1}{\varepsilon} > 0$. Pour $x \ge B$, $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{x} - 0 \right\rvert &= \frac{1}{x} && \text{($x > 0$)} \\ &\le \frac{1}{B} && \text{($x \ge B > 0$)} \\ &= \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape par le choix de $B$. Donc pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $B$ tel que $x \ge B$ entraîne $\lvert f(x) - 0 \rvert \le \varepsilon$ : par la Définition « Limites à l'infini », $\frac{1}{x} \to 0$ en $+\infty$.

Méthode — Démontrer une limite par la définition (trouver $\alpha$ ou $B$)

Pour démontrer $f(x) \to \ell$ en $a$ par la définition, et pour trouver le rayon $\alpha$ — ou le seuil $B$ à l'infini :

Fixer $\varepsilon > 0$ (ou $A \in \mathbb{R}$ pour une limite infinie) : un nombre quelconque, dont $\alpha$ dépendra et qui ne dépend pas de $x$.
Simplifier $\lvert f(x) - \ell \rvert$ — un dénominateur commun, une factorisation — et le majorer par une expression simple de $\lvert x - a \rvert$, ou de $x$ à l'infini, en gardant le facteur petit et en majorant les autres. Un facteur qui n'est pas petit se majore d'abord en restreignant le rayon, $\alpha \le 1$ par exemple.
Résoudre « la majoration est au plus égale à $\varepsilon$ » en $\lvert x - a \rvert$ : elle s'écrit $\lvert x - a \rvert \le \alpha_0(\varepsilon)$. Prendre $\alpha = \alpha_0(\varepsilon)$, ou le plus petit de $\alpha_0(\varepsilon)$ et des restrictions déjà faites.
Conclure : pour $x \in E$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha$, $\lvert f(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$.

Par exemple, pour $f(x) = x^2$ en $2$ : $\lvert x^2 - 4 \rvert = \lvert x - 2 \rvert \, \lvert x + 2 \rvert$ ; si $\lvert x - 2 \rvert \le 1$, alors $x \le 3$ et $\lvert x + 2 \rvert \le 5$, donc $\lvert x^2 - 4 \rvert \le 5 \lvert x - 2 \rvert \le \varepsilon$ dès que $\lvert x - 2 \rvert \le \frac{\varepsilon}{5}$ : le rayon $\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$ convient.
Quand les opérations sur les limites, le théorème d'encadrement ou les théorèmes d'existence s'appliquent, ils sont plus rapides : la définition est le fondement qui les justifie, et l'outil des cas qu'ils ne couvrent pas.

Exemple — $x^2 - x \to +\infty$ en $+\infty$

Montrer par la définition que $f(x) = x^2 - x$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.

Correction

Soient $A \in \mathbb{R}$ et $B = \max(2, A)$. Minorons $f(x)$ par $x$, une expression plus simple qui tend aussi vers $+\infty$. Pour $x \ge B$, on a $x \ge 2$, donc $x > 0$ et $x - 1 \ge 1$, et $$ \begin{aligned} x^2 - x &= x(x - 1) && \text{(factorisation)} \\ &\ge x \cdot 1 && \text{($x > 0$ et $x - 1 \ge 1$)} \\ &\ge B && \text{($x \ge B$)} \\ &\ge A, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $B = \max(2, A) \ge A$. Donc pour tout $A \in \mathbb{R}$ il existe $B$ tel que $x \ge B$ entraîne $f(x) \ge A$ : par la Définition « Limites à l'infini », $x^2 - x \to +\infty$ en $+\infty$.

Piège : l'ordre des quantificateurs ; $\alpha$ dépend de $\varepsilon$

Le rayon $\alpha$ dépend de $\varepsilon$, et en général de $a$ ; il ne dépend jamais de $x$. Échanger les deux premiers quantificateurs donne un autre énoncé : $\exists \alpha > 0, \ \forall \varepsilon > 0, \ \forall x \in E, \ \lvert x - a \rvert \le \alpha \Rightarrow \lvert f(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$ dit que $\lvert f(x) - \ell \rvert$ est au plus égal à tout nombre strictement positif, donc que $f(x) = \ell$ sur $E \cap [a - \alpha, a + \alpha]$ : la fonction est constante près de $a$. Pour $f(x) = 3x + 1$ en $2$, le rayon $\alpha = \frac{\varepsilon}{3}$ doit diminuer avec $\varepsilon$, et aucun rayon fixe ne convient pour tout $\varepsilon$. Un choix de $\alpha$ qui mentionne $x$ ne prouve rien non plus : l'inégalité à démontrer vaut pour tout $x$ à distance au plus $\alpha$ de $a$, et $\alpha$ est choisi avant $x$.

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Compétences à pratiquer

Lire les quantificateurs d'une limite ★
Trouver le rayon $\alpha$ pour un $\varepsilon$ donné ★
Trouver le seuil $B$ pour une limite à l'infini ★
Démontrer une limite finie par la définition ★
Démontrer une limite par la définition, avec une majoration ★★
Démontrer une limite infinie par la définition ★★

I.3 Unicité, bornitude locale et signe

Ce qu'impose une limite

Une limite est une information forte, et les premières propriétés découlent de l'énoncé unique de la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) ». La limite est unique, de sorte que « la limite » est un objet bien nommé. Quand la fonction est définie en $a$, la limite ne peut être que sa valeur, conséquence de la convention inclusive. Une limite finie piège les valeurs : la fonction est bornée près de $a$. Une limite qui diffère d'un nombre $m$ fixe, près de $a$, de quel côté de $m$ se trouvent les valeurs, ce qui donne le signe d'une fonction de limite non nulle. Enfin la limite est locale : elle ne dépend que des valeurs près de $a$. Ces propriétés servent dans toutes les démonstrations qui suivent.

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Proposition — Unicité de la limite

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$. Si $f \to \ell$ et $f \to \ell'$ en $a$, avec $\ell, \ell' \in \overline{\mathbb{R}}$, alors $\ell = \ell'$.

Preuve

Supposons, par l'absurde, que $\ell \ne \ell'$, et échangeons au besoin les deux noms pour que $\ell < \ell'$.
Deux voisinages disjoints. Par la Définition « Voisinage ; propriété vraie au voisinage de $a$ », un réel $m$ vérifie $\ell < m < \ell'$, et $W = \,]-\infty, m[$ est un voisinage de $\ell$ alors que $W' = \,]m, +\infty[$ est un voisinage de $\ell'$. Ils sont disjoints : $W \cap W' = \emptyset$.
La contradiction. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) », il existe des voisinages $V$ et $V'$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$ et $f(E \cap V') \subset W'$. L'intersection $V \cap V'$ est un voisinage de $a$, et $a$ est adhérent à $E$, donc il existe un point $x \in E \cap V \cap V'$. Alors $f(x) \in W \cap W' = \emptyset$, ce qui est absurde. Donc $\ell = \ell'$.
Seconde démonstration, par $\varepsilon$ et $A$. Supposons que $\ell \ne \ell'$. Dans chaque cas, la même Proposition donne des voisinages de $a$ sur lesquels les deux estimations valent ; leur intersection est un voisinage de $a$, qui contient un point $x \in E$ puisque $a$ est adhérent à $E$, et les deux estimations valent en ce $x$.

Les deux finies. Posons $\varepsilon = \frac{\lvert \ell - \ell' \rvert}{3} > 0$. On a $\lvert f(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$ et $\lvert f(x) - \ell' \rvert \le \varepsilon$, et $$ \begin{aligned} \lvert \ell - \ell' \rvert &\le \lvert \ell - f(x) \rvert + \lvert f(x) - \ell' \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le 2\varepsilon && \text{(les deux estimations)} \\ &= \tfrac{2}{3} \lvert \ell - \ell' \rvert, \end{aligned} $$ ce qui est impossible car $\lvert \ell - \ell' \rvert > 0$.
Une finie, une infinie. Soient $\ell \in \mathbb{R}$ et $\ell' = +\infty$. Avec $A = \ell + 1$ et $\varepsilon = \frac{1}{2}$, on a $f(x) \ge \ell + 1$ et $f(x) \le \ell + \frac{1}{2}$, ce qui est impossible. Le cas $\ell' = -\infty$ est symétrique.
$+\infty$ et $-\infty$. On a $f(x) \ge 1$ et $f(x) \le -1$, ce qui est impossible.

Proposition — Limite en un point de définition

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in E$ et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Si $f \to \ell$ en $a$, alors $\ell = f(a)$. En particulier, $\ell$ est fini : une fonction définie en $a$ n'a pas de limite infinie en $a$.

Preuve

La valeur est dans tout voisinage de $\ell$. Un voisinage $V$ de $a$ contient un voisinage de base, qui contient $a$, et $a \in E$, donc $a \in E \cap V$. Soit $W$ un voisinage de $\ell$. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) », il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$, donc $f(a) \in W$.
La valeur est la limite. Supposons que $f(a) \ne \ell$. Par la Définition « Voisinage ; propriété vraie au voisinage de $a$ », un réel $m$ est strictement compris entre $f(a)$ et $\ell$. La demi-droite du côté de $\ell$, c'est-à-dire $]m, +\infty[$ si $\ell > m$ et $]-\infty, m[$ si $\ell < m$, est un voisinage de $\ell$ qui ne contient pas $f(a)$. Cela contredit le premier point, donc $\ell = f(a)$, un réel.
Seconde démonstration, par la définition. Prenons $x = a \in E$ dans la définition. Si $\ell \in \mathbb{R}$, alors $\lvert f(a) - \ell \rvert \le \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc $f(a) = \ell$. Si $\ell = +\infty$, alors $f(a) \ge A$ pour tout $A \in \mathbb{R}$, ce qui est faux pour $A = f(a) + 1$ ; le cas $\ell = -\infty$ est symétrique.

Convention inclusive et limites épointées

Avec la convention inclusive, une fonction définie en $a$ ne peut avoir une limite en $a$ que si cette limite est $f(a)$. La limite du lycée ignore la valeur en $a$ : pour la définir, on étudie la restriction de $f$ à $E \setminus \{a\}$ et l'on parle de limite épointée, qui a sa propre Définition « Limite épointée ». Le mot « limite » sans qualificatif désigne toujours la limite inclusive, et la limite épointée est nommée chaque fois. Les deux notions coïncident quand $a \notin E$, puisqu'alors $E \setminus \{a\} = E$. Quand $a \in E$ elles peuvent différer : la fonction $f(x) = x$ pour $x \ne 0$ et $f(0) = 1$ a la limite épointée $0$ en $0$, comme le dirait le lycée, et pas de limite en $0$ au sens employé ici, comme le montre l'Exemple « $f(x) = x$ pour $x \ne 0$, $f(0) = 1$ : pas de limite en $0$ ». La convention est celle qui fait de la continuité en $a$ l'énoncé « $f$ a pour limite $f(a)$ en $a$ ».

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Exemple — $f(x) \equal x$ pour $x \ne 0$, $f(0) \equal 1$ : pas de limite en $0$

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x$ pour $x \ne 0$ et $f(0) = 1$. Montrer que $f$ n'a pas de limite en $0$.

Correction

Supposons que $f$ ait une limite $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ en $0$. Comme $0 \in E = \mathbb{R}$, la Proposition « Limite en un point de définition » donne $\ell = f(0) = 1$. La définition avec $\varepsilon = \frac{1}{2}$ donne alors $\alpha > 0$ tel que $\lvert f(x) - 1 \rvert \le \frac{1}{2}$ pour $\lvert x \rvert \le \alpha$. Prenons $x = \min\left(\alpha, \frac{1}{4}\right)$ : alors $x \ne 0$ et $\lvert x \rvert \le \alpha$, donc $f(x) = x$ et $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - 1 \rvert &= 1 - x && \text{($0 < x \le \frac{1}{4} < 1$)} \\ &\ge \frac{3}{4} && \text{($x \le \frac{1}{4}$)} \\ &> \frac{1}{2}, \end{aligned} $$ ce qui contredit $\lvert f(x) - 1 \rvert \le \frac{1}{2}$. Donc $f$ n'a pas de limite en $0$, bien que $f(x) \to 0$ quand $x \to 0$ avec $x \ne 0$ : la limite épointée est $0$ (la restriction de $f$ à $\mathbb{R}^*$ est l'identité, qui tend vers $0$ en $0$), la valeur est $1$, et elles diffèrent.

Proposition — Bornitude locale

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$. Si $f$ a une limite finie $\ell \in \mathbb{R}$ en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ : il existe un voisinage $V$ de $a$ et un réel $M \ge 0$ tels que $\lvert f(x) \rvert \le M$ pour tout $x \in E \cap V$.

Preuve

L'intervalle $W = [\ell - 1, \ell + 1]$ est un voisinage de $\ell$. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) », il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$ : c'est la définition avec $\varepsilon = 1$. Pour $x \in E \cap V$, $$ \begin{aligned} \lvert f(x) \rvert &= \lvert (f(x) - \ell) + \ell \rvert && \text{(ajout et retrait de $\ell$)} \\ &\le \lvert f(x) - \ell \rvert + \lvert \ell \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le 1 + \lvert \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $f(x) \in [\ell - 1, \ell + 1]$. Donc $M = 1 + \lvert \ell \rvert$ convient. L'argument est le même que $a$ soit réel, $+\infty$ ou $-\infty$, puisqu'un seul voisinage $V$ tient lieu des trois cas.

Proposition — Limite et inégalités strictes (signe d'une limite)

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, avec $f \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$, et soit $m \in \mathbb{R}$.

Si $\ell < m$, alors $f(x) < m$ au voisinage de $a$ ; si $\ell > m$, alors $f(x) > m$ au voisinage de $a$.
En particulier, si $\ell > 0$, alors $f(x) > 0$ au voisinage de $a$ ; si $\ell < 0$, alors $f(x) < 0$ au voisinage de $a$. Si $\ell \in \mathbb{R}$ et $\ell \ne 0$, alors $\lvert f(x) \rvert > \frac{\lvert \ell \rvert}{2}$ au voisinage de $a$, donc $f$ ne s'annule pas au voisinage de $a$.

Preuve

Le premier point. Si $\ell < m$, la demi-droite $W = \,]-\infty, m[$ est un voisinage de $\ell$ par la Définition « Voisinage ; propriété vraie au voisinage de $a$ » ; la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) » donne un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$, c'est-à-dire $f(x) < m$ pour $x \in E \cap V$. Si $\ell > m$, le même argument avec $W = \,]m, +\infty[$ donne $f(x) > m$ au voisinage de $a$.
Les conséquences. Avec $m = 0$, le premier point donne $f(x) > 0$ au voisinage de $a$ si $\ell > 0$ et $f(x) < 0$ au voisinage de $a$ si $\ell < 0$. Soit $\ell \in \mathbb{R}$ avec $\ell \ne 0$, et $r = \frac{\lvert \ell \rvert}{2} > 0$. L'intervalle $W = \,]\ell - r, \ell + r[$ contient $\left[\ell - \frac{r}{2}, \ell + \frac{r}{2}\right]$, donc c'est un voisinage de $\ell$, et la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) » donne un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$. Pour $y \in W$, $$ \begin{aligned} \lvert y \rvert &= \lvert \ell + (y - \ell) \rvert && \text{(calcul)} \\ &\ge \lvert \ell \rvert - \lvert y - \ell \rvert && \text{(inégalité triangulaire renversée)} \\ &> \lvert \ell \rvert - r && \text{($\lvert y - \ell \rvert < r$ pour $y \in W$)} \\ &= \frac{\lvert \ell \rvert}{2}, \end{aligned} $$ donc $\lvert f(x) \rvert > \frac{\lvert \ell \rvert}{2}$ pour tout $x \in E \cap V$, quel que soit le signe de $\ell$.

Proposition — Caractère local de la limite et restriction

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$.

Restriction. Si $F \subset E$, si $a$ est adhérent à $F$ et si $f \to \ell$ en $a$, alors la restriction $f_{\vert F}$ tend vers $\ell$ en $a$.
Caractère local. Si $V$ est un voisinage de $a$, alors $a$ est adhérent à $E \cap V$, et $f \to \ell$ en $a$ si et seulement si $f_{\vert E \cap V} \to \ell$ en $a$. En particulier, deux fonctions définies sur $E$ et égales sur $E \cap V$ ont la même limite en $a$, ou n'en ont ni l'une ni l'autre.

Preuve

Restriction. Soit $W$ un voisinage de $\ell$. Il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$, par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) ». Comme $F \cap V \subset E \cap V$, on obtient $f(F \cap V) \subset W$. Comme $a$ est adhérent à $F$, la même Proposition, appliquée à $f_{\vert F}$, montre que $f_{\vert F} \to \ell$.
Caractère local. Soit $V'$ un voisinage de $a$. L'intersection $V \cap V'$ est un voisinage de $a$, donc elle rencontre $E$ : $(E \cap V) \cap V' \ne \emptyset$. Donc $a$ est adhérent à $E \cap V$. Si $f \to \ell$, la restriction à $E \cap V$ tend vers $\ell$ par le premier point. Réciproquement, supposons $f_{\vert E \cap V} \to \ell$ et soit $W$ un voisinage de $\ell$ : il existe un voisinage $V'$ de $a$ avec $f((E \cap V) \cap V') \subset W$. L'intersection $V \cap V'$ est un voisinage de $a$, et $E \cap (V \cap V') = (E \cap V) \cap V'$, donc $f(E \cap (V \cap V')) \subset W$ : $f \to \ell$.
Fonctions égales. Si $g = f$ sur $E \cap V$, alors $g_{\vert E \cap V} = f_{\vert E \cap V}$, et par le caractère local $g \to \ell$ si et seulement si $f_{\vert E \cap V} \to \ell$, si et seulement si $f \to \ell$.

Exemple — $1/x$ n'a pas de limite finie en $0$

Montrer que $f(x) = \frac{1}{x}$, définie sur $E = \mathbb{R}^*$, n'a pas de limite finie en $0$.

Correction

Supposons que $f$ ait une limite finie en $0$. Par la Proposition « Bornitude locale », il existe un voisinage de $0$, qui contient un intervalle $[-\eta, \eta]$ avec $\eta > 0$, et $M \ge 0$ tels que $\lvert f(x) \rvert \le M$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ dans cet intervalle. Prenons $x = \min\left(\eta, \frac{1}{M + 1}\right)$. Alors $x \in \mathbb{R}^*$, $x \le \eta$, et $$ \begin{aligned} \lvert f(x) \rvert &= \left\lvert \frac{1}{x} \right\rvert && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{1}{x} && \text{($x > 0$)} \\ &\ge M + 1 && \text{($0 < x \le \frac{1}{M + 1}$)} \\ &> M, \end{aligned} $$ ce qui contredit $\lvert f(x) \rvert \le M$. Donc $\frac{1}{x}$ n'a pas de limite finie en $0$ (elle n'a aucune limite : ses limites latérales en $0$ sont $-\infty$ et $+\infty$).

Exemple — $f(x)/x \to 1$ en $0$ : le signe de $f$ de chaque côté

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction telle que $\frac{f(x)}{x} \to 1$ en $0$, le quotient étant défini sur $E = \mathbb{R}^*$. Montrer qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $f(x) > 0$ pour $0 < x \le \alpha$ et $f(x) < 0$ pour $-\alpha \le x < 0$.

Correction

Soit $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ sur $E = \mathbb{R}^*$. Comme $g \to 1 > 0$ en $0$, la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) » donne un voisinage de $0$, qui contient $[-\alpha, \alpha]$ pour un $\alpha > 0$, sur lequel $g(x) > 0$ : pour $x \in \mathbb{R}^*$ avec $\lvert x \rvert \le \alpha$, $g(x) > 0$. Pour un tel $x$, $f(x) = x \, g(x)$ par la définition de $g$ (ici $x \ne 0$), qui est le produit de $x$ par un nombre strictement positif, donc $f(x)$ a le signe de $x$ : $f(x) > 0$ si $0 < x \le \alpha$, et $f(x) < 0$ si $-\alpha \le x < 0$. L'hypothèse ne dit rien de $f(0)$.

Compétences à pratiquer

Trouver un voisinage où une fonction dépasse la moitié de sa limite ★
Utiliser l'unicité de la limite et la valeur en un point ★
Majorer une fonction près d'un point où elle a une limite ★
Utiliser la bornitude locale pour réfuter une limite finie ★★
Utiliser le signe d'une limite ★★

I.4 Limites latérales et limites épointées

Regarder d'un côté, ignorer la valeur

Une fonction peut se comporter différemment des deux côtés d'un point : la partie entière saute, la valeur absolue change de formule. Les limites latérales regardent $a$ de la droite seulement, ou de la gauche seulement, et ignorent la valeur en $a$. La limite épointée ignore la valeur en $a$ mais garde les deux côtés, ce qui est la limite du lycée. Les Propositions « Limite et limites latérales » et « Limite et limite épointée » disent comment la limite inclusive se décompose : elle existe si et seulement si les limites latérales existent et s'accordent avec la valeur, s'il y en a une, et si et seulement si la limite épointée existe et s'accorde avec la valeur.

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Définition — Limite à gauche, à droite

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$. La limite à droite de $f$ en $a$, notée $\lim_{x \to a^+} f(x)$, est la limite de la restriction de $f$ à $E \cap \,]a, +\infty[$ en $a$ (lorsque $a$ est adhérent à cette intersection). De même, la limite à gauche $\lim_{x \to a^-} f(x)$ est la limite de la restriction à $E \cap \,]-\infty, a[$.

Définition — Limite épointée

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $E \setminus \{a\}$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. La fonction $f$ a la limite épointée $\ell$ en $a$ si la restriction de $f$ à $E \setminus \{a\}$ tend vers $\ell$ en $a$. On note alors $\textcolor{colordef}{\lim_{x \to a, \ x \ne a} f(x) = \ell}$. Elle ignore la valeur $f(a)$ lorsque $a \in E$. Lorsque $a \notin E$, l'ensemble $E \setminus \{a\}$ est $E$, et la limite épointée est la limite.

Proposition — Limite et limites latérales

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $E_+ = E \cap \,]a, +\infty[$ et à $E_- = E \cap \,]-\infty, a[$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $f \to \ell$ en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \ell$, $\lim_{x \to a^-} f(x) = \ell$ et, lorsque $a \in E$, $f(a) = \ell$. Lorsque $a \in E$, la dernière condition force $\ell$ à être le réel $f(a)$ ; lorsque $a \notin E$, l'énoncé vaut aussi pour les limites infinies. Si $a$ n'est adhérent qu'à l'un des deux ensembles, il en va de même avec la seule limite latérale.

Preuve

Démontrons les deux implications.
($\Rightarrow$) Supposons que $f \to \ell$ en $a$. Le point $a$ est adhérent à $E_+$ et à $E_-$, donc par la Proposition « Caractère local de la limite et restriction » les restrictions de $f$ à $E_+$ et à $E_-$ tendent vers $\ell$ en $a$ : les deux limites latérales valent $\ell$. Si $a \in E$, la Proposition « Limite en un point de définition » donne $\ell = f(a)$.
($\Leftarrow$) Supposons que les conditions soient vérifiées, et soit $W$ un voisinage de $\ell$. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) », la limite à droite donne un voisinage $V_+$ de $a$ avec $f(E_+ \cap V_+) \subset W$, et la limite à gauche un voisinage $V_-$ de $a$ avec $f(E_- \cap V_-) \subset W$. L'intersection $V = V_+ \cap V_-$ est un voisinage de $a$. Soit $x \in E \cap V$. Si $x > a$, alors $x \in E_+ \cap V_+$, donc $f(x) \in W$. Si $x < a$, alors $x \in E_- \cap V_-$, donc $f(x) \in W$. Si $x = a$, alors $a \in E$ et $f(a) = \ell$, donc $\ell$ est réel et $f(a) = \ell \in W$, un voisinage d'un réel le contenant. Donc $f(E \cap V) \subset W$, et $f \to \ell$ en $a$.
Un seul côté. Si $a$ n'est pas adhérent à $E_-$, il existe un voisinage $V_-$ de $a$ avec $E_- \cap V_- = \emptyset$, par la définition d'un point adhérent. La même démonstration vaut avec ce $V_-$, la condition sur la limite à gauche étant vide.

Proposition — Limite et limite épointée

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in E$ tels que $a$ soit adhérent à $E \setminus \{a\}$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $f \to \ell$ en $a$ si et seulement si $\ell = f(a)$ et $f$ a la limite épointée $\ell$ en $a$. Si $a$ n'est pas adhérent à $E \setminus \{a\}$, alors $a$ est un point isolé de $E$, $f \to f(a)$ en $a$, et la limite épointée n'est pas définie.

Preuve

($\Rightarrow$) Supposons que $f \to \ell$ en $a$. La Proposition « Limite en un point de définition » donne $\ell = f(a)$, et la Proposition « Caractère local de la limite et restriction », appliquée à $E \setminus \{a\}$ auquel $a$ est adhérent, montre que la restriction de $f$ à $E \setminus \{a\}$ tend vers $\ell$ en $a$.
($\Leftarrow$) Supposons que $\ell = f(a)$ et que la limite épointée soit $\ell$. Soit $W$ un voisinage de $\ell$ ; comme $\ell = f(a)$ est réel, $f(a) \in W$. La limite épointée donne un voisinage $V$ de $a$ avec $f((E \setminus \{a\}) \cap V) \subset W$. Soit $x \in E \cap V$ : ou bien $x \ne a$ et $f(x) \in W$, ou bien $x = a$ et $f(a) \in W$. Donc $f(E \cap V) \subset W$, et $f \to \ell$ en $a$.
Point isolé. Si $a$ n'est pas adhérent à $E \setminus \{a\}$, il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $(E \setminus \{a\}) \cap V = \emptyset$, c'est-à-dire $E \cap V = \{a\}$. Alors $f(E \cap V) = \{f(a)\}$ est dans tout voisinage $W$ de $f(a)$, donc $f \to f(a)$ en $a$ ; et la restriction à $E \setminus \{a\}$ n'a pas de limite en $a$ dont on puisse parler, puisque $a$ n'est pas adhérent à $E \setminus \{a\}$.

Exemple — La partie entière a deux limites latérales distinctes en $0$

Calculer $\lim_{x \to 0^+} \lfloor x \rfloor$ et $\lim_{x \to 0^-} \lfloor x \rfloor$, et décider si $\lfloor \cdot \rfloor$ a une limite en $0$.

Correction

La limite à droite. Pour $0 < x \le \frac{1}{2}$, on a $0 \le x < 1$, donc $\lfloor x \rfloor = 0$. Donc pour tout $\varepsilon > 0$ et $\alpha = \frac{1}{2}$, $\lvert x - 0 \rvert \le \alpha$ et $x > 0$ entraînent $\lvert \lfloor x \rfloor - 0 \rvert = 0 \le \varepsilon$ : $\lim_{x \to 0^+} \lfloor x \rfloor = 0$.
La limite à gauche. Pour $-\frac{1}{2} \le x < 0$, on a $-1 \le x < 0$, donc $\lfloor x \rfloor = -1$. Donc pour tout $\varepsilon > 0$ et $\alpha = \frac{1}{2}$, $\lvert x - 0 \rvert \le \alpha$ et $x < 0$ entraînent $\lvert \lfloor x \rfloor - (-1) \rvert = 0 \le \varepsilon$ : $\lim_{x \to 0^-} \lfloor x \rfloor = -1$.
Pas de limite. Les deux limites latérales sont différentes. Si $\lfloor \cdot \rfloor$ avait une limite $\ell$ en $0$, les deux vaudraient $\ell$ par la Proposition « Limite et limites latérales », ce qui est faux. Donc $\lfloor \cdot \rfloor$ n'a pas de limite en $0$, bien que $\lfloor 0 \rfloor = 0$ soit égal à la limite à droite.

Exemple — Une fonction aux limites latérales égales et à la bonne valeur

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 3x$ pour $x < 0$, $f(0) = 0$ et $f(x) = x^2$ pour $x > 0$. Montrer que $f$ a pour limite $0$ en $0$.

Correction

Par la Proposition « Limite et limites latérales », il suffit de montrer que la limite à droite et la limite à gauche valent $0$, puisque $f(0) = 0$.
La limite à droite. Soient $\varepsilon > 0$ et $\alpha = \min(1, \varepsilon)$. Pour $0 < x \le \alpha$, $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - 0 \rvert &= x^2 && \text{($f(x) = x^2$ et $x > 0$)} \\ &\le x && \text{($0 < x \le 1$)} \\ &\le \alpha && \text{($x \le \alpha$)} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\alpha = \min(1, \varepsilon) \le \varepsilon$. Donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$.
La limite à gauche. Soient $\varepsilon > 0$ et $\alpha = \frac{\varepsilon}{3}$. Pour $-\alpha \le x < 0$, $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - 0 \rvert &= 3 \lvert x \rvert && \text{($f(x) = 3x$)} \\ &\le 3\alpha && \text{($\lvert x \rvert \le \alpha$)} \\ &= \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape par le choix de $\alpha$. Donc $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$.
Les deux limites latérales et la valeur valent toutes $0$ : $f$ a pour limite $0$ en $0$.

Piège : des limites latérales égales ne donnent pas une limite

Les limites latérales ignorent la valeur en $a$, et la limite ne l'ignore pas. La fonction $f(x) = x$ pour $x \ne 0$ et $f(0) = 1$ a la limite à droite $0$ et la limite à gauche $0$ en $0$, et elle n'a pas de limite en $0$, puisque $f(0) = 1$ : la troisième condition de la Proposition « Limite et limites latérales » n'est pas satisfaite. La fonction $\frac{\lvert x \rvert}{x}$, égale à $1$ pour $x > 0$ et à $-1$ pour $x < 0$, a deux limites latérales en $0$, $1$ et $-1$, qui diffèrent. Les trois conditions sont nécessaires ensemble : la limite à droite, la limite à gauche, et la valeur quand $a \in E$. Quand la fonction n'est pas définie en $a$, les deux limites latérales décident seules, et elles doivent être égales.

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Compétences à pratiquer

Calculer des limites latérales ★
Relier limites latérales et limite ★
Distinguer la limite, la limite épointée et la valeur ★★

II Suites, composition et limites de fonctions

Lire une limite le long de suites

Une suite est une fonction sur $\mathbb{N}$, et sa limite est la limite d'une fonction au point $+\infty$, qui est adhérent à $\mathbb{N}$ : les limites de suites du chapitre Suites réelles sont le cas particulier de l'énoncé unique de la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) ». Le lien vaut aussi dans l'autre sens, et c'est l'un des outils les plus utiles de la théorie des limites : les limites d'une fonction se lisent entièrement sur les limites de suites. Un sens est immédiat, et c'est tout ce dont beaucoup de calculs ont besoin ; il donne aussi la recette usuelle pour réfuter une limite, avec deux suites. L'autre sens est le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites ». Il transporte aux fonctions les règles démontrées pour les suites, ce qui donne les opérations, le théorème d'encadrement et les théorèmes de comparaison, et il donne à la composition des limites une seconde démonstration.

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II.1 Des fonctions aux suites

Une fonction transporte une suite

Soit $(u_n)$ une suite de points du domaine $E$ qui tend vers $a$. Appliquer $f$ terme à terme donne une nouvelle suite $f(u_n)$, et la question est ce que devient sa limite. Si $f$ a une limite $\ell$ en $a$, la suite $f(u_n)$ tend vers $\ell$, quelle que soit la suite $(u_n)$ : c'est le lien dans un seul sens, avec une démonstration d'une ligne. Il suffit à réfuter une limite, dès que deux suites tendant vers $a$ ont des images de limites différentes. La réciproque — une limite le long de toute suite donne une limite — est le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites », démontré par contraposition, avec une suite construite à partir de la négation de la définition.

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Proposition — Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens)

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Si $f \to \ell$ en $a$, alors pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $E$ avec $u_n \to a$, la suite $f(u_n)$ tend vers $\ell$.

Preuve

Limites de suites, avec les voisinages. Une suite $(v_n)$ est une fonction sur $\mathbb{N}$, et $+\infty$ est adhérent à $\mathbb{N}$. La Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) », pour cette fonction en $+\infty$, dit que $v_n \to c$ si et seulement si tout voisinage de $c$ contient $v_n$ à partir d'un certain rang.
La démonstration. Soit $W$ un voisinage de $\ell$. Par la même Proposition pour $f$, il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$. Comme $u_n \to a$, il existe un rang $N$ tel que $u_n \in V$ pour tout $n \ge N$. Pour $n \ge N$, $u_n \in E \cap V$, donc $f(u_n) \in W$. Tout voisinage de $\ell$ contient $f(u_n)$ à partir d'un certain rang : $f(u_n) \to \ell$.

Méthode — Réfuter une limite par deux suites

Pour montrer qu'une fonction $f$ n'a pas de limite en $a$, exhiber deux suites du domaine qui tendent vers $a$ et dont les images se comportent différemment :

Choisir les deux suites dans $E$, par des formules simples adaptées à l'oscillation : $\frac{1}{n\pi}$ et $\frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$ pour $\sin\frac{1}{x}$ en $0$, les entiers et les demi-entiers pour une fonction de période $1$ en $+\infty$, une suite de rationnels et une suite d'irrationnels pour une fonction qui les distingue.
Vérifier que chaque suite est dans $E$ et tend vers $a$.
Calculer les deux images, avec des limites précises : $f(u_n) \to \lambda$ et $f(v_n) \to \mu$ avec $\lambda \ne \mu$ dans $\overline{\mathbb{R}}$, ou $f(u_n)$ n'a pas de limite.
Conclure : si $f$ avait une limite $\ell$ en $a$, alors $f(u_n) \to \ell$ et $f(v_n) \to \ell$ par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », donc $\lambda = \mu$ par l'unicité de la limite d'une suite, ce qui est absurde.

Les deux suites doivent être dans le domaine, et les deux limites doivent être calculées, non devinées. Une seule suite dont l'image n'a pas de limite suffit aussi.

Exemple — $\sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$

Montrer que $f(x) = \sin\frac{1}{x}$, définie sur $E = \mathbb{R}^*$, n'a pas de limite en $0$.

Correction

Prenons $u_n = \frac{1}{n\pi}$ et $v_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$ pour $n \ge 1$. Les deux suites sont dans $\mathbb{R}^*$, et $0 < u_n \le \frac{1}{n}$ et $0 < v_n \le \frac{1}{n}$, donc $u_n \to 0$ et $v_n \to 0$ par le théorème d'encadrement pour les suites. Leurs images sont $$ \begin{aligned} f(u_n) &= \sin(n\pi) && \text{($\frac{1}{u_n} = n\pi$)} \\ &= 0, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f(v_n) &= \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) && \text{($\frac{1}{v_n} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$)} \\ &= 1, \end{aligned} $$ les dernières égalités par $\sin(n\pi) = 0$ et par la $2\pi$-périodicité de $\sin$ avec $\sin\frac{\pi}{2} = 1$. Donc $f(u_n) \to 0$ et $f(v_n) \to 1$, et $0 \ne 1$. Par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », $\sin\frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$.

Exemple — La fonction de Dirichlet n'a de limite en aucun point

Soit $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction égale à $1$ sur $\mathbb{Q}$ et à $0$ sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Montrer qu'elle n'a de limite en aucun point de $\overline{\mathbb{R}}$.

Correction

Soit $a \in \overline{\mathbb{R}}$. Montrons d'abord que $a$ est adhérent à $\mathbb{Q}$ et à $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Si $a \in \mathbb{R}$, tout intervalle $[a - \eta, a + \eta]$ avec $\eta > 0$ contient un rationnel et un irrationnel, par la densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. Si $a = +\infty$, la partie $\mathbb{Q}$ n'est pas majorée, puisqu'elle contient tout entier $n$, et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ non plus, puisqu'elle contient $n + \sqrt{2} \ge n$, qui est irrationnel par la Proposition « Somme et produit avec un rationnel ». Le cas $a = -\infty$ est symétrique, avec $-n$ et $-n - \sqrt{2}$.
Par la Proposition « Points adhérents et suites », il existe une suite $(u_n)$ de rationnels et une suite $(v_n)$ d'irrationnels, qui tendent toutes deux vers $a$. Leurs images sont $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(u_n) = 1 \to 1$ et $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(v_n) = 0 \to 0$, avec $1 \ne 0$. Par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ n'a pas de limite en $a$.

Théorème — Heine : caractérisation séquentielle des limites

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $f \to \ell$ en $a$ si et seulement si $f(u_n) \to \ell$ pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $E$ avec $u_n \to a$. L'énoncé couvre les neuf cas : $a$ et $\ell$ sont chacun réel, $+\infty$ ou $-\infty$.

Preuve

($\Rightarrow$) C'est la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) ».
($\Leftarrow$) Démontrons la contraposée : si $f \not\to \ell$ en $a$, il existe une suite $(u_n)$ de $E$ avec $u_n \to a$ et $f(u_n) \not\to \ell$.
La négation de la définition. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) », $f \to \ell$ signifie : pour tout voisinage $W$ de $\ell$ il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset W$. Sa négation est : il existe un voisinage $W$ de $\ell$ tel que, pour tout voisinage $V$ de $a$, il existe $x \in E \cap V$ avec $f(x) \notin W$.
La suite. Soit $V_n$ le voisinage de base de $a$ utilisé dans la démonstration de la Proposition « Points adhérents et suites » : $\left[a - \frac{1}{n + 1}, a + \frac{1}{n + 1}\right]$ si $a \in \mathbb{R}$, $[n, +\infty[$ si $a = +\infty$, $]-\infty, -n]$ si $a = -\infty$. Pour chaque $n \in \mathbb{N}$ choisissons $u_n \in E \cap V_n$ avec $f(u_n) \notin W$. Comme dans cette démonstration, $u_n \in V_n$ pour tout $n$ donne $u_n \to a$.
Les images. Le voisinage $W$ de $\ell$ ne contient aucun terme de la suite $f(u_n)$. Si $f(u_n) \to \ell$, le voisinage $W$ de $\ell$ contiendrait $f(u_n)$ à partir d'un certain rang, ce qui est faux ; donc $f(u_n) \not\to \ell$. Les trois formes de $V_n$ et le seul voisinage $W$ font le travail dans les neuf cas à la fois. Puisque nous avons démontré la contraposée, l'implication ($\Leftarrow$) est vraie.

Proposition — Une fonction a une limite si et seulement si elle en a une le long de toute suite

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$. Les deux énoncés suivants sont équivalents : (i) $f$ a une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$ en $a$ ; (ii) pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $E$ avec $u_n \to a$, la suite $f(u_n)$ a une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$. Quand ils ont lieu, toutes ces limites sont égales à la limite de $f$ en $a$.

Preuve

(i) $\Rightarrow$ (ii), et la dernière phrase : si $f \to \ell$ en $a$, alors $f(u_n) \to \ell$ pour toute suite $(u_n)$ de $E$ qui tend vers $a$, par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) ».
(ii) $\Rightarrow$ (i). Comme $a$ est adhérent à $E$, la Proposition « Points adhérents et suites » donne une suite $(u_n)$ de $E$ avec $u_n \to a$ ; soit $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ la limite de $f(u_n)$, qui existe par (ii). Soit $(v_n)$ une autre suite quelconque de $E$ avec $v_n \to a$. La suite entrelacée. Définissons $w_{2n} = u_n$ et $w_{2n+1} = v_n$. La suite $(w_n)$ est dans $E$, et comme $w_{2n} \to a$ et $w_{2n+1} \to a$, la Proposition « Suites extraites paire et impaire » de Suites réelles donne $w_n \to a$. Par (ii), $f(w_n)$ a une limite $\lambda \in \overline{\mathbb{R}}$. Les deux limites s'accordent. Les suites $f(w_{2n}) = f(u_n)$ et $f(w_{2n+1}) = f(v_n)$ sont des suites extraites de $f(w_n)$, donc elles tendent vers $\lambda$ par la Proposition « La limite passe aux suites extraites ». Comme $f(u_n) \to \ell$ aussi, $\lambda = \ell$ par l'unicité de la limite d'une suite, et $f(v_n) \to \ell$.
La conclusion. Pour toute suite $(v_n)$ de $E$ qui tend vers $a$, $f(v_n) \to \ell$. Par le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites », $f \to \ell$ en $a$.

Exemple — $n\sin(1/n) \to 1$ à partir de $\sin x / x \to 1$

La limite fondamentale $\frac{\sin x}{x} \to 1$ en $0$ est énoncée au lycée et démontrée dans l'Exemple « $\sin x / x \to 1$ en $0$ par le théorème d'encadrement ». En déduire que $n \sin\frac{1}{n} \to 1$.

Correction

Soit $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ sur $E = \mathbb{R}^*$ et $u_n = \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$. La suite $(u_n)$ est dans $E$ et tend vers $0$. Comme $f \to 1$ en $0$, la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) » donne $f(u_n) \to 1$. Pour $n \ge 1$, $$ \begin{aligned} f(u_n) &= \frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} && \text{(définition de $f$ et de $u_n$)} \\ &= n \sin\frac{1}{n}. \end{aligned} $$ Donc $n \sin\frac{1}{n} \to 1$.

Compétences à pratiquer

Transporter une limite de fonction en limite de suite ★
Réfuter une limite par deux suites ★
Réfuter une limite avec des suites, cas plus difficiles ★★

II.2 Composition de limites

Une limite dans une limite

Une fonction composée $g \circ f$ a une limite quand la fonction intérieure tend vers un point $b$ et que la fonction extérieure a une limite en $b$. L'énoncé est le même dans les neuf cas, et il n'exige aucune condition sur la façon dont $f$ atteint $b$, parce que la limite de $g$ en $b$ inclut la valeur $g(b)$ quand $b$ appartient au domaine de $g$. La démonstration par les voisinages tient en deux lignes ; la démonstration par la caractérisation séquentielle des limites est celle que les suites suggèrent, et elle emploie deux fois la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) ».

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Proposition — Composition de limites

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $g \colon F \to \mathbb{R}$ avec $f(E) \subset F$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, $b \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $F$, et $c \in \overline{\mathbb{R}}$. Si $f \to b$ en $a$ et $g \to c$ en $b$, alors $g \circ f \to c$ en $a$.

Preuve

Soit $W$ un voisinage de $c$. Par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) » appliquée à $g$ en $b$, il existe un voisinage $U$ de $b$ avec $g(F \cap U) \subset W$. Appliquée à $f$ en $a$ avec le voisinage $U$ de $b$, elle donne un voisinage $V$ de $a$ avec $f(E \cap V) \subset U$. Pour $x \in E \cap V$, on a $f(x) \in F$ car $f(E) \subset F$, et $f(x) \in U$, donc $f(x) \in F \cap U$ et $g(f(x)) \in W$. Donc $(g \circ f)(E \cap V) \subset W$, et par la même Proposition $g \circ f \to c$ en $a$.
Seconde démonstration, par la caractérisation séquentielle des limites. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. Par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) » appliquée à $f$, $f(u_n) \to b$, et $f(u_n) \in F$. Appliquée à $g$ en $b$ avec la suite $f(u_n)$, elle donne $g(f(u_n)) \to c$. Cela vaut pour toute telle suite $(u_n)$, donc $g \circ f \to c$ en $a$ par le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites ».

Piège : la fonction intérieure peut atteindre $b$ ; remplacer $f(x)$ par $\ell$

Avec la limite inclusive, la fonction intérieure peut prendre la valeur $b$. Aucune condition $f(x) \ne b$ n'est nécessaire, puisque si $b \in F$ la limite de $g$ en $b$ est $g(b)$. La condition relève de la limite épointée : si $g(y) = 0$ pour $y \ne 0$ et $g(0) = 1$, alors $g$ a la limite épointée $0$ en $0$, la fonction constante $f = 0$ tend vers $0$, et $g \circ f$ est la constante $1$, qui ne tend pas vers $0$. Ici $g$ n'a pas de limite en $0$ au sens employé ici, donc la Proposition « Composition de limites » ne s'applique pas. Un second avertissement : on ne remplace $f(x)$ par sa limite que dans $g(f(x))$, où $g$ ne dépend que de $f(x)$. Dans $x \cdot \frac{1}{x}$, remplacer $\frac{1}{x}$ par sa limite $0$ en $+\infty$ donnerait $0$, alors que le produit est la constante $1$ : ici $x$ figure en dehors de $\frac{1}{x}$, et aucune composition n'est en jeu.

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Exemple — $e^{1/x}$ n'a pas de limite en $0$

Montrer que $x \mapsto e^{1/x}$, définie sur $E = \mathbb{R}^*$, n'a pas de limite en $0$.

Correction

Calculons les deux limites latérales, qui sont des limites sur $E_+ = \,]0, +\infty[$ et sur $E_- = \,]-\infty, 0[$.

À droite. On a $\frac{1}{x} \to +\infty$ en $0$ sur $E_+$ : pour $A \in \mathbb{R}$ et $\alpha = \frac{1}{\max(A, 1)}$, $0 < x \le \alpha$ donne $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{\alpha} = \max(A, 1) \ge A$. Comme $\exp x \to +\infty$ en $+\infty$, la Proposition « Composition de limites » donne $e^{1/x} \to +\infty$ en $0$ sur $E_+$.
À gauche. On a $\frac{1}{x} \to -\infty$ en $0$ sur $E_-$ : pour $A \in \mathbb{R}$ et $\alpha = \frac{1}{\max(-A, 1)}$, $-\alpha \le x < 0$ donne $\frac{1}{x} \le -\frac{1}{\alpha} = -\max(-A, 1) \le A$. Comme $\exp x \to 0$ en $-\infty$, la Proposition « Composition de limites » donne $e^{1/x} \to 0$ en $0$ sur $E_-$.

Les deux limites latérales, $+\infty$ et $0$, diffèrent. Si $e^{1/x}$ avait une limite en $0$, les deux lui seraient égales par la Proposition « Limite et limites latérales » : donc $e^{1/x}$ n'a pas de limite en $0$.

Exemple — $\ln\frac{x^2+1}{x^2+3} \to 0$ en $+\infty$

Montrer que $\ln\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}$ tend vers $0$ en $+\infty$.

Correction

Soit $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}$ sur $E = \mathbb{R}$ ; elle prend ses valeurs dans $F = \,]0, +\infty[$, l'ensemble de définition de $\ln$.
La limite intérieure. Montrons que $f \to 1$ en $+\infty$. Soient $\varepsilon > 0$ et $B = \max\left(1, \frac{2}{\varepsilon}\right)$. Pour $x \ge B$, $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - 1 \rvert &= \frac{2}{x^2 + 3} && \text{(dénominateur commun)} \\ &\le \frac{2}{x} && \text{($x^2 + 3 \ge x^2 \ge x > 0$ car $x \ge 1$)} \\ &\le \frac{2}{B} && \text{($x \ge B > 0$)} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $B \ge \frac{2}{\varepsilon}$.
La limite extérieure. La fonction $\ln$ est continue en $1$, un fait du lycée : $\ln y \to \ln 1 = 0$ quand $y \to 1$. La Proposition « Composition de limites », avec $f \to 1$ en $+\infty$ et $\ln \to 0$ en $1$, donne $\ln f(x) \to 0$ en $+\infty$.

Compétences à pratiquer

Calculer une limite par composition ★
Justifier chaque étape d'une limite de composée ★
Composer avec une limite infinie ★★

III Opérations, ordre, limite monotone et croissances comparées

Opérations et ordre

Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions qui ont des limites se comportent comme le prévoit la caractérisation séquentielle des limites : on transfère aux suites et l'on applique les règles démontrées dans le chapitre Suites réelles. Le même transfert donne le passage à la limite dans une inégalité et le théorème d'encadrement, et chacun de ces résultats a aussi une démonstration directe avec les voisinages. Deux autres résultats se démontrent à part. Le théorème de la limite monotone dit qu'une fonction monotone a toujours des limites aux extrémités de son intervalle, sans aucune hypothèse de continuité ; il vient de la propriété de la borne supérieure. Les croissances comparées du logarithme, des puissances et de l'exponentielle, que le lycée lisait dans des tableaux, se démontrent à partir de l'inégalité $e^t > 1 + t$, et une seconde démonstration les déduit de celles des suites.

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III.1 Opérations sur les limites

Calculer avec des limites

La limite d'une fonction constante $c$ en tout point adhérent est $c$, puisque $\lvert c - c \rvert = 0 \le \varepsilon$ quel que soit le rayon, et la fonction $x \mapsto x$ tend vers $a$ en $a$ pour tout $a \in \overline{\mathbb{R}}$ : la définition vaut avec $\alpha = \varepsilon$ en un point réel, et avec $B = A$ en $\pm\infty$. Avec les opérations sur les limites, ces deux limites donnent, aussitôt, les limites des polynômes et des fractions rationnelles en un point réel de leur ensemble de définition. Les règles des opérations sont des théorèmes : le cas fini se ramène aux fonctions de limite $0$, et le cas infini à un seuil $A$. Quatre combinaisons ne sont pas couvertes, les formes indéterminées $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ : chacune exige son étude, parce que la limite du résultat peut être n'importe quel nombre, peut être infinie, ou peut ne pas exister.

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Proposition — Une fonction bornée fois une fonction de limite $0$

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$. Si $f$ est bornée au voisinage de $a$, c'est-à-dire $\lvert f(x) \rvert \le M$ sur $E \cap V$ pour un voisinage $V$ de $a$ et un réel $M \ge 0$, et si $g \to 0$ en $a$, alors $fg \to 0$ en $a$.

Preuve

Par la caractérisation séquentielle des limites. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. Il existe un rang $N$ à partir duquel $u_n \in V$, donc $\lvert f(u_n) \rvert \le M$ pour $n \ge N$. Par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », $g(u_n) \to 0$, donc $\lvert g(u_n) \rvert \to 0$ par la Proposition « Suites de limite nulle » de Suites réelles, et $M \lvert g(u_n) \rvert \to 0$ par les opérations sur les limites finies de suites. Pour $n \ge N$, $$ \begin{aligned} \lvert f(u_n) g(u_n) - 0 \rvert &= \lvert f(u_n) \rvert \, \lvert g(u_n) \rvert && \text{(valeur absolue d'un produit)} \\ &\le M \lvert g(u_n) \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert f(u_n) \rvert \le M$. La Proposition « Encadrement à zéro » de Suites réelles donne $f(u_n) g(u_n) \to 0$. Cela vaut pour toute telle suite $(u_n)$, donc $fg \to 0$ en $a$ par le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites ».
Seconde démonstration, par $\varepsilon$. Soient $\varepsilon > 0$ et $K = M + 1 > 0$. Comme $g \to 0$, il existe un voisinage $V'$ de $a$ avec $\lvert g(x) \rvert \le \frac{\varepsilon}{K}$ sur $E \cap V'$. Pour $x \in E \cap V \cap V'$, $$ \begin{aligned} \lvert f(x) g(x) \rvert &= \lvert f(x) \rvert \, \lvert g(x) \rvert && \text{(valeur absolue d'un produit)} \\ &\le K \cdot \frac{\varepsilon}{K} && \text{($\lvert f(x) \rvert \le M \le K$ et la majoration de $g$)} \\ &= \varepsilon. \end{aligned} $$ L'ensemble $V \cap V'$ est un voisinage de $a$, donc $fg \to 0$ par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) ».

Proposition — Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient)

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, avec $f \to \ell$ et $g \to m$ en $a$, où $\ell, m \in \mathbb{R}$.

Combinaison linéaire : pour $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, $\lambda f + \mu g \to \lambda \ell + \mu m$.
Produit : $fg \to \ell m$.
Quotient : si $m \ne 0$, alors $g \ne 0$ au voisinage de $a$, le point $a$ est adhérent à $E_g = \{x \in E \mid g(x) \ne 0\}$, et $\frac{f}{g} \to \frac{\ell}{m}$ sur $E_g$.

Preuve

Par la caractérisation séquentielle des limites et les règles des suites. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. Par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », $f(u_n) \to \ell$ et $g(u_n) \to m$. La Proposition « Opérations sur les limites finies » de Suites réelles donne $\lambda f(u_n) + \mu g(u_n) \to \lambda \ell + \mu m$ et $f(u_n) g(u_n) \to \ell m$. Comme $(u_n)$ est quelconque, le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » donne les deux premières limites.
Le quotient. Soit $m \ne 0$. Par la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) », $\lvert g \rvert > \frac{\lvert m \rvert}{2} > 0$ sur $E \cap V$ pour un voisinage $V$ de $a$, donc $g \ne 0$ sur $E \cap V$. Alors $E \cap V \subset E_g$, et $a$ est adhérent à $E \cap V$ par la Proposition « Caractère local de la limite et restriction », donc à $E_g$. Soit $(u_n)$ une suite de $E_g$ avec $u_n \to a$. Alors $f(u_n) \to \ell$ et $g(u_n) \to m \ne 0$, et la règle du quotient pour les suites donne $\frac{f(u_n)}{g(u_n)} \to \frac{\ell}{m}$. Le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » sur $E_g$ donne $\frac{f}{g} \to \frac{\ell}{m}$.
Seconde démonstration, à partir des Propositions sur les fonctions bornées. Posons $\varphi = f - \ell$ et $\gamma = g - m$ : elles tendent vers $0$, puisque $\lvert \varphi(x) - 0 \rvert = \lvert f(x) - \ell \rvert$. Une somme de deux fonctions de limite $0$ a pour limite $0$ : pour $\varepsilon > 0$, il existe des voisinages $V_1$ et $V_2$ de $a$ avec $\lvert \varphi \rvert \le \frac{\varepsilon}{2}$ sur $E \cap V_1$ et $\lvert \gamma \rvert \le \frac{\varepsilon}{2}$ sur $E \cap V_2$, donc $\lvert \varphi + \gamma \rvert \le \varepsilon$ sur $E \cap V_1 \cap V_2$.

Combinaison linéaire. On a $(\lambda f + \mu g) - (\lambda \ell + \mu m) = \lambda \varphi + \mu \gamma$. Une constante est bornée, donc $\lambda \varphi \to 0$ et $\mu \gamma \to 0$ par la Proposition « Une fonction bornée fois une fonction de limite $0$ », et leur somme tend vers $0$.
Produit. On a $fg - \ell m = \varphi g + \ell \gamma$. La fonction $g$ est bornée au voisinage de $a$ par la Proposition « Bornitude locale », donc $\varphi g \to 0$ ; et $\ell \gamma \to 0$ ; la somme tend vers $0$.
Quotient. Au voisinage de $a$, $\frac{f}{g} - \frac{\ell}{m} = \frac{m \varphi - \ell \gamma}{m g}$. Comme $\lvert g \rvert > \frac{\lvert m \rvert}{2}$ au voisinage de $a$, la fonction $\frac{1}{m g}$ est majorée par $\frac{2}{m^2}$, et $m \varphi - \ell \gamma \to 0$ ; le produit tend vers $0$ par la même Proposition.

Proposition — Opérations avec des limites infinies

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, avec $f \to \ell$ et $g \to m$ en $a$, où $\ell, m \in \overline{\mathbb{R}}$. Les opérations sur $\overline{\mathbb{R}}$ sont celles de la Définition « Droite achevée ».

Somme : si $\ell$ et $m$ ne sont pas $+\infty$ et $-\infty$ dans un ordre ou l'autre, alors $f + g \to \ell + m$, avec $\ell + (+\infty) = +\infty$ et $\ell + (-\infty) = -\infty$ pour $\ell \in \mathbb{R}$, $(+\infty) + (+\infty) = +\infty$ et $(-\infty) + (-\infty) = -\infty$.
Produit : si $\ell$ et $m$ ne sont pas $0$ et une limite infinie dans un ordre ou l'autre, alors $fg \to \ell m$, avec la règle des signes : $\ell \cdot (+\infty) = +\infty$ pour $\ell > 0$ et $-\infty$ pour $\ell < 0$, $(+\infty)(+\infty) = (-\infty)(-\infty) = +\infty$, et $(+\infty)(-\infty) = -\infty$.
Inverse : si $f \to +\infty$ ou $f \to -\infty$, alors $f \ne 0$ au voisinage de $a$ et $\frac{1}{f} \to 0$. Si $f \to 0$ et $f > 0$ au voisinage de $a$, alors $\frac{1}{f} \to +\infty$ ; si $f \to 0$ et $f < 0$ au voisinage de $a$, alors $\frac{1}{f} \to -\infty$.
Quotient : $\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$ a la limite donnée par la règle de l'inverse et la règle du produit quand les deux s'appliquent. Par exemple $\frac{f}{g} \to 0$ si $\ell \in \mathbb{R}$ et $m = \pm\infty$, et $\frac{f}{g} \to +\infty$ si $\ell > 0$, $g \to 0$ et $g > 0$ au voisinage de $a$.

Les quatre formes indéterminées $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ ne sont pas couvertes.

Preuve

Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. Par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », $f(u_n) \to \ell$ et $g(u_n) \to m$. Les règles sont celles de la Proposition « Opérations avec des limites infinies » de Suites réelles, transférées par le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites ».

Somme. Si la somme $\ell + m$ est déterminée, la règle des suites donne $f(u_n) + g(u_n) \to \ell + m$ ; cela vaut pour toute telle suite $(u_n)$, donc $f + g \to \ell + m$ par le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites ».
Produit. De même, la règle des suites donne $f(u_n) g(u_n) \to \ell m$ quand le produit est déterminé, et le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » donne $fg \to \ell m$.
Inverse. Si $f \to +\infty$, la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) » avec $m = 1$ donne $f > 1$ sur $E \cap V$ pour un voisinage $V$ de $a$ ; si $f \to -\infty$, elle donne $f < -1$. Dans les deux cas $f \ne 0$ sur $E \cap V$, donc $E_f = \{x \in E \mid f(x) \ne 0\}$ contient $E \cap V$, et $a$ est adhérent à $E_f$ par la Proposition « Caractère local de la limite et restriction ». Pour une suite $(u_n)$ de $E_f$ avec $u_n \to a$, $f(u_n) \to \pm\infty$ et la règle des suites donne $\frac{1}{f(u_n)} \to 0$ ; le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » sur $E_f$ donne $\frac{1}{f} \to 0$. Si $f \to 0$ et $f > 0$ sur $E \cap V$, alors encore $E \cap V \subset E_f$ ; pour une suite $(u_n)$ de $E_f$ avec $u_n \to a$, $u_n \in V$ à partir d'un certain rang, donc $f(u_n) > 0$ à partir de ce rang et $f(u_n) \to 0$, et la règle des suites donne $\frac{1}{f(u_n)} \to +\infty$ ; le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » donne $\frac{1}{f} \to +\infty$. Le cas $f < 0$ donne $-\infty$ de la même façon.
Quotient. Le quotient $\frac{f}{g}$ est le produit de $f$ et de $\frac{1}{g}$, dont la limite est donnée par la règle de l'inverse ; la règle du produit conclut.

Proposition — Polynômes et fractions rationnelles en l'infini

Soient $P(x) = \sum_{k=0}^{p} a_k x^k$ et $Q(x) = \sum_{k=0}^{q} b_k x^k$ avec $a_p \ne 0$ et $b_q \ne 0$.

Polynôme. Si $p \ge 1$, alors $P(x) \to +\infty$ ou $-\infty$ en $+\infty$ selon le signe de $a_p$, et en $-\infty$ selon le signe de $(-1)^p a_p$.
Fraction rationnelle. Le quotient $\frac{P}{Q}$, défini pour $\lvert x \rvert$ grand, a en $+\infty$ et en $-\infty$ la limite $0$ si $p < q$, la limite $\frac{a_p}{b_q}$ si $p = q$, et une limite infinie si $p > q$, du signe de $\frac{a_p}{b_q}$ en $+\infty$ et de $(-1)^{p - q} \frac{a_p}{b_q}$ en $-\infty$.

Dans tous les cas la limite est celle du quotient des termes dominants.

Preuve

Les puissances. Soit $P(j)$ l'énoncé « $x^j \to +\infty$ en $+\infty$ et $x^j \to (-1)^j \infty$ en $-\infty$ », pour $j \ge 1$. Initialisation. $P(1)$ : la fonction $x \mapsto x$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et vers $-\infty$ en $-\infty$, avec le seuil $B = A$ dans la définition. Hérédité. Supposons $P(j)$ pour un $j \ge 1$. Comme $x^{j+1} = x^j \cdot x$ est le produit de deux fonctions de limites infinies, la règle du produit de la Proposition « Opérations avec des limites infinies » donne, par la règle des signes, $(+\infty)(+\infty) = +\infty$ en $+\infty$ et $\left((-1)^j \infty\right)(-\infty) = (-1)^{j+1} \infty$ en $-\infty$ : c'est $P(j+1)$. Par récurrence, $P(j)$ est vraie pour tout $j \ge 1$. Par la règle de l'inverse de la même Proposition, $\frac{1}{x^j} \to 0$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
Le terme dominant. Pour $x \ne 0$, $P(x) = a_p x^p \, u(x)$ avec $u(x) = 1 + \sum_{k=0}^{p-1} \frac{a_k}{a_p} \cdot \frac{1}{x^{p-k}}$, et de même $Q(x) = b_q x^q \, v(x)$. Chaque $\frac{1}{x^{p-k}}$ tend vers $0$, donc $u \to 1$ et $v \to 1$ en $\pm\infty$ par la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) ».
Le polynôme. Par la règle du produit de la Proposition « Opérations avec des limites infinies », $a_p x^p \to \pm\infty$, du signe de $a_p$ en $+\infty$ et de $(-1)^p a_p$ en $-\infty$, puis $P(x) = (a_p x^p) \, u(x)$, produit d'une limite infinie par $u \to 1 > 0$, a la même limite infinie par la règle des signes.
La fraction rationnelle. Au voisinage de $\pm\infty$, $Q \ne 0$ : $Q$ est la constante $b_0 \ne 0$ si $q = 0$, et tend vers $\pm\infty$ si $q \ge 1$, donc elle ne s'annule pas au voisinage de $\pm\infty$ par la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) ». Là, $$ \begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} &= \frac{a_p x^p u(x)}{b_q x^q v(x)} && \text{(termes dominants)} \\ &= \frac{a_p}{b_q} \, x^{p - q} \, \frac{u(x)}{v(x)}, \end{aligned} $$ la dernière étape par réarrangement des facteurs, avec $\frac{u}{v} \to 1$ par la règle du quotient. Si $p < q$, $x^{p - q} = \frac{1}{x^{q - p}} \to 0$, donc $\frac{P}{Q} \to \frac{a_p}{b_q} \cdot 0 \cdot 1 = 0$. Si $p = q$, $x^{p - q} = 1$ et $\frac{P}{Q} \to \frac{a_p}{b_q}$. Si $p > q$, $x^{p - q} \to +\infty$ en $+\infty$ et vers $(-1)^{p-q} \infty$ en $-\infty$, et la règle du produit donne la limite infinie du signe annoncé.

Méthode — Lever une forme indéterminée

Quand les opérations conduisent à l'une des quatre formes indéterminées ($\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$), transformer l'expression jusqu'à ce que les opérations s'appliquent :

Identifier le terme dominant : la plus grande puissance de $x$ en $\pm\infty$, le facteur qui tend le plus lentement vers $0$ dans une forme $\frac{0}{0}$, la racine commune du numérateur et du dénominateur en un point.
Le factoriser au numérateur et au dénominateur, ou dans chaque terme d'une différence, puis simplifier le facteur commun, en disant où il est non nul (« pour $x \ne 0$ »). Pour une différence de racines carrées, multiplier par la quantité conjuguée : $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$.
Passer à la limite sur l'expression simplifiée, par les opérations et la composition de limites.

L'expression se transforme d'abord, et la limite s'écrit en dernier, avec le théorème qui l'accorde : ne jamais écrire $\lim = \lim$ sur une forme dont on ne sait pas encore que la limite existe. Les croissances comparées règlent les formes qui mêlent exponentielles, puissances et logarithmes.

Exemple — $(x^2 + x)/x$ en $0$

Déterminer la limite de $\frac{x^2 + x}{x}$ en $0$, la fonction étant définie sur $E = \mathbb{R}^*$.

Correction

Le quotient est de la forme $\frac{0}{0}$, donc on factorise d'abord la racine commune $x$. Pour $x \ne 0$, $$ \begin{aligned} \frac{x^2 + x}{x} &= \frac{x(x + 1)}{x} && \text{(factorisation par $x$)} \\ &= x + 1 && \text{(simplification par $x \ne 0$)} \\ &\xrightarrow[x \to 0]{} 1. \end{aligned} $$ La dernière limite est $0 + 1 = 1$ par la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) », la fonction $x \mapsto x$ tendant vers $0$ en $0$ et la constante $1$ vers $1$.

Exemple — $\frac{3x^2+2x+1}{x^2-4}$ en $+\infty$

Déterminer la limite de $\frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 4}$ en $+\infty$.

Correction

Le quotient est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$, donc on factorise le terme dominant $x^2$ en haut et en bas. Pour $x > 2$, $$ \begin{aligned} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 4} &= \frac{x^2 \left(3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2 \left(1 - \frac{4}{x^2}\right)} && \text{(factorisation par $x^2$)} \\ &= \frac{\cancel{x^2} \left(3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{\cancel{x^2} \left(1 - \frac{4}{x^2}\right)} && \text{(simplification par $x^2 \ne 0$)} \\ &\xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3 + 0 + 0}{1 - 0} = 3. \end{aligned} $$ La dernière limite vaut parce que $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ et $\frac{4}{x^2}$ tendent vers $0$ en $+\infty$ (la Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini » et la règle de l'inverse), donc le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1 \ne 0$, par la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) ». La Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini » donne le même résultat d'emblée ; la factorisation montre pourquoi.

Exemple — $\sqrt{x^2 + x} - x$ en $+\infty$ par la quantité conjuguée

Déterminer la limite de $\sqrt{x^2 + x} - x$ en $+\infty$.

Correction

La différence est de la forme $\infty - \infty$, donc on multiplie par la quantité conjuguée. Pour $x > 0$, $$ \begin{aligned} \sqrt{x^2 + x} - x &= \frac{\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + x} + x\right)}{\sqrt{x^2 + x} + x} && \text{(on multiplie et divise par la quantité conjuguée, qui est $> 0$)} \\ &= \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} && \text{($(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$)} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} && \text{($x^2 + x - x^2 = x$)} \\ &= \frac{x}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + x} && \text{($\sqrt{x^2 + x} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ pour $x > 0$)} \\ &= \frac{x}{x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1\right)} && \text{(factorisation par $x$)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} && \text{(simplification par $x \ne 0$)} \\ &\xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}. \end{aligned} $$ La dernière limite vaut parce que $1 + \frac{1}{x} \to 1$ et $\sqrt{y} \to \sqrt{1} = 1$ quand $y \to 1$, donc $\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1$ par la Proposition « Composition de limites », et les opérations sur les limites finies concluent.

Piège : les quatre formes indéterminées, avec un contre-exemple chacune

Une forme indéterminée n'a pas de valeur : la limite du résultat dépend des fonctions, pas seulement de leurs limites. Chaque forme a des exemples aux issues différentes.

$\infty - \infty$, en $+\infty$ : $(x + 1) - x = 1$ tend vers $1$, $2x - x = x$ tend vers $+\infty$, et $(x + \sin x) - x = \sin x$ n'a pas de limite.
$0 \cdot \infty$, en $+\infty$ : $\frac{1}{x} \cdot x = 1$ tend vers $1$, $\frac{1}{x} \cdot x^2 = x$ tend vers $+\infty$, et $\frac{1}{x^2} \cdot x = \frac{1}{x}$ tend vers $0$.
$\frac{\infty}{\infty}$, en $+\infty$ : $\frac{2x}{x} = 2$ tend vers $2$, $\frac{x^2}{x} = x$ tend vers $+\infty$, $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ tend vers $0$, et $\frac{x(2 + \sin x)}{x} = 2 + \sin x$ n'a pas de limite.
$\frac{0}{0}$, en $0$ : $\frac{2x}{x} = 2$ tend vers $2$, $\frac{x^2}{x} = x$ tend vers $0$, $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ en $0^+$, et $\frac{x \sin(1/x)}{x} = \sin\frac{1}{x}$ n'a pas de limite.

Dans chaque ligne les termes, ou les facteurs, ont les mêmes limites, et les résultats diffèrent : la forme se lève, ne s'évalue jamais.

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Compétences à pratiquer

Décider si une limite est déterminée ou indéterminée ★
Calculer la limite d'une fraction rationnelle en un point ★
Calculer la limite d'une fraction rationnelle à l'infini ★
Calculer une limite avec une quantité conjuguée ★
Lever une forme indéterminée plus difficile ★★
Démontrer une règle sur les limites à partir de la définition ★★

III.2 Limites et inégalités

Comparer par des inégalités

Une limite est compatible avec l'ordre de deux façons. Le passage à la limite dit qu'une inégalité large entre deux fonctions se conserve dans leurs limites, pourvu que les deux limites existent ; il suppose les limites. Le théorème d'encadrement va dans l'autre sens : il produit une limite, sans calcul, à partir de deux fonctions qui ont la même limite de part et d'autre de la fonction étudiée. Le lycée employait ce couple pour piéger une fonction oscillante comme $x \sin\frac{1}{x}$ ; ici les deux sont démontrés, en tout point $a$ de $\overline{\mathbb{R}}$, et une majoration qui tend vers $0$ devient une méthode.

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Proposition — Passage à la limite dans une inégalité large

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, avec $f \le g$ au voisinage de $a$, $f \to \ell$ et $g \to m$ en $a$, où $\ell, m \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $\ell \le m$. Une inégalité stricte n'est pas conservée : $0 < x^2$ sur $\mathbb{R}^*$, et les deux fonctions tendent vers $0$ en $0$, puisque $\lvert x^2 - 0 \rvert \le \lvert x \rvert \le \varepsilon$ pour $\lvert x \rvert \le \min(1, \varepsilon)$.

Preuve

Supposons, par l'absurde, que $\ell > m$. Par la Définition « Voisinage ; propriété vraie au voisinage de $a$ », un réel $c$ vérifie $m < c < \ell$. La Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) » donne $f > c$ au voisinage de $a$, puisque $\ell > c$, et $g < c$ au voisinage de $a$, puisque $m < c$. Ces deux propriétés et $f \le g$ sont vraies ensemble au voisinage de $a$, et $a$ est adhérent à $E$, donc il existe un point $x \in E$ où $g(x) < c < f(x) \le g(x)$, ce qui est absurde. Donc $\ell \le m$.
Seconde démonstration, par la caractérisation séquentielle des limites. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$ ; elle existe par la Proposition « Points adhérents et suites ». À partir d'un certain rang, $u_n$ est dans le voisinage où $f \le g$, donc $f(u_n) \le g(u_n)$. Par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », $f(u_n) \to \ell$ et $g(u_n) \to m$. La Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » de Suites réelles donne $\ell \le m$.

Théorème — Théorème d'encadrement

Soient $f, g, h \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et $\ell \in \mathbb{R}$. Si $f \le g \le h$ au voisinage de $a$, et si $f \to \ell$ et $h \to \ell$ en $a$, alors $g \to \ell$ en $a$.

Preuve

Par la caractérisation séquentielle des limites. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. À partir d'un certain rang, $u_n$ est dans le voisinage où $f \le g \le h$, donc $f(u_n) \le g(u_n) \le h(u_n)$. Par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », $f(u_n) \to \ell$ et $h(u_n) \to \ell$. Le Théorème d'encadrement de Suites réelles donne $g(u_n) \to \ell$. Cela vaut pour toute telle suite $(u_n)$, donc $g \to \ell$ en $a$ par le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites ».
Seconde démonstration, par $\varepsilon$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe des voisinages de $a$ sur lesquels $\lvert f - \ell \rvert \le \varepsilon$, sur lesquels $\lvert h - \ell \rvert \le \varepsilon$, et sur lesquels $f \le g \le h$ ; leur intersection $V$ est un voisinage de $a$. Pour $x \in E \cap V$, $$ \begin{aligned} g(x) - \ell &\le h(x) - \ell && \text{($g \le h$)} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert h(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$, et $$ \begin{aligned} g(x) - \ell &\ge f(x) - \ell && \text{($g \ge f$)} \\ &\ge -\varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert f(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$. Donc $\lvert g(x) - \ell \rvert \le \varepsilon$ sur $E \cap V$, et $g \to \ell$ par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) ».

Proposition — Minoration, majoration et limites infinies

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$.

Si $f \le g$ au voisinage de $a$ et $f \to +\infty$ en $a$, alors $g \to +\infty$ en $a$.
Si $g \le f$ au voisinage de $a$ et $f \to -\infty$ en $a$, alors $g \to -\infty$ en $a$.

C'est une comparaison d'un seul côté : il n'y a pas d'encadrement pour les limites infinies, puisque la borne du côté de l'infini doit elle-même tendre vers cet infini.

Preuve

Par la caractérisation séquentielle des limites. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. À partir d'un certain rang, $f(u_n) \le g(u_n)$, et $f(u_n) \to +\infty$ par la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) ». La Proposition « Minoration et majoration avec des limites infinies » de Suites réelles donne $g(u_n) \to +\infty$, et le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » donne $g \to +\infty$ en $a$.
Seconde démonstration, par la définition. Soit $A \in \mathbb{R}$. Comme $f \to +\infty$, il existe un voisinage $V_1$ de $a$ avec $f(x) \ge A$ sur $E \cap V_1$. Pour $x \in E \cap V \cap V_1$, où $V$ est le voisinage sur lequel $f \le g$, $$ \begin{aligned} g(x) &\ge f(x) && \text{($f \le g$ sur $V$)} \\ &\ge A, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $x \in V_1$. Donc $g \to +\infty$.
Le second point. Appliquer le premier point à $-f$ et $-g$ : $-f \le -g$ au voisinage de $a$, et $-f \to +\infty$ parce que $f(x) \le -A$ donne $-f(x) \ge A$ ; donc $-g \to +\infty$, c'est-à-dire $g \to -\infty$.

Proposition — Encadrement à zéro

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et $\ell \in \mathbb{R}$. Si $\lvert f - \ell \rvert \le g$ au voisinage de $a$ et si $g \to 0$ en $a$, alors $f \to \ell$ en $a$.

Preuve

Par le théorème d'encadrement. Au voisinage de $a$, $\ell - g \le f \le \ell + g$. Les fonctions $\ell - g$ et $\ell + g$ tendent vers $\ell$ en $a$ par la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) », puisque $g \to 0$. Le théorème d'encadrement donne $f \to \ell$.
Seconde démonstration, directement. Soit $\varepsilon > 0$. Comme $g \to 0$, il existe un voisinage $V_1$ de $a$ avec $\lvert g \rvert \le \varepsilon$ sur $E \cap V_1$. Pour $x \in E \cap V \cap V_1$, où $V$ est le voisinage sur lequel $\lvert f - \ell \rvert \le g$, $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - \ell \rvert &\le g(x) && \text{(hypothèse sur $V$)} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $g(x) \le \lvert g(x) \rvert \le \varepsilon$ sur $V_1$. Donc $f \to \ell$.

Méthode — Majorer par une fonction de limite $0$

Pour démontrer $f \to \ell$ quand les opérations ne s'appliquent pas — un facteur oscillant, une partie entière :

Écrire $\lvert f(x) - \ell \rvert$ et le simplifier.
Le majorer par une fonction $g$ plus simple que $f$, avec des bornes valables sur tout l'ensemble de définition ($\lvert \sin \rvert \le 1$, $\lvert \cos \rvert \le 1$, $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$) et en gardant le facteur petit : majorer en simplifiant. Puis vérifier que $g$ tend vers $0$ : une majoration qui ne tend pas vers $0$ ne prouve rien.
Conclure par la Proposition « Encadrement à zéro ».

Par exemple, pour $x > 0$, $\left\lvert \frac{\lfloor x \rfloor}{x} - 1 \right\rvert = \frac{x - \lfloor x \rfloor}{x} \le \frac{1}{x}$ puisque $0 \le x - \lfloor x \rfloor < 1$, et $\frac{1}{x} \to 0$ en $+\infty$ : donc $\frac{\lfloor x \rfloor}{x} \to 1$ en $+\infty$.

Exemple — $\sin x / x \to 1$ en $0$ par le théorème d'encadrement

Montrer que $\frac{\sin x}{x} \to 1$ en $0$, la fonction étant définie sur $E = \mathbb{R}^*$, en utilisant $\lvert \sin x \rvert \le \lvert x \rvert \le \lvert \tan x \rvert$ pour $\lvert x \rvert < \frac{\pi}{2}$.

Correction

Soit $0 < \lvert x \rvert < \frac{\pi}{2}$. Alors $\cos x > 0$, et $\sin x$ a le signe de $x$, donc $\frac{\sin x}{x} = \frac{\lvert \sin x \rvert}{\lvert x \rvert}$. L'inégalité $\lvert x \rvert \le \lvert \tan x \rvert = \frac{\lvert \sin x \rvert}{\cos x}$ donne $\lvert x \rvert \cos x \le \lvert \sin x \rvert$, et $$ \begin{aligned} \cos x &= \frac{\lvert x \rvert \cos x}{\lvert x \rvert} && \text{($\lvert x \rvert > 0$)} \\ &\le \frac{\lvert \sin x \rvert}{\lvert x \rvert} && \text{($\lvert x \rvert \cos x \le \lvert \sin x \rvert$)} \\ &= \frac{\sin x}{x} && \text{($\sin x$ et $x$ ont le même signe)} \\ &\le 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert \sin x \rvert \le \lvert x \rvert$. Or $\cos x \to \cos 0 = 1$ en $0$ (la continuité de $\cos$, un fait du lycée) et la constante $1$ tend vers $1$. Le théorème d'encadrement donne $\frac{\sin x}{x} \to 1$ en $0$.

Exemple — $x\sin(1/x) \to 0$ en $0$

Montrer que $x \sin\frac{1}{x} \to 0$ en $0$, la fonction étant définie sur $E = \mathbb{R}^*$.

Correction

Majorons $\left\lvert x \sin\frac{1}{x} - 0 \right\rvert$ en simplifiant. Pour $x \ne 0$, $$ \begin{aligned} \left\lvert x \sin\frac{1}{x} - 0 \right\rvert &= \lvert x \rvert \, \left\lvert \sin\frac{1}{x} \right\rvert && \text{(valeur absolue d'un produit)} \\ &\le \lvert x \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert \sin \rvert \le 1$. La majoration $\lvert x \rvert$ tend vers $0$ en $0$ : la définition vaut avec $\alpha = \varepsilon$. Par la Proposition « Encadrement à zéro », $x \sin\frac{1}{x} \to 0$ en $0$. La fonction $\sin\frac{1}{x}$ seule n'a pas de limite en $0$, et le facteur $x$ la dompte.

Piège : l'encadrement donne une limite, le passage à la limite en suppose une

Le théorème d'encadrement démontre qu'une limite existe ; le passage à la limite dans une inégalité suppose que les limites existent. Le passage à la limite s'applique à des fonctions dont on sait qu'elles ont des limites : de $\sin x \le 1$ on ne peut pas écrire que la limite de $\sin x$ en $+\infty$ est au plus égale à $1$, parce que $\sin x$ n'a pas de limite en $+\infty$ (deux suites, comme pour $\sin\frac{1}{x}$). Deux autres pièges. Une inégalité large reste large à la limite : $0 < x^2$ donne $0 \le 0$, jamais $0 < 0$. Et l'encadrement exige la même limite des deux côtés : $-1 \le \sin x \le 1$ ne donne rien pour $\sin x$ en $+\infty$, qui n'a pas de limite.

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Compétences à pratiquer

Dire ce qui survit à la limite ★
Calculer une limite par le théorème d'encadrement ★
Appliquer le théorème d'encadrement, de minoration ou de majoration ★
Encadrer avec un facteur borné, une partie entière ou une partie fractionnaire ★★
Passer à la limite dans une inégalité ★★

III.3 Le théorème de la limite monotone

Une fonction monotone a des limites aux extrémités

Une fonction monotone ne peut pas osciller : quand la variable parcourt un intervalle, les valeurs ne font que monter, ou que descendre. Donc à chaque extrémité de l'intervalle les valeurs n'ont d'autre issue qu'une limite, qui est une borne supérieure ou inférieure, finie ou non. C'est le théorème de la limite monotone des suites, transféré aux fonctions, et sa démonstration est la même : la propriété de la borne supérieure donne la limite, sans aucune hypothèse de continuité. Il dit où une fonction monotone peut ne pas avoir de limite : seulement en un point intérieur, où les deux limites latérales existent et peuvent différer, de sorte que le graphe saute.

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Théorème — Théorème de la limite monotone

Soient $a < b$ dans $\overline{\mathbb{R}}$ et $f \colon \,]a, b[ \, \to \mathbb{R}$ une fonction monotone. Alors $f$ a une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$ en $a$ et en $b$. Plus précisément, avec la borne supérieure et la borne inférieure prises dans $\overline{\mathbb{R}}$ :

si $f$ est croissante, $f \to \sup_{]a, b[} f$ en $b$ et $f \to \inf_{]a, b[} f$ en $a$ ;
si $f$ est décroissante, $f \to \inf_{]a, b[} f$ en $b$ et $f \to \sup_{]a, b[} f$ en $a$.

En particulier, une fonction croissante majorée a une limite finie en $b$, et une fonction croissante minorée a une limite finie en $a$.

Preuve

Une fonction croissante en $b$. Soit $f$ croissante et $s = \sup_{]a, b[} f \in \overline{\mathbb{R}}$, qui existe par la Proposition « Borne supérieure et borne inférieure dans la droite achevée » ; $s > -\infty$ puisque $f$ prend des valeurs réelles. Soit $W$ un voisinage de $s$. Il existe un réel $m < s$ tel que tout réel $y$ avec $m \le y \le s$ soit dans $W$ : si $s \in \mathbb{R}$, $W$ contient $[s - \varepsilon, s + \varepsilon]$ pour un $\varepsilon > 0$ et $m = s - \varepsilon$ convient ; si $s = +\infty$, $W$ contient $[A, +\infty[$ et $m = A$ convient. Comme $m < s$ et que $s$ est le plus petit majorant, $m$ n'est pas un majorant de $f(]a, b[)$ : il existe $x_0 \in \,]a, b[$ avec $f(x_0) > m$. Pour $x \in \,[x_0, b[$, $$ \begin{aligned} m &< f(x_0) && \text{(choix de $x_0$)} \\ &\le f(x) && \text{($f$ croissante et $x \ge x_0$)} \\ &\le s, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $s$ est un majorant ; donc $f(x) \in W$. Or $[x_0, b[ \, = \,]a, b[ \, \cap V$ pour un voisinage $V$ de $b$ : $V = [x_0, +\infty[$ si $b = +\infty$, et $V = [b - \eta, b + \eta]$ avec $\eta = b - x_0 > 0$ si $b \in \mathbb{R}$. Donc $f(]a, b[ \, \cap V) \subset W$, et $f \to s$ en $b$ par la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) ».
Les trois autres limites. La limite $L$ de $f$ en un point est l'opposée de la limite de $-f$, puisque $x \mapsto -x$ envoie les voisinages de $L$ sur ceux de $-L$ et que $\sup(-f) = -\inf f$ : une fonction décroissante en $b$ se déduit du cas ci-dessus appliqué à $-f$, qui est croissante. En $a$, appliquer les mêmes résultats à $g(x) = f(-x)$ sur $]-b, -a[$, avec $-(\pm\infty) = \mp\infty$ : $g$ est monotone en sens contraire, $g \to L$ en $-a$ si et seulement si $f \to L$ en $a$ parce que $x \mapsto -x$ échange les voisinages de $a$ et de $-a$, et $g$ prend les mêmes valeurs que $f$, donc $\sup g = \sup f$ et $\inf g = \inf f$.

Proposition — Limites latérales d'une fonction monotone

Soit $f \colon \,]a, b[ \, \to \mathbb{R}$ croissante et $c \in \,]a, b[$. Alors les limites latérales de $f$ en $c$ existent, sont finies, et $$ \textcolor{colorprop}{f(c^-) = \sup_{x < c} f(x) \le f(c) \le \inf_{x > c} f(x) = f(c^+).} $$ De plus $f$ a une limite en $c$ si et seulement si $f(c^-) = f(c^+)$, et cette limite est alors $f(c)$. Pour une fonction décroissante, il en va de même avec les inégalités renversées et la borne supérieure et la borne inférieure échangées.

Preuve

Les limites latérales. La restriction de $f$ à $]a, c[$ est croissante, et $c$ est son extrémité droite : par le théorème de la limite monotone, elle tend en $c$ vers $f(c^-) = \sup_{]a, c[} f$. Pour $x < c$, $f(x) \le f(c)$, donc $f(c)$ est un majorant des valeurs sur $]a, c[$, et le plus petit majorant vérifie $f(c^-) \le f(c)$ ; comme cet ensemble de valeurs est non vide, $f(c^-) \in \mathbb{R}$. De même la restriction à $]c, b[$ tend en son extrémité gauche $c$ vers $f(c^+) = \inf_{]c, b[} f$, et $f(c) \le f(x)$ pour $x > c$ donne $f(c) \le f(c^+)$, avec $f(c^+) \in \mathbb{R}$.
La limite en $c$. Ici $c \in \,]a, b[$, donc la Proposition « Limite et limites latérales » dit que $f$ a une limite en $c$ si et seulement si $f(c^-) = f(c^+) = f(c)$, et alors cette limite est $f(c)$. Comme $f(c^-) \le f(c) \le f(c^+)$, les égalités $f(c^-) = f(c) = f(c^+)$ ont lieu si et seulement si $f(c^-) = f(c^+)$. Pour une $f$ décroissante, appliquer cela à $-f$.

Exemple — Une fonction monotone avec un saut

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{x}{2}$ pour $x < 2$ et $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ pour $x \ge 2$. Elle est croissante : chaque morceau l'est, et les valeurs du premier morceau sont inférieures à $1$ alors que celles du second sont au moins égales à $2$.

Par la Proposition « Limites latérales d'une fonction monotone », les limites latérales en $2$ existent : $f(2^-) = \sup_{x < 2} f(x) = 1$ et $f(2^+) = \inf_{x > 2} f(x) = 2$. Comme $f(2^-) < f(2) = f(2^+)$, la fonction $f$ n'a pas de limite en $2$, et le saut $f(2^+) - f(2^-) = 1$ mesure l'écart à l'existence d'une limite. Une fonction monotone peut sauter, mais elle ne peut que sauter : elle ne peut pas osciller.

Exemple — Une fonction croissante bornée : la limite en $+\infty$ est la borne supérieure

Montrer, avec le théorème de la limite monotone, que $f(x) = \frac{x}{x + 1}$, définie sur $[0, +\infty[$, a pour limite $1$ en $+\infty$.

Correction

La fonction est croissante. Pour $0 \le x < y$, $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= \frac{y}{y + 1} - \frac{x}{x + 1} && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{y(x + 1) - x(y + 1)}{(x + 1)(y + 1)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{y - x}{(x + 1)(y + 1)} && \text{(développement)} \\ &> 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $y - x > 0$ et $(x + 1)(y + 1) > 0$.
La borne supérieure est $1$. Pour $x \ge 0$, $f(x) = 1 - \frac{1}{x + 1} < 1$, donc $1$ est un majorant. Soient $\varepsilon > 0$ et $x = \frac{1}{\varepsilon}$. Alors $f(x) = \frac{1}{1 + \varepsilon}$, et $\frac{1}{1 + \varepsilon} > 1 - \varepsilon$ équivaut, après multiplication par $1 + \varepsilon > 0$, à $1 > 1 - \varepsilon^2$, ce qui est vrai. Par la caractérisation $\varepsilon$ de la borne supérieure, $\sup f = 1$.
La limite. La fonction est croissante sur $[0, +\infty[$, donc sur $]0, +\infty[$, et le théorème de la limite monotone donne $f \to \sup f = 1$ en $+\infty$.

Compétences à pratiquer

Lire la limite d'une fonction monotone comme une borne supérieure ou inférieure ★
Démontrer qu'une fonction monotone a une limite ★
Utiliser les limites latérales d'une fonction monotone ★★

III.4 Croissances comparées

Qui l'emporte dans un quotient

En $+\infty$, le logarithme, les puissances et l'exponentielle tendent tous vers $+\infty$, mais pas à la même vitesse : le quotient de l'une par une suivante tend vers $0$. Le lycée le lisait dans un tableau ; le chapitre Suites réelles l'a démontré pour les suites $\frac{n^a}{q^n}$ et $\frac{(\ln n)^b}{n^a}$. Pour les fonctions, l'inégalité $e^t > 1 + t$ donne directement la comparaison des puissances avec l'exponentielle, et une composition avec $\exp$ ou $\ln$ passe d'une comparaison à l'autre ; une seconde démonstration coince un réel $x$ entre deux entiers consécutifs, ce qui ramène le résultat aux suites. Ces limites règlent la plupart des formes indéterminées qui mêlent un logarithme, une puissance et une exponentielle.

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Proposition — Les puissances contre les exponentielles

Soient $a > 0$ et $b > 0$.

En $+\infty$ : $\dfrac{x^a}{e^{bx}} \to 0$ et $\dfrac{e^{bx}}{x^a} \to +\infty$.
En $-\infty$ : $\lvert x \rvert^a e^{bx} \to 0$.

Preuve

Première démonstration, par l'inégalité $e^t > 1 + t$. Soit $x > 0$ et $t = \frac{bx}{2a} > 0$. Comme $e^t > 1 + t > t > 0$ et que $y \mapsto y^{2a}$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$, $$ \begin{aligned} e^{bx} &= \left(e^t\right)^{2a} && \text{($\left(e^t\right)^{2a} = e^{2at}$ et $2at = bx$)} \\ &\ge t^{2a} && \text{($e^t > t > 0$)} \\ &= c' \, x^{2a}, \end{aligned} $$ la dernière étape avec $c' = \left(\frac{b}{2a}\right)^{2a} > 0$, puisque $t = \frac{b}{2a} x$ et $(yz)^{2a} = y^{2a} z^{2a}$. Diviser par $x^a > 0$ donne $\frac{e^{bx}}{x^a} \ge c' x^a$. La puissance tend vers $+\infty$. Soit $A \in \mathbb{R}$, $A' = \max(A, 1)$ et $B = (A')^{1/a} > 0$. Pour $x \ge B$, $x^a \ge B^a = A' \ge A$, parce que $y \mapsto y^a$ est croissante et que $B^a = (A')^{\frac{1}{a} \cdot a} = A'$. Donc $x^a \to +\infty$ en $+\infty$, et $c' x^a \to +\infty$ par la règle du produit de la Proposition « Opérations avec des limites infinies », puisque $c' > 0$. La Proposition « Minoration, majoration et limites infinies » donne $\frac{e^{bx}}{x^a} \to +\infty$ en $+\infty$. Alors $\frac{x^a}{e^{bx}}$, son inverse, est strictement positive et tend vers $0$ par la règle de l'inverse de la Proposition « Opérations avec des limites infinies ».
La limite en $-\infty$. La fonction $h(x) = -x$ tend vers $+\infty$ en $-\infty$ : pour $A \in \mathbb{R}$, $x \le -A$ donne $-x \ge A$. Pour $x < 0$, $\lvert x \rvert^a e^{bx} = g(-x)$ avec $g(y) = \frac{y^a}{e^{by}}$, et $g \to 0$ en $+\infty$ ; la Proposition « Composition de limites » donne $\lvert x \rvert^a e^{bx} \to 0$ en $-\infty$.
Seconde démonstration, à partir des suites. Soit $q = e^b > 1$. Par la Proposition « Les puissances contre les exponentielles ; l'exponentielle contre la factorielle » de Suites réelles, $\frac{n^a}{q^n} \to 0$ ; ces termes sont strictement positifs, donc $\frac{q^n}{n^a} \to +\infty$ par la règle de l'inverse pour les suites. Soit $c = \left(\frac{1}{2}\right)^a > 0$. Pour $n \ge 1$, $\frac{n}{n + 1} \ge \frac{1}{2}$, donc $\left(\frac{n}{n + 1}\right)^a \ge c$ puisque $y \mapsto y^a$ est croissante. La suite $w_n = c \, \frac{q^n}{n^a}$ tend vers $+\infty$.
Des entiers aux réels. Soit $x \ge 1$ et $n = \lfloor x \rfloor \ge 1$, de sorte que $n \le x < n + 1$. Alors $$ \begin{aligned} \frac{e^{bx}}{x^a} &\ge \frac{e^{bn}}{x^a} && \text{($x \ge n$, $b > 0$, $\exp$ croissante)} \\ &\ge \frac{e^{bn}}{(n + 1)^a} && \text{($0 < x < n + 1$, $t \mapsto t^a$ croissante)} \\ &= \frac{q^n}{n^a} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^a && \text{($e^{bn} = q^n$ et $\left(\frac{n}{n + 1}\right)^a = \frac{n^a}{(n + 1)^a}$)} \\ &\ge c \, \frac{q^n}{n^a}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\left(\frac{n}{n + 1}\right)^a \ge c$ et $\frac{q^n}{n^a} > 0$ ; donc $\frac{e^{bx}}{x^a} \ge w_n$.
La limite en $+\infty$. Soit $A \in \mathbb{R}$. Comme $w_n \to +\infty$, il existe un rang $N \ge 1$ avec $w_n \ge A$ pour $n \ge N$. Pour $x \ge N$, $n = \lfloor x \rfloor \ge N$, donc $\frac{e^{bx}}{x^a} \ge w_n \ge A$. Donc $\frac{e^{bx}}{x^a} \to +\infty$ en $+\infty$ ; l'inverse $\frac{x^a}{e^{bx}}$ et la limite en $-\infty$ s'en déduisent comme dans la première démonstration.

Proposition — Le logarithme contre les puissances

Soient $a > 0$ et $b > 0$.

En $+\infty$ : $\dfrac{(\ln x)^b}{x^a} \to 0$, la fonction étant définie pour $x > 1$.
En $0^+$ : $x^a \lvert \ln x \rvert^b \to 0$, la fonction étant définie pour $0 < x < 1$.

Preuve

Soit $g(y) = \frac{y^b}{e^{ay}}$ pour $y > 0$. Par la Proposition « Les puissances contre les exponentielles », appliquée avec l'exposant $b$ et le coefficient $a$, $g \to 0$ en $+\infty$.
En $+\infty$. Pour $x > 1$, $y = \ln x > 0$ et $$ \begin{aligned} g(\ln x) &= \frac{(\ln x)^b}{e^{a \ln x}} && \text{(définition de $g$)} \\ &= \frac{(\ln x)^b}{x^a}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $x^a = e^{a \ln x}$. Comme $\ln x \to +\infty$ en $+\infty$, la Proposition « Composition de limites » donne $g(\ln x) \to 0$, c'est-à-dire $\frac{(\ln x)^b}{x^a} \to 0$.
En $0^+$. Pour $0 < x < 1$, $y = -\ln x > 0$, $x = e^{-y}$, et $$ \begin{aligned} x^a \lvert \ln x \rvert^b &= e^{-ay} \, y^b && \text{($x^a = e^{a \ln x} = e^{-ay}$ et $\lvert \ln x \rvert = y$)} \\ &= g(y) && \text{(définition de $g$)} \\ &= g(-\ln x). \end{aligned} $$ Comme $\ln x \to -\infty$ en $0^+$, $-\ln x \to +\infty$, et la Proposition « Composition de limites » donne $g(-\ln x) \to 0$.

Méthode — Utiliser les croissances comparées

Pour calculer une limite qui mêle logarithmes, puissances et exponentielles :

Nommer les familles. En $+\infty$, $\ln x$, $x^a$ et $e^{bx}$ tendent vers $+\infty$, et chacune tend vers $+\infty$ moins vite que la suivante, puisque le quotient de l'une par la suivante tend vers $0$ : $\frac{(\ln x)^b}{x^a} \to 0$ et $\frac{x^a}{e^{bx}} \to 0$. En $0^+$, $x^a \lvert \ln x \rvert^b \to 0$.
Réécrire de sorte que chaque facteur soit dans l'un de ces quotients : $x^3 e^{-x} = \frac{x^3}{e^x}$, $x^x = e^{x \ln x}$ pour $x > 0$. Changer de variable au besoin : $x = e^y$ ou $x = \frac{1}{y}$ est une composition.
Factoriser le terme dominant d'une somme : $x + \ln x = x \left(1 + \frac{\ln x}{x}\right)$, puis appliquer les opérations.
Conclure avec les deux Propositions et les opérations sur les limites.

Les croissances comparées règlent les formes indéterminées de ce genre ; elles ne remplacent pas la levée des autres formes, comme la différence de deux racines carrées.

Exemple — $x^3 e^{-x}$ et $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ en $+\infty$

Déterminer les limites en $+\infty$ de $x^3 e^{-x}$ et de $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

Correction

La fonction $x^3 e^{-x}$. Elle est de la forme $\infty \cdot 0$. Pour $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} x^3 e^{-x} &= \frac{x^3}{e^{x}} && \text{($e^{-x} = \frac{1}{e^x}$)} \\ &\xrightarrow[x \to +\infty]{} 0. \end{aligned} $$ La limite vaut par la Proposition « Les puissances contre les exponentielles », avec $a = 3$ et $b = 1$.
La fonction $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$. Elle est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$. Pour $x > 1$, $$ \begin{aligned} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} &= \frac{(\ln x)^1}{x^{1/2}} && \text{($\sqrt{x} = x^{1/2}$)} \\ &\xrightarrow[x \to +\infty]{} 0. \end{aligned} $$ La limite vaut par la Proposition « Le logarithme contre les puissances », avec $b = 1$ et $a = \frac{1}{2}$.

Exemple — $x \ln x$ et $x^x$ en $0^+$

Déterminer les limites en $0^+$ de $x \ln x$ et de $x^x$.

Correction

La fonction $x \ln x$. Elle est de la forme $0 \cdot \infty$. Pour $0 < x < 1$, $\ln x < 0$, et $$ \begin{aligned} x \ln x &= -x \lvert \ln x \rvert && \text{($\lvert \ln x \rvert = -\ln x$)} \\ &\xrightarrow[x \to 0^+]{} 0. \end{aligned} $$ La limite vaut par la Proposition « Le logarithme contre les puissances », avec $a = b = 1$, et par le produit par la constante $-1$.
La fonction $x^x$. Pour $x > 0$, $$ \begin{aligned} x^x &= e^{x \ln x} && \text{(définition de la puissance)} \\ &\xrightarrow[x \to 0^+]{} e^0 = 1. \end{aligned} $$ La limite vaut parce que $x \ln x \to 0$ en $0^+$ et que $\exp y \to e^0$ quand $y \to 0$, la continuité de $\exp$, donc la Proposition « Composition de limites » s'applique.

Démonstration différée : limites de l'exponentielle et du logarithme aux bornes

Le Texte « Prérequis » a admis les limites de $\exp$ et de $\ln$ aux bornes de leurs ensembles de définition ; les outils de cette section les démontrent.
L'exponentielle en $+\infty$. Pour $x > 0$, $e^x > 1 + x > x$, d'après l'inégalité du Texte « Prérequis », et $x \to +\infty$ en $+\infty$ avec le seuil $B = A$. La Proposition « Minoration, majoration et limites infinies » donne $\exp x \to +\infty$ en $+\infty$.
L'exponentielle en $-\infty$. La fonction $x \mapsto -x$ tend vers $+\infty$ en $-\infty$, donc la Proposition « Composition de limites » et la limite précédente donnent $e^{-x} \to +\infty$ en $-\infty$. Comme $e^x e^{-x} = e^0 = 1$, $\exp x = \frac{1}{e^{-x}}$, et la règle de l'inverse de la Proposition « Opérations avec des limites infinies » donne $\exp x \to 0$ en $-\infty$.
Le logarithme en $+\infty$. Soient $A \in \mathbb{R}$ et $B = e^A$. Pour $x \ge B$, $\ln x \ge \ln e^A = A$, puisque $\ln$ est croissante. Donc $\ln x \to +\infty$ en $+\infty$.
Le logarithme en $0^+$. Pour $x > 0$, $\ln x + \ln \frac{1}{x} = \ln 1 = 0$, donc $\ln x = -\ln \frac{1}{x}$. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ en $0^+$ : pour $A \in \mathbb{R}$ et $\alpha = \frac{1}{\max(A, 1)}$, $0 < x \le \alpha$ donne $\frac{1}{x} \ge \max(A, 1) \ge A$. Par la Proposition « Composition de limites » et la limite précédente, $\ln \frac{1}{x} \to +\infty$ en $0^+$, donc $\ln x = -\ln \frac{1}{x} \to -\infty$ par la règle du produit avec la constante $-1$.

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Compétences à pratiquer

Calculer une limite par croissances comparées ★
Utiliser les croissances comparées dans une limite ★
Démontrer une limite avec les croissances comparées et la composition ★★

IV Continuité en un point

De la limite à la continuité

Une fonction est continue en un point de son ensemble de définition lorsque sa valeur en ce point est ce vers quoi tendent ses valeurs voisines : $f(x) \to f(a)$ quand $x \to a$. La Proposition « Limite en un point de définition » montre que $f(a)$ est la seule valeur qu'une limite en $a$ puisse prendre, donc la continuité en $a$ est exactement l'existence d'une limite en $a$. Trois conséquences font la force de la notion. Elle est locale : elle ne dépend que des valeurs de $f$ près de $a$. Elle passe aux suites : $f(u_n) \to f(a)$ dès que $u_n \to a$, énoncé qui paie une dette du chapitre Suites réelles. Et elle survit aux opérations : une somme, un produit, un quotient ou une composée de fonctions continues est continue, donc une fonction donnée par une formule construite avec les fonctions de référence est continue partout où elle est définie. Un point où la continuité échoue se décrit par ce que la fonction fait près de lui, et une discontinuité amovible se répare par le prolongement par continuité. La continuité en tout point d'un intervalle a des conséquences globales, qui sont l'objet de la section « Continuité sur un intervalle ».

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IV.1 Continuité en un point, continuité latérale et opérations

La continuité, limite égale à la valeur

La Définition de la continuité en un point est une limite, donc tous les outils des limites s'y appliquent : la caractérisation par les suites, les opérations, la composition, la restriction. Chacun devient un énoncé sur la continuité, avec sa démonstration : la caractérisation par les suites, les continuités latérales, les opérations, le caractère local, la valeur absolue, le maximum et le minimum, et la limite d'une suite récurrente, qui est un point fixe d'une fonction continue en cette limite. Les fonctions de référence sont déclarées, et trois méthodes apprennent à établir une continuité, à la tester à la jonction de deux formules, à résoudre une équation fonctionnelle dont l'inconnue est continue.

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Définition — Continuité en un point

Soient $E \subset \mathbb{R}$, $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in E$. La fonction $f$ est continue en $a$ si $f(x) \to f(a)$ quand $x \to a$, c'est-à-dire si $f$ a pour limite $f(a)$ en $a$. D'après la Proposition « Formes équivalentes de la définition (inégalités strictes ou larges, voisinages) », cela signifie $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x \in E, \quad \lvert x - a \rvert \le \alpha \Rightarrow \lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon. $$ D'après la Proposition « Limite en un point de définition », $f(a)$ est la seule valeur qu'une limite en $a$ puisse prendre, et une limite en un point de l'ensemble de définition ne peut pas être infinie : $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ a une limite en $a$. Sinon $f$ est discontinue en $a$.

Proposition — Caractérisation séquentielle de la continuité

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in E$. La fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f(u_n) \to f(a)$ pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $E$ de limite $a$. En particulier, si $(u_n)$ est une suite de $E$ de limite $\ell \in E$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(u_n) \to f(\ell)$ : $\lim f(u_n) = f(\lim u_n)$.

Preuve

Montrons les deux implications.
($\Rightarrow$) Supposons $f$ continue en $a$ : $f(x) \to f(a)$ quand $x \to a$. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. La Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) » donne $f(u_n) \to f(a)$.
($\Leftarrow$) Supposons que $f(u_n) \to f(a)$ pour toute suite $(u_n)$ de $E$ avec $u_n \to a$. Le point $a$ appartient à $E$, donc il est adhérent à $E$. Le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » avec $\ell = f(a)$ donne $f(x) \to f(a)$ quand $x \to a$ : $f$ est continue en $a$.
La dernière phrase est l'équivalence au point $a = \ell$, appliquée à la suite $(u_n)$ de limite $\ell$.

Définition — Continuité à gauche, à droite

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in E$. On dit que $f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ (en supposant $a$ adhérent à $E \cap \,]-\infty, a[$), et continue à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (en supposant $a$ adhérent à $E \cap \,]a, +\infty[$).

Proposition — Continuité et limites latérales

Soient $I$ un intervalle à plus d'un point, $f \colon I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$.

Si $a$ est un point intérieur de $I$, $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à gauche et continue à droite en $a$.
Si $a$ est l'extrémité gauche de $I$, $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à droite en $a$.
Si $a$ est l'extrémité droite de $I$, $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à gauche en $a$.

Preuve

Soient $L = I \cap \,]-\infty, a[$ et $R = I \cap \,]a, +\infty[$, de sorte que $I = L \cup \{a\} \cup R$. Comme $I$ est un intervalle à plus d'un point, $a$ est adhérent à $L$ sauf si $a$ est l'extrémité gauche, et adhérent à $R$ sauf si $a$ est l'extrémité droite. La continuité à gauche en $a$ est l'énoncé que la restriction $f_{\vert L}$ a pour limite $f(a)$ en $a$, et la continuité à droite le même pour $f_{\vert R}$ ; chacune n'est définie que lorsque $a$ est adhérent à $L$, respectivement $R$.
Première démonstration : la limite et les limites latérales. La continuité en $a$ est la limite $f(x) \to f(a)$. Si $a$ est un point intérieur, il est adhérent à $L$ et à $R$, et la Proposition « Limite et limites latérales » avec $\ell = f(a)$ dit que $f \to f(a)$ si et seulement si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$, $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ et $f(a) = f(a)$ : la continuité en $a$ est la continuité à gauche avec la continuité à droite. Si $a$ est l'extrémité gauche, il est adhérent à $R$ seulement, et la même Proposition, avec la seule limite latérale, donne que la continuité en $a$ est la continuité à droite. L'extrémité droite est symétrique.
Seconde démonstration : $\varepsilon$ et $\alpha$. ($\Rightarrow$) Supposons $f$ continue en $a$ : $f(x) \to f(a)$. Lorsque $a$ est adhérent à $L$, la restriction $f_{\vert L}$ a la même limite $f(a)$, d'après la Proposition « Caractère local de la limite et restriction » : $f$ est continue à gauche en $a$. Le même argument donne la continuité à droite lorsque $a$ est adhérent à $R$.
($\Leftarrow$) Supposons $f$ continue de chaque côté qui existe, et soit $\varepsilon > 0$. Si $a$ est adhérent à $L$, il existe $\alpha_- > 0$ tel que $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$ pour $x \in L$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha_-$ ; sinon $L$ est vide et l'on pose $\alpha_- = 1$, la condition étant vide. De même il existe $\alpha_+ > 0$ pour $R$. Soient $\alpha = \min(\alpha_-, \alpha_+) > 0$ et $x \in I$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha$. Trois cas couvrent toutes les possibilités.

Si $x \in L$, alors $\lvert x - a \rvert \le \alpha_-$, donc $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$.
Si $x \in R$, alors $\lvert x - a \rvert \le \alpha_+$, donc $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$.
Si $x = a$, alors $\lvert f(x) - f(a) \rvert = 0 \le \varepsilon$.

Dans tous les cas $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$, donc $f$ est continue en $a$, d'après la Définition « Continuité en un point ».

Proposition — Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition)

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ continues en $a \in E$, et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.

Les fonctions $\lambda f + \mu g$ et $fg$ sont continues en $a$.
Si $g(a) \ne 0$, alors $g$ ne s'annule pas sur $E \cap [a - \eta, a + \eta]$ pour un certain $\eta > 0$, et le quotient $\frac{f}{g}$, défini sur l'ensemble $E_g$ des points de $E$ où $g$ ne s'annule pas, est continu en $a$.
Si $f(E) \subset F$ et si $h \colon F \to \mathbb{R}$ est continue en $f(a)$, alors $h \circ f$ est continue en $a$.

Preuve

Première démonstration : les limites. Comme $f$ et $g$ sont continues en $a \in E$, $f(x) \to f(a)$ et $g(x) \to g(a)$ quand $x \to a$.
Combinaison et produit. La Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) » donne $\lambda f(x) + \mu g(x) \to \lambda f(a) + \mu g(a)$ et $f(x) g(x) \to f(a) g(a)$. Ces limites sont les valeurs en $a$ de $\lambda f + \mu g$ et de $fg$ : les deux fonctions sont continues en $a$.
Quotient. Supposons $g(a) \ne 0$. D'après la règle du quotient de la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) », $g$ ne s'annule pas près de $a$ : $E_g$ contient $E \cap V$ pour un voisinage $V$ de $a$, donc $E \cap [a - \eta, a + \eta]$ pour un certain $\eta > 0$, puisque $V$ contient un voisinage de base. Le point $a$ appartient à $E_g$, puisque $g(a) \ne 0$. La même règle donne $\frac{f(x)}{g(x)} \to \frac{f(a)}{g(a)}$ sur $E_g$, valeur en $a$ de $\frac{f}{g}$.
Composition. Comme $f$ est continue en $a$, $f(x) \to f(a)$ quand $x \to a$, avec $f(E) \subset F$ et $f(a) \in F$. Comme $h$ est continue en $f(a)$, $h(y) \to h(f(a))$ quand $y \to f(a)$. La Proposition « Composition de limites » donne $h(f(x)) \to h(f(a))$, valeur en $a$ de $h \circ f$.
Seconde démonstration : les suites. D'après la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité », il suffit de suivre une suite $(u_n)$ de $E$ avec $u_n \to a$, le long de laquelle $f(u_n) \to f(a)$ et $g(u_n) \to g(a)$. Les règles de la Proposition « Opérations sur les limites finies » du chapitre Suites réelles donnent $\lambda f(u_n) + \mu g(u_n) \to \lambda f(a) + \mu g(a)$ et $f(u_n) g(u_n) \to f(a) g(a)$. Si $g(a) \ne 0$, prenons $(u_n)$ dans $E_g$ (les points où $g$ ne s'annule pas) : la règle du quotient de la même Proposition donne $\frac{f(u_n)}{g(u_n)} \to \frac{f(a)}{g(a)}$. Pour la composée, $(f(u_n))$ est une suite de $F$ de limite $f(a)$, et $h$ est continue en $f(a)$, donc $h(f(u_n)) \to h(f(a))$ d'après la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité ». Dans chaque cas la suite des images tend vers la valeur en $a$, ce qui est la continuité en $a$.

Proposition — Caractère local de la continuité

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $a \in E$.

Si $f$ est continue en $a$, toute restriction de $f$ à une partie $E' \subset E$ avec $a \in E'$ est continue en $a$.
Si $V$ est un voisinage de $a$ et si la restriction $f_{\vert E \cap V}$ est continue en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Deux fonctions qui coïncident sur $E \cap V$, pour un voisinage $V$ de $a$, sont continues en $a$ simultanément.

Preuve

Première démonstration : la restriction d'une limite. Les deux premiers énoncés sont la Proposition « Caractère local de la limite et restriction » avec la limite $f(a)$. Si $f \to f(a)$ en $a$ et $a \in E' \subset E$, alors $f_{\vert E'} \to f(a)$ en $a$, et $f_{\vert E'}(a) = f(a)$ : c'est le premier énoncé. Si $f_{\vert E \cap V} \to f(a)$ pour un voisinage $V$ de $a$, alors $f \to f(a)$, ce qui est le second. Pour le troisième, soit $g \colon E \to \mathbb{R}$ qui coïncide avec $f$ sur $E \cap V$, et supposons $f$ continue en $a$. Alors $f_{\vert E \cap V}$ est continue en $a$ d'après le premier énoncé ; c'est la restriction $g_{\vert E \cap V}$, donc $g$ est continue en $a$ d'après le second énoncé. Les rôles de $f$ et de $g$ sont symétriques.
Seconde démonstration du second énoncé : $\varepsilon$ et $\alpha$. Le voisinage $V$ contient $[a - \eta, a + \eta]$ pour un certain $\eta > 0$. Soit $\varepsilon > 0$. La continuité de $f_{\vert E \cap V}$ en $a$ donne $\alpha' > 0$ avec $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$ pour tout $x \in E \cap V$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha'$. Soient $\alpha = \min(\alpha', \eta)$ et $x \in E$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha$. Alors $x \in [a - \eta, a + \eta] \subset V$, donc $x \in E \cap V$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha'$, et $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$. Donc $f$ est continue en $a$.

Proposition — Valeur absolue, maximum et minimum de fonctions continues

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ continues en $a \in E$. Alors $\lvert f \rvert$, $\max(f, g)$ et $\min(f, g)$ sont continues en $a$.

Preuve

La valeur absolue. Soit $\varepsilon > 0$. La continuité de $f$ en $a$ donne $\alpha > 0$ tel que $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$ pour $x \in E$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha$. Pour ces $x$, $$ \begin{aligned} \big\lvert \lvert f(x) \rvert - \lvert f(a) \rvert \big\rvert &\le \lvert f(x) - f(a) \rvert && \text{(inégalité triangulaire renversée)} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape par le choix de $\alpha$. Donc $\lvert f \rvert$ est continue en $a$, avec le même $\alpha$.
Le maximum et le minimum. Pour tous réels $u$ et $v$, $$ \max(u, v) = \frac{u + v + \lvert u - v \rvert}{2}, \qquad \min(u, v) = \frac{u + v - \lvert u - v \rvert}{2}. $$ En effet, si $u \ge v$, alors $\lvert u - v \rvert = u - v$ et les deux seconds membres valent $u$ et $v$ ; si $u < v$, alors $\lvert u - v \rvert = v - u$ et ils valent $v$ et $u$. Donc $\max(f, g) = \frac{1}{2} (f + g + \lvert f - g \rvert)$ et $\min(f, g) = \frac{1}{2} (f + g - \lvert f - g \rvert)$. Les fonctions $f + g$ et $f - g$ sont continues en $a$ d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », donc aussi $\lvert f - g \rvert$ d'après la première partie, donc aussi les combinaisons de ces trois fonctions.

Proposition — La limite d'une suite récurrente est un point fixe

Soient $E \subset \mathbb{R}$, $f \colon E \to \mathbb{R}$, et $(u_n)$ une suite avec $u_0 \in E$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, chaque $u_n$ appartenant à $E$ (par exemple lorsque $E$ est stable par $f$). Supposons que $u_n \to \ell$ avec $\ell \in E$, et que $f$ est continue en $\ell$. Alors $f(\ell) = \ell$. Lorsque $E$ est un segment $[p, q]$, la condition $\ell \in E$ est automatique.

Preuve

Comme $u_n \to \ell$ et que $f$ est continue en $\ell \in E$, la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » donne $f(u_n) \to f(\ell)$. Par définition de la suite, $f(u_n) = u_{n+1}$, et $u_{n+1} \to \ell$ d'après la Proposition « Le décalage » du chapitre Suites réelles. Donc la suite $(f(u_n)) = (u_{n+1})$ tend à la fois vers $f(\ell)$ et vers $\ell$, et la Proposition « Unicité de la limite » du chapitre Suites réelles donne $f(\ell) = \ell$.
Pour un segment $E = [p, q]$, chaque terme vérifie $p \le u_n \le q$, et le passage à la limite dans ces inégalités larges, d'après la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Suites réelles, donne $p \le \ell \le q$ : $\ell \in E$.

Les fonctions continues de référence (faits du lycée)

Quelles fonctions sont continues ? Les fonctions constantes et l'identité $x \mapsto x$ sont continues en tout point, d'après la Définition « Continuité en un point » avec $\alpha = \varepsilon$. La Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) » donne alors, par récurrence sur le degré, les fonctions polynomiales, et les fonctions rationnelles en tout point de leur ensemble de définition. Les fonctions $\sqrt{\cdot}$ sur $\mathbb{R}_+$, $\exp$ sur $\mathbb{R}$, $\ln$ sur $]0, +\infty[$, et $\cos$ et $\sin$ sur $\mathbb{R}$ sont continues : ce sont des faits du lycée, utilisés ici sans démonstration et étudiés de nouveau plus tard. Le quotient $\tan = \frac{\sin}{\cos}$ est continu en tout point où $\cos$ ne s'annule pas, d'après la règle du quotient, et $\lvert \cdot \rvert$ est continue d'après la Proposition « Valeur absolue, maximum et minimum de fonctions continues ». Une fonction donnée par une formule construite avec ces fonctions par sommes, produits, quotients et composées est continue en tout point de son ensemble de définition, celui-ci se trouvant pas à pas comme dans le chapitre Fonctions réelles : vocabulaire. La partie entière n'est pas une telle fonction : elle est continue aux non-entiers et pas aux entiers, comme le montre l'Exemple « Continuité de la partie entière ».

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Exemple — $x \mapsto x^2$ est continue en tout $a$

Montrer, à partir de la Définition « Continuité en un point », que $x \mapsto x^2$ est continue en tout $a \in \mathbb{R}$.

Correction

Soient $f(x) = x^2$, $a \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon > 0$. La tolérance $\varepsilon$ doit être atteinte à partir de $\lvert f(x) - f(a) \rvert$, qui s'écrit avec $\lvert x - a \rvert$. Prenons $\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{2 \lvert a \rvert + 1}\right) > 0$ et $x \in \mathbb{R}$ avec $\lvert x - a \rvert \le \alpha$. Alors $\lvert x - a \rvert \le 1$, donc $\lvert x \rvert \le \lvert a \rvert + 1$, et $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - f(a) \rvert &= \lvert x^2 - a^2 \rvert && \text{(définition de $f$)} \\ &= \lvert x - a \rvert \, \lvert x + a \rvert && \text{(différence de deux carrés)} \\ &\le \lvert x - a \rvert \, (\lvert x \rvert + \lvert a \rvert) && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \lvert x - a \rvert \, (2 \lvert a \rvert + 1) && \text{($\lvert x \rvert \le \lvert a \rvert + 1$)} \\ &\le \alpha \, (2 \lvert a \rvert + 1) && \text{($\lvert x - a \rvert \le \alpha$)} \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\alpha \le \frac{\varepsilon}{2 \lvert a \rvert + 1}$. D'après la Définition « Continuité en un point », $f$ est continue en $a$. Le rayon $\alpha$ dépend de $a$ autant que de $\varepsilon$ : il rétrécit quand $\lvert a \rvert$ grandit, ce qu'étudie la section « Continuité uniforme ».

Exemple — Faire passer une limite à travers une fonction continue

Soient $f \colon E \to F$ avec $f(x) \to \ell \in F$ quand $x \to a$, et $g \colon F \to \mathbb{R}$ continue en $\ell$. Montrer que $g(f(x)) \to g(\ell)$ quand $x \to a$. En déduire $\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\frac{\pi x}{x + 1}\right)$.

Correction

Première méthode : la composition de limites. Comme $g$ est continue en $\ell \in F$, $g(y) \to g(\ell)$ quand $y \to \ell$, d'après la Définition « Continuité en un point ». Avec $f(E) \subset F$ et $f(x) \to \ell$, la Proposition « Composition de limites » donne $g(f(x)) \to g(\ell)$ quand $x \to a$.
Seconde méthode : les suites. Soit $(u_n)$ une suite de $E$ avec $u_n \to a$. D'après la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », $f(u_n) \to \ell$, et $(f(u_n))$ est une suite de $F$. Comme $g$ est continue en $\ell$, la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » donne $g(f(u_n)) \to g(\ell)$. Cela vaut pour toute telle suite $(u_n)$, donc le Théorème « Heine : caractérisation séquentielle des limites » donne $g(f(x)) \to g(\ell)$ quand $x \to a$.
La limite. Pour $x > 0$, soit $f(x) = \frac{\pi x}{x + 1}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, et $g = \cos$, continue sur $\mathbb{R}$. Alors $$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{\pi x}{x + 1} && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{\pi}{1 + \frac{1}{x}} && \text{(division par $x > 0$)} \\ &\xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{\pi}{1 + 0} = \pi, \end{aligned} $$ par les opérations sur les limites, puisque $\frac{1}{x} \to 0$ en $+\infty$. Comme $\cos$ est continue en $\pi$, $\cos(f(x)) \to \cos \pi = -1$. Donc $$ \lim_{x \to +\infty} \cos\left(\frac{\pi x}{x + 1}\right) = -1. $$

Exemple — Une formule continue sur $\mathbb{R}^*$

Montrer que $f \colon x \mapsto \ln\left(x^2 + e^{1/x}\right)$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^*$.

Correction

L'ensemble de définition. L'expression $\frac{1}{x}$ exige $x \ne 0$. Pour $x \ne 0$, $e^{1/x} > 0$ et $x^2 \ge 0$, donc $x^2 + e^{1/x} > 0$, qui est dans l'ensemble de définition $]0, +\infty[$ de $\ln$. Donc $f$ est définie exactement sur $\mathbb{R}^*$.
La continuité, de l'intérieur vers l'extérieur. Fixons $a \in \mathbb{R}^*$.

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue en $a$, comme fonction rationnelle définie en $a$.
La fonction $x \mapsto e^{1/x}$ est la composée de $x \mapsto \frac{1}{x}$ et de $\exp$, continue sur $\mathbb{R}$ : elle est continue en $a$, d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ».
La fonction $x \mapsto x^2 + e^{1/x}$ est la somme de $x \mapsto x^2$ et de $x \mapsto e^{1/x}$, toutes deux continues en $a$ : elle est continue en $a$, à valeurs dans $]0, +\infty[$.
La fonction $f$ est la composée de cette fonction et de $\ln$, continue sur $]0, +\infty[$, au point $a^2 + e^{1/a} > 0$ : elle est continue en $a$.

Donc $f$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^*$.

Exemple — Continuité de la partie entière

Montrer que la partie entière $f \colon x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est continue en tout non-entier, continue à droite en tout entier, et discontinue en tout entier.

Correction

Soient $a \in \mathbb{R}$ et $n = \lfloor a \rfloor$, de sorte que $n \le a < n + 1$. Pour un entier $m$, $\lfloor x \rfloor = m \iff m \le x < m + 1$ : la partie entière est la constante $n$ sur $[n, n + 1[$.
Un non-entier $a$. Alors $n < a < n + 1$. D'après la Définition « Voisinage ; propriété vraie au voisinage de $a$ », les demi-droites $]-\infty, n + 1[$ et $]n, +\infty[$ sont des voisinages de $a$, et leur intersection $V = \,]n, n + 1[$ aussi. Sur $V$, la partie entière coïncide avec la fonction constante $n$, qui est continue en $a$. D'après la Proposition « Caractère local de la continuité », $f$ est continue en $a$.
Un entier $a = n$. La demi-droite $V = \,]-\infty, n + 1[$ est un voisinage de $n$, et $]n, +\infty[ \, \cap V = \,]n, n + 1[$, où $\lfloor x \rfloor = n$. Donc la restriction de $f$ à $]n, +\infty[$ coïncide sur $]n, +\infty[ \, \cap V$ avec la fonction constante $n$, qui tend vers $n$ en $n$. D'après la Proposition « Caractère local de la limite et restriction », $\lim_{x \to n^+} f(x) = n = f(n)$ : $f$ est continue à droite en $n$. Elle n'est pas continue en $n$ : soit $u_k = n - \frac{1}{k+1}$, de sorte que $n - 1 \le u_k < n$ et $\lfloor u_k \rfloor = n - 1$. Alors $u_k \to n$ et $f(u_k) = n - 1 \to n - 1 \ne n = f(n)$, ce qui contredit la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité ». Comme $n$ est un point intérieur de $\mathbb{R}$ et que $f$ est continue à droite en $n$, la Proposition « Continuité et limites latérales » montre que $f$ n'est pas continue à gauche en $n$.

Exemple — La limite de $u_{n+1} \equal \ln(1 + u_n)$ par son point fixe

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \ln(1 + u_n)$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Correction

Soit $f(x) = \ln(1 + x)$ sur $E = [0, +\infty[$.
Un intervalle stable. Pour $x \ge 0$, $1 + x \ge 1$, donc $f(x) = \ln(1 + x) \ge \ln 1 = 0$ puisque $\ln$ est croissante : $E$ est stable par $f$. Comme $u_0 = 1 \in E$, la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes » du chapitre Suites réelles donne $u_n \ge 0$ pour tout $n$.
Monotonie. Pour $x \ge 0$, l'inégalité $\ln t \le t - 1$ avec $t = 1 + x > 0$ donne $f(x) \le x$. Donc $$ \begin{aligned} u_{n+1} &= f(u_n) && \text{(définition de la suite)} \\ &\le u_n, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $u_n \in E$ et $f(x) \le x$ sur $E$. Donc $(u_n)$ est décroissante.
Convergence. La suite est décroissante et minorée par $0$ : d'après la Proposition « Une suite monotone bornée converge » du chapitre Suites réelles, $u_n \to \ell \in \mathbb{R}$, et $\ell \ge 0$ par passage à la limite dans $u_n \ge 0$, donc $\ell \in E$.
La limite est un point fixe. La fonction $f$ est la composée de $x \mapsto 1 + x$, continue, et de $\ln$, continue sur $]0, +\infty[$, au point $1 + \ell \ge 1$ : elle est continue en $\ell$. D'après la Proposition « La limite d'une suite récurrente est un point fixe », $f(\ell) = \ell$, c'est-à-dire $\ln(1 + \ell) = \ell$.
Le point fixe. Si $\ell > 0$, l'inégalité $\ln t \le t - 1$ avec $t = 1 + \ell \ne 1$ est stricte, puisque l'égalité n'a lieu qu'en $t = 1$ : $\ln(1 + \ell) < \ell$, ce qui contredit $\ln(1 + \ell) = \ell$. Donc $\ell = 0$ : la suite tend vers $0$.

Méthode — Établir la continuité

Pour établir que $f$ est continue en un point $a$ de son ensemble de définition, choisir la voie qui convient à la formule.

Par les opérations : écrire $f$ avec les fonctions de référence par sommes, produits, quotients et composées, en vérifiant à chaque étape que le point appartient à l'ensemble de définition ; la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) » et le Texte « Les fonctions continues de référence (faits du lycée) » concluent. C'est la voie pour toute formule.
Par la définition : fixer $\varepsilon > 0$, majorer $\lvert f(x) - f(a) \rvert$ par une constante fois $\lvert x - a \rvert$ valable pour $\lvert x - a \rvert \le 1$, comme pour $x \mapsto x^2$ avec la constante $2 \lvert a \rvert + 1$, et prendre $\alpha = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{\text{constante}}\right)$.
Par l'encadrement : si $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le g(x)$ avec $g(x) \to 0$ quand $x \to a$, la Proposition « Encadrement à zéro » donne $f(x) \to f(a)$.
Par les suites : pour prouver une discontinuité, exhiber une suite $(u_n)$ de l'ensemble de définition avec $u_n \to a$ et $f(u_n) \not\to f(a)$, ou deux suites de limite $a$ dont les images ont des limites différentes : la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » conclut.
En un point où la formule change : utiliser la Méthode « Tester la continuité à une jonction ».

Méthode — Tester la continuité à une jonction

Une fonction définie par deux formules, $f(x) = f_1(x)$ d'un côté d'un point $a$ et $f(x) = f_2(x)$ de l'autre, avec $f(a)$ donné par l'une d'elles ou par une troisième valeur :

Loin de $a$ : de chaque côté, $f$ coïncide près de tout point avec $f_1$ ou avec $f_2$, donc elle est continue là où la formule l'est, d'après la Proposition « Caractère local de la continuité » et les opérations.
À la jonction : calculer la limite à gauche $\ell_- = \lim_{x \to a^-} f_1(x)$, la limite à droite $\ell_+ = \lim_{x \to a^+} f_2(x)$ et la valeur $f(a)$, chacune par la formule qui vaut de son côté.
Comparer : $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\ell_- = f(a) = \ell_+$, d'après la Proposition « Continuité et limites latérales ». Lorsque $f(a)$ est donné par l'une des deux formules, l'une des deux égalités est automatique. Pour un paramètre, résoudre $\ell_- = f(a) = \ell_+$.
Morceaux monotones : si $f$ est monotone dans le même sens de chaque côté de $a$, la valeur $f(a)$ étant comprise des deux côtés, la fonction est monotone sur la réunion, d'après la Proposition « Recoller des morceaux monotones ».

Par exemple $f(x) = x^3$ pour $x \le 1$ et $f(x) = 2x - 1$ pour $x > 1$ : $\ell_- = 1^3 = 1 = f(1)$ et $\ell_+ = 2 \times 1 - 1 = 1$, donc $f$ est continue en $1$, et croissante sur $\mathbb{R}$ parce que les deux morceaux sont croissants et se rejoignent en $1$.

Méthode — Résoudre une équation fonctionnelle dont l'inconnue est continue

Une équation qui relie les valeurs d'une fonction inconnue $f$ en plusieurs points, avec $f$ continue en un point ou sur un intervalle :

Calculer sur un ensemble simple : à partir de l'équation, trouver $f$ sur un ensemble de points que l'équation atteint pas à pas, par récurrence : les points $\frac{x}{2^n}$ d'une suite qui tend vers un point où la continuité est connue, les entiers, les rationnels, les nombres dyadiques.
Atteindre chaque point par une limite : écrire le point comme limite $u_n \to a$ d'une suite de l'ensemble simple, et passer à la limite dans $f(u_n)$ par la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » ; pour les rationnels, utiliser leur densité : tout réel est limite de nombres rationnels.
Conclure par l'unicité : la suite $(f(u_n))$ a une seule limite, $f(a)$, donc deux expressions de sa limite sont égales, d'après la Proposition « Unicité de la limite » du chapitre Suites réelles.

Sans la continuité la méthode échoue : la fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$ vérifie $f(2x) = f(x)$ et n'est pas constante.

Exemple — Une équation fonctionnelle $f(2x) \equal f(x)$

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ avec $f(2x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et continue en $0$. Montrer que $f$ est constante.

Correction

Fixons $x \in \mathbb{R}$.
Les valeurs sur les moitiés. Soit $P(n)$ l'énoncé « $f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(x)$ ». Initialisation. $P(0)$ est $f(x) = f(x)$. Hérédité. Supposons $P(n)$ pour un $n \in \mathbb{N}$. En appliquant l'équation au point $\frac{x}{2^{n+1}}$, $$ \begin{aligned} f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) &= f\left(2 \cdot \frac{x}{2^{n+1}}\right) && \text{(l'équation $f(2t) = f(t)$ en $t = \frac{x}{2^{n+1}}$)} \\ &= f\left(\frac{x}{2^n}\right) && \text{(car $2 \cdot \frac{x}{2^{n+1}} = \frac{x}{2^n}$)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ la dernière étape par l'hypothèse de récurrence $P(n)$. Par récurrence, $f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
La limite. La suite $\left(\frac{x}{2^n}\right)$ est le produit de la constante $x$ et de la suite géométrique $\left(\frac{1}{2}\right)^n$, qui tend vers $0$ d'après la Proposition « Limite de $q^n$ » du chapitre Suites réelles : $\frac{x}{2^n} \to 0$. Comme $f$ est continue en $0$, la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » donne $f\left(\frac{x}{2^n}\right) \to f(0)$. Mais $f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(x)$ pour tout $n$ : la suite est constante, égale à $f(x)$, donc sa limite est $f(x)$. Par unicité de la limite, $f(x) = f(0)$.
Cela vaut pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f$ est constante, égale à $f(0)$.

Compétences à pratiquer

Décider si une fonction est continue en un point ★
Trouver la valeur qui rend une fonction continue en un point ★
Établir la continuité en un point par la définition ★
Décider de la continuité avec des suites ou des limites latérales ★
Utiliser les opérations et la composition pour démontrer la continuité ★★
Étudier la continuité avec une valeur absolue, une partie entière ou un maximum ★★
Établir la continuité par un encadrement ★★
Trouver la limite d'une suite récurrente par ses points fixes ★★

IV.2 Prolongement par continuité

Réparer une valeur manquante

Une fonction peut n'être pas définie en un point $a$ alors que ses valeurs voisines tendent vers une limite finie : $\frac{\sin x}{x}$ en $0$ en est le modèle. Donner à $f$ en $a$ la valeur de cette limite répare la fonction, qui devient continue en $a$. Lorsque la limite n'existe pas, ou est infinie, aucune valeur ne la répare. La Définition « Prolongement par continuité » énonce la réparation, la Proposition « Prolongement par continuité : existence et unicité » démontre qu'elle existe exactement quand la limite est finie et qu'elle est unique, et la Méthode « Prolonger par continuité » apprend à la mener.

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Définition — Prolongement par continuité

Soient $E' \subset \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ avec $a \notin E'$ adhérent à $E'$, et $f \colon E' \to \mathbb{R}$ une fonction qui a une limite finie $\ell$ en $a$. Le prolongement par continuité de $f$ en $a$ est la fonction $\tilde{f} \colon E' \cup \{a\} \to \mathbb{R}$ définie par $$ \tilde{f}(x) = f(x) \text{ pour } x \in E', \qquad \tilde{f}(a) = \ell. $$ On dit que $f$ se prolonge par continuité en $a$. La Proposition « Prolongement par continuité : existence et unicité » montre que $\tilde{f}$ est continue en $a$, et qu'aucune autre valeur en $a$ ne donnerait une fonction continue en $a$.

Proposition — Prolongement par continuité : existence et unicité

Soient $E' \subset \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ avec $a \notin E'$ adhérent à $E'$, et $f \colon E' \to \mathbb{R}$. Il existe une fonction $g \colon E' \cup \{a\} \to \mathbb{R}$ qui coïncide avec $f$ sur $E'$ et est continue en $a$ si et seulement si $f$ a une limite finie en $a$. Alors $g$ est unique : $g(a) = \lim_{x \to a} f(x)$, et $g = \tilde{f}$.

Preuve

Montrons les deux implications, puis l'unicité.
($\Rightarrow$) Supposons que $g$ coïncide avec $f$ sur $E'$ et soit continue en $a$ : $g(x) \to g(a)$ quand $x \to a$. Le point $a$ est adhérent à $E'$, et la restriction de $g$ à $E'$ est $f$, qui a la même limite d'après la Proposition « Caractère local de la limite et restriction » : $f(x) \to g(a)$ quand $x \to a$, une limite finie.
($\Leftarrow$) Supposons que $f(x) \to \ell \in \mathbb{R}$ quand $x \to a$, et soit $g = \tilde{f}$. D'après la Proposition « Limite et limite épointée », appliquée à $\tilde{f}$ sur $E' \cup \{a\}$, qui contient $a$, $\tilde{f}(x) \to \ell$ quand $x \to a$ si et seulement si $\ell = \tilde{f}(a)$ et si la restriction de $\tilde{f}$ à $(E' \cup \{a\}) \setminus \{a\} = E'$ tend vers $\ell$. Les deux ont lieu : $\tilde{f}(a) = \ell$ par définition, et cette restriction est $f$. Donc $\tilde{f}(x) \to \ell = \tilde{f}(a)$ : $\tilde{f}$ est continue en $a$.
Unicité. Si $g$ coïncide avec $f$ sur $E'$ et est continue en $a$, alors $f \to g(a)$, comme montré dans la première implication. Une fonction a au plus une limite, d'après la Proposition « Unicité de la limite » : $g(a) = \lim_a f = \ell$, donc $g = \tilde{f}$.

Méthode — Prolonger par continuité

Pour prolonger par continuité une fonction $f$ définie sur $E'$ en un point $a \notin E'$ :

Vérifier la situation : $a$ est un réel, adhérent à $E'$ (des points de $E'$ s'approchent de $a$ autant qu'on veut), et $a \notin E'$.
Calculer la limite : trouver $\lim_{x \to a} f(x)$ avec les outils des limites — lever une forme indéterminée, le théorème d'encadrement, les croissances comparées, un changement de variable. Si la limite existe et est finie, l'appeler $\ell$ ; si elle n'existe pas ou est infinie, aucun prolongement n'existe, d'après la Proposition « Prolongement par continuité : existence et unicité ».
Énoncer le prolongement : $\tilde{f}(a) = \ell$ et $\tilde{f} = f$ ailleurs. Il est continu en $a$, et en tout point de $E'$ où $f$ l'est, puisque près d'un tel point $\tilde{f}$ et $f$ coïncident (Proposition « Caractère local de la continuité »).
Lorsque seules les limites latérales existent : si $E'$ est d'un seul côté de $a$, un seul côté se calcule, et le prolongement est continu d'un côté, ce qui est la continuité sur $E' \cup \{a\}$.

Exemple — $\frac{\sin x}{x}$ se prolonge par la valeur $1$ en $0$

Montrer que $f(x) = \frac{\sin x}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$, se prolonge par continuité en $0$, et donner le prolongement.

Correction

La situation. Le point $0$ est réel, n'est pas dans $\mathbb{R}^*$, et est adhérent à $\mathbb{R}^*$ (tout $[-\eta, \eta]$ contient les points de $\mathbb{R}^*$ proches de $0$).
La limite. D'après le théorème d'encadrement, démontré dans la section « Opérations, ordre, limite monotone et croissances comparées », $\frac{\sin x}{x} \to 1$ quand $x \to 0$, une limite finie.
Le prolongement. D'après la Proposition « Prolongement par continuité : existence et unicité », $f$ se prolonge par continuité en $0$, avec $\tilde{f}(0) = 1$ : $$ \tilde{f}(x) = \frac{\sin x}{x} \text{ pour } x \ne 0, \qquad \tilde{f}(0) = 1. $$ La fonction $\tilde{f}$ est continue en $0$ par construction, et en tout $a \ne 0$ comme quotient de $\sin$ et de l'identité, qui ne s'annule pas en $a$ : donc $\tilde{f}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Exemple — $\sin\frac{1}{x}$ ne se prolonge pas en $0$

Décider si $g(x) = \sin\frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$, se prolonge par continuité en $0$.

Correction

La fonction $g$ est bornée, puisque $\lvert \sin \rvert \le 1$, mais elle n'a pas de limite en $0$, d'après l'Exemple « $\sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$ ». D'après la Proposition « Prolongement par continuité : existence et unicité », une fonction qui n'a pas de limite finie en $0$ n'a pas de prolongement continu en $0$. Donc $g$ ne se prolonge pas par continuité en $0$, quelle que soit la valeur choisie en $0$.

Exemple — $x \ln x$ se prolonge par la valeur $0$ en $0$

Montrer que $f(x) = x \ln x$, définie sur $]0, +\infty[$, se prolonge par continuité en $0$, et donner le prolongement.

Correction

La situation. Le point $0$ est réel, n'est pas dans $]0, +\infty[$, et lui est adhérent.
La limite. Pour $x > 0$, $\lvert x \ln x \rvert = x^1 \lvert \ln x \rvert^1$, et la Proposition « Le logarithme contre les puissances » (la limite $x^a \lvert \ln x \rvert^b \to 0$ quand $x \to 0^+$, ici avec $a = b = 1$) donne $\lvert x \ln x \rvert \to 0$ quand $x \to 0$, donc $x \ln x \to 0$ par la Proposition « Encadrement à zéro » : une limite finie.
Le prolongement. D'après la Proposition « Prolongement par continuité : existence et unicité », $f$ se prolonge par continuité en $0$, avec $\tilde{f}(0) = 0$, sur $[0, +\infty[$ : $$ \tilde{f}(x) = x \ln x \text{ pour } x > 0, \qquad \tilde{f}(0) = 0. $$ La fonction $\tilde{f}$ est continue en $0$ par construction — ici à droite, puisque son ensemble de définition est à droite de $0$ — et en tout $a > 0$ comme produit de deux fonctions continues.

Compétences à pratiquer

Trouver la valeur d'un prolongement par continuité ★
Démontrer qu'une fonction se prolonge par continuité ★
Décider si une fonction se prolonge par continuité ★★
Construire un prolongement par continuité avec un paramètre ★★

V Continuité sur un intervalle

D'un point à un intervalle

Une fonction continue en tout point d'un intervalle a des propriétés qu'aucun point isolé ne montre, et que le lycée admettait ou lisait sur une courbe. Trois d'entre elles se détachent. Une fonction continue prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs : c'est le théorème des valeurs intermédiaires, et l'image d'un intervalle est alors un intervalle. Sur un segment la fonction est bornée et atteint ses bornes, et l'image d'un segment est un segment. Et une fonction continue injective est strictement monotone, de réciproque continue : c'est le théorème de la bijection. Tous sont démontrés ici, à partir de la propriété de la borne supérieure de $\mathbb{R}$ et des théorèmes sur les suites, et chaque énoncé a un intervalle ou un segment dans son hypothèse. L'hypothèse ne peut pas être supprimée : une fonction continue sur une réunion de deux intervalles peut sauter des valeurs.

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V.1 Le théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction continue ne saute aucune valeur

Une fonction continue négative en $a$ et positive en $b$ s'annule entre les deux : le graphe, tracé sans lever le crayon, coupe l'axe. C'est le théorème des valeurs intermédiaires, que le lycée admettait. Il est démontré ici de deux façons. La première emploie la borne supérieure de l'ensemble où la fonction est négative ou nulle ; la seconde coupe le segment en deux, encore et encore, et c'est le premier pas de la méthode qui approche un zéro. Le même théorème, appliqué à $f - y$, dit que $f$ prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$, et la proposition sur les signes et sur les limites aux extrémités le met en œuvre sur un intervalle entier.

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Définition — Continuité sur un intervalle

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle. On dit que $f \colon I \to \mathbb{R}$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout $a \in I$. L'ensemble de telles fonctions se note $\textcolor{colordef}{C^0(I, \mathbb{R})}$.

Théorème — Théorème des valeurs intermédiaires

Soient $a < b$ et $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a, b]$ avec $f(a) f(b) \le 0$. Alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = 0$.

Preuve

Comme $f(a) f(b) \le 0$, on a $f(a) \le 0 \le f(b)$ ou $f(b) \le 0 \le f(a)$. Dans le second cas, la fonction $-f$ est continue, d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », elle a les mêmes zéros que $f$, et elle vérifie $-f(a) \le 0 \le -f(b)$. On peut donc supposer $f(a) \le 0 \le f(b)$.
Première démonstration : la borne supérieure. Soit $A = \{x \in [a, b] \mid f(x) \le 0\}$. L'ensemble $A$ contient $a$ et est majoré par $b$, donc par la propriété de la borne supérieure $c = \sup A$ existe, et $a \le c \le b$. Montrons que $f(c) \le 0$ et que $f(c) \ge 0$.
$f(c) \le 0$. D'après la Proposition « Une borne supérieure est limite de termes de l'ensemble » du chapitre Suites réelles, il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ avec $x_n \to c$. Comme $f$ est continue en $c \in [a, b]$, $f(x_n) \to f(c)$ d'après la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité ». Chaque $f(x_n) \le 0$, donc le passage à la limite dans cette inégalité large, d'après la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Suites réelles, donne $f(c) \le 0$.
$f(c) \ge 0$. Si $c = b$, alors $f(c) = f(b) \ge 0$. Supposons $c < b$, et pour $n \in \mathbb{N}$ posons $y_n = c + \frac{b - c}{n + 1}$. Alors $c < y_n \le b$. Comme $y_n > c = \sup A$, le point $y_n$ n'appartient pas à $A$ ; comme $y_n \in [a, b]$, cela signifie $f(y_n) > 0$. La suite $(y_n)$ tend vers $c$, donc $f(y_n) \to f(c)$, et le passage à la limite dans $f(y_n) > 0$ donne $f(c) \ge 0$.
Donc $f(c) \le 0$ et $f(c) \ge 0$ : $f(c) = 0$.
Seconde démonstration : la dichotomie. Soient $a_0 = a$ et $b_0 = b$. Supposons construits $a_n \le b_n$ avec $f(a_n) \le 0 \le f(b_n)$, et soit $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$. Si $f(m_n) \le 0$, posons $a_{n+1} = m_n$ et $b_{n+1} = b_n$ ; sinon $f(m_n) > 0$, et posons $a_{n+1} = a_n$ et $b_{n+1} = m_n$. Dans les deux cas $f(a_{n+1}) \le 0 \le f(b_{n+1})$, $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$, et $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b_n - a_n}{2}$. Par récurrence, $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$, qui tend vers $0$ d'après la Proposition « Limite de $q^n$ » du chapitre Suites réelles. Les segments sont emboîtés et leurs longueurs tendent vers $0$ : d'après la Proposition « Segments emboîtés » du chapitre Suites réelles, $a_n \to c$ et $b_n \to c$ pour un point $c \in [a_0, b_0] = [a, b]$. D'après la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité », $f(a_n) \to f(c)$ et $f(b_n) \to f(c)$. Le passage à la limite dans $f(a_n) \le 0$ donne $f(c) \le 0$, et dans $0 \le f(b_n)$ donne $f(c) \ge 0$. Donc $f(c) = 0$.

Proposition — Encadrement d'un zéro par dichotomie

Soient $a < b$ et $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ continue avec $f(a) f(b) \le 0$. Définissons $[a_0, b_0] = [a, b]$ et, avec $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$, $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, m_n]$ si $f(a_n) f(m_n) \le 0$ et $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [m_n, b_n]$ sinon. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f(a_n) f(b_n) \le 0$ et $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ tendent vers la même limite $c$, qui est un zéro de $f$, et $\lvert c - a_n \rvert \le \frac{b - a}{2^n}$. En particulier, $a_n$ approche un zéro de $f$ à $\varepsilon > 0$ près dès que $n \ge \frac{\ln \frac{b - a}{\varepsilon}}{\ln 2}$.

Preuve

L'invariant. Soit $P(n)$ l'énoncé « $a \le a_n \le b_n \le b$, $f(a_n) f(b_n) \le 0$ et $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$ ». Initialisation. $P(0)$ est l'hypothèse $f(a) f(b) \le 0$ avec $b_0 - a_0 = b - a$. Hérédité. Supposons $P(n)$ et soit $m = m_n \in [a_n, b_n]$. Si $f(a_n) f(m) \le 0$, alors $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, m]$ et $f(a_{n+1}) f(b_{n+1}) = f(a_n) f(m) \le 0$. Sinon $f(a_n) f(m) > 0$, donc $f(a_n) \ne 0$, et $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [m, b_n]$. Alors $$ \begin{aligned} f(a_n)^2 \, f(m) f(b_n) &= \big(f(a_n) f(m)\big) \big(f(a_n) f(b_n)\big) && \text{(réarrangement du produit)} \\ &\le 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le premier facteur est strictement positif et le second négatif ou nul par $P(n)$. Comme $f(a_n)^2 > 0$, $f(m) f(b_n) \le 0$ : $f(a_{n+1}) f(b_{n+1}) \le 0$. Dans les deux cas le segment est une moitié de $[a_n, b_n]$, donc $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b_n - a_n}{2} = \frac{b - a}{2^{n+1}}$ et $a \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b$. C'est $P(n+1)$, et par récurrence $P(n)$ est vraie pour tout $n$.
La limite. La suite $(a_n)$ est croissante et $(b_n)$ est décroissante, puisque chaque segment est contenu dans le précédent, et $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \to 0$ d'après la Proposition « Limite de $q^n$ » du chapitre Suites réelles : les suites sont adjacentes. D'après le Théorème « Théorème des suites adjacentes » du chapitre Suites réelles, elles convergent vers la même limite $c$, et $a_n \le c \le b_n$ pour tout $n$. Alors $0 \le c - a_n \le b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$, ce qui est la majoration de $\lvert c - a_n \rvert$.
Le zéro. La limite $c$ est dans $[a, b]$, où $f$ est continue, donc $f(a_n) \to f(c)$ et $f(b_n) \to f(c)$ d'après la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité ». Par la règle du produit, $f(a_n) f(b_n) \to f(c)^2$, et le passage à la limite dans $f(a_n) f(b_n) \le 0$ donne $f(c)^2 \le 0$, donc $f(c) = 0$.
La précision. L'inégalité $\frac{b - a}{2^n} \le \varepsilon$ signifie $2^n \ge \frac{b - a}{\varepsilon}$, c'est-à-dire $n \ln 2 \ge \ln \frac{b - a}{\varepsilon}$, puisque $\ln$ est croissante.

Proposition — Théorème des valeurs intermédiaires, forme 2

Soient $a < b$, $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ continue, et $y$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, c'est-à-dire $\min(f(a), f(b)) \le y \le \max(f(a), f(b))$. Alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.

Preuve

Soit $g = f - y$, la différence de $f$ et d'une fonction constante, continue sur $[a, b]$ d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ». Si $f(a) \le y \le f(b)$, alors $g(a) = f(a) - y \le 0 \le f(b) - y = g(b)$ ; si $f(b) \le y \le f(a)$, alors $g(b) \le 0 \le g(a)$. Dans les deux cas $g(a) g(b) \le 0$. Le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires » donne $c \in [a, b]$ avec $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = y$.

Proposition — Signe d'une fonction continue sans zéro

Soient $I$ un intervalle et $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et ne s'annulant jamais. Alors $f > 0$ sur $I$, ou $f < 0$ sur $I$.

Preuve

Raisonnons par l'absurde. Comme $f$ ne s'annule jamais, chaque valeur est strictement positive ou strictement négative. Supposons que $f$ prenne une valeur strictement négative et une valeur strictement positive, soit $f(x) < 0 < f(y)$ avec $x, y \in I$ ; alors $x \ne y$. Soit $J$ le segment d'extrémités $x$ et $y$. Comme $I$ est un intervalle, $J \subset I$ d'après le Théorème « Caractérisation des intervalles » du chapitre Nombres réels. La fonction $f$ est continue sur $J$, d'après la Proposition « Caractère local de la continuité », et $0$ est compris entre $f(x)$ et $f(y)$. La Proposition « Théorème des valeurs intermédiaires, forme 2 » donne $c \in J \subset I$ avec $f(c) = 0$, ce qui contredit l'hypothèse. Donc $f$ ne prend pas de valeurs des deux signes : toutes ses valeurs sont strictement positives, ou toutes strictement négatives.

Proposition — Zéros et limites aux extrémités

Soient $I$ un intervalle avec $a = \inf I < b = \sup I$ dans $\overline{\mathbb{R}}$, et $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ avec des limites $\ell$ en $a$ et $m$ en $b$ dans $\overline{\mathbb{R}}$. Tout réel $y$ strictement compris entre $\ell$ et $m$ est une valeur de $f$ en un point de $]a, b[$. En particulier, si $\ell < 0 < m$ ou $m < 0 < \ell$, alors $f$ s'annule en un point de $]a, b[$.

Preuve

Supposons d'abord $\ell < y < m$. Une valeur sous $y$. D'après la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) » au point $a$, avec $\ell < y$, il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $f(x) < y$ pour tout $x \in I \cap V$. Le point $a$ est adhérent à $I$, donc $I \cap V \ne \emptyset$ : choisissons $x_1 \in I$ avec $f(x_1) < y$. Une valeur au-dessus de $y$. De même, au point $b$ avec $y < m$, il existe $x_2 \in I$ avec $f(x_2) > y$. La valeur $y$. Alors $x_1 \ne x_2$. Soit $J$ le segment d'extrémités $x_1$ et $x_2$ : $J \subset I$ puisque $I$ est un intervalle, et $f$ est continue sur $J$ d'après la Proposition « Caractère local de la continuité ». Le nombre $y$ est compris entre $f(x_1)$ et $f(x_2)$, donc la Proposition « Théorème des valeurs intermédiaires, forme 2 » donne $c \in J$ avec $f(c) = y$. Comme $f(x_1) < y < f(x_2)$, $c$ est différent de $x_1$ et de $x_2$, donc $c$ est strictement entre eux ; et $x_1, x_2 \in [a, b]$, donc $c \in ]a, b[$.
Supposons maintenant $m < y < \ell$. La fonction $-f$ est continue sur $I$ avec les limites $-\ell$ en $a$ et $-m$ en $b$, et $-\ell < -y < -m$. Le premier cas donne $c \in ]a, b[$ avec $-f(c) = -y$, c'est-à-dire $f(c) = y$.
Pour la dernière phrase, prendre $y = 0$.

Exemple — Le théorème des valeurs intermédiaires sur une courbe

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $f(a) < 0 < f(b)$, dont le graphe est dessiné.

La courbe va de $(a, f(a))$ sous l'axe à $(b, f(b))$ au-dessus de lui. Le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires » dit qu'elle coupe l'axe : il existe $c \in [a, b]$ avec $f(c) = 0$. Il ne dit ni où, ni si la courbe coupe l'axe une fois ou plusieurs ; ici le croisement est unique.

Méthode — Démontrer qu'une équation a une solution

Pour montrer qu'une équation $f(x) = k$ a une solution :

Tout passer d'un côté : $g(x) = f(x) - k$, et chercher un zéro de $g$.
Trouver un intervalle et la continuité : un intervalle $[a, b]$ sur lequel $g$ est continue — par les opérations sur les fonctions de référence, comme dans la Méthode « Établir la continuité ».
Trouver deux signes : calculer $g(a)$ et $g(b)$ et vérifier $g(a) g(b) \le 0$ (ou $g(a) g(b) < 0$ pour écarter les extrémités). Lorsqu'aucun segment n'est à portée, calculer les limites de $g$ aux extrémités d'un intervalle $I$ et vérifier qu'elles sont de signes opposés, d'après la Proposition « Zéros et limites aux extrémités ».
Conclure : le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires » donne une solution dans $[a, b]$.

Le théorème donne l'existence, pas l'unicité ni la valeur : l'unicité vient de la stricte monotonie, par la Méthode « Résoudre $f(x) = k$ : existence et unicité », et la valeur s'approche par la Méthode « Approcher un zéro par dichotomie ».

Méthode — Approcher un zéro par dichotomie

Pour approcher à $\varepsilon > 0$ près un zéro d'une fonction continue $f$ sur $[a, b]$ avec $f(a) f(b) \le 0$ :

Nombre d'étapes : d'après la Proposition « Encadrement d'un zéro par dichotomie », $n$ étapes donnent un segment de longueur $\frac{b - a}{2^n}$ qui contient un zéro ; choisir le plus petit $n$ avec $2^n \ge \frac{b - a}{\varepsilon}$.
Une étape : calculer $f(m)$ au milieu $m$ du segment courant $[a_n, b_n]$, et garder la moitié $[a_n, m]$ si $f(a_n) f(m) \le 0$, la moitié $[m, b_n]$ sinon.
Tenir un tableau : une ligne par étape, avec $a_n$, $b_n$, le signe de $f(m_n)$ et la longueur ; calculer $f$ exactement quand les nombres sont simples, et seul son signe est utile.
Conclure : après la dernière étape, tout point du dernier segment est à moins de $\varepsilon$ d'un zéro, en particulier $a_n$.

Pour $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ : $f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8} < 0$ garde $[\frac{1}{2}, 1]$ ; $f(\frac{3}{4}) = \frac{11}{64} > 0$ garde $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ ; $f(\frac{5}{8}) = -\frac{67}{512} < 0$ garde $[\frac{5}{8}, \frac{3}{4}]$. Après trois étapes un zéro se trouve dans un segment de longueur $\frac{1}{8}$, et $\varepsilon = 10^{-3}$ exige $2^n \ge 1000$, c'est-à-dire $n = 10$ étapes.

Exemple — Une solution de $x^3 + x - 1 \equal 0$

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ a exactement une solution réelle, et qu'elle est dans $[0, 1]$.

Correction

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$, une fonction polynomiale, continue sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0, 1]$.
Existence. Calculons les deux bouts : $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$, donc $f(0) f(1) < 0$. D'après le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires », il existe $c \in [0, 1]$ avec $f(c) = 0$, c'est-à-dire $c^3 + c - 1 = 0$.
Unicité. Les fonctions $x \mapsto x^3$ et $x \mapsto x$ sont strictement croissantes sur $\mathbb{R}$, donc leur somme est strictement croissante, d'après la Proposition « Opérations sur les fonctions monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire. Une fonction strictement monotone est injective, d'après la Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité » du chapitre Applications : $f$ prend la valeur $0$ au plus une fois sur $\mathbb{R}$. Donc $c$ est l'unique solution réelle, et elle est dans $[0, 1]$.

Exemple — Un polynôme réel de degré impair a une racine réelle

Montrer que toute fonction polynomiale réelle $P$ de degré impair a une racine réelle.

Correction

Soit $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ avec $n$ impair et $a_n \ne 0$. Le polynôme $-P$ a les mêmes racines que $P$, donc on peut supposer $a_n > 0$.
Les limites. D'après la Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini », $P(x) \to +\infty$ en $+\infty$ puisque $a_n > 0$, et $P(x) \to -\infty$ en $-\infty$ puisque $(-1)^n a_n = -a_n < 0$ ($n$ est impair).
La racine. La fonction $P$ est continue sur $\mathbb{R}$, un intervalle, avec la limite $-\infty < 0$ en $-\infty$ et la limite $+\infty > 0$ en $+\infty$. La Proposition « Zéros et limites aux extrémités » donne un point $c \in \mathbb{R}$ avec $P(c) = 0$.

Exemple — $\sqrt{2}$ existe (seconde démonstration)

Montrer qu'il existe un réel $c \ge 0$ tel que $c^2 = 2$, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires.

Correction

Soit $f(x) = x^2 - 2$, une fonction polynomiale, continue sur $[1, 2]$. Calculons les deux bouts : $f(1) = -1 < 0$ et $f(2) = 2 > 0$, donc $f(1) f(2) < 0$. D'après le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires », il existe $c \in [1, 2]$ avec $c^2 - 2 = 0$, c'est-à-dire $c^2 = 2$, et $c \ge 1 \ge 0$.
Le nombre $c$ est la racine carrée $\sqrt{2}$ : d'après la Proposition « Existence des racines carrées » du chapitre Nombres réels, il y a exactement un réel $r \ge 0$ avec $r^2 = 2$. C'est une seconde démonstration de la partie existence de cette Proposition, qui employait la borne supérieure de $\{x \ge 0 \mid x^2 \le 2\}$. Le même argument donne $\sqrt{a}$ pour tout $a \ge 0$ : la fonction $x \mapsto x^2 - a$ vaut $-a \le 0$ en $0$ et $(1 + a)^2 - a = 1 + a + a^2 > 0$ en $1 + a$.

Exemple — Un point fixe d'une fonction qui va de $+\infty$ à $-\infty$

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue avec $f(x) \to +\infty$ quand $x \to -\infty$ et $f(x) \to -\infty$ quand $x \to +\infty$. Montrer que $f$ a un point fixe.

Correction

Un point fixe est un zéro de $g(x) = f(x) - x$, qui est continue sur $\mathbb{R}$ d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ».
Les limites de $g$. Quand $x \to -\infty$, $f(x) \to +\infty$ et $-x \to +\infty$, donc $g(x) \to +\infty$ d'après la Proposition « Opérations avec des limites infinies » (une somme de deux termes de limite $+\infty$). Quand $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$ et $-x \to -\infty$, donc $g(x) \to -\infty$.
Le zéro. La fonction $g$ est continue sur l'intervalle $\mathbb{R}$ avec la limite $+\infty > 0$ en $-\infty$ et la limite $-\infty < 0$ en $+\infty$. La Proposition « Zéros et limites aux extrémités » donne $c \in \mathbb{R}$ avec $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = c$.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour décider quelle conclusion est valide ★
Situer une racine entre deux entiers consécutifs ★
Compter les étapes d'une dichotomie ★
Démontrer qu'une équation a une solution par le théorème des valeurs intermédiaires ★
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à une différence de deux fonctions ★★
Compter des racines et utiliser les limites aux extrémités d'un intervalle ★★

V.2 L'image d'un intervalle

Ce qu'une fonction continue fait d'un intervalle

Le théorème des valeurs intermédiaires dit qu'une fonction continue prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs. Dit d'un intervalle entier, c'est un énoncé sur l'image : l'image d'un intervalle est un intervalle, sans trou. L'image n'est pas forcément de la même nature que le domaine : un intervalle ouvert peut avoir une image semi-ouverte, et un intervalle borné une image non bornée. Le Théorème « L'image d'un intervalle est un intervalle » l'énonce et le démontre, un piège met en garde contre cette confusion, et la Proposition « Les fonctions continues à valeurs entières sont constantes » l'applique aux fonctions continues à valeurs entières.

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Théorème — L'image d'un intervalle est un intervalle

Soient $I$ un intervalle et $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$. Alors $f(I)$ est un intervalle.

Preuve

D'après le Théorème « Caractérisation des intervalles » du chapitre Nombres réels, il suffit de montrer que $[u, v] \subset f(I)$ pour tous $u, v \in f(I)$ ; si $u > v$ le segment $[u, v]$ est vide, donc soient $u \le v$ dans $f(I)$, et $y \in [u, v]$. Comme $u, v \in f(I)$, il existe $s, t \in I$ avec $f(s) = u$ et $f(t) = v$. Si $s = t$, alors $u = v = y$, et $y = f(s) \in f(I)$. Sinon soit $J$ le segment d'extrémités $s$ et $t$. Comme $I$ est un intervalle, $J \subset I$, et $f$ est continue sur $J$ d'après la Proposition « Caractère local de la continuité ». Le nombre $y$ est compris entre $f(s) = u$ et $f(t) = v$, donc la Proposition « Théorème des valeurs intermédiaires, forme 2 » donne $c \in J$ avec $f(c) = y$. Donc $y \in f(I)$. Ainsi $[u, v] \subset f(I)$ pour tous $u, v \in f(I)$, et $f(I)$ est un intervalle.

Piège : l'image d'un intervalle n'est pas forcément de la même nature

L'image d'un intervalle est un intervalle, mais pas forcément un intervalle de la même nature. La fonction $x \mapsto x^2$ envoie l'intervalle ouvert $]-1, 1[$ sur $[0, 1[$ : elle prend la valeur $0$, en $0$, et tout $y \in [0, 1[$ est $(\sqrt{y})^2$ avec $\sqrt{y} \in \,]-1, 1[$, alors que $x^2 < 1$ sur cet intervalle. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ envoie l'intervalle borné $]0, 1]$ sur l'intervalle non borné $[1, +\infty[$. La fonction $x \mapsto \frac{x}{1 + x}$ envoie la demi-droite fermée $[0, +\infty[$ sur $[0, 1[$, qui n'est pas fermé. Une fonction constante envoie un intervalle sur un seul point. Seul un segment garde sa nature : l'image d'un segment est un segment, comme la Proposition « L'image d'un segment est un segment » le démontre, et c'est la raison pour laquelle le théorème sur les segments est celui qui sert à borner une fonction et à trouver ses extrema.

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Proposition — Les fonctions continues à valeurs entières sont constantes

Soient $I$ un intervalle et $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ avec $f(x) \in \mathbb{Z}$ pour tout $x \in I$. Alors $f$ est constante.

Preuve

D'après le Théorème « L'image d'un intervalle est un intervalle », $f(I)$ est un intervalle, contenu dans $\mathbb{Z}$. Supposons que $f(I)$ contienne deux entiers distincts $p < q$. Comme $f(I)$ est un intervalle, $[p, q] \subset f(I)$ d'après le Théorème « Caractérisation des intervalles » du chapitre Nombres réels. Le nombre $p + \frac{1}{2}$ est dans $[p, q]$, donc dans $f(I) \subset \mathbb{Z}$ ; mais $p < p + \frac{1}{2} < p + 1$, et aucun entier n'est strictement compris entre $p$ et $p + 1$. Cette contradiction montre que $f(I)$ a au plus un élément : $f$ est constante.

Exemple — L'image d'un intervalle semi-ouvert par $x \mapsto 1/x$

Déterminer l'image de $]0, 1]$ par $f \colon x \mapsto \frac{1}{x}$.

Correction

La fonction $f$ est continue sur $]0, 1]$, comme fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas ; d'après le Théorème « L'image d'un intervalle est un intervalle », $f(]0, 1])$ est un intervalle. Pour $x \in \,]0, 1]$, $x \le 1$ donne $\frac{1}{x} \ge 1$, donc $f(]0, 1]) \subset [1, +\infty[$. L'image contient $f(1) = 1$ et, pour tout entier $n \ge 1$, $f\left(\frac{1}{n}\right) = n$. Un intervalle qui contient $1$ et $n$ contient $[1, n]$, d'après le Théorème « Caractérisation des intervalles » du chapitre Nombres réels ; d'après la propriété d'Archimède, tout réel $y \ge 1$ est dans un $[1, n]$. Donc $[1, +\infty[ \,\subset f(]0, 1])$, et l'image est $[1, +\infty[$.

Exemple — Une fonction continue d'une demi-droite fermée sur un intervalle semi-ouvert

Donner une fonction continue sur $[0, +\infty[$ dont l'image est $[0, 1[$.

Correction

Soit $f(x) = \frac{x}{1 + x}$, définie sur $[0, +\infty[$, puisque $1 + x \ge 1$ ne s'annule pas ; elle est continue comme fonction rationnelle définie là.
L'image est dans $[0, 1[$. Pour $x \ge 0$, $f(x) \ge 0$, et $$ \begin{aligned} 1 - f(x) &= 1 - \frac{x}{1 + x} && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{1}{1 + x} && \text{(dénominateur commun)} \\ &> 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $1 + x > 0$. Donc $0 \le f(x) < 1$.
L'image est tout $[0, 1[$. Soit $y \in [0, 1[$, de sorte que $1 - y > 0$, et soit $x \ge 0$. Alors $$ \begin{aligned} \frac{x}{1 + x} = y &\iff x = y(1 + x) && \text{(multiplication par $1 + x > 0$)} \\ &\iff x (1 - y) = y && \text{(regroupement des termes en $x$)} \\ &\iff x = \frac{y}{1 - y} \end{aligned} $$ la dernière étape étant la division par $1 - y > 0$. Donc $x = \frac{y}{1 - y} \ge 0$ est la seule solution : $f\left(\frac{y}{1 - y}\right) = y$.
Donc $f([0, +\infty[) = [0, 1[$ : une demi-droite fermée envoyée sur un intervalle qui n'est pas fermé.

Compétences à pratiquer

Lire l'image d'un segment par une fonction continue monotone ★
Trouver l'image d'un intervalle par une fonction continue ★
Utiliser l'image d'un intervalle pour montrer qu'une fonction est constante ou prend toutes les valeurs ★★

V.3 Fonctions continues sur un segment

Sur un segment une fonction continue atteint ses bornes

Sur un segment $[a, b]$, fermé et borné, une fonction continue est mieux comportée que sur tout autre intervalle : elle est bornée, elle atteint sa plus grande et sa plus petite valeur, et son image est un segment. Le Théorème « Théorème des bornes atteintes » est démontré de deux façons, la première avec une suite maximisante et le théorème de Bolzano–Weierstrass, la seconde avec la dichotomie et une fonction auxiliaire ; la Proposition « L'image d'un segment est un segment » en est ensuite un court corollaire. Les hypothèses ne peuvent pas être affaiblies : $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]0, 1]$ et non bornée, et $x \mapsto x$ est continue sur $]0, 1[$ et n'atteint ni sa borne supérieure ni sa borne inférieure.

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Théorème — Théorème des bornes atteintes

Soient $a < b$ et $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a, b]$. Alors $f$ est bornée, et il existe $x_*, x^* \in [a, b]$ tels que $f(x_*) = \min_{[a, b]} f$ et $f(x^*) = \max_{[a, b]} f$.

Preuve

Première démonstration : une suite maximisante et Bolzano–Weierstrass. L'ensemble $f([a, b])$ est non vide, donc il a une borne supérieure $M \in \overline{\mathbb{R}}$, d'après la Proposition « Borne supérieure et borne inférieure dans la droite achevée » du chapitre Nombres réels. D'après la Proposition « Une borne supérieure est limite de termes de l'ensemble » du chapitre Suites réelles, il existe une suite d'éléments de $f([a, b])$ de limite $M$, finie ou $+\infty$ selon que $f$ est majorée ou non : en choisissant un antécédent de chaque terme, c'est une suite $(x_n)$ de $[a, b]$ avec $f(x_n) \to M$. La suite $(x_n)$ est bornée, puisque $a \le x_n \le b$. D'après le Théorème « Bolzano–Weierstrass » du chapitre Suites réelles, il existe une extraction $\varphi$ avec $x_{\varphi(n)} \to c \in \mathbb{R}$, et le passage à la limite dans $a \le x_{\varphi(n)} \le b$ donne $c \in [a, b]$. Comme $f$ est continue en $c$, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c) \in \mathbb{R}$, d'après la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité ». Mais $(f(x_{\varphi(n)}))$ est une suite extraite de $(f(x_n))$, donc elle tend vers $M$, d'après la Proposition « La limite passe aux suites extraites » du chapitre Suites réelles. Par unicité de la limite, $M = f(c)$. Donc $M$ est un réel : $f$ est majorée, et $f(c) = \sup f$ est le maximum, atteint en $x^* = c$.
Pour le minimum, la fonction $-f$ est continue, donc elle atteint son maximum en un point $x_*$ : $-f(x_*) = \max(-f) = -\min f$, c'est-à-dire $f(x_*) = \min f$. Alors $f(x_*) \le f \le f(x^*)$ sur $[a, b]$ : $f$ est bornée.
Seconde démonstration : la dichotomie et une fonction auxiliaire. Étape 1 : $f$ est bornée. Supposons que $f$ ne soit pas bornée sur $[a, b]$. Soit $S_0 = [a, b]$. Étant donné un segment $S_n = [a_n, b_n]$ sur lequel $f$ n'est pas bornée, de milieu $m_n$, la fonction $f$ n'est pas bornée sur $[a_n, m_n]$ ou pas bornée sur $[m_n, b_n]$ : si elle l'était sur les deux, elle le serait sur leur réunion $S_n$ par le plus grand des deux majorants. Soit $S_{n+1}$ une moitié sur laquelle $f$ n'est pas bornée. Les segments $S_n$ sont emboîtés et leurs longueurs $\frac{b - a}{2^n}$ tendent vers $0$, donc d'après la Proposition « Segments emboîtés » du chapitre Suites réelles, $a_n \to c$ et $b_n \to c$ pour un point $c \in [a, b]$. Comme $f$ est continue en $c$, la Proposition « Bornitude locale » donne un voisinage $V$ de $c$ et $K$ avec $\lvert f(x) \rvert \le K$ pour $x \in [a, b] \cap V$, et $V$ contient un certain $[c - \eta, c + \eta]$ avec $\eta > 0$. Pour $n$ grand, $c - \eta \le a_n$ et $b_n \le c + \eta$, donc $S_n \subset [a, b] \cap [c - \eta, c + \eta] \subset [a, b] \cap V$ et $f$ est bornée sur $S_n$ : cela contredit le choix de $S_n$. Donc $f$ est bornée sur $[a, b]$.
Étape 2 : le maximum est atteint. D'après l'étape 1, $M = \sup f([a, b])$ est un réel. Supposons que $f(x) < M$ pour tout $x \in [a, b]$. Alors $M - f$ est continue et ne s'annule pas, donc $g = \frac{1}{M - f}$ est continue sur $[a, b]$ d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », avec $g > 0$. D'après l'étape 1, $g$ est bornée : $g \le K$ pour un certain $K > 0$. Donc $M - f \ge \frac{1}{K}$, c'est-à-dire $f \le M - \frac{1}{K}$ sur $[a, b]$ : le nombre $M - \frac{1}{K} < M$ est un majorant de $f([a, b])$, ce qui contredit $M = \sup f([a, b])$. Donc il existe $x^* \in [a, b]$ avec $f(x^*) = M$. Le minimum s'obtient de la même façon, à partir de $-f$.

Proposition — L'image d'un segment est un segment

Soient $a < b$ et $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a, b]$, avec $m = \min_{[a, b]} f$ et $M = \max_{[a, b]} f$. Alors $f([a, b]) = [m, M]$.

Preuve

L'inclusion $f([a, b]) \subset [m, M]$. Pour tout $x \in [a, b]$, $m \le f(x) \le M$, par définition de $m$ et $M$ comme minimum et maximum de $f$. L'inclusion $[m, M] \subset f([a, b])$. D'après le Théorème « Théorème des bornes atteintes », $m = f(x_*)$ et $M = f(x^*)$ sont des valeurs de $f$ : $m, M \in f([a, b])$. D'après le Théorème « L'image d'un intervalle est un intervalle », $f([a, b])$ est un intervalle, et un intervalle qui contient $m$ et $M$ contient $[m, M]$, d'après le Théorème « Caractérisation des intervalles » du chapitre Nombres réels. Les deux inclusions donnent $f([a, b]) = [m, M]$.

Exemple — L'image d'un segment

L'image d'un segment par une fonction continue.

Le graphe de $f$ sur le segment $[a, b]$ touche les droites horizontales $y = \min f$ et $y = \max f$ aux points $x_*$ et $x^*$. L'image $f([a, b]) = [\min f, \max f]$ est le segment épais sur l'axe des ordonnées.

Méthode — Montrer qu'une fonction est bornée ou a un extremum

Pour montrer qu'une fonction $f$ est bornée, ou atteint un minimum ou un maximum :

Sur un segment : si $f$ est continue sur $[a, b]$, le Théorème « Théorème des bornes atteintes » donne les deux d'un coup, et la Proposition « L'image d'un segment est un segment » donne l'image. Les bornes elles-mêmes se trouvent en comparant les valeurs aux points où la fonction peut les atteindre.
Sur un autre intervalle, avec des limites finies aux extrémités manquantes : prolonger $f$ par continuité à chaque extrémité manquante (la Méthode « Prolonger par continuité »), appliquer le théorème sur le segment obtenu, et regarder si l'extremum est atteint en un point ajouté : il ne l'est pas si $f$ prend, à l'intérieur de l'intervalle, une valeur au-delà de celle que donne le prolongement.
Sur un intervalle ouvert $]a, b[$ avec $f \to +\infty$ aux deux extrémités : choisir $x_0$ dans l'intervalle ; d'après la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) » il existe $a < a' < x_0 < b' < b$ avec $f > f(x_0)$ sur $]a, a']$ et sur $[b', b[$ ; le minimum de $f$ sur $[a', b']$ existe et est au plus $f(x_0)$, donc c'est le minimum sur l'intervalle entier.
Pour une fonction périodique : se ramener à un segment d'une période, par la Proposition « Périodes d'une fonction » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire.
Sans la continuité ou sans segment, rien n'est garanti : $\frac{1}{x}$ sur $]0, 1]$ est continue et non bornée.

Exemple — $x^2$ sur un segment atteint ses bornes

Montrer que $f(x) = x^2$ sur $[-1, 2]$ atteint ses bornes, et situer $x_*$ et $x^*$.

Correction

La fonction $f$ est un polynôme, continue sur le segment $[-1, 2]$. D'après le Théorème « Théorème des bornes atteintes », elle atteint son minimum et son maximum.
Le minimum. Pour tout $x \in [-1, 2]$, $f(x) = x^2 \ge 0$, et $f(0) = 0$ avec $0 \in [-1, 2]$ : le minimum est $0$, atteint en $x_* = 0$.
Le maximum. Soit $x \in [-1, 2]$. Alors $\lvert x \rvert \le 2$, puisque $-1 \le x \le 2$, donc $$ \begin{aligned} f(x) &= \lvert x \rvert^2 && \text{(car $x^2 = \lvert x \rvert^2$)} \\ &\le 2^2 && \text{($0 \le \lvert x \rvert \le 2$)} \\ &= 4, \end{aligned} $$ et $f(2) = 4$ avec $2 \in [-1, 2]$ : le maximum est $4$, atteint en $x^* = 2$. Il n'est pas atteint à l'autre bout, puisque $f(-1) = 1 < 4$.
Donc $x_* = 0$, $x^* = 2$, $\min f = 0$ et $\max f = 4$, et $f([-1, 2]) = [0, 4]$ d'après la Proposition « L'image d'un segment est un segment ».

Exemple — Une fonction continue périodique est bornée

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et périodique, de période $T > 0$. Montrer que $f$ est bornée, et atteint son maximum et son minimum sur $\mathbb{R}$.

Correction

Sur une période. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0, T]$. D'après le Théorème « Théorème des bornes atteintes », il existe $x_*, x^* \in [0, T]$ avec $f(x_*) \le f(t) \le f(x^*)$ pour tout $t \in [0, T]$.
Sur $\mathbb{R}$. Soient $x \in \mathbb{R}$ et $k = \lfloor x / T \rfloor \in \mathbb{Z}$, de sorte que $0 \le x - kT < T$. Alors $t = x - kT \in [0, T]$ et $$ \begin{aligned} f(x) &= f(t + kT) && \text{($x = t + kT$)} \\ &= f(t) && \text{($f$ est $T$-périodique)} \\ &\le f(x^*), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $t \in [0, T]$. De même $f(x) \ge f(x_*)$. Donc $f(x_*) \le f \le f(x^*)$ sur $\mathbb{R}$ : $f$ est bornée, et son minimum et son maximum sur $\mathbb{R}$ sont $f(x_*)$ et $f(x^*)$, atteints.

Exemple — Un minimum sur un intervalle semi-ouvert

Montrer que $f(x) = \frac{x \ln x}{x^2 + e^x}$ a un minimum sur $]0, 1]$.

Correction

Continuité. Le dénominateur $x^2 + e^x$ est strictement positif, et $x \ln x$ est continue sur $]0, +\infty[$ ; donc $f$ est continue sur $]0, 1]$, d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ».
La limite en $0$. D'après l'Exemple « $x \ln x$ se prolonge par la valeur $0$ en $0$ », $x \ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$, et $x^2 + e^x \to 0 + 1 = 1$ ; la règle du quotient donne $f(x) \to \frac{0}{1} = 0$. Donc $f$ se prolonge par continuité en $0$, avec $\tilde{f}(0) = 0$, et $\tilde{f}$ est continue sur le segment $[0, 1]$.
Un minimum de $\tilde{f}$. D'après le Théorème « Théorème des bornes atteintes », $\tilde{f}$ atteint son minimum sur $[0, 1]$ en un certain $x_*$.
Il n'est pas au point ajouté. Pour $x \in \,]0, 1[$, $x > 0$ et $\ln x < 0$, donc $f(x) < 0$ ; en particulier $\tilde{f}\left(\frac{1}{2}\right) < 0 = \tilde{f}(0)$. Donc le minimum de $\tilde{f}$ est strictement négatif, et $x_* \ne 0$.
Donc $x_* \in \,]0, 1]$, et $f(x_*) = \tilde{f}(x_*) \le \tilde{f}(x) = f(x)$ pour tout $x \in \,]0, 1]$ : $f$ a un minimum sur $]0, 1]$, atteint en $x_*$.

Compétences à pratiquer

Lire les extrema d'une fonction continue sur un segment ★
Appliquer le théorème des bornes atteintes ★
Borner une fonction sur un intervalle qui n'est pas un segment ★★

V.4 Fonctions continues injectives et théorème de la bijection

Une fonction continue qui ne répète jamais une valeur

Une fonction qui ne prend jamais une valeur deux fois peut pourtant monter et descendre, si on lui permet de sauter. Une fonction continue sur un intervalle ne le peut pas : elle est strictement croissante ou strictement décroissante, car monter puis descendre prendrait une valeur deux fois, par le théorème des valeurs intermédiaires. Réciproquement une fonction continue strictement monotone est une bijection sur son image, qui est un intervalle, et sa réciproque est de nouveau continue et strictement monotone. Les Théorèmes « Continue et injective si et seulement si strictement monotone » et « Théorème de la bijection » démontrent les deux énoncés, la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone » calcule l'image à partir des limites aux extrémités, et les Méthodes « Prouver que $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ » et « Résoudre $f(x) = k$ : existence et unicité » apprennent à prouver qu'une fonction est une bijection, et à résoudre $f(x) = k$ avec existence et unicité. L'hypothèse d'intervalle est essentielle, comme un piège le montre.

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Théorème — Continue et injective si et seulement si strictement monotone

Soient $I$ un intervalle et $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$. Alors $f$ est injective si et seulement si $f$ est strictement monotone.

Preuve

($\Leftarrow$) Une fonction strictement monotone est injective : c'est la Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité » du chapitre Applications, et elle n'utilise pas la continuité.
($\Rightarrow$) Supposons $f$ continue et injective sur $I$. Si $I$ a au plus un point, $f$ est strictement monotone faute de couples. Supposons que $I$ ait au moins deux points.
Première démonstration : un chemin entre deux couples de points. Soient $x < y$ et $x' < y'$ des points de $I$. Pour $t \in [0, 1]$, soient $x_t = (1 - t) x + t x'$ et $y_t = (1 - t) y + t y'$. Le point $x_t$ est entre $x$ et $x'$, et $y_t$ entre $y$ et $y'$, donc tous deux sont dans $I$, qui est un intervalle. De plus $y_t - x_t = (1 - t)(y - x) + t (y' - x') > 0$, donc $x_t < y_t$. Soit $h(t) = f(y_t) - f(x_t)$ pour $t \in [0, 1]$.

La fonction $h$ est continue sur $[0, 1]$ : $t \mapsto x_t$ et $t \mapsto y_t$ sont affines, donc continues, à valeurs dans $I$, et $f$ est continue sur $I$ ; la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) » donne les composées et leur différence.
La fonction $h$ ne s'annule jamais : $x_t \ne y_t$ et $f$ est injective, donc $f(y_t) \ne f(x_t)$.

D'après la Proposition « Signe d'une fonction continue sans zéro », $h$ a le même signe strict sur $[0, 1]$ : $h(0) = f(y) - f(x)$ et $h(1) = f(y') - f(x')$ ont le même signe strict. Donc les différences $f(y) - f(x)$, pour tous les couples $x < y$ de $I$, ont toutes le même signe strict. S'il est strictement positif, $f$ est strictement croissante ; s'il est strictement négatif, $f$ est strictement décroissante.
Seconde démonstration : trois points et le théorème des valeurs intermédiaires. Démontrons d'abord l'assertion ($\ast$) : si $f$ est injective et si, pour tous $x < y < z$ de $I$, $f(y)$ est compris entre $f(x)$ et $f(z)$, alors $f$ est strictement monotone. Fixons $p < q$ dans $I$ ; en remplaçant $f$ par $-f$ si nécessaire, supposons $f(p) < f(q)$ ($f(p) \ne f(q)$ par injectivité). Relativement à $p$. Si $z < p$, le triplet $z < p < q$ met $f(p)$ entre $f(z)$ et $f(q)$, et $f(p) < f(q)$ force $f(z) < f(p)$. Si $z = q$ ou $p < z < q$ ou $z > q$, alors $f(z) > f(p)$ : pour $z = q$ par le choix de $q$, pour $p < z < q$ parce que $f(z)$ est compris entre $f(p)$ et $f(q)$ et que $f(p) < f(q)$, et pour $z > q$ parce que $f(q)$ est compris entre $f(p)$ et $f(z)$ et que $f(p) < f(q)$. Donc $f(z) < f(p)$ pour $z < p$ et $f(z) > f(p)$ pour $z > p$. Un couple quelconque. Soient $x < y$ dans $I$. Si $x < p < y$, alors $f(x) < f(p) < f(y)$. Si $y = p$ ou $x = p$, alors $f(x) < f(y)$ d'après l'étape précédente. Si $x < y < p$, alors $f(y)$ est compris entre $f(x)$ et $f(p)$, et $f(x) < f(p)$, donc $f(x) < f(y)$. Si $p < x < y$, alors $f(x)$ est compris entre $f(p)$ et $f(y)$, et $f(p) < f(x)$, donc $f(x) < f(y)$. Dans tous les cas $f(x) < f(y)$ : $f$ est strictement croissante, ce qui démontre ($\ast$).
Supposons maintenant $f$ continue et injective et non strictement monotone. D'après ($\ast$) il existe $x < y < z$ dans $I$ avec $f(y)$ non compris entre $f(x)$ et $f(z)$. Les trois valeurs sont distinctes, donc $f(y) > \max(f(x), f(z))$ ou $f(y) < \min(f(x), f(z))$ ; en remplaçant $f$ par $-f$, continue et injective, supposons le premier cas. Soit $v = \frac{1}{2}\big(\max(f(x), f(z)) + f(y)\big)$, de sorte que $\max(f(x), f(z)) < v < f(y)$. Le nombre $v$ est compris entre $f(x)$ et $f(y)$, donc la Proposition « Théorème des valeurs intermédiaires, forme 2 » sur $[x, y]$ donne $c_1 \in [x, y]$ avec $f(c_1) = v$ ; de même elle donne $c_2 \in [y, z]$ avec $f(c_2) = v$. Comme $f(y) \ne v$, $c_1 < y < c_2$, donc $c_1 \ne c_2$ et $f(c_1) = f(c_2)$, ce qui contredit l'injectivité.

Proposition — Une fonction monotone est continue si et seulement si son image est un intervalle

Soient $I$ un intervalle et $f \colon I \to \mathbb{R}$ monotone. Alors $f$ est continue sur $I$ si et seulement si $f(I)$ est un intervalle.

Preuve

($\Rightarrow$) C'est le Théorème « L'image d'un intervalle est un intervalle », qui vaut pour toute fonction continue.
($\Leftarrow$) Supposons que $f(I)$ soit un intervalle. Si $f$ est décroissante, $-f$ est croissante, continue exactement quand $f$ l'est, et $(-f)(I) = -f(I)$ est un intervalle exactement quand $f(I)$ l'est ; on peut donc supposer $f$ croissante. Si $I$ a un point, $f$ est continue. Sinon, soit $c \in I$. D'après la Proposition « Continuité et limites latérales », il suffit de prouver la continuité à gauche en $c$ lorsque $c$ n'est pas l'extrémité gauche de $I$, et la continuité à droite lorsque $c$ n'est pas l'extrémité droite.
Continuité à gauche. Supposons que $L = I \cap \,]-\infty, c[$ ne soit pas vide. Pour $x \in L$, $f(x) \le f(c)$, donc $s = \sup\{f(x) \mid x \in L\}$ existe et $s \le f(c)$. Supposons, par l'absurde, que $s < f(c)$, et soit $v = \frac{s + f(c)}{2}$, de sorte que $s < v < f(c)$. Choisissons $x_0 \in L$ : $f(x_0) \le s < v < f(c)$, avec $f(x_0), f(c) \in f(I)$. Comme $f(I)$ est un intervalle, $v \in f(I)$ : $v = f(x)$ pour un $x \in I$. Si $x < c$, alors $f(x) \le s < v$ ; si $x \ge c$, alors $f(x) \ge f(c) > v$. Les deux sont impossibles. Donc $s = f(c)$. Soit $\varepsilon > 0$. Par la caractérisation de la borne supérieure par $\varepsilon$, il existe $x_1 \in L$ avec $f(x_1) > f(c) - \varepsilon$. Pour $x \in I$ avec $x_1 \le x < c$, $$ \begin{aligned} f(c) &\ge f(x) && \text{($f$ croissante et $x < c$)} \\ &\ge f(x_1) && \text{($f$ croissante et $x \ge x_1$)} \\ &> f(c) - \varepsilon, \end{aligned} $$ donc $\lvert f(x) - f(c) \rvert \le \varepsilon$ pour $x \in L$ avec $\lvert x - c \rvert \le \alpha = c - x_1 > 0$ : $f$ est continue à gauche en $c$.
Continuité à droite. Supposons que $R = I \cap \,]c, +\infty[$ ne soit pas vide. Le même argument avec $s' = \inf\{f(x) \mid x \in R\} \ge f(c)$ et $v = \frac{f(c) + s'}{2}$ donne $s' = f(c)$ : $f$ est continue à droite en $c$. Donc $f$ est continue en tout point de $I$.

Théorème — Théorème de la bijection

Soient $I$ un intervalle et $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue et strictement monotone sur $I$. Alors $J = f(I)$ est un intervalle, $f$ est une bijection de $I$ sur $J$, et la réciproque $f^{-1} \colon J \to I$ est continue et strictement monotone dans le même sens que $f$. D'après le Théorème « Continue et injective si et seulement si strictement monotone », il en va de même pour une fonction continue et injective sur $I$.

Preuve

Première démonstration : l'image est un intervalle. L'ensemble $J = f(I)$ est un intervalle, d'après le Théorème « L'image d'un intervalle est un intervalle ». Une fonction strictement monotone est injective, d'après la Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité » du chapitre Applications, donc $f$ est une bijection de $I$ sur son image $J$. D'après la Proposition « Réciproque d'une bijection monotone » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire, $f^{-1}$ est strictement monotone dans le même sens que $f$. Son image est $f^{-1}(J) = I$, un intervalle. D'après la Proposition « Une fonction monotone est continue si et seulement si son image est un intervalle », une fonction monotone dont l'image est un intervalle est continue : $f^{-1}$ est continue sur $J$.
Seconde démonstration : $\varepsilon$ et $\alpha$ pour la réciproque. Les deux premiers énoncés et la monotonie de $f^{-1}$ sont comme ci-dessus. Pour la continuité, supposons $f$ strictement croissante ; si $f$ est strictement décroissante, appliquer le résultat à $-f$, puisque $f^{-1}(y) = (-f)^{-1}(-y)$. Soient $y_0 \in J$, $x_0 = f^{-1}(y_0)$ et $\varepsilon > 0$. Si $x_0$ n'est pas l'extrémité gauche de $I$, il existe $x' \in I$ avec $x' < x_0$, et $x_- = \max(x_0 - \varepsilon, x')$ est dans $I$, avec $x_0 - \varepsilon \le x_- < x_0$ ; alors $f(x_-) < y_0$. Si $x_0$ n'est pas l'extrémité droite de $I$, de même il existe $x_+ \in I$ avec $x_0 < x_+ \le x_0 + \varepsilon$, et $y_0 < f(x_+)$. Soit $\alpha > 0$ le plus petit des nombres $y_0 - f(x_-)$ et $f(x_+) - y_0$ qui existent (et $\alpha = 1$ si aucun n'existe). Soit $y \in J$ avec $\lvert y - y_0 \rvert \le \alpha$. Alors $f(x_-) \le y$ quand $x_-$ existe, et $y \le f(x_+)$ quand $x_+$ existe. Comme $f^{-1}$ est croissante, $x_- \le f^{-1}(y)$ et $f^{-1}(y) \le x_+$ respectivement ; quand $x_-$ n'existe pas, $x_0$ est le plus petit élément de $I$ et $f^{-1}(y) \ge x_0$, et symétriquement pour $x_+$. Dans tous les cas $x_0 - \varepsilon \le f^{-1}(y) \le x_0 + \varepsilon$, c'est-à-dire $\lvert f^{-1}(y) - x_0 \rvert \le \varepsilon$. Donc $f^{-1}$ est continue en $y_0$.

Proposition — L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

Soient $I$ un intervalle avec $a = \inf I < b = \sup I$ dans $\overline{\mathbb{R}}$, et $f \colon I \to \mathbb{R}$ continue et strictement croissante sur $I$. Alors $f$ a des limites $\ell$ en $a$ et $m$ en $b$ dans $\overline{\mathbb{R}}$, et $f(I)$ est l'intervalle d'extrémités $\ell < m$ qui contient $\ell$ si et seulement si $a \in I$, et contient $m$ si et seulement si $b \in I$. Si $f$ est strictement décroissante, il en va de même avec les rôles de $\ell = \lim_b f$ et $m = \lim_a f$ échangés : les extrémités de $f(I)$ sont $\lim_b f < \lim_a f$.

Preuve

La partie ouverte. La fonction $f$ est croissante sur $]a, b[$, contenu dans $I$. D'après le Théorème « Théorème de la limite monotone », appliqué à la restriction de $f$ à $]a, b[$, cette restriction a une limite $\ell = \inf f(]a, b[)$ en $a$ et une limite $m = \sup f(]a, b[)$ en $b$, toutes deux dans $\overline{\mathbb{R}}$. L'ensemble $f(]a, b[)$ est un intervalle, d'après le Théorème « L'image d'un intervalle est un intervalle ». Il n'a ni plus petit ni plus grand élément : pour $x \in \,]a, b[$, il existe $x' < x < x''$ dans $]a, b[$, et $f(x') < f(x) < f(x'')$. Donc l'intervalle $f(]a, b[)$ ne contient ni sa borne inférieure $\ell$ ni sa borne supérieure $m$, et $f(]a, b[) = \,]\ell, m[$ avec $\ell < m$.
Les extrémités. Si $a \in I$, alors $f(a) < f(x)$ pour tout $x \in \,]a, b[$, donc $f(a) \le \ell$. La fonction $f$ est continue en $a$, donc $f(x) \to f(a)$ quand $x \to a$, et sa restriction à $]a, b[$, à laquelle $a$ est adhérent, a la même limite $f(a)$, d'après la Proposition « Caractère local de la limite et restriction » ; cette restriction tend aussi vers $\ell$, donc $f(a) = \ell$ d'après la Proposition « Unicité de la limite ». Si $a \notin I$, la fonction $f$ et sa restriction à $]a, b[$ coïncident près de $a$ (elles diffèrent au plus en $b$), donc $f$ a pour limite $\ell$ en $a$. Dans les deux cas $\lim_a f = \ell$, et $\ell \in f(I)$ si et seulement si $a \in I$. Le même argument en $b$ donne $\lim_b f = m$ et $m \in f(I)$ si et seulement si $b \in I$.
L'image. L'ensemble $f(I)$ est $f(]a, b[) = \,]\ell, m[$ auquel on ajoute $f(a) = \ell$ si $a \in I$ et $f(b) = m$ si $b \in I$.
Le cas décroissant. Si $f$ est strictement décroissante, $-f$ est strictement croissante et continue ; le résultat pour $-f$, avec $f(I) = -(-f)(I)$, donne les extrémités $-\lim_a(-f) = \lim_a f$ et $\lim_b f$, l'extrémité $\lim_b f$ étant la plus petite.

Exemple — Une bijection et sa réciproque

Soient $f \colon [0, +\infty[ \,\to [1, +\infty[$, $x \mapsto x^2 + 1$, et $f^{-1} \colon [1, +\infty[ \,\to [0, +\infty[$, $y \mapsto \sqrt{y - 1}$. Les graphes de $f$ et de $f^{-1}$ sont dessinés avec la droite $y = x$.

Le point $(x, y)$ est sur $\Gamma_f$ si et seulement si $(y, x)$ est sur $\Gamma_{f^{-1}}$, donc les deux graphes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ : $(1, 2) \in \Gamma_f$ et $(2, 1) \in \Gamma_{f^{-1}}$. Ici $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0, +\infty[$, et $f^{-1}$ est continue et strictement croissante sur son image $[1, +\infty[$ : c'est le Théorème « Théorème de la bijection » vu sur les graphes.

Piège : l'ensemble de définition doit être un intervalle

Le Théorème « Continue et injective si et seulement si strictement monotone » et le Théorème « Théorème de la bijection » exigent un intervalle. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue et injective sur $\mathbb{R}^*$, qui n'est pas un intervalle, et elle n'y est pas monotone : $-1 < 1$ et $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$, donc elle n'est pas décroissante, alors que $1 < 2$ et $f(1) = 1 > \frac{1}{2} = f(2)$, donc elle n'est pas croissante. Et une bijection continue strictement croissante peut avoir une réciproque qui n'est pas continue : soit $f(x) = x$ sur $[0, 1]$ et $f(x) = x - 1$ sur $]2, 3]$. Cette fonction est continue en tout point de son ensemble de définition $[0, 1] \cup \,]2, 3]$, strictement croissante, et c'est une bijection sur $[0, 1] \cup \,]1, 2] = [0, 2]$. Sa réciproque est $f^{-1}(y) = y$ sur $[0, 1]$ et $f^{-1}(y) = y + 1$ sur $]1, 2]$ : $f^{-1}(1) = 1$ alors que $f^{-1}(y) = y + 1 \to 2$ quand $y \to 1^+$, donc $f^{-1}$ n'est pas continue en $1$. L'ensemble de définition de $f$ est la réunion de deux intervalles, pas un intervalle.

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Méthode — Prouver que $f$ est une bijection de $I$ sur $J$

Pour prouver que $f$ est une bijection d'un intervalle $I$ sur un intervalle $J$, et déterminer $J$ :

Nommer l'intervalle : vérifier que $I$ est un intervalle, l'ensemble de définition de $f$ ou une partie de celui-ci choisie pour que $f$ y soit monotone.
Continuité : vérifier que $f$ est continue sur $I$, par les opérations (la Méthode « Établir la continuité »).
Stricte monotonie : prouver que $f$ est strictement monotone sur $I$, par la somme, la composée ou l'inverse de fonctions monotones (le chapitre Fonctions réelles : vocabulaire), sans dérivée ; la stricte monotonie donne l'injectivité, et le Théorème « Continue et injective si et seulement si strictement monotone » montre qu'il n'existe pas d'autre fonction continue injective.
L'image : calculer les limites de $f$ aux extrémités de $I$, et lire $J = f(I)$ avec la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone » : les extrémités de $J$ sont ces limites, et elles appartiennent à $J$ exactement quand l'extrémité de $I$ appartient à $I$.
Conclure : le Théorème « Théorème de la bijection » donne la bijection $f \colon I \to J$, avec $f^{-1} \colon J \to I$ continue et strictement monotone dans le même sens.

Méthode — Résoudre $f(x) \equal k$ : existence et unicité

Pour décider combien de solutions l'équation $f(x) = k$ a sur un intervalle $I$ :

Mettre en place : $f$ continue et strictement monotone sur $I$, par la Méthode « Prouver que $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ ».
Calculer l'image $J = f(I)$ à partir des limites aux extrémités, par la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone ».
Compter : si $k \in J$, l'équation a exactement une solution dans $I$, à savoir $f^{-1}(k)$ ; si $k \notin J$, elle n'en a aucune.
Situer la solution lorsqu'elle n'a pas de formule : trouver deux points où $f - k$ change de signe (la Méthode « Démontrer qu'une équation a une solution »), puis la resserrer par dichotomie (la Méthode « Approcher un zéro par dichotomie »).
Vérifier par substitution lorsqu'une solution est devinée : $f(x_0) = k$ avec $x_0 \in I$ prouve que $x_0$ est la solution.

Exemple — La racine carrée, réciproque de $x \mapsto x^2$

Montrer que $x \mapsto x^2$ est une bijection de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$, et que sa réciproque $\sqrt{\cdot}$ est continue et strictement croissante.

Correction

Soit $f(x) = x^2$ sur $I = [0, +\infty[$, un intervalle.
Continuité. $f$ est une fonction polynomiale, continue sur $I$.
Stricte monotonie. Pour $0 \le x < y$, $$ \begin{aligned} y^2 - x^2 &= (y - x)(y + x) && \text{(différence de deux carrés)} \\ &> 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $y - x > 0$ et $y + x > 0$ (car $y > 0$ et $x \ge 0$). Donc $f$ est strictement croissante sur $I$.
L'image. L'extrémité gauche $0$ appartient à $I$, avec $f(0) = 0$, et $f(x) = x^2 \to +\infty$ quand $x \to +\infty$, par la règle du produit. D'après la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone », $f(I) = [0, +\infty[$ : l'extrémité $0$ est dans l'image parce que $0 \in I$, et $+\infty$ n'est pas un nombre.
Conclusion. D'après le Théorème « Théorème de la bijection », $f$ est une bijection de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$, et sa réciproque est continue et strictement croissante. La réciproque envoie $y \ge 0$ sur l'unique $r \ge 0$ tel que $r^2 = y$ : c'est $\sqrt{\cdot}$. Donc $\sqrt{\cdot}$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$.

Exemple — $x \mapsto x^3 + x$ est une bijection de $\mathbb{R}$

Montrer que $f \colon x \mapsto x^3 + x$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, et calculer $f^{-1}(10)$.

Correction

Continuité. $f$ est une fonction polynomiale, continue sur l'intervalle $\mathbb{R}$.
Stricte monotonie. Les fonctions $x \mapsto x^3$ et $x \mapsto x$ sont strictement croissantes sur $\mathbb{R}$, donc leur somme $f$ est strictement croissante, d'après la Proposition « Opérations sur les fonctions monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire.
L'image. D'après la Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini », $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ et $f(x) \to -\infty$ quand $x \to -\infty$. Les extrémités $-\infty$ et $+\infty$ de $\mathbb{R}$ n'appartiennent pas à $\mathbb{R}$, donc d'après la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone », $f(\mathbb{R}) = \,]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$.
Conclusion. D'après le Théorème « Théorème de la bijection », $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, et $f^{-1}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
La valeur $f^{-1}(10)$. Comme $f(2) = 2^3 + 2 = 10$ avec $2 \in \mathbb{R}$, $f^{-1}(10) = 2$ : l'équation $x^3 + x = 10$ a la seule solution $2$.

Démonstration différée : continuité de l'exponentielle, du logarithme et des puissances réelles

Le Texte « Les fonctions continues de référence (faits du lycée) » a admis la continuité de $\exp$, de $\ln$ et des puissances réelles ; elle est démontrée maintenant : celle de $\exp$ à partir de la limite $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$ en $0$ du Texte « Prérequis », celle de $\ln$ par le théorème de la bijection, et celle des puissances réelles par composition.
L'exponentielle. Pour $h \ne 0$, $e^h - 1 = h \cdot \frac{e^h - 1}{h}$, qui tend vers $0 \cdot 1 = 0$ quand $h \to 0$ par la règle du produit, et $e^0 - 1 = 0$. D'après la Proposition « Limite et limite épointée », $e^h - 1 \to 0$, c'est-à-dire $e^h \to 1 = e^0$ : $\exp$ est continue en $0$. Soit $a \in \mathbb{R}$. Comme $\exp$ et $\ln$ sont réciproques l'une de l'autre et que $\ln(uv) = \ln u + \ln v$, on a $e^x = e^a e^{x - a}$ pour tout $x$. Quand $x \to a$, $x - a \to 0$ et $e^{x - a} \to 1$ par la Proposition « Composition de limites », donc $e^x \to e^a \cdot 1 = e^a$ : $\exp$ est continue en $a$.
Le logarithme. La fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\mathbb{R}$, et c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0, +\infty[$ dont la réciproque est $\ln$. D'après le Théorème « Théorème de la bijection », $\ln \colon \,]0, +\infty[ \, \to \mathbb{R}$ est continue et strictement croissante.
Les puissances réelles. Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, la fonction $x \mapsto x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$ est, sur $]0, +\infty[$, la composée de $x \mapsto \alpha \ln x$ et de $\exp$, toutes deux continues : d'après la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », elle est continue. La continuité de $\cos$ et de $\sin$ repose sur les formules d'addition, que ce chapitre n'emploie pas : elle reste admise.

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Compétences à pratiquer

Choisir les bonnes hypothèses du théorème de la bijection ★
Lire l'extrémité de l'image d'un intervalle ★
Calculer une valeur de la réciproque ★
Démontrer qu'une fonction est une bijection d'un intervalle sur un intervalle ★
Résoudre $f(x) \equal k$ avec existence et unicité de la solution ★★
Calculer une bijection réciproque sous forme explicite ★★

VI Exercices de colle

Compétences à pratiquer

Travailler un exercice de colle ★
Travailler un exercice de colle ★★

VII Problèmes d'écrit

Compétences à pratiquer

Travailler un problème d'écrit ★
Travailler un problème d'écrit ★★
Quiz

Contrôle du chapitre

3 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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