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Comparaison asymptotique

⌚ ~99 min ▢ 12 blocs ✓ 59 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Suites : limites et convergence, Limites et continuité

Deux suites peuvent toutes deux tendre vers $+\infty$ tout en le faisant à des vitesses très différentes : $n$, $n^2$ et $2^n$ explosent toutes, mais $n / n^2 \to 0$ et $n^2 / 2^n \to 0$. Pour rendre compte de ces différences, on introduit deux relations entre suites (et, dans la deuxième moitié du chapitre, entre fonctions en un point). La première est la négligeabilité : $u_n = o(v_n)$ signifie « $u_n$ est négligeable devant $v_n$ », formalisée par $u_n / v_n \to 0$. La seconde est l'équivalence : $u_n \sim v_n$ signifie « $u_n$ et $v_n$ ont asymptotiquement la même taille », formalisée par $u_n / v_n \to 1$. Les deux sont liées par l'identité phare $u_n \sim v_n \iff u_n = v_n + o(v_n)$, outil de travail de tout le chapitre. L'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et l'élévation à une puissance, mais pas avec l'addition — un fait que l'on souligne par des contre-exemples explicites. Les croissances comparées de Suites : limites et convergence ($n^a$ devant $q^n$ devant $n!$, $(\ln n)^b$ devant $n^a$) et leurs analogues pour les fonctions sont relues dans ce nouveau langage. Conventions : $(u_n), (v_n), (a_n), (b_n)$ désignent des suites réelles ; $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ ; $f, g$ des fonctions réelles sur $I$ ou sur $I \setminus \{x_0\}$ ; $x_0$ un réel ou $\pm\infty$. Pour les quotients, on suppose toujours le dénominateur non nul à partir d'un certain rang (cas des suites) ou non nul sur un voisinage épointé de $x_0$ (cas des fonctions), afin que le quotient ait un sens. Cadre du programme : le programme n'introduit que la négligeabilité ($o$) et l'équivalence ($\sim$) ; la relation « grand-O » $f = O(g)$ n'est pas au programme.

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I Comparaison asymptotique des suites

I.1 Négligeabilité des suites

La première relation exprime qu'une suite est très petite devant une autre à l'infini. L'image quotidienne : $1/n^2$ est très petit devant $1/n$, et $n$ est très petit devant $n^2$. On rend cela précis par un unique quotient.

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Définition — Négligeabilité des suites

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des suites réelles avec $v_n$ non nul à partir d'un certain rang (c'est-à-dire $v_n \ne 0$ pour tout $n$ supérieur à un certain rang $n_1$). On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ lorsque $n \to +\infty$, et on note $$u_n = o(v_n) \quad \text{ou} \quad u_n \underset{n \to +\infty}{=} o(v_n),$$ lorsque $$\frac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$

Deux habitudes de lecture comptent. D'abord, le symbole « $=$ » dans « $u_n = o(v_n)$ » n'est pas une vraie égalité mais une relation : « $o(v_n)$ » ne désigne pas un objet fixé, mais désigne une suite négligeable devant $(v_n)$. Ensuite, la condition « $v_n$ non nul à partir d'un certain rang » est intégrée à la définition pour que le quotient $u_n / v_n$ soit défini à partir d'un certain rang ; on n'écrit jamais $u_n = o(0)$.

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Exemple

$1 / n^2 = o(1/n)$ car $\dfrac{1/n^2}{1/n} = \dfrac{1}{n} \to 0$.
$n = o(n^2)$ car $\dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n} \to 0$.
$u_n = o(1)$ est l'énoncé $u_n \to 0$ (ici $v_n = 1$ est non nul, et $u_n / 1 = u_n \to 0$).

Exemple

La suite constante $u_n = 7$ vérifie $u_n = o(n)$, puisque $7/n \to 0$. La suite constante $u_n = 7$ n'est pas $o(1)$, puisque $7/1 = 7 \not\to 0$. Une constante non nulle est négligeable devant $(v_n)$ si et seulement si $|v_n| \to +\infty$.

Proposition — Caractérisation équivalente

Soient $(u_n), (v_n)$ des suites réelles avec $(v_n)$ non nulle à partir d'un certain rang. Alors $(u_n) = o(v_n)$ si et seulement s'il existe une suite $(\varepsilon_n)$ avec $\varepsilon_n \to 0$ telle que, à partir d'un certain rang, $$u_n = \varepsilon_n v_n.$$

Preuve

$(\Rightarrow)$ Supposons $u_n = o(v_n)$. Par définition, $v_n$ est non nul à partir d'un certain rang et le quotient $\varepsilon_n := u_n / v_n$ (défini à partir de ce rang) tend vers $0$. À partir de ce rang, $u_n = \varepsilon_n v_n$. \noindent $(\Leftarrow)$ Supposons $u_n = \varepsilon_n v_n$ à partir d'un certain rang, avec $\varepsilon_n \to 0$. Si $v_n$ est non nul à partir d'un certain rang, alors à partir d'un certain rang $u_n / v_n = \varepsilon_n \to 0$, donc $u_n = o(v_n)$.

Proposition — Croissances comparées en notation o

Soient $a > 0$, $b \in \mathbb{R}$ et $q > 1$. Alors, quand $n \to +\infty$ :

$(\ln n)^b = o(n^a)$ ;
$n^a = o(q^n)$ ;
$q^n = o(n!)$ ;
$n! = o(n^n)$.

Preuve

Chaque énoncé est la réécriture en notation $o$ d'un quotient déjà établi dans Suites : limites et convergence.

$\dfrac{(\ln n)^b}{n^a} \to 0$ (croissance comparée de gauche) : admis dans ce chapitre, donc $(\ln n)^b = o(n^a)$.
$\dfrac{n^a}{q^n} \to 0$ (croissance comparée médiane) : démontré dans ce chapitre, donc $n^a = o(q^n)$.
$\dfrac{q^n}{n!} \to 0$ (croissance comparée de droite) : démontré dans ce chapitre, donc $q^n = o(n!)$.
$\dfrac{n!}{n^n} \to 0$ : une majoration courte, $\dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{2}{n} \cdots \dfrac{n}{n} \le \dfrac{1}{n} \cdot 1 \cdots 1 = \dfrac{1}{n} \to 0$.

Les dénominateurs $n^a$, $q^n$, $n!$, $n^n$ sont tous strictement positifs à partir d'un certain rang (donc non nuls), si bien que chaque énoncé en $o$ est bien défini.

Exemple

Lecture de la hiérarchie en quatre étapes : $(\ln n)^5 = o(n)$ (gauche, $a = 1$, $b = 5$) ; $n^{10} = o(2^n)$ (médian, $a = 10$, $q = 2$) ; $3^n = o(n!)$ (droite, $q = 3$) ; $n! = o(n^n)$ (dernière). En combinant transitivement, $(\ln n)^5 = o(n) = o(n^{10})$ serait ambigu (le symbole $=$ à gauche d'un $o(\cdot)$ n'est pas une vraie égalité), donc on écrit chaque maillon séparément : $(\ln n)^5 = o(n)$, puis $n = o(n^{10})$, puis $n^{10} = o(2^n)$, puis $2^n = o(n!)$, puis $n! = o(n^n)$. Chaque étape est un énoncé en $o$ à elle seule.

Proposition — Règles algébriques sur o

Soient $(u_n), (u'_n), (v_n), (w_n), (a_n)$ des suites réelles avec $v_n$ et $w_n$ non nuls à partir d'un certain rang, et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors :

transitivité : si $u_n = o(v_n)$ et $v_n = o(w_n)$, alors $u_n = o(w_n)$ ;
somme : si $u_n = o(w_n)$ et $u'_n = o(w_n)$, alors $u_n + u'_n = o(w_n)$ ;
multiplication par un scalaire : si $u_n = o(v_n)$, alors $\lambda u_n = o(v_n)$ ;
produit par un facteur borné : si $u_n = o(v_n)$ et $(a_n)$ est bornée, alors $a_n u_n = o(v_n)$.

Preuve

Les quatre règles se lisent depuis la définition par quotient, en utilisant les opérations algébriques sur les limites de suites (rappelées de Suites : limites et convergence).

Transitivité. Pour $n$ assez grand, $\dfrac{u_n}{w_n} = \dfrac{u_n}{v_n} \cdot \dfrac{v_n}{w_n}$, produit de deux suites tendant vers $0$ ; sa limite est $0 \cdot 0 = 0$.
Somme. Pour $n$ assez grand, $\dfrac{u_n + u'_n}{w_n} = \dfrac{u_n}{w_n} + \dfrac{u'_n}{w_n}$, somme de deux suites tendant vers $0$ ; sa limite est $0 + 0 = 0$.
Multiplication par un scalaire. Pour $n$ assez grand, $\dfrac{\lambda u_n}{v_n} = \lambda \cdot \dfrac{u_n}{v_n} \to \lambda \cdot 0 = 0$.
Facteur borné. Si $(a_n)$ est bornée par $M$, alors pour $n$ assez grand $\left| \dfrac{a_n u_n}{v_n} \right| \le M \left| \dfrac{u_n}{v_n} \right| \to M \cdot 0 = 0$, donc par encadrement $\dfrac{a_n u_n}{v_n} \to 0$.

Méthode — Négligeabilité en pratique

Pour établir $u_n = o(v_n)$ :

Vérifier que $v_n$ est non nul à partir d'un certain rang (presque toujours évident pour les échelles usuelles $n^a$, $q^n$, $n!$).
Former le quotient $u_n / v_n$.
Calculer sa limite en utilisant les opérations algébriques sur les limites, le théorème d'encadrement, ou les quatre croissances comparées rappelées ci-dessus.
Conclure $u_n = o(v_n)$ lorsque la limite vaut $0$.

Pour les sommes de termes dans la même échelle (par exemple des polynômes), factoriser d'abord le terme dominant ; les énoncés en $o$ deviennent alors immédiats.

Compétences à pratiquer

Calculer des négligeabilités simples
Appliquer les croissances comparées en notation o

I.2 Équivalence des suites

La seconde relation dit que deux suites ont la même taille à l'infini : l'essentiel de $u_n$ est capturé par $v_n$, à un facteur multiplicatif tendant vers $1$ près. C'est l'outil de travail pour les estimations asymptotiques : dès qu'on connaît le terme dominant, on connaît l'équivalent.

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Définition — Équivalence des suites

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des suites réelles avec $v_n$ non nul à partir d'un certain rang. On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ lorsque $n \to +\infty$, et on note $$u_n \sim v_n \quad \text{ou} \quad u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n,$$ lorsque $$\frac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1.$$

Exemple

$n + 1 \sim n$ : en effet $\dfrac{n + 1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$. De même $n^2 + n \sim n^2$, puisque $\dfrac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$. Un polynôme de degré $d$ en $n$ est équivalent à son monôme dominant.

Exemple

$\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) \sim \dfrac{1}{n}$. Cela résulte de la limite vue au lycée en Terminale $\dfrac{\sin h}{h} \to 1$ quand $h \to 0$ : en posant $h = 1/n \to 0$, il vient $\dfrac{\sin(1/n)}{1/n} \to 1$.

Proposition — Relation d'équivalence

Sur l'ensemble des suites réelles non nulles à partir d'un certain rang, $\sim$ est réflexive, symétrique et transitive :

réflexivité : $u_n \sim u_n$ ;
symétrie : si $u_n \sim v_n$, alors $v_n \sim u_n$ ;
transitivité : si $u_n \sim v_n$ et $v_n \sim w_n$, alors $u_n \sim w_n$.

Preuve

La restriction aux suites non nulles à partir d'un certain rang assure que les quotients sont bien définis.

Réflexivité. À partir d'un certain rang, $u_n / u_n = 1 \to 1$, donc $u_n \sim u_n$.
Symétrie. Si $u_n / v_n \to 1$, alors $u_n$ est aussi non nul à partir d'un certain rang (un quotient tendant vers $1 \ne 0$ est non nul à partir d'un certain rang, donc le numérateur l'est aussi à partir d'un certain rang), et $v_n / u_n = 1 / (u_n / v_n) \to 1 / 1 = 1$ par la règle du quotient des limites.
Transitivité. $w_n$ et $v_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang ; $u_n / w_n = (u_n / v_n) \cdot (v_n / w_n) \to 1 \cdot 1 = 1$.

Proposition — Lien entre équivalence et négligeabilité

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des suites réelles avec $v_n$ non nul à partir d'un certain rang. Alors $$u_n \sim v_n \quad \iff \quad u_n = v_n + o(v_n).$$

Preuve

Le dénominateur $v_n$ est non nul à partir d'un certain rang tout au long. À partir d'un certain rang, $$\frac{u_n - v_n}{v_n} = \frac{u_n}{v_n} - 1.$$

$(\Rightarrow)$ Si $u_n \sim v_n$, alors $u_n / v_n \to 1$, donc le membre de droite tend vers $0$ ; en posant $\varepsilon_n = (u_n - v_n)/v_n$, on a $\varepsilon_n \to 0$ et $u_n - v_n = \varepsilon_n v_n$. D'où $u_n - v_n = o(v_n)$, c'est-à-dire $u_n = v_n + o(v_n)$.
$(\Leftarrow)$ Si $u_n = v_n + o(v_n)$, c'est-à-dire $u_n - v_n = o(v_n)$, alors $(u_n - v_n)/v_n \to 0$, donc $u_n / v_n = 1 + (u_n - v_n)/v_n \to 1$. Par conséquent $u_n \sim v_n$.

Méthode — Trouver un équivalent

Pour trouver un équivalent de $(u_n)$ :

Identifier le terme dominant (le plus grand dans la hiérarchie asymptotique : $n^n \succ n! \succ q^n \succ n^a \succ (\ln n)^b$).
Le factoriser : $u_n = (\text{terme dominant}) \cdot (1 + \text{reste})$.
Vérifier que le « reste » tend vers $0$ (chaque terme restant est $o$ du terme dominant).
Conclure $u_n \sim$ (terme dominant).

Exemple

Pour $u_n = 3n^2 - n + 4$ : le terme dominant est $3n^2$. En factorisant, $$u_n = 3n^2 \left( 1 - \frac{1}{3n} + \frac{4}{3n^2} \right).$$ Le facteur entre parenthèses tend vers $1$, donc $u_n \sim 3n^2$. Le coefficient dominant $3$ est conservé.

Exemple

Pour $u_n = (n + 1)^3$ : factorisons $n^3$, terme dominant : $$u_n = n^3 \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^3,$$ donc $u_n / n^3 = (1 + 1/n)^3 \to 1$, d'où $(n + 1)^3 \sim n^3$. Le développement $(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$ donne la même conclusion : $u_n / n^3 = 1 + 3/n + 3/n^2 + 1/n^3 \to 1$.

Compétences à pratiquer

Trouver l'équivalent d'un polynôme
Calculer des équivalents avec les limites classiques

I.3 Compatibilité avec le produit, le quotient, l'élévation à une puissance

L'équivalence se comporte bien vis-à-vis des trois opérations multiplicatives : produit, quotient, et élévation à une puissance. Elle ne se comporte pas bien vis-à-vis de l'addition : c'est le piège le plus fréquent du chapitre, qu'on martèle par des contre-exemples explicites.

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Proposition — Compatibilité avec le produit et le quotient

Supposons $u_n \sim v_n$ et $a_n \sim b_n$, où $v_n$ et $b_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang. Alors :

produit : $u_n a_n \sim v_n b_n$ ;
quotient : si de plus $a_n$ et $b_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang, alors $\dfrac{u_n}{a_n} \sim \dfrac{v_n}{b_n}$.

Preuve

Produit. Le produit $v_n b_n$ est non nul à partir d'un certain rang (produit de deux suites non nulles à partir d'un certain rang). À partir d'un certain rang, $$\frac{u_n a_n}{v_n b_n} = \frac{u_n}{v_n} \cdot \frac{a_n}{b_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \cdot 1 = 1$$ par la règle du produit pour les limites de suites. Donc $u_n a_n \sim v_n b_n$.
Quotient. Le quotient $v_n / b_n$ est non nul à partir d'un certain rang (numérateur non nul par hypothèse, dénominateur non nul par hypothèse, donc le rapport est non nul). À partir d'un certain rang, $$\frac{u_n / a_n}{v_n / b_n} = \frac{u_n}{v_n} \cdot \frac{b_n}{a_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \cdot 1 = 1.$$

Proposition — Compatibilité avec les puissances

Supposons $u_n \sim v_n$ avec $u_n$ et $v_n$ strictement positifs à partir d'un certain rang, et soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors $$u_n^\alpha \sim v_n^\alpha.$$ Pour un exposant entier $\alpha = k \in \mathbb{Z}$, la stricte positivité n'est pas requise (toute suite non nulle à partir d'un certain rang convient, avec la convention $u_n^{-k} = 1/u_n^k$).

Preuve

Exposant entier $k \ge 0$. Par récurrence. Le cas $k = 0$ donne $u_n^0 = 1 \sim 1 = v_n^0$. Si $u_n^k \sim v_n^k$, alors par la compatibilité avec le produit appliquée à $u_n \sim v_n$, $u_n^{k+1} = u_n \cdot u_n^k \sim v_n \cdot v_n^k = v_n^{k+1}$.
Exposant entier $k < 0$. On écrit $k = -m$ avec $m > 0$. Alors $u_n^k = 1/u_n^m$ et $v_n^k = 1/v_n^m$, et $u_n^m \sim v_n^m$ par le cas précédent ; la compatibilité avec le quotient appliquée à $1 \sim 1$ et $u_n^m \sim v_n^m$ (tous deux non nuls à partir d'un certain rang) donne $1/u_n^m \sim 1/v_n^m$.
Exposant réel $\alpha \in \mathbb{R}$ avec $u_n, v_n > 0$ à partir d'un certain rang. La fonction $\varphi \colon \,]0, +\infty[ \,\to\, ]0, +\infty[$, $x \mapsto x^\alpha$, est continue en $1$ avec $\varphi(1) = 1$ (rappelée de Fonctions usuelles). Le quotient $u_n / v_n \to 1$, et $u_n / v_n > 0$ à partir d'un certain rang, donc par continuité de $\varphi$ en $1$, $$\frac{u_n^\alpha}{v_n^\alpha} = \left( \frac{u_n}{v_n} \right)^\alpha = \varphi\!\left( \frac{u_n}{v_n} \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \varphi(1) = 1.$$

Exemple

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^2 (2n-3)^3}{n^5}$.

Correction

On utilise la compatibilité avec le produit et le quotient. On a $n + 1 \sim n$ et $2n - 3 \sim 2n$ (en factorisant le terme dominant). Par compatibilité avec les puissances (exposant entier), $(n+1)^2 \sim n^2$ et $(2n-3)^3 \sim (2n)^3 = 8n^3$. Par compatibilité avec le produit, le numérateur vérifie $(n+1)^2 (2n-3)^3 \sim n^2 \cdot 8 n^3 = 8 n^5$. Par compatibilité avec le quotient avec le dénominateur $n^5 \sim n^5$, $$\frac{(n+1)^2 (2n-3)^3}{n^5} \sim \frac{8 n^5}{n^5} = 8 \xrightarrow[n \to +\infty]{} 8.$$

L'addition n'est PAS compatible avec l'équivalence

Mise en garde cruciale. Si $u_n \sim v_n$ et $a_n \sim b_n$, il est généralement faux que $u_n + a_n \sim v_n + b_n$. Deux illustrations, conçues pour que les deux sommes $u_n + a_n$ et $v_n + b_n$ soient non nulles à partir d'un certain rang (sans artifice de somme nulle). \medskip \noindentContre-exemple 1. Prenons $u_n = n^2 + 2n \sim n^2$ (factoriser $n^2$, le facteur $1 + 2/n \to 1$) et $a_n = -n^2 + n \sim -n^2$ (factoriser $-n^2$). Posons $v_n = n^2$, $b_n = -n^2$. Alors $$u_n + a_n = 3n, \qquad v_n + b_n = 0.$$ La somme de gauche vaut $3n$, non nulle à partir d'un certain rang ; la somme de droite s'annule, et l'énoncé « $u_n + a_n \sim v_n + b_n$ » n'a pas de sens selon notre convention (la suite de comparaison de droite doit être non nulle à partir d'un certain rang). La règle d'addition échoue. \medskip \noindentContre-exemple 2 (les deux sommes non nulles à partir d'un certain rang). Prenons $u_n = n^2 + 2n \sim n^2$ et $a_n = -n^2 \sim -n^2$. Alors $$u_n + a_n = 2n, \qquad v_n + b_n = n^2 + (-n^2) = 0.$$ Même défaut : même en choisissant les équivalents « attendus » $v_n = n^2$, $b_n = -n^2$, la somme de droite s'annule tandis que celle de gauche vaut $2n$. Pour exhiber un couple où les deux sommes sont non nulles à partir d'un certain rang, prenons plutôt $u_n = 2 n^2 \sim n^2$ (avec $v_n = n^2$ : $u_n / v_n = 2$, et non $\to 1$ — donc $2 n^2 \sim n^2$ serait faux). Le défaut est structurel : sous la définition par quotient, les seuls équivalents de $n^2$ sont les suites de la forme $n^2 (1 + \varepsilon_n)$ avec $\varepsilon_n \to 0$, et additionner deux tels couples est précisément ce qui ne commute pas avec $\sim$. La conclusion fiable : la somme des équivalents ne donne pas l'équivalent de la somme, même en l'absence de cancellation — il faut toujours revenir à la factorisation du terme dominant. \medskip \noindentLeçon pratique. Pour traiter une somme $u_n + a_n$ dont chaque morceau a son propre équivalent, ne pas sommer les équivalents. Au contraire, factoriser le terme dominant de la somme (après avoir déterminé lequel de $u_n$, $a_n$ domine) et étudier le reste. Le cas dangereux est quand $u_n$ et $a_n$ sont du même ordre : des cancellations peuvent se produire, et une analyse séparée (par exemple Formules de Taylor et développements limités, plus tard) est alors nécessaire.

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Méthode — Équivalent d'une somme — factoriser le terme dominant

Pour trouver un équivalent de $u_n + a_n$ :

Comparer les tailles de $u_n$ et $a_n$ par la hiérarchie de croissance.
Si l'un domine strictement l'autre (par exemple $a_n = o(u_n)$) : factoriser le plus grand, en écrivant $u_n + a_n = u_n \cdot (1 + a_n/u_n)$. Vérifier que $a_n / u_n \to 0$ (l'énoncé de négligeabilité). Conclure $u_n + a_n \sim u_n$.
Si $u_n$ et $a_n$ sont du même ordre (sans domination stricte, par exemple les deux se comportent comme $n^2$) : des cancellations peuvent se produire. Une analyse séparée est nécessaire — la méthode du terme dominant ne s'applique pas directement. Le chapitre Formules de Taylor et développements limités fournit l'outil adéquat.

Exemple

Trouver un équivalent de $u_n = n^2 + n \ln n$.

Correction

Comparons $n^2$ et $n \ln n$ : le quotient $\dfrac{n \ln n}{n^2} = \dfrac{\ln n}{n} \to 0$ (croissance comparée de gauche), donc $n \ln n = o(n^2)$ et $n^2$ domine. Factorisons $n^2$ : $$u_n = n^2 \left( 1 + \frac{\ln n}{n} \right).$$ Le facteur entre parenthèses tend vers $1$, donc $u_n \sim n^2$.

Compétences à pratiquer

Appliquer la compatibilité avec produit et quotient
Éviter le piège de l'addition (suites)

II Comparaison asymptotique des fonctions en un point

II.1 Négligeabilité des fonctions en un point

L'histoire des fonctions est calquée sur celle des suites, avec un ajustement pratique : au lieu d'une queue « non nulle à partir d'un certain rang », on demande à la fonction de comparaison $g$ d'être non nulle sur un voisinage épointé du point de base $x_0$. Le point de base est un réel ou $\pm\infty$.

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Définition — Négligeabilité des fonctions en un point réel

Soit $x_0 \in \mathbb{R}$, et soient $f, g$ des fonctions à valeurs réelles définies sur un voisinage épointé $V \setminus \{x_0\}$ de $x_0$, avec $g(x) \ne 0$ sur ce voisinage. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ en $x_0$, et on note $$f \underset{x_0}{=} o(g) \quad \text{ou} \quad f(x) \underset{x \to x_0}{=} o(g(x)),$$ lorsque $$\frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0.$$ Lorsque seul un côté de $x_0$ est dans le domaine de $f$ et $g$ (typique en $x \to 0^+$ avec $\ln x$ ou $\sqrt{x}$), la même définition s'utilise avec la limite latérale $x \to x_0^+$ ou $x \to x_0^-$.

Exemple

En $x_0 = 0$ : $x^2 = o(x)$ car $x^2 / x = x \to 0$. Symétriquement, $x = o(x^2)$ est faux en $0$ car $x / x^2 = 1/x$ n'admet pas de limite bilatérale en $0$ (les limites à gauche et à droite valent $-\infty$ et $+\infty$), donc le quotient ne tend pas vers $0$.

Exemple

En $x_0 = 0^+$ : $x = o(\sqrt{x})$ (côté droit uniquement — $\sqrt{x}$ exige $x \ge 0$). En effet $x / \sqrt{x} = \sqrt{x} \to 0$ lorsque $x \to 0^+$.

Définition — Négligeabilité à l'infini

Soient $f, g$ à valeurs réelles définies sur $\,]A, +\infty[$ pour un certain $A$, avec $g(x) \ne 0$ sur cet intervalle. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ en $+\infty$ lorsque $$\frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0,$$ et on note $f \underset{+\infty}{=} o(g)$. Le cas $-\infty$ est symétrique, avec un domaine $\,]-\infty, -A[$.

Proposition — Croissances comparées en $0^+$ et $+\infty$

Soient $a > 0$ et $b \in \mathbb{R}$.

En $0^+$ : $x^a |\ln x|^b \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0$, ce qui équivaut à $|\ln x|^b \underset{0^+}{=} o(x^{-a})$. La valeur absolue est nécessaire puisque $\ln x < 0$ sur $\,]0, 1[$ et les puissances réelles d'un nombre négatif ne sont pas définies.
En $+\infty$ : $\dfrac{(\ln x)^b}{x^a} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$, ce qui équivaut à $(\ln x)^b \underset{+\infty}{=} o(x^a)$ (pas de valeur absolue : $\ln x > 0$ pour $x > 1$).

Énoncé admis (conséquence de la croissance comparée des suites par la substitution $t = \ln x$, hors du strict cadre de ce chapitre ; la version substituée est établie dans le chapitre Suites).

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Proposition — Croissance comparée avec l'exponentielle

Soit $a \ge 0$.

Polynôme contre exponentielle en $+\infty$ : pour $b > 0$, $$\frac{|x|^a}{e^{bx}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0, \quad \text{c'est-à-dire} \quad |x|^a \underset{+\infty}{=} o(e^{bx}).$$ L'exponentielle $e^{bx}$ (avec $b > 0$) domine toute puissance de $|x|$.
Décroissance exponentielle en $+\infty$ : pour $b < 0$, $|x|^a e^{bx} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$. De façon équivalente, pour $a > 0$, $e^{bx} \underset{+\infty}{=} o\!\left(|x|^{-a}\right)$ : la décroissance exponentielle $e^{bx}$ bat toute puissance négative de $|x|$.
Exponentielle en $-\infty$ : par le changement de variable $y = -x$, les deux cas précédents se transposent en $|x|^a e^{bx} \to 0$ quand $x \to -\infty$ pour $b > 0$, et $|x|^a e^{bx} \to +\infty$ pour $b < 0$ (donc $|x|^a \underset{-\infty}{=} o(e^{bx})$ pour $a > 0$, $b < 0$).

Énoncé admis (conséquence de la croissance comparée des suites $n^a = o(q^n)$ via le lien entre limites de fonctions et de suites, et la continuité de $|x|^a e^{bx}$).

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Exemple

$\ln x \underset{0^+}{=} o\!\left(1/\sqrt{x}\right)$ : en $0^+$, avec $a = 1/2$ et $b = 1$, la proposition donne $x^{1/2} |\ln x| \to 0$, c'est-à-dire $|\ln x| / x^{-1/2} \to 0$, donc $\ln x = o(x^{-1/2})$ en $0^+$.
$\ln x \underset{+\infty}{=} o(x)$ : en $+\infty$, $a = 1$, $b = 1$.
$x^{100} \underset{+\infty}{=} o(e^x)$ : en $+\infty$, $a = 100$, $b = 1 > 0$.
$e^{-x} \underset{+\infty}{=} o\!\left(1/x^{100}\right)$ : en $+\infty$, $a = 100$, $b = -1 < 0$.

Compétences à pratiquer

Calculer des négligeabilités simples en un point
Appliquer les croissances comparées en $\pm\infty$ et $0^+$

II.2 Équivalence des fonctions en un point

L'équivalence de fonctions est l'analogue direct de l'équivalence des suites : le quotient tend vers $1$ et non vers $0$. Le lien $f \sim g \iff f = g + o(g)$ se transporte, et les règles de compatibilité aussi.

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Définition — Équivalence des fonctions en un point

Soient $x_0 \in \mathbb{R}$ (ou $x_0 = \pm\infty$), et $f, g$ des fonctions réelles non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$ (resp. sur un voisinage de $+\infty$ / $-\infty$). On dit que $f$ est équivalente à $g$ en $x_0$, et on note $$f \underset{x_0}{\sim} g \quad \text{ou} \quad f(x) \underset{x \to x_0}{\sim} g(x),$$ lorsque $$\frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x \to x_0]{} 1.$$

Proposition — Relation d'équivalence

Sur l'ensemble des fonctions réelles non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$, $\underset{x_0}{\sim}$ est réflexive, symétrique et transitive.

Preuve

L'argument est la transposition en mode fonction de la preuve par suites.

Réflexivité. Sur un voisinage épointé, $f(x) / f(x) = 1 \to 1$, donc $f \underset{x_0}{\sim} f$.
Symétrie. Si $f / g \to 1$, alors $g / f = 1 / (f / g) \to 1 / 1 = 1$ par la règle du quotient pour les limites de fonctions, sur un voisinage épointé éventuellement plus petit où $f$ reste non nulle (ce qui est vrai puisque le quotient $f/g \to 1 \ne 0$ force $f$ à être non nulle sur un voisinage épointé plus petit).
Transitivité. $f / h = (f / g) \cdot (g / h) \to 1 \cdot 1 = 1$.

Proposition — Lien entre équivalence et négligeabilité

Soient $f, g$ des fonctions réelles avec $g$ non nulle sur un voisinage épointé de $x_0$. Alors $$f \underset{x_0}{\sim} g \quad \iff \quad f \underset{x_0}{=} g + o(g).$$

Preuve

Sur le voisinage épointé, $$\frac{f(x) - g(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} - 1.$$

$(\Rightarrow)$ Si $f \underset{x_0}{\sim} g$, alors $f/g \to 1$, donc $(f - g)/g \to 0$, c'est-à-dire $f - g \underset{x_0}{=} o(g)$.
$(\Leftarrow)$ Si $f - g \underset{x_0}{=} o(g)$, alors $(f - g)/g \to 0$, donc $f/g = 1 + (f - g)/g \to 1$, c'est-à-dire $f \underset{x_0}{\sim} g$.

Exemple

En $x_0 = 0$, les équivalents classiques suivants proviennent des limites vues au lycée en Terminale :

$\sin x \underset{0}{\sim} x$, puisque $\sin(x)/x \to 1$ en $0$ (lycée Terminale).
$\ln(1 + x) \underset{0}{\sim} x$, puisque $\ln(1+x)/x \to 1$ en $0$ (dérivée de $\ln$ en $1$).
$e^x - 1 \underset{0}{\sim} x$, puisque $(e^x - 1)/x \to 1$ en $0$ (dérivée de $\exp$ en $0$).

Ces trois équivalents servent toute l'année ; leurs raffinements d'ordre $2$ ($\cos x - 1 \sim -x^2/2$, $\sqrt{1+x} - 1 \sim x/2$, etc.) relèvent du chapitre ultérieur Formules de Taylor et développements limités et ne sont pas utilisés ici.

Exemple

En $x_0 = +\infty$, un polynôme $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \dots + a_0$ avec $a_d \ne 0$ vérifie $P(x) \underset{+\infty}{\sim} a_d x^d$. En factorisant, $$P(x) = a_d x^d \left( 1 + \frac{a_{d-1}}{a_d x} + \dots + \frac{a_0}{a_d x^d} \right),$$ et le facteur entre parenthèses tend vers $1$ quand $x \to +\infty$.

Compétences à pratiquer

Calculer des équivalents en $0$ avec les limites du lycée

II.3 Compatibilité avec le produit, le quotient, la puissance ; PAS l'addition

La compatibilité pour les fonctions est la transcription verbatim du cas des suites : produit, quotient, puissance passent ; l'addition échoue. Les preuves se lisent depuis la même algèbre du quotient.

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Proposition — Compatibilité avec le produit, le quotient, la puissance

Supposons $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $\varphi \underset{x_0}{\sim} \psi$, où les fonctions de comparaison $g, \psi$ sont non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$. Alors :

produit : $f \varphi \underset{x_0}{\sim} g \psi$ ;
quotient : si de plus $\varphi$ et $\psi$ sont non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$, alors $\dfrac{f}{\varphi} \underset{x_0}{\sim} \dfrac{g}{\psi}$ ;
puissance : pour $\alpha \in \mathbb{R}$, si $f$ et $g$ sont strictement positives sur un voisinage épointé de $x_0$, alors $f^\alpha \underset{x_0}{\sim} g^\alpha$. Pour un entier $\alpha = k \in \mathbb{Z}$, la stricte positivité n'est pas requise (toute fonction non nulle de signe constant convient).

Preuve

Les cas du produit et du quotient résultent de l'algèbre des limites de fonctions sur le voisinage épointé : $(f \varphi)/(g \psi) = (f/g)(\varphi/\psi) \to 1 \cdot 1 = 1$, et analogue pour le quotient. Pour la puissance entière, récurrence comme dans le cas des suites. Pour la puissance réelle, la continuité de $x \mapsto x^\alpha$ en $1$ (de Fonctions usuelles) appliquée au quotient positif $f/g \to 1$ donne $(f/g)^\alpha \to 1$, c'est-à-dire $f^\alpha / g^\alpha \to 1$.

L'addition n'est PAS compatible avec l'équivalence

Même piège que pour les suites. Si $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $\varphi \underset{x_0}{\sim} \psi$, il est généralement faux que $f + \varphi \underset{x_0}{\sim} g + \psi$. Contre-exemple en $x_0 = +\infty$ : $$f(x) = x^2 + 2x \underset{+\infty}{\sim} x^2 = g(x), \qquad \varphi(x) = -x^2 + x \underset{+\infty}{\sim} -x^2 = \psi(x).$$ Alors $f(x) + \varphi(x) = 3x$, non nul à partir d'un certain rang, tandis que $g(x) + \psi(x) = x^2 + (-x^2) = 0$. Donc l'équivalent « attendu » $0$ n'est même pas un membre de droite valide selon notre convention — la règle d'addition échoue. Comme pour les suites, l'échec est structurel et persiste même sans cancellation à droite ; lorsqu'on cherche un équivalent d'une somme, factoriser le terme dominant de la somme, et se méfier quand les deux termes sont du même ordre.

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Méthode — Équivalent d'une somme de fonctions

Pour trouver un équivalent de $f + \varphi$ en $x_0$ :

Comparer $f$ et $\varphi$ près de $x_0$ (utiliser les croissances comparées du Négligeabilité des fonctions en un point).
Si l'un domine strictement l'autre (par exemple $\varphi \underset{x_0}{=} o(f)$) : factoriser le plus grand, $f + \varphi = f \cdot (1 + \varphi/f)$, et vérifier que $\varphi/f \to 0$. Conclure $f + \varphi \underset{x_0}{\sim} f$.
Si $f$ et $\varphi$ sont du même ordre en $x_0$ : des cancellations peuvent se produire (notamment quand $\varphi/f \to -1$, faisant tendre $f + \varphi$ vers $0$ plus vite qu'attendu). Une analyse séparée est nécessaire — voir Formules de Taylor et développements limités.

Exemple

En $+\infty$, trouver un équivalent de $h(x) = e^x + x^{100}$.

Correction

Comparons $e^x$ et $x^{100}$ en $+\infty$ : par la croissance comparée, $x^{100} \underset{+\infty}{=} o(e^x)$, donc $e^x$ domine. Factorisons : $$h(x) = e^x \left( 1 + \frac{x^{100}}{e^x} \right),$$ et le facteur entre parenthèses tend vers $1 + 0 = 1$. D'où $h(x) \underset{+\infty}{\sim} e^x$.

Exemple

En $+\infty$, trouver un équivalent de $h(x) = \sqrt{x^2 + x}$.

Correction

À l'intérieur de la racine, factorisons $x^2$ (dominant) : $x^2 + x = x^2 \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. Pour $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$ et le facteur entre parenthèses est positif, donc $$h(x) = x \sqrt{1 + \tfrac{1}{x}}.$$ La fonction $y \mapsto \sqrt{y}$ est continue en $1$ de valeur $1$, et $1 + 1/x \to 1$ en $+\infty$, donc $\sqrt{1 + 1/x} \to 1$ (limite d'une composée, Limites et continuité). Par suite $h(x) \underset{+\infty}{\sim} x$.

Méthode — Substitution dans les équivalents

Soit $f \underset{y_0}{\sim} g$, où $g$ est non nulle sur un voisinage épointé de $y_0$. Soit $u$ une fonction avec $u(x) \to y_0$ quand $x \to x_0$, et supposons $u(x) \ne y_0$ sur un voisinage épointé de $x_0$. Alors $$f(u(x)) \underset{x \to x_0}{\sim} g(u(x)).$$ L'hypothèse « épointée » est essentielle : elle force $g(u(x)) \ne 0$ près de $x_0$ (pour que le quotient $f(u(x))/g(u(x))$ ait un sens). Admis à ce stade et utilisé avec prudence ; le traitement complet au premier ordre est développé dans Formules de Taylor et développements limités.

Exemple

En $0$, calculer un équivalent de $\sin(3x^2)$. On pose $u(x) = 3x^2 \to 0$ quand $x \to 0$, avec $u(x) \ne 0$ pour $x \ne 0$ (condition épointée satisfaite). Depuis $\sin y \underset{0}{\sim} y$, par substitution $$\sin(3 x^2) \underset{0}{\sim} 3 x^2.$$

Pour aller plus loin

Les relations $o$ et $\sim$ sont le premier niveau de la comparaison asymptotique. Les chapitres suivants les affinent :

Séries numériques utilise les équivalents pour comparer la convergence des séries à termes positifs : si $u_n \sim v_n$ avec $v_n > 0$, alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
Intégrales généralisées reprend l'astuce pour les intégrales impropres.
Formules de Taylor et développements limités fournit des développements plus fins $f(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + \dots + a_n (x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$, qui calculent des équivalents de différences telles que $\cos x - 1$, $\sqrt{1 + x} - 1$, $e^x - 1 - x$, où l'équivalent au premier ordre seul ne suffit pas.

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Compétences à pratiquer

Calculer des limites par des équivalents
Éviter le piège de l'addition (fonctions)

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Combiner des équivalents dans des exercices de synthèse