Éducation Nationale Française · ECGapprofondies
Intégrales généralisées
Ce chapitre étend l'intégrale \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) du cas du segment — où \(a < b\) sont réels et \(f\) est continue sur l'intervalle fermé \([a, b]\) — à une intégrale généralisée (ou impropre), où l'une ou les deux bornes de l'intervalle d'intégration sont mauvaises : soit une borne infinie (\(a = -\infty\) ou \(b = +\infty\)), soit une borne finie en laquelle \(f\) n'est pas définie (typiquement une asymptote verticale de la fonction à intégrer). La construction est un passage à la limite. On définit \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) sur l'intervalle semi-ouvert \([a, b[\) comme \(\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) lorsque cette limite existe et est finie (on parle alors de convergence) ; les règles opératoires d'Intégration — linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, intégration par parties, changement de variable — s'étendent au cas impropre convergent (l'inégalité triangulaire \(|\int f| \le \int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) exige l'hypothèse supplémentaire de convergence de \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\), c'est-à-dire la convergence absolue). Les questions nouvelles sont au nombre de deux : quelles intégrales impropres convergent (réponse par trois familles de référence — Riemann \(\int \mathrm{d}t/t^\alpha\), Riemann décalée \(\int \mathrm{d}t/(t-a)^\alpha\), exponentielle \(\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\) — accompagnées de trois théorèmes de comparaison par inégalité, négligeabilité et équivalence), et comment calculer leur valeur une fois la convergence établie (primitive, IPP sur un segment puis passage à la limite, ou changement de variable). L'objectif phare du chapitre — énoncé explicitement par le programme — est de préparer l'étude en année 2 des variables aléatoires à densité, où toute densité \(f\) vérifie \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1\) et où les espérances sont des intégrales impropres. Conventions. Tout au long du chapitre, \(f\) est à valeurs réelles. L'intervalle est l'un de \([a, b[\) (mauvaise borne à droite, \(a \in \mathbb{R}\), \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\)), \(]a, b]\) (mauvaise borne à gauche, \(a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\), \(b \in \mathbb{R}\)) ou \(]a, b[\) (deux bornes mauvaises, \(a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\), \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\)). \(f\) est continue sur l'intervalle ouvert ou semi-ouvert correspondant — fermé en toute borne finie non mauvaise, jamais demandée définie en une borne mauvaise. Le chapitre prolonge très directement trois chapitres antérieurs : Intégration fournit les règles du cas du segment ; Comparaison asymptotique fournit la négligeabilité et l'équivalence utilisées dans les théorèmes de comparaison ; Séries numériques est le jumeau discret — les intégrales de Riemann sont l'analogue des séries de Riemann, la convergence absolue des intégrales correspond à la convergence absolue des séries, les théorèmes de comparaison pour les fonctions positives correspondent à ceux pour les séries à termes positifs.
I
Intégrale sur un intervalle semi-ouvert
I.1
Définition et le cas faussement impropre
Le cas de départ est un intervalle \([a, b[\) avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\). La borne \(a\) est bonne — la fonction \(f\) y est définie et continue — et seule \(b\) est mauvaise : soit \(b = +\infty\), soit \(b\) est finie mais \(f\) n'y est pas définie. Sur chaque segment \([a, x]\) pour \(a \le x < b\), l'intégrale de segment \(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est bien définie (Intégration), ce qui donne une fonction de \(x\) sur \([a, b[\). La question de la convergence est de savoir si cette fonction admet une limite finie quand \(x \to b^-\).
Définition — Intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert à droite
Soient \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) avec \(a < b\), et soit \(f : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continue. L'intégrale impropre (ou intégrale généralisée) \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite convergente lorsque la limite $$\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$$ existe et est finie. Dans ce cas, on définit la valeur de l'intégrale impropre comme $$\textcolor{colordef}{\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t.}$$ Lorsque la limite n'existe pas ou est infinie, l'intégrale impropre est dite divergente. Étudier la nature d'une intégrale impropre, c'est déterminer si elle converge ou diverge. Exemple
Trois petits cas sur un intervalle semi-ouvert à droite, calculés par une primitive sur le segment \([a, x]\) puis un passage à la limite. $$\begin{aligned} \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t &= \lim_{x \to +\infty} \int_0^x e^{-t}\,\mathrm{d}t && \text{(définition)} \\
&= \lim_{x \to +\infty} \bigl[-e^{-t}\bigr]_0^x && \text{(primitive de }e^{-t}\text{ d'\textit{Intégration} \textit{Linéarité, Chasles, positivité et croissance})} \\
&= \lim_{x \to +\infty} \bigl(1 - e^{-x}\bigr) = 1. \end{aligned}$$ Convergente, valeur \(1\). Ensuite : $$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} = \lim_{x \to +\infty} \bigl[-1/t\bigr]_1^x = \lim_{x \to +\infty} \bigl(1 - 1/x\bigr) = 1.$$ Convergente, valeur \(1\). Et le cas harmonique : $$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t} = \lim_{x \to +\infty} \bigl[\ln(t)\bigr]_1^x = \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty.$$ La limite est infinie, donc l'intégrale diverge. Le seuil saute aux yeux : \(1/t^2\) converge, \(1/t\) diverge — l'énoncé général est le résultat de Riemann du Intégrales de Riemann à l'infini. Définition — Intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert à gauche
Soient \(a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\) et \(b \in \mathbb{R}\) avec \(a < b\), et soit \(f : ]a, b] \to \mathbb{R}\) continue. L'intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite convergente lorsque la limite $$\lim_{x \to a^+} \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t$$ existe et est finie, et on pose alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to a^+} \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t\). Sinon, l'intégrale diverge. Exemple
L'intégrale \(\int_0^1 \ln(t)\,\mathrm{d}t\) est impropre à la borne de gauche \(0\), puisque \(\ln\) n'est pas définie en \(0\), et \(\ln\) est continue sur \(]0, 1]\). Calculons sur le segment \([x, 1]\) pour \(0 < x \le 1\), à l'aide de la primitive \(t \mapsto t \ln(t) - t\) de \(\ln\) sur \(]0, +\infty[\) (vérification : \((t \ln t - t)' = \ln t + 1 - 1 = \ln t\)) : $$\begin{aligned} \int_x^1 \ln(t)\,\mathrm{d}t &= \bigl[t \ln(t) - t\bigr]_x^1 && \text{(primitive de }\ln\text{)} \\
&= (1 \cdot 0 - 1) - (x \ln(x) - x) \\
&= -1 - x \ln(x) + x. \end{aligned}$$ Par croissances comparées (Comparaison asymptotique), \(x \ln(x) \to 0\) quand \(x \to 0^+\), et \(x \to 0\) également, donc la limite vaut \(-1\). L'intégrale impropre converge et \(\int_0^1 \ln(t)\,\mathrm{d}t = -1\). Proposition — Intégrale faussement impropre — borne mauvaise finie
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a < b\), et soit \(f : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continue. On suppose que \(f\) admet une limite finie en \(b^-\). Alors \(f\) se prolonge en une fonction continue \(\widetilde{f} : [a, b] \to \mathbb{R}\) (en posant \(\widetilde{f}(b) = \lim_{t \to b^-} f(t)\)), et l'intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge avec $$\textcolor{colorprop}{\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \widetilde{f}(t)\,\mathrm{d}t}$$ (le membre de droite étant une intégrale de segment au sens d'Intégration). L'énoncé symétrique vaut pour \(]a, b]\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\) et une limite finie en \(a^+\). On dit alors que l'intégrale est faussement impropre. Remarque. Cet énoncé ne s'applique qu'en une borne mauvaise finie. En une borne mauvaise infinie (\(b = +\infty\)), l'existence d'une limite finie de \(f\) en \(+\infty\) n'entraîne pas la convergence de \(\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) — par exemple pour la fonction constante \(f \equiv 1\), \(\int_0^x 1\,\mathrm{d}t = x \to +\infty\) (divergent), bien que \(f\) ait pour limite \(1\) en \(+\infty\).
On traite le cas semi-ouvert à droite \([a, b[\) avec \(b \in \mathbb{R}\) finie. Définissons \(\widetilde{f} : [a, b] \to \mathbb{R}\) par \(\widetilde{f}(t) = f(t)\) sur \([a, b[\) et \(\widetilde{f}(b) = \lim_{t \to b^-} f(t)\). Alors \(\widetilde{f}\) est continue sur \([a, b]\) (continue sur \([a, b[\) par hypothèse, et continue en \(b\) par le choix de la valeur). D'après Intégration (Critère des fonctions positives), \(\widetilde{f}\) admet une primitive \(F\) sur \([a, b]\) ; en particulier \(F\) est continue sur \([a, b]\), donc $$\int_a^x \widetilde{f}(t)\,\mathrm{d}t = F(x) - F(a) \xrightarrow[x \to b^-]{} F(b) - F(a) = \int_a^b \widetilde{f}(t)\,\mathrm{d}t.$$ Or pour \(x \in [a, b[\), \(\widetilde{f}\) et \(f\) coïncident sur \([a, x]\), donc \(\int_a^x \widetilde{f}(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\). Le passage à la limite donne la convergence de l'intégrale impropre et l'égalité annoncée. Le cas semi-ouvert à gauche est symétrique.
Exemple
L'intégrale \(\int_0^1 \frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t\) est impropre à la borne de gauche \(0\), puisque \(t \mapsto \sin(t)/t\) n'est pas définie en \(0\). D'après Comparaison asymptotique, \(\sin(t) \sim t\) en \(0\), donc \(\sin(t)/t \to 1\) quand \(t \to 0^+\). La fonction se prolonge par continuité à \([0, 1]\) en posant sa valeur en \(0\) égale à \(1\). Par la Proposition faussement impropre (forme semi-ouverte à gauche), l'intégrale converge. La valeur est un repère classique en physique (le sinus intégral \(\mathrm{Si}(1)\)) et n'a pas de forme close en fonctions élémentaires ; pour ce qui nous occupe, l'essentiel est que la convergence est tranchée, sans aucun calcul. Méthode — Reconnaître une intégrale faussement impropre
En une borne mauvaise finie (à gauche ou à droite), calculer la limite de la fonction à intégrer : - Si la fonction à intégrer admet une limite finie en la borne mauvaise, l'intégrale est faussement impropre — elle converge, et sa valeur est égale à l'intégrale de segment du prolongement continu.
- Si la fonction à intégrer admet une limite infinie (ou pas de limite) en la borne mauvaise, l'intégrale est réellement impropre — la nature n'est pas tranchée par cette méthode, étudier la convergence par un autre moyen (primitive directe, comparaison section 4, IPP Intégration par parties sur une intégrale impropre, changement de variable Changement de variable sur une intégrale impropre).
Compétences à pratiquer
- Calculer une intégrale impropre convergente par primitive
- Reconnaître une intégrale faussement impropre
I.2
Intégrale sur un intervalle ouvert
Le troisième cas est un intervalle ouvert \(]a, b[\) où les deux bornes sont mauvaises : \(a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\). La définition scinde l'intervalle en un point intérieur \(c\) quelconque, en un morceau semi-ouvert à gauche \(]a, c]\) et un morceau semi-ouvert à droite \([c, b[\), chacun traité par Définition et le cas faussement impropre, et exige que les deux morceaux convergent séparément. C'est le cas le plus propice aux erreurs — la mise en garde qui suit est le point à retenir de cette sous-section.
Définition — Intégrale impropre sur un intervalle ouvert
Soient \(a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) avec \(a < b\), et soit \(f : ]a, b[ \to \mathbb{R}\) continue. Soit \(c \in ]a, b[\) quelconque. L'intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite convergente lorsque les deux intégrales impropres $$\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{et} \quad \int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t$$ convergent (au sens des deux définitions précédentes, respectivement semi-ouverte à gauche en \(a\) et semi-ouverte à droite en \(b\)). Dans ce cas, sa valeur vaut $$\textcolor{colordef}{\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t.}$$ La convergence et la valeur ne dépendent pas du choix de \(c \in ]a, b[\) (démonstration par Chasles sur des segments et passage aux limites en \(a\) et \(b\)). Lorsque l'une des deux moitiés diverge, l'intégrale impropre sur \(]a, b[\) diverge.
Piège : ne jamais réduire à une limite symétrique
Crucial. La Définition ci-dessus exige que les deux morceaux convergent séparément. Ce n'est pas la même chose que la limite symétrique \(\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(t)\,\mathrm{d}t\), qui peut être finie sans que chaque moitié converge séparément. Contre-exemple concret : prenons \(f(t) = t\) sur \(]-\infty, +\infty[\). Scindons en \(c = 0\) : $$\int_0^{+\infty} t\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to +\infty} \bigl[t^2/2\bigr]_0^x = \lim_{x \to +\infty} x^2/2 = +\infty.$$ Cette moitié diverge, donc par la Définition, \(\int_{-\infty}^{+\infty} t\,\mathrm{d}t\) diverge. Et pourtant la limite symétrique donne $$\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} t\,\mathrm{d}t = \lim_{R \to +\infty} \bigl[t^2/2\bigr]_{-R}^{R} = \lim_{R \to +\infty} (R^2/2 - R^2/2) = 0.$$ Conclure « ça vaut \(0\) par symétrie » est une erreur — on confond la limite symétrique et la véritable définition, qui utilise deux limites indépendantes. Toujours scinder en un \(c\) intérieur quelconque, et vérifier la convergence de chaque moitié séparément. La même mise en garde s'applique à un \(]a, b[\) borné avec deux bornes mauvaises.
Exemple
Étudier la nature de \(\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3}\). La fonction à intégrer \(1/t^3\) est continue sur \(]0, +\infty[\) mais n'est pas définie en \(0\) ; l'intervalle est ouvert aux deux bornes. Scindons en \(c = 1\) : - Moitié \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^3\) sur \([1, +\infty[\) : par le même calcul que pour \(1/t^2\), \(\int_1^x \mathrm{d}t/t^3 = [-1/(2 t^2)]_1^x = 1/2 - 1/(2 x^2) \to 1/2\). Convergente.
- Moitié \(\int_0^1 \mathrm{d}t/t^3\) sur \(]0, 1]\) : \(\int_x^1 \mathrm{d}t/t^3 = [-1/(2 t^2)]_x^1 = -1/2 + 1/(2 x^2) \to +\infty\) quand \(x \to 0^+\). Divergente.
Méthode — Étudier une intégrale aux deux bornes mauvaises
Pour \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) avec \(f\) continue sur \(]a, b[\) et les deux bornes mauvaises : - Choisir un point intérieur quelconque \(c \in ]a, b[\) (en pratique \(c = 0\) ou \(c = 1\), selon ce qui simplifie les primitives).
- Étudier la convergence de \(\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t\) sur \(]a, c]\) et de \(\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t\) sur \([c, b[\) séparément (chacune par la machinerie semi-ouverte du Définition et le cas faussement impropre, les intégrales de référence du section 3, ou les théorèmes de comparaison du section 4).
- Si les deux moitiés convergent, l'intégrale d'origine converge, de valeur la somme des deux moitiés. Si une moitié diverge, l'intégrale d'origine diverge — inutile d'examiner l'autre moitié.
Compétences à pratiquer
- Étudier la nature sur un intervalle ouvert
- Identifier les bornes mauvaises
II
Règles opératoires sur les intégrales convergentes
II.1
Linéarité, Chasles, positivité et croissance
Chacune des règles du cas du segment d'Intégration (Intégrale sur un intervalle ouvert) s'étend au cas impropre par passage à la limite, à condition que les intégrales en jeu convergent. L'hypothèse « les deux intégrales convergent » est essentielle pour la linéarité : scinder une intégrale convergente en deux morceaux qui divergent tous deux est le piège le plus fréquent, et le programme admet les quatre règles ci-dessous sans démonstration pour éviter toute technicité.
Proposition — Règles opératoires — admises
Soit \(I\) l'un des \([a, b[\), \(]a, b]\), \(]a, b[\), et soient \(f, g : I \to \mathbb{R}\) continues. Les règles suivantes sont admises. - Linéarité : si \(\int_I f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_I g(t)\,\mathrm{d}t\) convergent, alors pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(\int_I (\lambda f + \mu g)\) converge et $$\int_a^b \bigl(\lambda f(t) + \mu g(t)\bigr)\,\mathrm{d}t = \lambda \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t + \mu \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t.$$
- Relation de Chasles : si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge sur \(I\), alors pour tout \(c \in I\), les intégrales \(\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t\) convergent, et $$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t.$$
- Positivité : si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge et \(f \ge 0\) sur \(I\), alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0\).
- Croissance : si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) convergent et \(f \le g\) sur \(I\), alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\).
Piège : ne jamais scinder avant d'avoir vérifié la convergence
Important. La linéarité, appliquée sans précaution, conduit à l'erreur classique : scinder \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}\) en \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t - \int_1^{+\infty} \frac{1}{t+1}\,\mathrm{d}t\) via la décomposition \(1/(t(t+1)) = 1/t - 1/(t+1)\). L'intégrale d'origine converge (vérifié plus loin). Les deux morceaux à droite divergent chacun (Riemann \(\alpha = 1\) en \(+\infty\), voir Intégrales de Riemann à l'infini). La linéarité ne s'applique pas — l'hypothèse « les deux intégrales convergent » est en défaut. La marche correcte est d'effectuer la décomposition sur le segment \([1, x]\) (où toutes les intégrales sont finies), puis de passer à la limite à la fin.
Exemple
Le calcul correct de \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}\). Sur le segment \([1, x]\), la décomposition \(1/(t(t+1)) = 1/t - 1/(t+1)\) donne $$\begin{aligned} \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)} &= \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} - \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t+1} && \text{(linéarité sur le segment, décomposition)} \\
&= \bigl[\ln(t)\bigr]_1^x - \bigl[\ln(t+1)\bigr]_1^x \\
&= \ln(x) - \ln(x+1) - 0 + \ln(2) \\
&= \ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right) + \ln(2). \end{aligned}$$ Quand \(x \to +\infty\), \(x/(x+1) \to 1\), donc \(\ln(x/(x+1)) \to 0\), et le crochet tend vers \(\ln(2)\). L'intégrale impropre converge et $$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)} = \ln(2).$$ La clé était de faire l'algèbre sur le segment, en ne passant à la limite qu'à la fin — évitant la fausse scission entre deux intégrales impropres divergentes. Exemple
Chasles s'emploie aussi dans l'autre sens — pour isoler la borne mauvaise. Pour étudier \(\int_0^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) quand \(f\) est continue sur \([0, +\infty[\), scindons en \(c > 0\) quelconque : $$\int_0^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{converge} \iff \quad \int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{converge},$$ car la part \(\int_0^c f(t)\,\mathrm{d}t\) est une intégrale de segment finie et contribue d'une constante à la somme partielle. Leçon : la convergence ne dépend que du comportement de \(f\) au voisinage de la borne mauvaise. Proposition — Continue, positive, intégrale nulle — admis
Soit \(I\) l'un des \([a, b[\), \(]a, b]\), \(]a, b[\), et soit \(f : I \to \mathbb{R}\) continue avec \(f \ge 0\) sur \(I\). Si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge et vaut \(0\), alors \(f \equiv 0\) sur \(I\). Admis (le résultat découle de la version du cas du segment d'Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert : pour tout segment \([a', b'] \subset I\), la restriction de \(f\) est continue, positive, et d'intégrale \(\int_{a'}^{b'} f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = 0\), donc par positivité \(\int_{a'}^{b'} f(t)\,\mathrm{d}t = 0\) ; la Proposition du cas du segment donne alors \(f \equiv 0\) sur \([a', b']\). Comme cela vaut pour tout \([a', b'] \subset I\), \(f \equiv 0\) sur \(I\)). Méthode — Appliquer les règles prudemment — vérifier la convergence d'abord
Avant d'invoquer la linéarité, Chasles, la positivité ou la croissance sur une intégrale impropre : - Vérifier que toutes les intégrales en jeu convergent. Le piège classique est de scinder une intégrale convergente par linéarité en deux morceaux divergents (ou par décomposition en éléments simples, ou par scission \(\sin + \cos\), etc.). La linéarité est interdite sur des morceaux divergents.
- En cas de doute, effectuer l'algèbre (linéarité, Chasles, décomposition) sur un segment \([a', b'] \subset [a, b[\) où toutes les intégrales sont finies, puis passer à la limite à la fin.
- Pour la croissance, les deux intégrales impropres à comparer doivent toutes deux converger ; une inégalité entre fonctions à intégrer ne transfère pas aux intégrales si l'une d'elles diverge.
Compétences à pratiquer
- Appliquer la linéarité et Chasles aux intégrales impropres
II.2
Critère des fonctions positives
Le cadre le plus simple — celui qui sous-tend chaque théorème de comparaison du section 4 — est celui où \(f \ge 0\) sur l'intervalle entier \([a, b[\). La fonction \(x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est alors croissante sur \([a, b[\) (par positivité, l'intégrale de segment grandit quand \(x\) grandit), donc par le théorème de la limite monotone de Suites : limites et convergence (version fonction), elle admet une limite en \(b^-\) : soit finie (l'intégrale converge), soit \(+\infty\) (l'intégrale diverge vers \(+\infty\)). L'histoire est l'analogue fonctionnel du critère des séries à termes positifs de Séries numériques (Nature d'une série à termes positifs) — sommes partielles là-bas, intégrales partielles ici. Lorsque \(f\) n'est positive qu'au voisinage de \(b\) (négative ou de signe variable près de \(a\)), utiliser la relation de Chasles pour isoler le voisinage : la convergence sur \([a, b[\) équivaut à la convergence sur \([c, b[\) pour tout \(c \in [a, b[\), et cette dernière relève de la Proposition ci-dessous avec \(f \ge 0\) sur tout \([c, b[\).
Proposition — Cas des fonctions positives
Soient \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) avec \(a < b\), et soit \(f : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continue avec \(f \ge 0\) sur \([a, b[\). Posons \(F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) pour \(x \in [a, b[\). Alors \(F\) est croissante sur \([a, b[\), et l'une des deux situations suivantes a lieu : - \(F\) est majorée sur \([a, b[\), et \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge (de valeur \(\sup_{[a, b[} F = \lim_{x \to b^-} F(x)\)) ;
- \(F\) est non majorée, et \(F(x) \to +\infty\) quand \(x \to b^-\), c'est-à-dire \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) diverge vers \(+\infty\).
Sur \([a, b[\), fixons \(x_1 \le x_2 < b\). La relation de Chasles sur le segment \([a, x_2]\) (Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert) donne \(F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(t)\,\mathrm{d}t\). Par la positivité sur le segment (Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert encore), \(\int_{x_1}^{x_2} f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0\), donc \(F(x_1) \le F(x_2)\) : \(F\) est croissante sur \([a, b[\). Le théorème de la limite monotone (Suites : limites et convergence, version fonction : une fonction croissante sur un intervalle admet une limite à l'extrémité droite, soit finie si la fonction est majorée, soit \(+\infty\) sinon) donne les deux cas de l'énoncé. Le cas \(f \ge 0\) sur \(]a, b]\) se traite par symétrie : \(F(x) = \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est décroissante en \(x\), et le théorème de la limite monotone à l'extrémité gauche s'applique.
Exemple
Démontrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}\) converge, en utilisant le critère des fonctions positives. La fonction à intégrer \(f(t) = 1/t^2\) est positive et continue sur \([1, +\infty[\). Calculons l'intégrale partielle \(F(x) = \int_1^x \mathrm{d}t/t^2\) à l'aide de la primitive \(-1/t\) d'Intégration (Linéarité, Chasles, positivité et croissance) : \(F(x) = 1 - 1/x\). Pour tout \(x \in [1, +\infty[\), \(F(x) \le 1\), donc \(F\) est majorée par \(1\) sur \([1, +\infty[\). Par le critère des fonctions positives, la fonction \(F\), croissante et majorée, admet une limite finie, donc \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2\) converge (et la valeur est \(\sup F = 1\), ce qui retrouve le résultat du Définition et le cas faussement impropre). La méthode ci-dessous systématise l'étape de majoration — la part qui ne demande pas le calcul d'une primitive. Méthode — Majorer l'intégrale partielle pour conclure à la convergence
Pour une fonction continue \(f\) positive sur \([a, b[\) : - Essayer de majorer la fonction à intégrer : \(0 \le f(t) \le g(t)\) pour \(t\) près de \(b\), où \(g\) est une référence connue (Riemann, exponentielle) d'intégrale convergente. Par la croissance sur le segment et le critère des fonctions positives, \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge.
- Sinon, calculer l'intégrale partielle \(F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) explicitement (par une primitive) et montrer qu'elle est majorée sur \([a, b[\).
- Pour la divergence : montrer \(F(x) \to +\infty\), par exemple en minorant \(f\) par une autre fonction positive d'intégrale divergente.
Compétences à pratiquer
- Majorer l'intégrale partielle pour conclure à la convergence
III
Intégrales de référence convergentes
III.1
Intégrales de Riemann à l'infini
La première famille de référence est l'échelle de Riemann en \(+\infty\) : \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\), indexée par un unique paramètre réel \(\alpha\). Son seuil de convergence est le même que celui de la série de Riemann \(\sum 1/n^\alpha\) de Séries numériques : l'intégrale converge si et seulement si \(\alpha > 1\), la série converge si et seulement si \(\alpha > 1\). La démonstration est par primitive directe — aucune technicité — ce qui fait de cette famille la référence la plus propre du chapitre.
Proposition — Intégrale de Riemann en \(+\infty\)
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). L'intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\). En cas de convergence, $$\textcolor{colorprop}{\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}.}$$
La fonction \(t \mapsto 1/t^\alpha\) est continue sur \([1, +\infty[\). Deux cas.
- Cas \(\alpha = 1\). Une primitive de \(1/t\) sur \([1, +\infty[\) est \(\ln\). Alors $$\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} = \bigl[\ln(t)\bigr]_1^x = \ln(x) - 0 \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty.$$ L'intégrale diverge.
- Cas \(\alpha \ne 1\). Une primitive de \(1/t^\alpha = t^{-\alpha}\) sur \(]0, +\infty[\) est \(t^{1-\alpha}/(1-\alpha)\) (Intégration, Linéarité, Chasles, positivité et croissance : primitive de \(t^\beta\) pour \(\beta \ne -1\)). Donc $$\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} = \left[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^x = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha} = \frac{1 - x^{1-\alpha}}{\alpha - 1}.$$ La limite quand \(x \to +\infty\) dépend du signe de \(1 - \alpha\).
- Si \(\alpha > 1\) : \(1 - \alpha < 0\), donc \(x^{1-\alpha} \to 0\), et l'intégrale tend vers \(1/(\alpha - 1)\). Convergente.
- Si \(\alpha < 1\) : \(1 - \alpha > 0\), donc \(x^{1-\alpha} \to +\infty\), et l'intégrale tend vers \(+\infty\). Divergente.
Exemple
Trois verdicts rapides au moyen du seuil \(\alpha = 1\) : - \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2 = 1/(2-1) = 1\) (\(\alpha = 2 > 1\), convergente) ;
- \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t\) diverge (\(\alpha = 1\), cas frontière) ;
- \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/\sqrt{t}\) diverge (\(\alpha = 1/2 < 1\)).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une intégrale de Riemann en \(+\infty\)
III.2
Intégrales de Riemann en une borne finie
En une borne mauvaise finie, le seuil de Riemann s'inverse : \(\int_0^1 \mathrm{d}t/t^\alpha\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\) — la direction opposée à celle de \(+\infty\). Géométriquement, en \(+\infty\) un \(\alpha\) grand aplatit la queue de \(1/t^\alpha\) et favorise la convergence ; en \(0\), un \(\alpha\) grand allonge le pic de \(1/t^\alpha\) vers le haut et casse la convergence. Même échelle de Riemann, seuils opposés aux deux extrémités.
Proposition — Intégrale de Riemann en \(0\)
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). L'intégrale \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\). En cas de convergence, $$\textcolor{colorprop}{\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} = \frac{1}{1 - \alpha}.}$$
La fonction \(t \mapsto 1/t^\alpha\) est continue sur \(]0, 1]\) (impropre à la borne de gauche \(0\)). Deux cas.
- Cas \(\alpha = 1\). Une primitive de \(1/t\) sur \(]0, 1]\) est \(\ln\). Alors $$\int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{t} = \bigl[\ln(t)\bigr]_x^1 = 0 - \ln(x) = -\ln(x) \xrightarrow[x \to 0^+]{} +\infty.$$ L'intégrale diverge.
- Cas \(\alpha \ne 1\). La primitive \(t^{1-\alpha}/(1-\alpha)\) sur \(]0, +\infty[\) donne $$\int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} = \left[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_x^1 = \frac{1 - x^{1-\alpha}}{1 - \alpha}.$$
- Si \(\alpha < 1\) : \(1 - \alpha > 0\), donc \(x^{1-\alpha} \to 0\) quand \(x \to 0^+\), et l'intégrale tend vers \(1/(1 - \alpha)\). Convergente.
- Si \(\alpha > 1\) : \(1 - \alpha < 0\), donc \(x^{1-\alpha} \to +\infty\), et l'intégrale tend vers \(+\infty\). Divergente.
Piège : seuils en sens opposés
Crucial. Les deux seuils de Riemann sont en sens opposés :
- en \(+\infty\) : \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\) ;
- en \(0\) : \(\int_0^1 \mathrm{d}t/t^\alpha\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\).
Exemple
Trois verdicts en \(0\) : - \(\int_0^1 \mathrm{d}t/\sqrt{t} = 1/(1 - 1/2) = 2\) (\(\alpha = 1/2 < 1\), convergente) ;
- \(\int_0^1 \mathrm{d}t/t\) diverge (\(\alpha = 1\), cas frontière) ;
- \(\int_0^1 \mathrm{d}t/t^2\) diverge (\(\alpha = 2 > 1\)).
Proposition — Intégrales de Riemann décalées — admises
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a < b\), et soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). Alors : - \(\int_a^b \frac{\mathrm{d}t}{(t - a)^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\) (impropre à la borne de gauche \(t = a\)) ;
- \(\int_a^b \frac{\mathrm{d}t}{(b - t)^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\) (impropre à la borne de droite \(t = b\)).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une intégrale de Riemann en une borne finie
III.3
Intégrales exponentielles
La troisième famille de référence est l'exponentielle en \(+\infty\) : \(\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\). Le seuil est \(\alpha = 0\) : convergence si et seulement si \(\alpha > 0\), divergence sinon. C'est le cheval de bataille de la probabilité en année 2 : le cas \(\alpha = \lambda > 0\) est la densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), dont la normalisation vaut exactement \(\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = 1\). Comme pour les deux familles de Riemann, la démonstration est par primitive directe.
Proposition — Intégrale exponentielle en \(+\infty\)
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). L'intégrale \(\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(\alpha > 0\). En cas de convergence, $$\textcolor{colorprop}{\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{\alpha}.}$$
La fonction \(t \mapsto e^{-\alpha t}\) est continue sur \([0, +\infty[\). Trois cas.
- Cas \(\alpha = 0\). La fonction à intégrer est la constante \(1\) : $$\int_0^x 1\,\mathrm{d}t = x \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty.$$ Divergente.
- Cas \(\alpha > 0\). Une primitive de \(e^{-\alpha t}\) est \(-e^{-\alpha t}/\alpha\) (règle de la chaîne, Dérivation). Donc $$\int_0^x e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t = \left[-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}\right]_0^x = \frac{1 - e^{-\alpha x}}{\alpha}.$$ Comme \(\alpha > 0\), \(-\alpha x \to -\infty\), donc \(e^{-\alpha x} \to 0\), et l'intégrale tend vers \(1/\alpha\). Convergente.
- Cas \(\alpha < 0\). La même primitive donne $$\int_0^x e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t = \frac{1 - e^{-\alpha x}}{\alpha}.$$ Maintenant \(-\alpha x \to +\infty\), donc \(e^{-\alpha x} \to +\infty\) et l'intégrale tend vers \(+\infty\) (la fraction a un dénominateur négatif et un numérateur \(1 - e^{-\alpha x} \to -\infty\), donc le rapport est positif et tend vers \(+\infty\)). Divergente.
Exemple
Avec \(\alpha = 1\) : \(\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1\). Avec \(\alpha = 2\) : \(\int_0^{+\infty} e^{-2 t}\,\mathrm{d}t = 1/2\). Avec \(\alpha = -1\) : \(\int_0^{+\infty} e^{t}\,\mathrm{d}t\) diverge (la fonction à intégrer tend vers l'infini en \(+\infty\)). Le cas \(\alpha = \lambda > 0\) est la densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) de la probabilité d'année 2 : \(\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = \lambda \cdot 1/\lambda = 1\) (linéarité), la normalisation de la loi. Méthode — Identifier la bonne intégrale de référence
Trois familles de référence tranchent la nature d'une intégrale impropre par simple inspection : - Riemann en \(+\infty\) : \(\int_a^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\) (pour tout \(a > 0\) fini — la convergence ne dépend que du comportement en \(+\infty\)).
- Riemann en une borne finie : \(\int_a^b \mathrm{d}t/(t - a)^\alpha\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\) (et de même avec \((b - t)^\alpha\)).
- Exponentielle en \(+\infty\) : \(\int_a^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(\alpha > 0\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une intégrale exponentielle
IV
Théorèmes de comparaison et convergence absolue
IV.1
Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence
Pour les fonctions positives, trois critères admis ramènent la question de la convergence à une intégrale de référence connue. Ce sont les analogues fonctionnels des trois critères de comparaison des séries à termes positifs de Séries numériques, avec \(u_n\) remplacé par \(f(t)\) au voisinage de la borne mauvaise \(b\). L'hypothèse « signe constant » est essentielle : dans le cas de signe variable, passer au Convergence absolue (convergence absolue).
Proposition — Comparaison par inégalité — admise
Soient \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) avec \(a < b\). Soient \(f, g : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continues avec \(0 \le f(t) \le g(t)\) pour \(t\) au voisinage de \(b\). Alors : - si \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) converge, alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge ;
- si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) diverge, alors \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) diverge.
Proposition — Comparaison par négligeabilité — admise
Même cadre. Soient \(f, g : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continues, \(f \ge 0\) et \(g > 0\) au voisinage de \(b\) (afin que le quotient \(f/g\) soit défini), avec \(f = o(g)\) en \(b\) (au sens de Comparaison asymptotique). Alors : - si \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) converge, alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge ;
- si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) diverge, alors \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) diverge.
Proposition — Comparaison par équivalence — admise
Même cadre. Soient \(f, g : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continues, toutes deux strictement positives au voisinage de \(b\), avec \(f \sim g\) en \(b\) (au sens de Comparaison asymptotique). Alors les intégrales \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) sont de même nature. Admise.
Analogue pour les fonctions négatives
Les trois critères ci-dessus s'appliquent à l'identique aux fonctions négatives (avec \(f \le 0\) et \(g \le 0\) au voisinage de \(b\), l'inégalité \(g \le f \le 0\) pour le critère par inégalité) : il suffit d'appliquer le cas positif à \(-f\) et \(-g\), et d'utiliser la linéarité.
L'hypothèse de signe constant est essentielle
Crucial. Les trois critères de comparaison exigent que les fonctions soient de signe constant (positif, ou négatif) au voisinage de la borne mauvaise. Appliqués à une fonction de signe variable — typiquement une fonction à intégrer portant un facteur \(\sin\) ou \(\cos\) — le critère d'équivalence est muet : il existe \(f, g\) avec \(f \sim g\) en \(+\infty\) tels que \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) converge et \(\int g(t)\,\mathrm{d}t\) diverge (construction hors programme). Deux conséquences pratiques : premièrement, ne jamais appliquer le critère par équivalence à une fonction à intégrer de signe variable ; deuxièmement, la voie pour les fonctions à intégrer de signe variable est la convergence absolue.
Méthode — Conclure par comparaison ou équivalence
Pour étudier la nature de \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) lorsque \(f\) est positive au voisinage de \(b\) : - Vérifier que \(f\) est de signe constant au voisinage de la borne mauvaise. Sinon, passer au Convergence absolue.
- Trouver le comportement dominant de \(f\) près de la borne mauvaise à l'aide de Comparaison asymptotique (factoriser le terme dominant, croissances comparées).
- Comparer avec une intégrale de référence du section 3 : Riemann en \(+\infty\) (pour les queues en \(1/t^\alpha\)), Riemann en une borne finie (pour les pics en \(1/(t-a)^\alpha\)), exponentielle en \(+\infty\).
- Appliquer le critère d'équivalence (le plus court), de négligeabilité, ou d'inégalité (le plus souple).
Exemple
Déterminer la nature de \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1}\). La fonction à intégrer est strictement positive sur \([1, +\infty[\). Équivalent en \(+\infty\) : $$\frac{1}{t^2 + 1} = \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{1 + 1/t^2} \sim \frac{1}{t^2}$$ (on factorise \(t^2\) au dénominateur ; le facteur \(1 + 1/t^2 \to 1\)). Les deux côtés sont strictement positifs. L'intégrale de Riemann \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2\) converge (\(\alpha = 2 > 1\)). Par le critère d'équivalence, \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/(t^2 + 1)\) converge. Exemple
Déterminer la nature de \(\int_0^1 \frac{\ln(1 + t)}{t^{3/2}}\,\mathrm{d}t\). La fonction à intégrer est impropre à la borne de gauche \(0\), et positive sur \(]0, 1]\). Équivalent en \(0^+\) : par \(\ln(1 + t) \sim t\) en \(0\) (Comparaison asymptotique), $$\frac{\ln(1 + t)}{t^{3/2}} \sim \frac{t}{t^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{1/2}}.$$ Les deux côtés sont strictement positifs sur \(]0, 1]\). La référence \(\int_0^1 \mathrm{d}t/\sqrt{t}\) converge (Riemann en \(0\) avec \(\alpha = 1/2 < 1\)). Par le critère d'équivalence, \(\int_0^1 \ln(1 + t)/t^{3/2}\,\mathrm{d}t\) converge. Compétences à pratiquer
- Conclure par comparaison ou équivalence
IV.2
Convergence absolue
Pour une fonction à intégrer \(f\) de signe variable (typiquement un facteur \(\sin\) ou \(\cos\)), les critères de comparaison du Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence sont muets. Le filet de sécurité est la convergence absolue : passer de \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) à \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\), qui est l'intégrale d'une fonction positive et relève du Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence. Le théorème de ce paragraphe garantit que la convergence absolue implique la convergence — l'analogue fonctionnel de Séries numériques.
Définition — Intégrale impropre absolument convergente
Soit \(I\) l'un des \([a, b[\), \(]a, b]\), \(]a, b[\), et soit \(f : I \to \mathbb{R}\) continue. L'intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite absolument convergente lorsque l'intégrale de fonction positive \(\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t\) converge. Proposition — La convergence absolue implique la convergence — admise
Si une intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est absolument convergente, alors elle est convergente. Admise à ce niveau (programme : « on évitera toute technicité »). L'argument est l'analogue de la démonstration série de Séries numériques (Définition ; la convergence absolue implique la convergence) : écrire \(f = f^+ - f^-\) avec \(f^+(t) = \max(f(t), 0)\) et \(f^-(t) = \max(-f(t), 0)\) toutes deux continues et \(0 \le f^\pm \le |f|\), puis \(\int f^+\) et \(\int f^-\) convergent par comparaison à \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\), et \(\int f(t)\,\mathrm{d}t = \int f^+ - \int f^-\) converge par linéarité. C'est l'adaptation technique complète de la linéarité du cas du segment au cas impropre qui est admise ici.
La réciproque est FAUSSE
Crucial. La réciproque de « la convergence absolue implique la convergence » est fausse. Le contre-exemple classique est le sinus intégral \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t\) : il converge (la voie standard est une intégration par parties avec \(u'(t) = \sin(t)\) et \(v(t) = 1/t\), qui ramène à une intégrale convergente via l'Intégration par parties sur une intégrale impropre ; la non-convergence absolue est admise à ce stade) sans être absolument convergent. La notion d'intégrale qui converge sans converger absolument est appelée semi-convergente ; elle est nommée ici comme vocabulaire, mais aucun critère général du cadre du programme ne décide la semi-convergence de façon systématique. Le critère de convergence absolue est donc une condition suffisante, et non nécessaire, de convergence ; certains cas semi-convergents comme le sinus intégral se traitent au cas par cas par IPP (Intégration par parties sur une intégrale impropre).
Proposition — Inégalité triangulaire sur une intégrale impropre convergente
Soit \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) absolument convergente sur \(I\) (donc \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) convergent toutes deux). Alors $$\textcolor{colorprop}{\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t.}$$
On traite le cas semi-ouvert à droite \([a, b[\) (les autres sont symétriques). Sur le segment \([a, x]\) pour \(a \le x < b\), l'inégalité triangulaire du cas du segment (Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert) donne $$\left| \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_a^x |f(t)|\,\mathrm{d}t.$$ Par convergence absolue, le membre de droite admet une limite finie quand \(x \to b^-\) : \(\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t\). Par convergence de \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\), l'intégrale intérieure \(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) admet une limite finie \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\), donc \(|\int_a^x f|\) admet pour limite \(|\int_a^b f|\) (continuité de \(|\cdot|\)). Le passage à la limite dans l'inégalité (l'inégalité entre deux quantités convergentes est préservée par passage à la limite, Suites : limites et convergence) donne l'inégalité annoncée.
Méthode — Utiliser la convergence absolue sur une fonction à intégrer de signe variable
Pour une intégrale impropre de fonction à intégrer de signe variable : - Former \(|f|\), fonction positive continue sur le même intervalle.
- Appliquer un critère de comparaison du Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence à \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\).
- Si \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) converge, conclure que \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) converge (absolument, donc en particulier). Si on souhaite une valeur, l'inégalité triangulaire donne \(|\int f| \le \int |f(t)|\,\mathrm{d}t\).
- Si \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) diverge, le critère de convergence absolue est sans conclusion : \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) peut encore converger (semi-convergence), mais aucun critère du cadre du programme ne le décide ; un autre argument est nécessaire (par exemple une IPP — voir Intégration par parties sur une intégrale impropre).
Exemple
Déterminer la nature de \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\). La fonction à intégrer est de signe variable (puisque \(\cos\) prend les deux signes). Majorons la valeur absolue : $$\left| \frac{\cos(t)}{t^2} \right| = \frac{|\cos(t)|}{t^2} \le \frac{1}{t^2}.$$ La référence \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2\) converge (Riemann \(\alpha = 2 > 1\)). Par le critère de comparaison par inégalité appliqué à la fonction positive \(|\cos(t)/t^2|\), \(\int_1^{+\infty} |\cos(t)/t^2|\,\mathrm{d}t\) converge, c'est-à-dire l'intégrale d'origine est absolument convergente. Donc \(\int_1^{+\infty} \cos(t)/t^2\,\mathrm{d}t\) converge. Compétences à pratiquer
- Conclure par convergence absolue
V
Intégration par parties et changement de variable
V.1
Intégration par parties sur une intégrale impropre
Il n'y a pas de théorème d'intégration par parties sur une intégrale impropre — le programme n'en énonce pas. La recette pratique est d'appliquer l'IPP du cas du segment d'Intégration (Intégrales de Riemann à l'infini) sur \([a, x]\) où toutes les quantités sont finies, puis de passer à la limite \(x \to b^-\). L'identité d'IPP sur le segment relie trois quantités : l'intégrale \(\int_a^x u'(t)\,v(t)\,\mathrm{d}t\), le crochet \([u\,v]_a^x = u(x)\,v(x) - u(a)\,v(a)\), et l'intégrale \(\int_a^x u(t)\,v'(t)\,\mathrm{d}t\). La règle des deux sur trois dit : si deux des trois limites quelconques (quand \(x \to b^-\)) sont finies, alors la troisième est finie également, et l'identité d'IPP passe à la limite.
Méthode — IPP sur une intégrale impropre
Pour étudier \(\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\mathrm{d}t\) sur \([a, b[\) avec \(u, v\) de classe \(\mathcal{C}^1\) : - Appliquer l'IPP sur le segment \([a, x]\) pour \(x \in [a, b[\) : $$\int_a^x u'(t)\,v(t)\,\mathrm{d}t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^x - \int_a^x u(t)\,v'(t)\,\mathrm{d}t.$$
- Examiner les limites des trois termes quand \(x \to b^-\) :
- le crochet \(u(x)\,v(x) - u(a)\,v(a)\) : \(u(x)\,v(x)\) admet-il une limite finie en \(b^-\) ? (Typiquement vérifié par les croissances comparées de Comparaison asymptotique.)
- l'intégrale \(\int_a^x u(t)\,v'(t)\,\mathrm{d}t\) : converge-t-elle ? (Typiquement par comparaison du Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence.)
- Par la règle des deux sur trois, si ces deux limites sont finies, alors \(\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\mathrm{d}t\) converge, et sa valeur est la limite du crochet moins \(\int_a^b u(t)\,v'(t)\,\mathrm{d}t\).
- La convergence d'un seul des trois termes n'entraîne pas la convergence des autres ; toujours vérifier deux des trois.
Exemple
Démontrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\) converge, et calculer sa valeur. Choisissons \(v(t) = \ln(t)\) (\(v'(t) = 1/t\)) et \(u'(t) = 1/t^2\) (\(u(t) = -1/t\), primitive sur \([1, +\infty[\)). Les deux sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([1, +\infty[\). Appliquons l'IPP sur \([1, x]\) : $$\begin{aligned} \int_1^x \frac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t &= \left[-\frac{\ln(t)}{t}\right]_1^x - \int_1^x \left(-\frac{1}{t}\right) \cdot \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t && \text{(IPP sur } [1, x] \text{)} \\
&= -\frac{\ln(x)}{x} + 0 + \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^2} && \text{(} \ln(1) = 0 \text{)} \\
&= -\frac{\ln(x)}{x} + \left[-\frac{1}{t}\right]_1^x \\
&= -\frac{\ln(x)}{x} + 1 - \frac{1}{x}. \end{aligned}$$ Quand \(x \to +\infty\) : \(\ln(x)/x \to 0\) (croissance comparée, Comparaison asymptotique) et \(1/x \to 0\). Donc le crochet et la seconde intégrale admettent toutes deux des limites finies (\(0\) et \(1\) respectivement), donc par la règle des deux sur trois l'intégrale d'origine converge : $$\int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t = 0 + 1 - 0 = 1.$$ Exemple
Démontrer que \(\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t\) converge, et calculer sa valeur. Choisissons \(v(t) = t\) (\(v'(t) = 1\)) et \(u'(t) = e^{-t}\) (\(u(t) = -e^{-t}\)). Les deux sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, +\infty[\). Appliquons l'IPP sur \([0, x]\) : $$\begin{aligned} \int_0^x t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t &= \bigl[-t\,e^{-t}\bigr]_0^x - \int_0^x 1 \cdot (-e^{-t})\,\mathrm{d}t && \text{(IPP sur } [0, x] \text{)} \\
&= -x\,e^{-x} + 0 + \int_0^x e^{-t}\,\mathrm{d}t \\
&= -x\,e^{-x} + \bigl[-e^{-t}\bigr]_0^x \\
&= -x\,e^{-x} + 1 - e^{-x}. \end{aligned}$$ Quand \(x \to +\infty\) : \(x\,e^{-x} \to 0\) (croissance comparée) et \(e^{-x} \to 0\). Le crochet et la seconde intégrale convergent vers \(0\) et \(1\) respectivement, donc l'intégrale d'origine converge : $$\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t = 0 + 1 - 0 = 1.$$ C'est l'espérance d'une loi exponentielle de paramètre \(1\) en probabilité d'année 2. Compétences à pratiquer
- Calculer une intégrale impropre par IPP
V.2
Changement de variable sur une intégrale impropre
Le programme énonce explicitement un théorème de changement de variable sur un intervalle quelconque : il est admis à ce niveau. L'hypothèse sur la substitution \(\varphi\) est : \(\mathcal{C}^1\) et bijection strictement monotone entre deux intervalles ouverts. Le résultat dit que les deux intégrales impropres — avant et après substitution — sont de même nature et ont des valeurs égales en cas de convergence. Le report des bornes se lit sur les limites de \(\varphi\) aux extrémités. Les changements de variable non affines sont indiqués dans l'énoncé de l'exercice.
Théorème — Changement de variable sur un intervalle quelconque — admis
Soient \(\alpha, \beta \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\) avec \(\alpha < \beta\), et soit \(\varphi : ]\alpha, \beta[ \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement monotone. Posons \(\ell_\alpha = \lim_{t \to \alpha^+} \varphi(t)\) et \(\ell_\beta = \lim_{t \to \beta^-} \varphi(t)\) (dans \(\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\)). Soient \(a' = \min(\ell_\alpha, \ell_\beta)\) et \(b' = \max(\ell_\alpha, \ell_\beta)\), de sorte que \(\varphi(]\alpha, \beta[) = ]a', b'[\) dans les deux cas de monotonie. Soit \(f\) continue sur \(]a', b'[\). Alors les deux intégrales impropres $$\int_{a'}^{b'} f(u)\,\mathrm{d}u \quad \text{et} \quad \varepsilon \int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$$ sont de même nature (avec \(\varepsilon = +1\) si \(\varphi\) est strictement croissante et \(\varepsilon = -1\) si \(\varphi\) est strictement décroissante), et en cas de convergence elles sont égales. Admis. Remarque sur le signe. Pour \(\varphi\) strictement croissante, \(\varphi'(t) > 0\) sur \(]\alpha, \beta[\), et l'égalité s'écrit \(\int_{a'}^{b'} f(u)\,\mathrm{d}u = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t\) avec les bornes dans leur ordre naturel. Pour \(\varphi\) strictement décroissante, \(\varphi'(t) < 0\) sur \(]\alpha, \beta[\), et l'égalité s'écrit \(\int_{a'}^{b'} f(u)\,\mathrm{d}u = -\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t\) ; le signe moins compense la négativité de \(\varphi'\), de sorte que les deux membres représentent bien la même intégrale (positive lorsque \(f \ge 0\)). En pratique les deux directions se ramènent au même calcul : transformer la fonction à intégrer ET les bornes ET \(\mathrm{d}u\) ensemble, à l'aide de la règle \(u = \varphi(t)\), \(\mathrm{d}u = \varphi'(t)\,\mathrm{d}t\), en suivant l'orientation grâce aux limites \(\ell_\alpha, \ell_\beta\). Méthode — Changement de variable sur une intégrale impropre
Pour une intégrale impropre \(\int_{a'}^{b'} f(u)\,\mathrm{d}u\) avec un changement de variable non affine indiqué dans l'énoncé : - Lire la substitution \(u = \varphi(t)\) donnée par l'énoncé. Vérifier que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement monotone sur l'intervalle ouvert où vivra la nouvelle variable (hypothèse du programme).
- Calculer les limites de \(\varphi\) aux bornes : \(\ell_\alpha = \lim_{t \to \alpha^+} \varphi(t)\) et \(\ell_\beta = \lim_{t \to \beta^-} \varphi(t)\). Lorsque \(\alpha, \beta\) sont finies et bonnes pour \(\varphi\) (i.e.\ \(\varphi\) se prolonge par continuité), ce sont simplement \(\varphi(\alpha)\) et \(\varphi(\beta)\) ; lorsque l'une de \(\alpha, \beta\) est \(\pm\infty\) ou une singularité de \(\varphi\), passer à la limite.
- Calculer \(\mathrm{d}u = \varphi'(t)\,\mathrm{d}t\), et substituer la fonction à intégrer et les bornes simultanément : $$\int_{a'}^{b'} f(u)\,\mathrm{d}u = \int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.$$
- Étudier la nature et (en cas de convergence) calculer la valeur de la nouvelle intégrale sur \(]\alpha, \beta[\). Par le Théorème, les deux intégrales sont de même nature et de mêmes valeurs en cas de convergence.
Exemple
Calculons \(\int_0^{+\infty} \frac{e^{-\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) avec la substitution indiquée \(t = u^2\). On applique le Théorème de changement de variable avec la nouvelle variable \(u\) sur \(]\alpha, \beta[ = ]0, +\infty[\) et \(\varphi : u \mapsto u^2\) qui envoie \(]0, +\infty[\) sur \(]0, +\infty[\) (l'intervalle d'intégration de l'intégrale d'origine). La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement croissante sur \(]0, +\infty[\), avec \(\ell_0 = \lim_{u \to 0^+} u^2 = 0\) et \(\ell_{+\infty} = \lim_{u \to +\infty} u^2 = +\infty\), donc \(a' = 0\), \(b' = +\infty\) (même orientation que l'originale). De \(\varphi'(u) = 2u\), \(\varphi'(u)\,\mathrm{d}u = 2 u\,\mathrm{d}u\), et \(\sqrt{\varphi(u)} = \sqrt{u^2} = u\) (puisque \(u > 0\)). $$\begin{aligned} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t &= \int_0^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u} \cdot 2 u\,\mathrm{d}u && \text{(} t = u^2,\ \sqrt{t} = u,\ \mathrm{d}t = 2 u\,\mathrm{d}u \text{)} \\
&= 2 \int_0^{+\infty} e^{-u}\,\mathrm{d}u && \text{(simplification puis linéarité)} \\
&= 2 \cdot 1 = 2 && \text{(exponentielle de référence, \textit{Intégrales exponentielles}, } \alpha = 1\text{)}. \end{aligned}$$ Les deux intégrales convergent (la seconde par Intégrales exponentielles), donc par le Théorème de changement de variable l'intégrale d'origine converge et vaut \(2\). Exemple
Calculons \(\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t\,(\ln t)^2}\) avec la substitution indiquée \(u = \ln(t)\). La fonction \(\varphi : ]\ln 2, +\infty[ \to ]2, +\infty[\) donnée par \(t = e^u\) — équivalemment \(u = \ln(t)\) — est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement croissante sur \(]\ln 2, +\infty[\). De \(t = e^u\), \(\mathrm{d}t = e^u\,\mathrm{d}u\), donc \(dt/t = du\). Bornes : \(u : \ln 2 \to +\infty\) quand \(t : 2 \to +\infty\). $$\begin{aligned} \int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t\,(\ln t)^2} &= \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u^2} && \text{(} u = \ln(t),\ \mathrm{d}t/t = \mathrm{d}u \text{)} \\
&= \left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{+\infty} && \text{(primitive de }1/u^2\text{)} \\
&= 0 + \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}. \end{aligned}$$ L'intégrale transformée est une Riemann en \(+\infty\) décalée à \(\ln 2\), avec \(\alpha = 2 > 1\) : convergente (Intégrales de Riemann à l'infini). Par le Théorème de changement de variable, l'originale converge et vaut \(1/\ln 2\).
Pour aller plus loin
Les intégrales généralisées sont le pont vers la probabilité d'année 2. Une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire réelle \(X\) dont la loi est codée par une fonction continue (ou continue par morceaux) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+\) appelée densité, vérifiant \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1\) (normalisation). La probabilité \(P(a \le X \le b)\) est l'intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\). L'espérance de \(X\) est \(E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t\,f(t)\,\mathrm{d}t\), à nouveau une intégrale impropre, dont la définition exige la convergence absolue — exactement l'analogue fonctionnel de la condition de convergence absolue sur \(\sum k\,P(X = k)\) pour une variable aléatoire discrète de Séries numériques et Variables aléatoires discrètes. Les deux lois à densité phares ressortent du section 3 de ce chapitre : la loi uniforme sur \([a, b]\) a pour densité constante \(1/(b - a)\) (sa normalisation est une intégrale de segment, non impropre) ; la loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) a pour densité \(\lambda e^{-\lambda t}\) sur \([0, +\infty[\), avec normalisation \(\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = 1\) (Intégrales exponentielles avec \(\alpha = \lambda\)) et espérance \(\int_0^{+\infty} t \cdot \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = 1/\lambda\) (le second exemple IPP du Intégration par parties sur une intégrale impropre, mis à l'échelle). La densité gaussienne \(\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-t^2/2}\) a une normalisation convergente (le critère de comparaison du section 4 le donne via \(e^{-t^2/2} = o(1/t^2)\) en \(+\infty\)), mais la valeur effective \(1\) provient d'un changement de variable à deux variables en coordonnées polaires — construction d'année 2 hors de la boîte à outils à une variable de ce chapitre. La fonction Gamma est définie pour \(x > 0\) par \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t\) ; c'est un repère classique dont la convergence (pour tout \(x > 0\)) se tranche en combinant Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence (comparaison) et Intégrales exponentielles (exponentielle), et qui diverge pour \(x \le 0\) (la fonction à intégrer est trop singulière en \(0\) lorsque \(x \le 0\), via Riemann en \(0\) du Intégrales de Riemann en une borne finie). Enfin, le parallèle série-intégrale de Séries numériques réapparaît ici : le seuil de Riemann \(\alpha = 1\) est le même pour \(\sum 1/n^\alpha\) et \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\) ; la machinerie de la convergence absolue est partagée ; les critères de comparaison par inégalité, négligeabilité et équivalence sont mot pour mot les mêmes en remplaçant les sommes par des intégrales.
Compétences à pratiquer
- Calculer une intégrale impropre par changement de variable
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de synthèse
Aller à la section