Éducation Nationale Française · ECGapprofondies 2
Fonctions de plusieurs variables
Jusqu'ici une fonction prenait un nombre réel et en renvoyait un. Beaucoup de grandeurs dépendent pourtant de plusieurs entrées à la fois : un coût de production dépend des quantités de deux biens, une température dépend de trois coordonnées d'espace, une utilité dépend des quantités de plusieurs produits. On étudie donc des fonctions \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) qui prennent un point \(x = (x_1, \dots, x_n)\) de \(\mathbb{R}^n\) et renvoient un seul nombre réel. On apprend d'abord à représenter une telle fonction (son graphe, ses lignes de niveau), puis à mesurer sa continuité, puis on construit la boîte à outils différentielle d'ordre un — dérivées partielles et gradient \(\nabla f\) — et on termine par la condition nécessaire du premier ordre pour un extremum. Conventions : le domaine est toujours l'espace \(\mathbb{R}^n\) tout entier, muni de sa structure euclidienne canonique \(\langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i\) et de la norme \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}\) (rappelées du chapitre sur le produit scalaire) ; on note \(\partial_i f\) la dérivée partielle par rapport à la \(i\)-ème variable et \(\nabla f\) le gradient.
I
Fonctions sur \(\mathbb{R}^n\) et leur graphe
I.1
Fonctions de plusieurs variables et graphe
On commence par les objets eux-mêmes. Une fonction de \(n\) variables prend un \(n\)-uplet et renvoie un nombre ; les plus simples sont les fonctions polynomiales et affines, exactement comme en une variable. Pour visualiser une fonction, on trace son graphe, qui vit maintenant une dimension au-dessus de l'espace de départ.
Définition — Fonction de \(n\) variables
Une fonction de \(n\) variables réelles est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^n\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) : $$ f : (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \longmapsto f(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}. $$ Exemple
Les applications suivantes sont des fonctions de deux variables sur \(\mathbb{R}^2\) : $$ f(x, y) = x^3 - 4xy^2, \qquad g(x, y) = \ln(1 + x^2 + y^2) + 2e^x. $$ L'application \(i(x_1, \dots, x_n) = \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 - \sum_{k=1}^n x_k^2\) est une fonction de \(n\) variables sur \(\mathbb{R}^n\). Exemple
La température dans une pièce est une fonction de trois coordonnées d'espace, \(T(x, y, z)\) ; le chiffre d'affaires d'une entreprise est une fonction des prix de tous les biens qu'elle vend. Le nombre de variables d'entrée est dicté par la situation modélisée, non par la formule. Définition — Fonction polynomiale et affine
- Une fonction polynomiale sur \(\mathbb{R}^n\) est une combinaison linéaire de monômes \((x_1, \dots, x_n) \mapsto x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}\), où \(k_1, \dots, k_n\) sont des entiers naturels.
- Une fonction affine sur \(\mathbb{R}^n\) est une fonction polynomiale de la forme $$ f : (x_1, \dots, x_n) \mapsto u_1 x_1 + \cdots + u_n x_n + c, \qquad u_1, \dots, u_n, c \in \mathbb{R}. $$
Exemple
La fonction \(f(x, y) = x^3 - 4xy^2\) ci-dessus est polynomiale. Une entreprise produisant deux biens en quantités \(x\) et \(y\), de coûts unitaires \(3\) et \(2\) et de coût fixe \(5\), a pour coût total $$ C(x, y) = 3x + 2y + 5, $$ qui est une fonction affine de \((x, y)\). Définition — Graphe d'une fonction
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\). Le graphe de \(f\) est le sous-ensemble de \(\mathbb{R}^{n+1}\) $$ \mathcal{G}_f = \{(x_1, \dots, x_n, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} : x_{n+1} = f(x_1, \dots, x_n)\}. $$ Exemple
Pour \(n = 1\), le graphe de \(f\) est sa courbe représentative habituelle dans le plan \(\mathbb{R}^2\). Pour \(n = 2\), le graphe de \(f\) est une surface de l'espace \(\mathbb{R}^3\) : par exemple le graphe de \(f(x, y) = x^2 + y^2\) est un bol tourné vers le haut (un paraboloïde elliptique), dont le point le plus bas est à l'origine. Pour \(n \ge 3\) le graphe vit dans \(\mathbb{R}^{n+1}\) et ne peut plus être dessiné. Exemple
Par contraste, le graphe du coût affine \(C(x, y) = 3x + 2y + 5\) est un plan de \(\mathbb{R}^3\), incliné selon les coefficients \(3\) et \(2\) et relevé du coût fixe \(5\) — pas une surface courbe comme le paraboloïde. Proposition — Graphe d'une fonction affine
Pour \(n = 2\), le graphe de la fonction affine \(f(x, y) = ax + by + c\) est le plan de \(\mathbb{R}^3\) d'équation \(z = ax + by + c\), soit \(ax + by - z + c = 0\). Plus généralement, le graphe d'une fonction affine de \(n\) variables est un hyperplan affine de \(\mathbb{R}^{n+1}\).
C'est immédiat d'après la définition du graphe : un point \((x, y, z)\) appartient à \(\mathcal{G}_f\) si et seulement si \(z = f(x, y) = ax + by + c\), ce qui est exactement l'équation du plan.
Méthode — Reconnaître une fonction polynomiale ou affine
Pour reconnaître le type d'une fonction : elle est polynomiale lorsqu'elle est une somme de termes, chacun étant une constante fois un produit de puissances entières positives des variables ; elle est affine lorsque de plus chaque terme est de degré total au plus \(1\) (une somme \(u_1 x_1 + \cdots + u_n x_n\) plus une constante). Compétences à pratiquer
- Reconnaître des fonctions et décrire des graphes
I.2
Lignes de niveau
Une surface de l'espace est difficile à dessiner, mais il existe une façon plane de la lire : on la coupe à hauteur constante et on projette la coupe sur le plan de départ. On obtient une famille de courbes — les lignes de niveau — exactement comme les courbes de niveau d'une carte topographique ou les isobares d'une carte météorologique.
Définition — Ligne de niveau
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). L'ensemble de niveau de valeur \(\lambda\) de \(f\) est l'ensemble des points où \(f\) prend la valeur \(\lambda\) : $$ \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n : f(x_1, \dots, x_n) = \lambda\}. $$ Dans le cas \(n = 2\) cet ensemble est en général une courbe, et on l'appelle alors la ligne de niveau de valeur \(\lambda\). Exemple
Considérons \(f(x, y) = x^2 + y^2\). Sa ligne de niveau de valeur \(\lambda\) est l'ensemble \(\{(x, y) : x^2 + y^2 = \lambda\}\), donc : - pour \(\lambda > 0\), le cercle centré à l'origine de rayon \(\sqrt{\lambda}\) ;
- pour \(\lambda = 0\), le point unique \(\{(0, 0)\}\) ;
- pour \(\lambda < 0\), l'ensemble vide (une somme de carrés est toujours positive).
Exemple
Pour le coût affine \(C(x, y) = 3x + 2y + 5\) vu plus haut, la ligne de niveau de valeur \(\lambda\) est la droite \(3x + 2y + 5 = \lambda\), soit \(3x + 2y = \lambda - 5\). Lorsque \(\lambda\) varie ce sont des droites parallèles : chacune regroupe les plans de production \((x, y)\) de même coût total \(\lambda\) (une droite d'iso-coût). Exemple
Pour \(f(x, y) = y - x^2\), la ligne de niveau de valeur \(\lambda\) est \(y - x^2 = \lambda\), soit la parabole \(y = x^2 + \lambda\) ; lorsque \(\lambda\) varie ce sont les translatées verticales d'une même parabole. Les lignes de niveau ne sont donc pas nécessairement des cercles ou des droites.
Tracer suffisamment de lignes de niveau donne une image plane fidèle du graphe, ce pourquoi les cartes topographiques et météorologiques les utilisent. On n'étudiera pas les lignes de niveau au-delà de leur lecture sur des formules simples.
Méthode — Décrire les lignes de niveau d'une fonction
Pour décrire les lignes de niveau de \(f\) : on fixe une valeur \(\lambda\), on écrit l'équation \(f(x, y) = \lambda\), et on reconnaît la courbe obtenue (droite, cercle, parabole, …) lorsque \(\lambda\) varie ; on repère les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles l'ensemble est vide ou réduit à un point. Compétences à pratiquer
- Tracer des lignes de niveau
II
Continuité
II.1
Norme euclidienne et continuité
Pour définir la continuité il faut une façon de mesurer la proximité de deux points de \(\mathbb{R}^n\) : c'est le rôle de la norme euclidienne canonique rappelée du chapitre sur le produit scalaire, \(\|x\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}\). Une fonction est continue en un point lorsqu'un petit déplacement de l'entrée n'impose qu'un petit déplacement de la sortie, les distances étant mesurées par \(\|\cdot\|\) du côté de l'entrée et par \(|\cdot|\) du côté de la sortie.
Définition — Continuité
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\). - Soit \(a \in \mathbb{R}^n\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x \in \mathbb{R}^n, \quad \|x - a\| \le \alpha \implies |f(x) - f(a)| \le \varepsilon. $$
- On dit que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^n\) lorsque \(f\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}^n\).
Exemple
Lorsque \(n = 1\) la norme euclidienne est la valeur absolue (\(\|x\| = \sqrt{x^2} = |x|\)), donc la définition ci-dessus est exactement la continuité en une variable vue dans le cours précédent. La nouveauté est bien le passage à \(n \ge 2\) entrées. Exemple
La définition se lit comme une garantie : la continuité en \(a\) signifie que pour maintenir \(f(x)\) dans toute tolérance prescrite \(\varepsilon\) autour de \(f(a)\), il suffit de maintenir \(x\) à une certaine distance \(\alpha\) de \(a\). Pour un coût affine \(C(x, y) = 3x + 2y + 5\), une petite variation des quantités produites ne change le coût que de peu — la marque de la continuité. Proposition — Continuité des applications coordonnées
Pour chaque \(i \in \{1, \dots, n\}\), la \(i\)-ème application coordonnée $$ p_i : x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \longmapsto x_i \in \mathbb{R} $$ est continue sur \(\mathbb{R}^n\).
Fixons \(a \in \mathbb{R}^n\) et \(\varepsilon > 0\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), $$ \begin{aligned} |p_i(x) - p_i(a)| &= |x_i - a_i| && \text{(définition de } p_i\text{)} \\
&= \sqrt{(x_i - a_i)^2} && \\
&\le \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k - a_k)^2} && \text{(ajout de termes positifs)} \\
&= \|x - a\|. && \end{aligned} $$ Ainsi, en choisissant \(\alpha = \varepsilon\), l'inégalité \(\|x - a\| \le \alpha\) donne \(|p_i(x) - p_i(a)| \le \varepsilon\). Donc \(p_i\) est continue en \(a\), pour tout \(a\).
Si \(f\) est continue, alors chacune de ses fonctions partielles l'est aussi (obtenues en figeant toutes les variables sauf une) ; la réciproque est fausse. À ce niveau on ne soulève aucune difficulté de ce type : on n'établit la continuité qu'en construisant les fonctions à partir de fonctions continues usuelles par des opérations valides (sous-section suivante), et la continuité en un point pathologique n'est pas étudiée.
Compétences à pratiquer
- Appliquer la définition de la continuité
II.2
Opérations sur les fonctions continues
On ne refera pas le raisonnement en \(\varepsilon\)-\(\alpha\) pour chaque fonction. Comme en une variable, la continuité est préservée par toutes les opérations usuelles, et les applications coordonnées ainsi que les fonctions de référence d'une variable (\(\exp\), \(\ln\), polynômes, \(\sqrt{\ }\)) sont continues ; en les combinant on obtient la continuité gratuitement.
Proposition — Opérations sur les fonctions continues
Soient \(f, g\) deux fonctions continues sur \(\mathbb{R}^n\). - Pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\), les fonctions \(\lambda f\), \(f + g\) et \(f g\) sont continues sur \(\mathbb{R}^n\).
- Si de plus \(f\) ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}^n\), alors \(\dfrac{1}{f}\) et \(\dfrac{g}{f}\) sont continues sur \(\mathbb{R}^n\).
- Si \(\varphi\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) contenant toutes les valeurs de \(f\), alors \(\varphi \circ f\) est continue sur \(\mathbb{R}^n\).
Énoncé admis. Ces règles prolongent les théorèmes d'opérations d'une variable et sont admises ici.
Proposition — Les fonctions polynomiales sont continues
Toute fonction polynomiale est continue sur \(\mathbb{R}^n\).
Énoncé admis. Cela découle de la continuité des applications coordonnées \(p_i\) et des règles d'opérations ci-dessus (un monôme est un produit d'applications coordonnées, et un polynôme une combinaison linéaire de monômes) ; le programme admet le résultat.
Méthode — Montrer qu'une fonction est continue
Pour montrer qu'une fonction est continue sur \(\mathbb{R}^n\) : on l'écrit à partir des applications coordonnées \(p_i\) et des fonctions de référence d'une variable (\(\exp\), \(\ln\), polynômes, \(\sqrt{\ }\), …) à l'aide de sommes, produits, quotients (à dénominateur non nul) et compositions ; puis on invoque les règles d'opérations. Aucun raisonnement en \(\varepsilon\)-\(\alpha\) n'est nécessaire. Exemple
Montrer que \(f(x, y) = x \ln(1 + x^2 + y^2)\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
L'application \((x, y) \mapsto 1 + x^2 + y^2\) est polynomiale, donc continue, et prend ses valeurs dans \(\,]0, +\infty[\,\), sur lequel \(\ln\) est continue ; par composition \((x, y) \mapsto \ln(1 + x^2 + y^2)\) est continue. L'application coordonnée \(p_1 : (x, y) \mapsto x\) est continue. Par produit, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
Compétences à pratiquer
- Justifier la continuité par opérations
III
Calcul différentiel
III.1
Dérivées partielles et gradient
L'idée de dérivation passe d'une variable à plusieurs par une astuce simple : on fige toutes les variables sauf une, ce qui transforme \(f\) en une fonction d'une seule variable réelle que l'on sait déjà dériver. Les dérivées ainsi obtenues sont les dérivées partielles, et les rassembler en un vecteur donne le gradient.
Définition — Fonction partielle
Soit \(i \in \{1, \dots, n\}\) et \(a = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n\). La \(i\)-ème fonction partielle de \(f\) en \(a\) est la fonction d'une variable réelle $$ f_{a, i} : x \in \mathbb{R} \longmapsto f(a_1, \dots, a_{i-1}, x, a_{i+1}, \dots, a_n) \in \mathbb{R}, $$ obtenue en ne faisant varier que la \(i\)-ème variable. Exemple
Pour \(f(x, y) = x^2 + y^2\) en \(a = (1, 3)\), la première fonction partielle fige \(y = 3\) : \(f_{a, 1}(x) = x^2 + 9\). La seconde fige \(x = 1\) : \(f_{a, 2}(y) = 1 + y^2\). Chacune est une fonction ordinaire d'une variable. Définition — Dérivée partielle
Soit \(i \in \{1, \dots, n\}\) et \(a \in \mathbb{R}^n\). On dit que \(f\) admet une dérivée partielle d'ordre \(1\) par rapport à la \(i\)-ème variable en \(a\) lorsque la fonction partielle \(f_{a, i}\) est dérivable en \(a_i\), c'est-à-dire lorsque $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_i + h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_n)}{h} \quad \text{existe.} $$ Cette limite est alors notée \(\partial_i f(a) = f_{a, i}'(a_i)\). La notation \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) est aussi courante ; le programme officiel privilégie \(\partial_i\). Exemple
Calculer les dérivées partielles de \(f(x, y, z) = xyz + 2x^3 + yz\).
On dérive par rapport à une variable, en traitant les autres comme des constantes : $$ \begin{aligned} \partial_1 f(x, y, z) &= yz + 6x^2 && \text{(\(y, z\) constantes)} \\
\partial_2 f(x, y, z) &= xz + z && \text{(\(x, z\) constantes)} \\
\partial_3 f(x, y, z) &= xy + y && \text{(\(x, y\) constantes).} \end{aligned} $$
Exemple
Calculer les dérivées partielles de \(g(x, y) = x\, e^{x^2 + y^2}\).
À \(y\) figé, par la règle du produit, \(\partial_1 g(x, y) = e^{x^2 + y^2} + x \cdot 2x\, e^{x^2 + y^2} = (1 + 2x^2)\, e^{x^2 + y^2}\). À \(x\) figé, \(\partial_2 g(x, y) = x \cdot 2y\, e^{x^2 + y^2} = 2xy\, e^{x^2 + y^2}\).
Définition — Gradient
Soit \(a \in \mathbb{R}^n\) et \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) admettant une dérivée partielle d'ordre \(1\) par rapport à chaque variable en \(a\). Le gradient de \(f\) en \(a\), noté \(\nabla f(a)\) (lu « nabla »), est le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) $$ \nabla f(a) = \bigl(\partial_1 f(a), \partial_2 f(a), \dots, \partial_n f(a)\bigr). $$ Exemple
Déterminer le gradient de \(f(x, y) = x^2 \bigl(1 + \ln(1 + y^2)\bigr)\) en tout point de \(\mathbb{R}^2\).
À \(y\) figé, \(\partial_1 f(x, y) = 2x\bigl(1 + \ln(1 + y^2)\bigr)\). À \(x\) figé, \(\partial_2 f(x, y) = x^2 \cdot \dfrac{2y}{1 + y^2}\). Donc $$ \nabla f(x, y) = \left(2x\bigl(1 + \ln(1 + y^2)\bigr), \ \frac{2x^2 y}{1 + y^2}\right). $$
Exemple
Le coût affine \(C(x, y) = 3x + 2y + 5\) a \(\partial_1 C = 3\) et \(\partial_2 C = 2\) partout, donc son gradient est le vecteur constant \(\nabla C(x, y) = (3, 2)\). Une fonction affine a toujours un gradient constant, formé de ses coefficients. Définition — Dérivée partielle d'ordre deux
Soient \(i, j \in \{1, \dots, n\}\). Lorsqu'elle existe, la dérivée partielle d'ordre deux \(\partial^2_{i, j} f\) s'obtient en dérivant d'abord par rapport à la \(j\)-ème variable, puis par rapport à la \(i\)-ème : $$ \partial^2_{i, j} f = \partial_i\bigl(\partial_j f\bigr). $$
L'ordre des deux dérivations importe à ce stade : on ne suppose pas ici que \(\partial^2_{i, j} f = \partial^2_{j, i} f\). Cette symétrie (théorème de Schwarz) et l'usage des dérivées d'ordre deux pour classer les points critiques font l'objet du chapitre d'optimisation ultérieur ; ici on met seulement en place la notation.
Exemple
Pour \(f(x, y) = x^3 y^2\) on a \(\partial_2 f(x, y) = 2 x^3 y\), puis \(\partial^2_{1, 2} f(x, y) = \partial_1\bigl(2 x^3 y\bigr) = 6 x^2 y\). Méthode — Calculer des dérivées partielles et le gradient
Pour calculer \(\partial_i f\) : on dérive la formule de \(f\) par rapport à la seule variable \(x_i\), en traitant toute autre variable comme une constante, avec les règles usuelles d'une variable. Pour obtenir \(\nabla f(a)\) : on le fait pour chaque \(i\) et on rassemble les résultats dans le vecteur \((\partial_1 f(a), \dots, \partial_n f(a))\). Compétences à pratiquer
- Calculer des dérivées partielles et le gradient
III.2
Fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(\mathcal{C}^2\)
Les fonctions bien commodes sont celles dont les dérivées partielles existent et sont de plus continues : ce sont les fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\). Comme en une variable, les polynômes et toutes les combinaisons usuelles restent dans cette classe, si bien qu'on ne la vérifie jamais à partir de la définition.
Définition — Classe \(\mathcal{C}^1\) et \(\mathcal{C}^2\)
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\). - On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\) lorsque, pour tout \(i \in \{1, \dots, n\}\), la dérivée partielle \(\partial_i f\) existe en tout point de \(\mathbb{R}^n\) et la fonction \(\partial_i f\) est continue sur \(\mathbb{R}^n\).
- On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^n\) lorsque \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et que, pour tous \(i, j\), la dérivée partielle d'ordre deux \(\partial^2_{i, j} f\) existe sur \(\mathbb{R}^n\) et est continue sur \(\mathbb{R}^n\).
Proposition — Les opérations préservent la classe \(\mathcal{C}^1\) et \(\mathcal{C}^2\)
Soit \(k \in \{1, 2\}\). Toute fonction polynomiale est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^n\). De plus, si \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathcal{C}^k\) sur \(\mathbb{R}^n\) : - pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\), les fonctions \(\lambda f\), \(f + g\) et \(fg\) sont de classe \(\mathcal{C}^k\) ;
- si \(f\) ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}^n\), alors \(\dfrac{1}{f}\) et \(\dfrac{g}{f}\) sont de classe \(\mathcal{C}^k\) ;
- si \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^k\) sur un intervalle ouvert contenant toutes les valeurs de \(f\), alors \(\varphi \circ f\) est de classe \(\mathcal{C}^k\).
Énoncé admis. Comme en une variable, ces résultats sont admis ; déterminer la classe d'une fonction à partir de rien n'est pas un objectif à ce niveau, si bien que la classe se lit toujours sur ces règles.
Exemple
Justifier que \(f(x, y) = xy\, e^{-x + y}\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) (donc de classe \(\mathcal{C}^1\)) sur \(\mathbb{R}^2\).
La fonction \((x, y) \mapsto xy\) est polynomiale, donc de classe \(\mathcal{C}^2\). La fonction \((x, y) \mapsto -x + y\) est polynomiale, donc de classe \(\mathcal{C}^2\), et \(\exp\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\), donc par composition \((x, y) \mapsto e^{-x + y}\) est de classe \(\mathcal{C}^2\). Par produit, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\), et donc de classe \(\mathcal{C}^1\).
Exemple
La fonction \(h(x, y) = \dfrac{1}{1 + x^2 + y^2}\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) : son dénominateur \(1 + x^2 + y^2\) est polynomial, donc \(\mathcal{C}^2\), et ne s'annule jamais (il est \(\ge 1\)), donc la règle du quotient s'applique. Méthode — Justifier qu'une fonction est de classe \(\mathcal{C}^1\)
Pour justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) (ou \(\mathcal{C}^2\)) : on l'exhibe comme construite à partir de polynômes et de fonctions de référence de classe \(\mathcal{C}^1\) (ou \(\mathcal{C}^2\)) par sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et compositions, puis on invoque les règles d'opérations. Son gradient est alors défini en tout point. Compétences à pratiquer
- Justifier la classe d'une fonction
III.3
Développement limité d'ordre un et dérivées directionnelles
En une variable, une fonction \(\mathcal{C}^1\) admet en chaque point un développement limité d'ordre un \(f(a + h) = f(a) + f'(a)h + h\,\varepsilon(h)\). Il en va de même en \(n\) variables, le gradient jouant le rôle de la dérivée et le produit scalaire remplaçant le produit \(f'(a)h\). De cette seule formule découlent trois conséquences : une fonction \(\mathcal{C}^1\) est continue, on peut dériver \(f\) selon une direction, et le gradient se révèle pointer dans la direction de plus forte croissance.
Théorème — Développement limité d'ordre un
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\) et \(a \in \mathbb{R}^n\). Il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(\mathbb{R}^n\), avec \(\varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0\), telle que pour tout \(h = (h_1, \dots, h_n) \in \mathbb{R}^n\), $$ f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h\rangle + \|h\|\, \varepsilon(h) = f(a) + \sum_{i=1}^n \partial_i f(a)\, h_i + \|h\|\, \varepsilon(h). $$
Énoncé admis. Ceci généralise le développement de Taylor–Young d'une variable et est admis par le programme. La fonction affine \(t_a : x \mapsto f(a) + \langle \nabla f(a), x - a\rangle\) approche au mieux \(f\) près de \(a\) ; pour \(n = 2\) son graphe est le plan tangent à \(\mathcal{G}_f\) au point \((a, f(a))\).
Proposition — Une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) est continue
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\), alors \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^n\).
Fixons \(a \in \mathbb{R}^n\). Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), elle admet le développement limité d'ordre un en \(a\) : \(f(a + h) - f(a) = \langle \nabla f(a), h\rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\). On majore la valeur absolue : $$ \begin{aligned} |f(a + h) - f(a)| &= \bigl|\langle \nabla f(a), h\rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)\bigr| && \\
&\le |\langle \nabla f(a), h\rangle| + \|h\|\,|\varepsilon(h)| && \text{(inégalité triangulaire)} \\
&\le \|\nabla f(a)\|\,\|h\| + \|h\|\,|\varepsilon(h)| && \text{(Cauchy--Schwarz)} \\
&= \|h\|\,\bigl(\|\nabla f(a)\| + |\varepsilon(h)|\bigr). && \end{aligned} $$ Lorsque \(h \to 0\), le facteur \(\|h\| \to 0\) tandis que \(\|\nabla f(a)\| + |\varepsilon(h)| \to \|\nabla f(a)\|\) reste borné, donc le produit tend vers \(0\). Ainsi \(f(a + h) \to f(a)\), c'est-à-dire \(f\) est continue en \(a\), pour tout \(a\).
Proposition — Dérivée de \(f\) selon une direction
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\), soit \(a \in \mathbb{R}^n\) et \(u = (u_1, \dots, u_n) \in \mathbb{R}^n\) avec \(u \ne 0\). Alors la fonction \(g : t \in \mathbb{R} \mapsto f(a + t u)\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\), et $$ \forall t \in \mathbb{R}, \quad g'(t) = \langle \nabla f(a + t u), u\rangle = \sum_{i=1}^n \partial_i f(a + t u)\, u_i. $$
Fixons \(t \in \mathbb{R}\) et écrivons le taux d'accroissement de \(g\) en \(t\), pour \(s \ne 0\) : $$ \frac{g(t + s) - g(t)}{s} = \frac{f(a + tu + su) - f(a + tu)}{s}. $$ On applique le développement limité d'ordre un de \(f\) au point \(a + tu\) avec accroissement \(h = su\) : il existe \(\varepsilon\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\) telle que $$ \begin{aligned} f(a + tu + su) &= f(a + tu) + \langle \nabla f(a + tu), su\rangle + \|su\|\, \varepsilon(su) && \text{(développement d'ordre un)} \\
&= f(a + tu) + s\,\langle \nabla f(a + tu), u\rangle + |s|\,\|u\|\, \varepsilon(su). && \text{(linéarité ; } \|su\| = |s|\,\|u\|\text{)} \end{aligned} $$ En divisant par \(s\), $$ \frac{g(t + s) - g(t)}{s} = \langle \nabla f(a + tu), u\rangle + \operatorname{sgn}(s)\,\|u\|\, \varepsilon(su), $$ où \(\operatorname{sgn}(s) = |s|/s\) ; comme \(\|u\|\,\varepsilon(su) \to 0\) quand \(s \to 0\), le signe est sans importance et le quotient a une limite. Ainsi \(g\) est dérivable en \(t\) avec \(g'(t) = \langle \nabla f(a + tu), u\rangle\). Enfin \(g'\) est continue : chaque application \(t \mapsto \partial_i f(a + tu)\) est la composée de la fonction continue \(\partial_i f\) (continue car \(f\) est \(\mathcal{C}^1\)) avec l'application affine continue \(t \mapsto a + tu\), donc continue ; et \(g'(t) = \sum_i \partial_i f(a + tu)\, u_i\) en est une combinaison linéaire finie. Donc \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^1\).
Théorème — Plus grande pente : sens géométrique du gradient
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\) et \(a \in \mathbb{R}^n\). Pour une direction unitaire \(u\) (\(\|u\| = 1\)), le nombre \(g'(0) = \langle \nabla f(a), u\rangle\) est le taux de variation de \(f\) en \(a\) dans la direction \(u\), et $$ |\langle \nabla f(a), u\rangle| \le \|\nabla f(a)\|, \qquad \text{avec égalité si et seulement si } u \text{ est colinéaire à } \nabla f(a). $$ Lorsque \(\nabla f(a) \ne 0\), le taux signé \(\langle \nabla f(a), u\rangle\) est maximal — égal à \(\|\nabla f(a)\|\) — exactement pour \(u = \nabla f(a)/\|\nabla f(a)\|\), et minimal — égal à \(-\|\nabla f(a)\|\) — exactement pour \(u = -\nabla f(a)/\|\nabla f(a)\|\). Par conséquent \(\nabla f(a)\) pointe dans la direction de plus grande pente de \(f\) en \(a\), et \(-\nabla f(a)\) dans la direction de plus forte décroissance. Lorsque \(\nabla f(a) = 0\), tout taux directionnel unitaire est nul et il n'y a pas de direction privilégiée.
D'après la Proposition précédente en \(t = 0\), \(g'(0) = \langle \nabla f(a), u\rangle\) est le taux de variation de \(f\) en \(a\) selon \(u\) (en prenant en particulier \(u = e_i\) on retrouve \(\partial_i f(a)\)). L'inégalité de Cauchy–Schwarz appliquée à \(\nabla f(a)\) et \(u\) donne, avec \(\|u\| = 1\), $$ |\langle \nabla f(a), u\rangle| \le \|\nabla f(a)\|\,\|u\| = \|\nabla f(a)\|, $$ avec égalité si et seulement si \(u\) et \(\nabla f(a)\) sont colinéaires (cas d'égalité de Cauchy–Schwarz). Lorsque \(\nabla f(a) \ne 0\), la valeur \(\langle \nabla f(a), u\rangle\) est donc maximale exactement pour \(u = \nabla f(a)/\|\nabla f(a)\|\), le vecteur unitaire dirigé selon le gradient.
Gradient et lignes de niveau
Un fait géométrique complémentaire, que l'on énonce comme une observation (sa preuve rigoureuse demande des outils hors de ce cours) : pour \(n = 2\), lorsque \(\nabla f(a) \ne 0\) et que la ligne de niveau passant par \(a\) y admet une tangente, le gradient \(\nabla f(a)\) est orthogonal à cette ligne de niveau. Intuitivement, se déplacer le long d'une ligne de niveau laisse \(f\) constante, donc la direction de plus grande variation est transverse à la ligne de niveau — la direction du gradient. 
Méthode — Utiliser le gradient et les dérivées directionnelles
Pour obtenir le taux de variation d'une fonction \(\mathcal{C}^1\) \(f\) depuis \(a\) dans une direction unitaire \(u\) (\(\|u\| = 1\)) : on calcule \(\langle \nabla f(a), u\rangle\) (pour un \(u\) non unitaire la valeur est proportionnelle à \(\|u\|\), donc seules les directions unitaires sont comparables). Pour trouver la direction de plus forte croissance en \(a\) (lorsque \(\nabla f(a) \ne 0\)) : c'est la direction de \(\nabla f(a)\) lui-même, et le taux le plus rapide parmi les directions unitaires est \(\|\nabla f(a)\|\). Compétences à pratiquer
- Utiliser le gradient et les dérivées directionnelles
IV
Extrema et points critiques
IV.1
Extrema locaux et globaux
L'optimisation cherche la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction : maximiser une utilité, minimiser un coût. On distingue un extremum global (le meilleur sur tout \(\mathbb{R}^n\)) d'un extremum local (le meilleur seulement au voisinage). À ce stade on montre un extremum global directement, à partir du signe de \(f(x) - f(a)\).
Définition — Extremum global
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) et \(a \in \mathbb{R}^n\). - \(f\) admet un minimum global en \(a\) lorsque \(f(x) \ge f(a)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\).
- \(f\) admet un maximum global en \(a\) lorsque \(f(x) \le f(a)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\).
- \(f\) admet un extremum global en \(a\) lorsqu'elle admet un minimum global ou un maximum global en \(a\).
Définition — Extremum local
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) et \(a \in \mathbb{R}^n\). \(f\) admet un minimum local en \(a\) (resp. maximum local en \(a\)) lorsqu'il existe un réel \(r > 0\) tel que \(f(x) \ge f(a)\) (resp. \(f(x) \le f(a)\)) pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\) vérifiant \(\|x - a\| \le r\). Un extremum local est un minimum local ou un maximum local.
Un minimum global (resp. maximum) en \(a\) est en particulier local, car l'inégalité, valable partout, l'est en particulier au voisinage de \(a\).
Exemple
Montrer que \(f(x, y) = x^2 + y^2\) admet un minimum global en \((0, 0)\).
Pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), \(f(x, y) - f(0, 0) = x^2 + y^2 \ge 0\), donc \(f(x, y) \ge f(0, 0)\). Ainsi \(f\) admet un minimum global en \((0, 0)\), égal à \(0\).
Exemple
Montrer que \(f(x, y) = -x^2 - y^2\) admet un maximum global en \((0, 0)\) mais pas de minimum global.
Pour tout \((x, y)\), \(f(x, y) - f(0, 0) = -x^2 - y^2 \le 0\), donc \(f\) admet un maximum global en \((0, 0)\), égal à \(0\). Elle n'a pas de minimum global : le long de l'axe des \(x\), \(f(x, 0) = -x^2 \xrightarrow[x \to +\infty]{} -\infty\), donc \(f\) prend des valeurs arbitrairement petites et ne peut en atteindre une plus petite que toutes.
Méthode — Montrer ou écarter un extremum global par le signe de \(f(x) - f(a)\)
Pour montrer que \(f\) admet un extremum global en \(a\) : on étudie le signe de \(f(x) - f(a)\) pour tout \(x\), en tâchant de l'écrire comme une somme de carrés ; un signe constant \(\ge 0\) (resp. \(\le 0\)) donne un minimum global (resp. maximum). Pour écarter un minimum global en \(a\) : on exhibe une direction selon laquelle \(f \to -\infty\) (donc \(f\) passe sous \(f(a)\)) ; pour écarter un maximum global : une direction selon laquelle \(f \to +\infty\). Deux points \(b, c\) avec \(f(b) < f(a) < f(c)\) écartent les deux à la fois (donc \(a\) n'est pas un extremum global). Compétences à pratiquer
- Identifier des extrema globaux
IV.2
Condition nécessaire du premier ordre et points critiques
En une variable, en un extremum intérieur la dérivée s'annule. Il en va de même ici, variable par variable : en un extremum local le gradient doit être nul. Cela fournit un filtre puissant — les points critiques — mais la condition n'est que nécessaire : un point critique n'est pas nécessairement un extremum.
Théorème — Condition nécessaire du premier ordre
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\). Si \(f\) admet un extremum local en \(c \in \mathbb{R}^n\), alors \(\nabla f(c) = 0\).
Supposons que \(f\) admette un extremum local en \(c = (c_1, \dots, c_n)\) ; disons un minimum local (le cas du maximum est identique). Fixons \(i \in \{1, \dots, n\}\) et considérons la \(i\)-ème fonction partielle \(f_{c, i} : x \mapsto f(c_1, \dots, c_{i-1}, x, c_{i+1}, \dots, c_n)\).
- Réduction à une variable. Pour \(x\) proche de \(c_i\), le point \((c_1, \dots, x, \dots, c_n)\) est proche de \(c\), donc \(f_{c, i}(x) = f(\dots, x, \dots) \ge f(c) = f_{c, i}(c_i)\). Ainsi \(f_{c, i}\) admet un minimum local au point intérieur \(c_i\).
- Application du résultat d'une variable. Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), la dérivée partielle \(\partial_i f\) existe en tout point, donc la fonction partielle \(f_{c, i}\) est dérivable avec \(f_{c, i}'(c_i) = \partial_i f(c)\) ; une fonction d'une variable dérivable ayant un extremum local en un point intérieur y a une dérivée nulle, donc \(f_{c, i}'(c_i) = 0\), c'est-à-dire \(\partial_i f(c) = 0\).
- Conclusion. Ceci vaut pour tout \(i\), donc \(\nabla f(c) = (\partial_1 f(c), \dots, \partial_n f(c)) = 0\).
Définition — Point critique
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\). Un point \(c \in \mathbb{R}^n\) est un point critique de \(f\) lorsque \(\nabla f(c) = 0\).
La réciproque est fausse
La condition \(\nabla f(c) = 0\) est nécessaire mais pas suffisante : un point critique n'est pas nécessairement un extremum. Les extrema locaux sont donc à chercher parmi les points critiques, mais chaque point critique doit ensuite être examiné séparément.
Exemple
Déterminer les points critiques de \(f(x, y) = x^2 - y^2\) et leur nature.
\(f\) est polynomiale, donc de classe \(\mathcal{C}^1\), et \(\nabla f(x, y) = (2x, -2y)\). Donc $$ \nabla f(x, y) = (0, 0) \iff (2x, -2y) = (0, 0) \iff (x, y) = (0, 0), $$ et \((0, 0)\) est l'unique point critique, avec \(f(0, 0) = 0\). Ce n'est pas un extremum : pour \(t \ne 0\), \(f(t, 0) = t^2 > 0\) tandis que \(f(0, t) = -t^2 < 0\), et \((t, 0)\) comme \((0, t)\) tendent vers l'origine quand \(t \to 0\) ; donc dans tout voisinage de \((0, 0)\), \(f\) prend des valeurs à la fois plus grandes et plus petites que \(f(0, 0) = 0\). Les lignes de niveau \(x^2 - y^2 = \lambda\) sont des hyperboles (et les deux droites \(y = \pm x\) pour \(\lambda = 0\)) : c'est un point selle. 
Exemple
Mener l'étude complète des extrema de \(f(x, y) = x^2 + y^2\). - Classe et gradient. \(f\) est polynomiale, donc de classe \(\mathcal{C}^1\), avec \(\nabla f(x, y) = (2x, 2y)\).
- Points critiques. \(\nabla f(x, y) = (0, 0) \iff (x, y) = (0, 0)\) : un unique point critique \((0, 0)\).
- Nature. Pour tout \((x, y)\), \(f(x, y) - f(0, 0) = x^2 + y^2 \ge 0\), donc \(f\) admet un minimum global en \((0, 0)\) (en particulier local). C'est le seul extremum, puisque tout extremum local est un point critique.
Méthode — Rechercher les extrema d'une fonction : les trois étapes
Pour trouver les extrema d'une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\) : - Classe et gradient. On justifie par opérations que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et on calcule \(\nabla f\).
- Points critiques. On résout \(\nabla f(x) = 0\) ; les extrema locaux ne peuvent s'y trouver qu'en ces points.
- Nature de chaque point critique. On décide séparément, par le signe de \(f(x) - f(c)\) (somme de carrés pour un extremum) ou en l'écartant le long d'une direction.
Pour aller plus loin
Ce chapitre a construit la boîte à outils différentielle d'ordre un sur \(\mathbb{R}^n\). Deux fils sont repris dans le chapitre ultérieur dédié Optimisation sur \(\mathbb{R}^n\) : la nature d'un point critique est tranchée systématiquement par le test du second ordre — la matrice hessienne \(\nabla^2 f\) et le théorème de Schwarz — et l'optimisation sous contrainte est traitée par la méthode de Lagrange. Ce chapitre étend aussi la continuité et la classe aux fonctions définies sur un ouvert de \(\mathbb{R}^n\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer et classer les points critiques
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de synthèse
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