Variables aléatoires à densité

Là où \(F_X\) est dérivable, \(F_X' = f_X\) ; en intégrant et en utilisant \(\lim_{-\infty} F_X = 0\) (rappelé du chapitre précédent) on obtient \(F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X\). Comme \(F_X\) est continue, le saut en \(a\) est nul, donc \(P(X = a) = F_X(a) - \lim_{t \to a^-} F_X(t) = 0\). Ainsi les bornes ne portent aucune probabilité et, pour \(a \le b\), $$ \begin{aligned} P(a \le X \le b) &= F_X(b) - F_X(a) && \text{(pas d'atome en } a\text{ ; chapitre précédent)} \\ &= \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t. && \text{(Chasles)} \end{aligned} $$

On calcule \(F_Y(t) = P(aX + b \le t)\) selon le signe de \(a\).

• Si \(a > 0\) : \(aX + b \le t \iff X \le \frac{t-b}{a}\), donc \(F_Y(t) = F_X\!\left(\frac{t-b}{a}\right)\). En dérivant, \(f_Y(t) = \frac1a f_X\!\left(\frac{t-b}{a}\right)\).
• Si \(a < 0\) : \(aX + b \le t \iff X \ge \frac{t-b}{a}\), donc \(F_Y(t) = 1 - F_X\!\left(\frac{t-b}{a}\right)\) (pas d'atome). En dérivant, \(f_Y(t) = -\frac1a f_X\!\left(\frac{t-b}{a}\right)\).

Dans les deux cas \(F_Y\) est continue et \(\mathcal{C}^1\) sauf en un nombre fini de points (comme \(F_X\)), donc \(Y\) est à densité, et les deux cas se réunissent en \(f_Y(t) = \frac{1}{|a|} f_X\!\left(\frac{t-b}{a}\right)\).

On applique le théorème de transfert avec \(\varphi(t) = at + b\). La convergence absolue tient car $$ |(at + b) f_X(t)| \le |a|\, |t| f_X(t) + |b|\, f_X(t), $$ et \(\int |t(t)|\,\mathrm{d}t f_X\) converge (\(X\) a une espérance) tandis que \(\int f_X = 1\) ; par comparaison \(\int (at+b(t))\,\mathrm{d}t f_X\) converge absolument. Puis, par linéarité de l'intégrale, $$ E(aX + b) = \int_{-\infty}^{+\infty}(at+b) f_X(t)\,\mathrm{d}t = a\int t f_X(t)\,\mathrm{d}t + b\int f_X(t)\,\mathrm{d}t = aE(X) + b. $$

L'équivalence (variance existe \(\iff\) \(E(X^2)\) existe) est admise. Lorsque les deux existent, on développe par le théorème de transfert et la linéarité : $$ \begin{aligned} V(X) &= E\bigl((X - E(X))^2\bigr) \\ &= E\bigl(X^2 - 2E(X) X + E(X)^2\bigr) && \text{(développement)} \\ &= E(X^2) - 2E(X) E(X) + E(X)^2 && \text{(linéarité)} \\ &= E(X^2) - E(X)^2. && \end{aligned} $$

\(V(X) = \int (t - E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t \ge 0\) par positivité de l'intégrale (l'intégrande est \(\ge 0\)). Pour la transformée affine, \(E(aX+b) = aE(X)+b\), donc $$ \begin{aligned} V(aX + b) &= E\bigl((aX + b - aE(X) - b)^2\bigr) && \\ &= E\bigl(a^2 (X - E(X))^2\bigr) = a^2 V(X). && \text{(linéarité)} \end{aligned} $$

La fonction de répartition est \(\int_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t\), donnant la formule affine par morceaux. Pour les moments, $$ \begin{aligned} E(X) &= \int_a^b \frac{t}{b-a}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{a+b}{2}, \\ E(X^2) &= \int_a^b \frac{t^2}{b-a}\,\mathrm{d}t = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}. \end{aligned} $$ Par Koenig–Huygens, \(V(X) = \dfrac{a^2+ab+b^2}{3} - \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{(b-a)^2}{12}\).

Pour \(x \ge 0\), \(F_X(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = 1 - e^{-\lambda x}\). L'espérance \(E(X) = \frac1\lambda\) et la variance \(V(X) = \frac1{\lambda^2}\) ont été calculées en Section~2 (espérance) et juste au-dessus (variance, via \(E(X^2) = \frac2{\lambda^2}\) et Koenig–Huygens).

Pour \(u \ge 0\), \(P(X > u) = 1 - F_X(u) = e^{-\lambda u}\). Comme \([X > s+t] \subset [X > s]\), $$ \begin{aligned} P(X > s+t \mid X > s) &= \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} && \text{(probabilité conditionnelle)} \\ &= \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t). && \end{aligned} $$

Par la formule de transformée affine de la Section~1, \(Y = aX + b\) a pour densité \(\frac{1}{|a|}\varphi\!\left(\frac{t-b}{a}\right)\) où \(\varphi\) est la densité \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). En substituant et simplifiant l'exposant on obtient exactement la densité \(\mathcal{N}(a\mu + b, a^2\sigma^2)\). En prenant \(a = \frac1\sigma\), \(b = -\frac\mu\sigma\) on obtient \(\frac{X-\mu}\sigma \sim \mathcal{N}(0,1)\).

D'abord le cas centré réduit \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). L'intégrale \(\int_{\mathbb{R}} |t| e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{+\infty} t e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t = 2\) converge, donc \(Z\) a une espérance ; la densité \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\) étant paire, \(t \mapsto t\, e^{-t^2/2}\) est impaire, d'où \(E(Z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} t e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t = 0\). Pour \(V(Z) = E(Z^2)\), une intégration par parties (\(u = t\), \(v' = t e^{-t^2/2}\)) : $$ \begin{aligned} E(Z^2) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} t^2 e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\Bigl[-t e^{-t^2/2}\Bigr]_{-\infty}^{+\infty} + \int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\right) && \text{(parties)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bigl(0 + \sqrt{2\pi}\bigr) = 1. && \text{(intégrale de Gauss)} \end{aligned} $$ Donc \(E(Z) = 0\), \(V(Z) = 1\). En général \(X = \sigma Z + \mu\) (par le théorème de centrage-réduction ci-dessus, dont la preuve ne repose que sur la formule de transformée affine de la Section~1, non sur cette Proposition), donc \(E(X) = \sigma \cdot 0 + \mu = \mu\) et \(V(X) = \sigma^2 V(Z) = \sigma^2\).

La densité \(t \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\) est paire, donc par le changement de variable \(u = -t\), $$ \Phi(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-x} e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\infty} e^{-u^2/2}\,\mathrm{d}u = P(Z > x) = 1 - \Phi(x). $$ En posant \(x = 0\) on a \(\Phi(0) = 1 - \Phi(0)\), donc \(\Phi(0) = \tfrac12\).