Éducation Nationale Française · ECGappliquées 2

Suites de variables aléatoires discrètes

⌚ ~51 min ▢ 6 blocs ✓ 16 exercices ➣ Prérequis : Variables aléatoires discrètes, Couples de variables aléatoires discrètes

Le cours précédent étudiait une seule variable aléatoire discrète, puis un couple $(X, Y)$. On traite maintenant toute une famille de variables aléatoires discrètes $X_1, \dots, X_n$ — et même une suite infinie $(X_n)_{n \ge 1}$ — sur un même espace probabilisé. La nouvelle notion centrale est l'indépendance mutuelle : la probabilité conjointe d'une liste de valeurs se factorise en le produit des probabilités individuelles. On en tire une règle boîte noire commode, le lemme des coalitions, puis les deux formules qui terminent le chapitre : l'espérance d'une somme de $n$ variables (toujours valable, par linéarité) et la variance d'une somme de $n$ variables indépendantes (les corrections de covariance s'annulent). Ce sont les outils de base derrière les lois des grands nombres et la modélisation d'expériences indépendantes répétées. Conventions. $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est un espace probabilisé ; $X_1, \dots, X_n$ (et, lorsque c'est précisé, une suite infinie $(X_n)_{n \ge 1}$) sont des variables aléatoires réelles discrètes sur cet espace, chacune de support au plus dénombrable. On note $P(X_1 = x_1, \dots, X_n = x_n) = P\bigl( \bigcap_{i=1}^n [X_i = x_i] \bigr)$, et l'on rappelle librement du cours précédent la linéarité de l'espérance, la variance, et la covariance $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ avec sa propriété « indépendantes $\Rightarrow$ covariance nulle ». Comme convenu à ce niveau, on ne soulève aucune difficulté de convergence sur les séries indexées par des ensembles dénombrables : toutes les manipulations (réarrangements, regroupements) sont supposées licites.

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I Indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires discrètes

I.1 Indépendance mutuelle d'une famille finie

Le chapitre fini Variables aléatoires finies définissait l'indépendance de deux v.a.\ finies ; on étend la définition à $n$ v.a.\ discrètes (programme S2 III.2). L'intuition est la même : un atome conjoint $[X_1 = x_1] \cap \dots \cap [X_n = x_n]$ a la probabilité produit de ses marginales.

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Définition — Indépendance mutuelle de $n$ v.a.\ discrètes

Soient $X_1, \dots, X_n$ $n$ v.a.\ discrètes sur le même espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Elles sont mutuellement indépendantes lorsque, pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in X_1(\Omega) \times \dots \times X_n(\Omega)$, $$ \textcolor{colordef}{P\Bigl(\bigcap_{i=1}^{n} [X_i = x_i]\Bigr) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i).} $$

Exemple — $n$ v.a.\ de Bernoulli indépendantes

Sur l'espace probabilisé standard d'un processus de Bernoulli (chapitre Espaces probabilisés quelconques), soit $X_i = \mathbf{1}_{H_i}$ pour $i = 1, \dots, n$, avec $H_i = $ « pile au tirage $i$ » et $P(H_i) = p$. L'indépendance mutuelle des événements $(H_i)$ (chapitre Espaces probabilisés quelconques) se transfère aux v.a.\ $X_i$ via les complémentaires : tout atome conjoint $[X_1 = x_1] \cap \dots \cap [X_n = x_n]$ est une intersection de $H_i$ et de complémentaires, tous indépendants, de probabilité $\prod p^{x_i} (1-p)^{1-x_i}$. La Définition est vérifiée, donc $(X_1, \dots, X_n)$ est mutuellement indépendant.

Exemple — Dés indépendants

On lance $n$ dés équilibrés de façon indépendante et l'on note $X_i \in \llbracket 1, 6 \rrbracket$ le score du dé $i$. Pour toutes valeurs $(x_1, \dots, x_n) \in \llbracket 1, 6 \rrbracket^n$, l'atome conjoint est l'unique issue « le dé $1$ montre $x_1$, $\dots$, le dé $n$ montre $x_n$ », de probabilité $\tfrac{1}{6^n} = \prod_{i=1}^n \tfrac16 = \prod_{i=1}^n P(X_i = x_i)$. La factorisation est vérifiée pour toute liste de valeurs, donc $X_1, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes.

Deux à deux versus mutuelle

L'indépendance mutuelle de $X_1, \dots, X_n$ est plus forte que l'indépendance deux à deux : en regroupant les atomes conjoints, l'indépendance mutuelle entraîne que deux quelconques des variables, disons $X_i$ et $X_j$, sont indépendantes. La réciproque est fausse pour $n \ge 3$ : des variables peuvent être indépendantes deux à deux sans que la liste entière se factorise. À ce niveau on vérifie l'indépendance mutuelle uniquement par la factorisation de la Définition, et l'on utilise librement cette implication à sens unique « mutuelle $\Rightarrow$ deux à deux ».

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Méthode — Vérifier l'indépendance mutuelle

Pour décider si $X_1, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes :

Écrire la factorisation candidate $P\bigl( \bigcap_i [X_i = x_i] \bigr) = \prod_i P(X_i = x_i)$ pour une liste générique de valeurs.
Confirmer qu'elle est vraie pour toute liste (souvent immédiat lorsque les variables proviennent d'expériences physiquement séparées et indépendantes — des dés distincts, des lancers distincts).
Une seule liste de valeurs où l'égalité échoue prouve que les variables ne sont pas mutuellement indépendantes.

Compétences à pratiquer

Vérifier l'indépendance mutuelle

I.2 Indépendance d'une suite infinie

De nombreux modèles font intervenir non pas un nombre fixé de variables mais toute une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ — les lancers successifs d'une pièce, les rendements quotidiens d'un actif, les arrivées dans une file d'attente. L'indépendance d'une suite infinie se définit par réduction au cas fini : toute tranche finie de la suite doit être mutuellement indépendante.

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Définition — Indépendance d'une suite infinie

Une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ de variables aléatoires réelles discrètes sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est indépendante lorsque, pour tout entier $n \ge 1$, la famille finie $X_1, \dots, X_n$ est mutuellement indépendante — de façon équivalente, lorsque toute sous-famille finie $X_{i_1}, \dots, X_{i_k}$ (avec $i_1 < \dots < i_k$) est mutuellement indépendante.

Exemple — Une suite infinie de lancers de pièce

On lance une pièce (probabilité $p$ de pile) une infinité de fois et l'on pose $X_n = \mathbf{1}_{H_n}$, avec $H_n = $ « pile au lancer $n$ ». Pour tout $n$, les variables $X_1, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes (exemple précédent). Comme c'est vrai pour tout $n$, la suite entière $(X_n)_{n \ge 1}$ est indépendante. C'est le modèle standard des « épreuves indépendantes en nombre infini » qui sous-tend la loi géométrique et les lois des grands nombres.

Compétences à pratiquer

Indépendance d'une suite infinie

I.3 Le lemme des coalitions

Des variables indépendantes le restent lorsqu'on remplace chacune par une fonction d'elle-même — et, plus utilement, lorsqu'on partage la liste en deux blocs (« coalitions ») et qu'on regroupe chaque bloc en une seule fonction. Toute grandeur construite à partir du premier bloc est alors indépendante de toute grandeur construite à partir du second. C'est le lemme des coalitions, utilisé en permanence pour justifier une indépendance sans jamais écrire de loi conjointe.

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Proposition — Lemme des coalitions

Soient $X_1, \dots, X_n$ des v.a.\ discrètes mutuellement indépendantes et soit $1 \le p < n$. Pour toutes fonctions $f : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ et $g : \mathbb{R}^{n-p} \to \mathbb{R}$, les deux v.a.\ discrètes $$ U = f(X_1, \dots, X_p) \qquad \text{et} \qquad V = g(X_{p+1}, \dots, X_n) $$ sont indépendantes. Résultat admis à ce niveau (sa démonstration demande de regrouper les atomes conjoints des deux blocs ; le programme ne l'exige pas).

Exemple — Somme du premier bloc contre produit du second

Soient $X_1, X_2, X_3, X_4$ mutuellement indépendantes. La somme $U = X_1 + X_2$ est une fonction du premier bloc $(X_1, X_2)$, et le produit $V = X_3 X_4$ est une fonction du second bloc $(X_3, X_4)$. Par le lemme des coalitions (avec $p = 2$), $U$ et $V$ sont indépendantes. En particulier $E(UV) = E(U)E(V)$, sans aucune loi conjointe à calculer.

Exemple — Une fonction d'une seule variable

Si $X_1, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes, alors $X_1^2$ est une fonction du premier bloc $(X_1)$ et $X_2 + \dots + X_n$ une fonction du second bloc $(X_2, \dots, X_n)$ (en prenant $p = 1$). Le lemme des coalitions donne que $X_1^2$ et $X_2 + \dots + X_n$ sont indépendantes.

Méthode — Utiliser le lemme des coalitions

Partager les variables indépendantes en deux blocs disjoints $X_1, \dots, X_p$ et $X_{p+1}, \dots, X_n$.
Écrire chaque grandeur d'intérêt comme une fonction d'un seul bloc.
Conclure directement leur indépendance — aucune loi conjointe nécessaire — et, au besoin, factoriser $E(UV) = E(U)E(V)$.
Attention : une grandeur dépendant de variables des deux blocs (par ex.\ $X_1 + X_{p+1}$) n'est pas couverte ; le lemme ne s'y applique pas.

Compétences à pratiquer

Utiliser le lemme des coalitions

II Espérance et variance d'une somme de $n$ variables

II.1 Espérance d'une somme

L'espérance d'une somme est la somme des espérances — toujours, sans aucune hypothèse d'indépendance. C'est simplement la linéarité de l'espérance, rappelée du cours précédent, étendue de deux variables à $n$ par récurrence. C'est la formule la plus utilisée du chapitre.

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Proposition — Espérance d'une somme de $n$ v.a.\ discrètes

Soient $X_1, \dots, X_n$ $n$ v.a.\ discrètes admettant chacune une espérance. Alors $X_1 + \dots + X_n$ admet une espérance et $$ \textcolor{colorprop}{E\!\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n E(X_i).} $$ Aucune hypothèse d'indépendance n'est nécessaire.

Preuve

On raisonne par récurrence sur $n$. Pour $n = 1$ l'égalité est triviale. La linéarité rappelée du cours précédent donne $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ pour deux variables, c'est le cas $n = 2$. Supposons $E\bigl( \sum_{i=1}^{n-1} X_i \bigr) = \sum_{i=1}^{n-1} E(X_i)$ ; alors, en appliquant la linéarité à deux variables au couple $\bigl( \sum_{i=1}^{n-1} X_i,\ X_n \bigr)$, $$ \begin{aligned} E\!\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) &= E\!\left( \sum_{i=1}^{n-1} X_i + X_n \right) \\ &= E\!\left( \sum_{i=1}^{n-1} X_i \right) + E(X_n) && \text{(linéarité, deux variables)} \\ &= \sum_{i=1}^{n-1} E(X_i) + E(X_n) && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= \sum_{i=1}^n E(X_i). \end{aligned} $$

Exemple — Espérance de $\mathcal{B}(n\virgule p)$ via des Bernoulli indépendantes

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p)$. Écrivons $X = X_1 + \dots + X_n$ comme une somme de $n$ v.a.\ de Bernoulli $X_i \hookrightarrow \mathcal{B}(p)$ ($n$ épreuves indépendantes de probabilité de succès $p$). Chaque $X_i$ a pour espérance $p$, donc par linéarité — aucune indépendance n'est requise pour cette étape — $$ E(X) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = n p. $$

Méthode — Calculer l'espérance d'une somme

Exprimer la variable d'intérêt comme une somme $X = X_1 + \dots + X_n$ de variables plus simples (souvent des variables indicatrices ou de Bernoulli).
Appliquer directement $E(\sum X_i) = \sum E(X_i)$ — l'indépendance n'est jamais nécessaire pour l'espérance.
Lire chaque $E(X_i)$ sur les lois usuelles connues, puis sommer.

Compétences à pratiquer

Calculer l'espérance d'une somme

II.2 Variance d'une somme

La variance d'une somme n'est pas en général la somme des variances : une correction de covariance apparaît. Sous indépendance, en revanche, chaque terme de covariance s'annule et la variance de la somme est exactement la somme des variances — le résultat visé par ce chapitre pour $n$ variables indépendantes.

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Proposition — Variance d'une somme de $n$ v.a. discrètes

Soient $X_1, \dots, X_n$ des v.a.\ discrètes admettant des variances. Alors $X_1 + \dots + X_n$ admet une variance et $$ \textcolor{colorprop}{V\!\left(\sum_{i = 1}^n X_i\right) = \sum_{i = 1}^n V(X_i) + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} \mathrm{Cov}(X_i, X_j).} $$ Si de plus $X_1, \dots, X_n$ sont deux à deux indépendantes (en particulier, si elles sont mutuellement indépendantes), chaque $\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = 0$ pour $i \neq j$ et $$ \textcolor{colorprop}{V\!\left(\sum_{i = 1}^n X_i\right) = \sum_{i = 1}^n V(X_i).} $$

Preuve

Par bilinéarité de la covariance (Covariance — définition et propriétés) appliquée à $\mathrm{Cov}(\sum X_i, \sum X_j)$ : $$ \begin{aligned} V\!\left(\sum_{i = 1}^n X_i\right) \ &=\ \mathrm{Cov}\!\left(\sum_{i = 1}^n X_i, \sum_{j = 1}^n X_j\right) && \text{(propriété diagonale)} \\ &=\ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \mathrm{Cov}(X_i, X_j) && \text{(bilinéarité des deux côtés)} \\ &=\ \sum_{i = 1}^n V(X_i) + \sum_{\substack{i, j = 1 \\ i \neq j}}^n \mathrm{Cov}(X_i, X_j) && \text{(séparer $i = j$ et $i \neq j$)} \\ &=\ \sum_{i = 1}^n V(X_i) + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} \mathrm{Cov}(X_i, X_j) && \text{(symétrie : appariement $(i, j)$ et $(j, i)$).} \end{aligned} $$ L'indépendance deux à deux annule chaque terme hors-diagonale, par Covariance — définition et propriétés.

Exemple — Variance de $\mathcal{B}(n\virgule p)$ via des Bernoulli indépendantes

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p)$. Décomposons $X = X_1 + \dots + X_n$ en une somme de $n$ v.a.\ de Bernoulli mutuellement indépendantes $X_i \hookrightarrow \mathcal{B}(p)$ (le modèle du chapitre 16 : $n$ épreuves indépendantes de probabilité de succès $p$). Chaque $X_i$ a pour variance $p(1 - p)$. Par le cas indépendant deux à deux de la Proposition précédente, $$ V(X) = \sum_{i = 1}^n V(X_i) = n \cdot p(1 - p). $$

Méthode — Calculer la variance d'une somme

Si les termes de la somme sont deux à deux indépendants : $V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$, aucune covariance à calculer.
Sinon : ajouter la correction hors-diagonale $2 \sum_{i < j} \mathrm{Cov}(X_i, X_j)$.
Astuce utile : décomposer une v.a.\ compliquée (par ex.\ $\mathcal{B}(n, p)$) en somme de Bernoulli indépendantes pour calculer $V$ en une ligne.

Pour aller plus loin

L'indépendance mutuelle d'une suite et les deux formules de somme sont le fondement des lois des grands nombres : pour des variables indépendantes et de même loi, d'espérance commune $m$ et de variance commune finie, la moyenne empirique $\overline{X}_n = \tfrac1n(X_1 + \dots + X_n)$ a pour espérance $m$ et pour variance $\tfrac1n V(X_1) \to 0$, ce qui force $\overline{X}_n$ à se concentrer autour de $m$. Cette concentration, et la convergence de lois qu'elle produit, sont reprises dans le chapitre Convergences et approximations.

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Compétences à pratiquer

Calculer la variance d'une somme

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes de synthèse