Éducation Nationale Française · PT

Réduction, éléments propres et diagonalisation

⌚ ~83 min ▢ 10 blocs ✓ 119 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Compléments d'algèbre linéaire, Déterminants

Étant donné un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel $E$, la réduction cherche une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est la plus simple possible — idéalement diagonale, de sorte que $u$ ne fasse que dilater chaque vecteur de base. Les chapitres précédents ont construit les outils utilisés ici sans redite : sommes et sommes directes de familles finies de sous-espaces, et sous-espaces stables avec l'endomorphisme induit — le pont qui transforme une décomposition stable en matrice diagonale par blocs.
Ce chapitre suit une unique voie géométrique. On lit d'abord $u$ par ses éléments propres : les scalaires $\lambda$ pour lesquels $u(x) = \lambda x$ a une solution non nulle, et les sous-espaces propres correspondants $E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E)$, les directions que $u$ se contente de dilater. Le polynôme caractéristique $\chi_u = \det(X \operatorname{Id}_E - u)$ transforme la recherche des valeurs propres en recherche de racines ; ses multiplicités contrôlent la taille possible des sous-espaces propres.
Les deux résultats phares sont les suivants. (i) Un endomorphisme est diagonalisable exactement lorsque $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres ; de façon équivalente, lorsque son polynôme caractéristique est scindé et, pour chaque valeur propre $\lambda$, le sous-espace propre $E_\lambda(u)$ a la dimension attendue, à savoir la multiplicité de $\lambda$ dans $\chi_u$. (ii) Un endomorphisme est trigonalisable, c'est-à-dire que sa matrice dans une certaine base est triangulaire supérieure, exactement lorsque son polynôme caractéristique est scindé, ce qui est toujours vrai sur $\mathbb{C}$. La diagonalisation, lorsqu'elle est possible, fournit une forme réduite qui rend immédiat le calcul des puissances $u^k$.

Signaler une erreur

Conventions

Tout au long de ce chapitre, $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, non nul, avec $n = \dim E \ge 1$. On note $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme, $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice carrée, $\operatorname{Id}_E$ l'identité et $I_n$ la matrice identité. Déterminant, trace, rang, matrices semblables et matrice d'un endomorphisme dans une base sont ceux de Déterminants ; sommes directes, sous-espaces stables et endomorphisme induit ceux de Compléments d'algèbre linéaire ; polynômes, racines, multiplicité et polynômes scindés ceux du cours de première année. Le polynôme caractéristique est défini comme $\det(XI_n - M)$ ; son degré, son caractère unitaire et ses coefficients sont établis à la section 2.

Signaler une erreur

I Éléments propres

I.1 Valeurs, vecteurs, sous-espaces propres

Le problème de la réduction part d'une seule observation : certains vecteurs sont simplement dilatés par $u$. Un vecteur non nul $x$ tel que $u(x) = \lambda x$ conserve sa direction — $u$ agit sur la droite qu'il engendre comme l'homothétie de rapport $\lambda$. Ces directions sont la matière première de la réduction : une base entièrement constituée de telles directions rend la matrice de $u$ diagonale. Cette sous-section les nomme et rassemble leurs premières propriétés.

Signaler une erreur

Définition — Valeur propre et vecteur propre

Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $u$ lorsqu'il existe un vecteur $x \neq 0_E$ tel que $u(x) = \lambda x$. Un tel vecteur $x$ est alors un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$. Un vecteur propre n'est, par définition, jamais le vecteur nul.

Exemple — Éléments propres de trois endomorphismes familiers

Une homothétie $\lambda_0 \operatorname{Id}_E$ admet tout vecteur non nul comme vecteur propre, tous pour l'unique valeur propre $\lambda_0$. Un projecteur $p$ a ses valeurs propres parmi $0$ et $1$ : tout vecteur de $\operatorname{Im} p$ vérifie $p(x) = x$ et tout vecteur de $\operatorname{Ker} p$ vérifie $p(x) = 0$ — $0$ et $1$ apparaissent toutes deux dès que $\operatorname{Ker} p$ et $\operatorname{Im} p$ sont toutes deux non nulles. Une symétrie vectorielle $s$ a ses valeurs propres parmi $-1$ et $1$, toutes deux présentes lorsque ses sous-espaces de vecteurs fixes et opposés sont tous deux non nuls.

Définition — Sous-espace propre

Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Le sous-espace propre de $u$ associé à $\lambda$ est $$ E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E). $$ C'est un sous-espace vectoriel de $E$, en tant que noyau d'un endomorphisme. Le scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $u$ si et seulement si $E_\lambda(u) \neq \{0_E\}$, et $E_\lambda(u)$ est alors exactement l'ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$, auquel on adjoint $0_E$.

Proposition — Droites stables et vecteurs propres

Soit $x \neq 0_E$ et soit $D = \operatorname{Vect}(x)$ la droite qu'il engendre. Alors $D$ est stable par $u$ (c'est-à-dire $u(D) \subseteq D$) si et seulement si $x$ est un vecteur propre de $u$. Dans ce cas, si $u(x) = \lambda x$, l'endomorphisme induit sur $D$ est l'homothétie de rapport $\lambda$ : $u$ agit sur $D$ en multipliant tout vecteur par $\lambda$.

Preuve

Supposons $D = \operatorname{Vect}(x)$ stable par $u$. Alors $u(x) \in D$, donc $u(x) = \lambda x$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{K}$ ; comme $x \neq 0_E$, cela signifie que $x$ est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$. Réciproquement, si $x$ est un vecteur propre, disons $u(x) = \lambda x$, alors tout vecteur de $D$ s'écrit $t x$ pour un $t \in \mathbb{K}$ et $u(t x) = t\, u(x) = (t\lambda) x \in D$, donc $u(D) \subseteq D$. Dans cette situation, pour tout $t x \in D$ on a $u(t x) = \lambda\,(t x)$, ce qui est exactement l'homothétie de rapport $\lambda$ sur $D$.

Exemple — Un sous-espace propre comme noyau

Pour $M = \begin{psmallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{psmallmatrix}$, prenons $\lambda = 3$ : le sous-espace propre est $E_3 = \operatorname{Ker}(M - 3I_2) = \operatorname{Ker}\begin{psmallmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{psmallmatrix}$. Le système $-2x + 2y = 0$ a pour droite de solutions $\operatorname{Vect}(1, 1)$, donc $E_3 = \operatorname{Vect}(1, 1)$, une droite ; $3$ est valeur propre puisque $E_3 \neq \{0\}$. Pour $\lambda = 0$, $\operatorname{Ker} M = \{0\}$ ($M$ étant inversible), donc $0$ n'est pas valeur propre.

Définition — Spectre

Le spectre de $u$, noté $\operatorname{Sp}(u)$, est l'ensemble des valeurs propres de $u$ dans $\mathbb{K}$. Pour une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ on définit de même $\operatorname{Sp}(M)$, l'ensemble des $\lambda \in \mathbb{K}$ pour lesquels $MX = \lambda X$ admet une solution colonne non nulle $X$ — un tel $X$ étant un vecteur propre matriciel, relié aux vecteurs propres de $u$ par la proposition de traduction matricielle ci-dessous.

Exemple — Sous-espaces propres et spectre d'une matrice diagonale

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ de matrice $D = \operatorname{diag}(5, 5, -2)$ dans la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$. Alors $u(e_1) = 5e_1$, $u(e_2) = 5e_2$ et $u(e_3) = -2e_3$, donc le spectre est $\operatorname{Sp}(u) = \{5, -2\}$. Les sous-espaces propres sont $E_5(u) = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, un plan, et $E_{-2}(u) = \operatorname{Vect}(e_3)$, une droite ; ici $E_5(u) \oplus E_{-2}(u) = \mathbb{R}^3$.

Proposition — Traduction matricielle

Soit $\mathcal{B}$ une base de $E$ et $M = \operatorname{Mat}_\mathcal{B}(u)$. Un vecteur $x$, de colonne de coordonnées $X$ dans $\mathcal{B}$, est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$ si et seulement si $X \neq 0$ et $MX = \lambda X$. Par conséquent $\operatorname{Sp}(u) = \operatorname{Sp}(M)$.

Preuve

L'application coordonnées dans $\mathcal{B}$ est un isomorphisme linéaire $E \to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ envoyant $x$ sur $X$ et $u(x)$ sur $MX$. Ainsi $u(x) = \lambda x$ a lieu si et seulement si $MX = \lambda X$, et $x \neq 0_E$ si et seulement si $X \neq 0$. Les deux notions de vecteur propre — pour $u$ et pour $M$ — se correspondent donc, ainsi que les deux spectres.

Proposition — La valeur propre zéro

Le scalaire $0$ est une valeur propre de $u$ si et seulement si $u$ n'est pas injective, de façon équivalente — $E$ étant de dimension finie — si et seulement si $u$ n'est pas inversible.

Preuve

Par définition $0$ est valeur propre de $u$ ssi $E_0(u) = \operatorname{Ker}(u - 0 \cdot \operatorname{Id}_E) = \operatorname{Ker} u \neq \{0_E\}$, c'est-à-dire ssi $u$ n'est pas injective. En dimension finie un endomorphisme est injectif si et seulement s'il est bijectif, donc c'est aussi la négation de « $u$ inversible ».

Sens géométrique

Géométriquement, un vecteur propre marque une direction que $u$ laisse invariante : sur la droite propre qu'il engendre, $u$ agit comme une pure dilatation. Hors d'une telle droite, $u$ bascule en général un vecteur vers une direction nouvelle. La figure montre une droite propre, sur laquelle $x$ et $u(x) = \lambda x$ restent colinéaires, à côté d'une direction ordinaire, où $y$ et $u(y)$ pointent différemment.

Signaler une erreur

Exemple — Déterminer les éléments propres d'une matrice

Pour l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $$ M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}, $$ on admet que son spectre est $\operatorname{Sp}(M) = \{1, 2, -4\}$ — la détermination systématique des valeurs propres à partir du polynôme caractéristique fait l'objet de la section 2. Déterminer les trois sous-espaces propres.

Correction

Chaque sous-espace propre est le noyau $E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(M - \lambda I_3)$. En résolvant le système $(M - \lambda I_3)X = 0$ pour chaque valeur propre donnée :

$\lambda = 1$ : $E_1(u) = \operatorname{Vect}(1, 1, 1)$ ;
$\lambda = 2$ : $E_2(u) = \operatorname{Vect}(4, 3, -2)$ ;
$\lambda = -4$ : $E_{-4}(u) = \operatorname{Vect}(2, -3, 2)$.

Chaque sous-espace propre est une droite ; en choisissant un vecteur propre de chacune on obtient trois vecteurs de $\mathbb{R}^3$ — une famille libre, comme on le verra à la sous-section 1.2.

Méthode — Tester si un scalaire est valeur propre

Pour décider si $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $u$ (matrice $M$) : $\lambda \in \operatorname{Sp}(u)$ si et seulement si $u - \lambda \operatorname{Id}_E$ n'est pas injective, de façon équivalente si et seulement si $M - \lambda I_n$ n'est pas inversible, de façon équivalente si et seulement si $\operatorname{rg}(M - \lambda I_n) < n$. Le sous-espace propre $E_\lambda(u)$ est alors l'ensemble des solutions du système homogène $(M - \lambda I_n)X = 0$, de dimension $n - \operatorname{rg}(M - \lambda I_n)$ par le théorème du rang.

Compétences à pratiquer

Calculer valeurs propres et vecteurs propres

I.2 Le spectre en dimension finie

Des valeurs propres distinctes tirent dans des directions indépendantes. C'est le fait structurel qui sous-tend toute la réduction : les sous-espaces propres attachés à des valeurs propres différentes ne se recoupent jamais au-delà de $0_E$, ils sont en somme directe. Deux conséquences en découlent aussitôt — les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre, et un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ a au plus $n$ valeurs propres.

Signaler une erreur

Théorème — Sous-espaces propres de valeurs propres distinctes en somme directe

Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ des valeurs propres de $u$ deux à deux distinctes. Alors la somme $E_{\lambda_1}(u) + \dots + E_{\lambda_p}(u)$ est directe.

Preuve

On raisonne par récurrence sur $p \ge 1$.

Initialisation. Pour $p = 1$ il y a un seul sous-espace et rien à démontrer.
Hérédité. Supposons le résultat acquis pour $p$ valeurs propres deux à deux distinctes. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_{p+1}$ deux à deux distinctes, et $x_i \in E_{\lambda_i}(u)$ tels que $$ x_1 + \dots + x_p + x_{p+1} = 0_E. \tag{$*$} $$ En appliquant $u$ et en utilisant $u(x_i) = \lambda_i x_i$, on obtient $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_{p+1} x_{p+1} = 0_E$. En retranchant $\lambda_{p+1}$ fois $(*)$ : $$ (\lambda_1 - \lambda_{p+1})x_1 + \dots + (\lambda_p - \lambda_{p+1})x_p = 0_E. $$ Par hypothèse de récurrence la somme $E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_p}$ est directe, donc chaque terme est nul : $(\lambda_i - \lambda_{p+1})x_i = 0_E$ pour $i \le p$. Comme $\lambda_i \neq \lambda_{p+1}$, cela force $x_i = 0_E$ pour $i \le p$. En reportant dans $(*)$, on obtient aussi $x_{p+1} = 0_E$. La décomposition de $0_E$ est triviale, donc la somme des $p+1$ sous-espaces propres est directe.

Proposition — Vecteurs propres de valeurs propres distinctes libres

Une famille de vecteurs propres de $u$ associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

Preuve

Soient $x_1, \dots, x_p$ des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_p$, et supposons $\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_p x_p = 0_E$. Chaque $\alpha_i x_i$ appartient à $E_{\lambda_i}(u)$, et la somme de ces sous-espaces propres est directe par le théorème précédent, donc $\alpha_i x_i = 0_E$ pour tout $i$. Comme $x_i \neq 0_E$, on en tire $\alpha_i = 0$ pour tout $i$. La famille est libre.

Proposition — Le spectre est fini

Le spectre $\operatorname{Sp}(u)$ est fini, avec $\#\operatorname{Sp}(u) \le n = \dim E$.

Preuve

Supposons que $u$ ait $n + 1$ valeurs propres deux à deux distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}$. En choisissant un vecteur propre $x_i$ pour chacune, la famille $(x_1, \dots, x_{n+1})$ est libre par la proposition précédente. Or une famille libre de $E$ compte au plus $\dim E = n$ vecteurs — contradiction. Donc $u$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes : $\operatorname{Sp}(u)$ est fini, avec $\#\operatorname{Sp}(u) \le n$.

Exemple — Un endomorphisme avec le nombre maximal de valeurs propres

L'endomorphisme de la réponse précédente a pour spectre $\{1, 2, -4\}$, trois valeurs propres pour $n = 3$ — la borne $\#\operatorname{Sp}(u) \le n$ est atteinte. Les trois vecteurs propres $(1,1,1)$, $(4,3,-2)$, $(2,-3,2)$ choisis ci-dessus, un par valeur propre, forment une famille libre, donc une base de $\mathbb{R}^3$.

Pourquoi la dimension finie compte

Une brève parenthèse, hors de la convention de dimension finie du chapitre. Sur l'espace $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ des fonctions lisses, la dérivation $f \mapsto f'$ admet toute valeur réelle $\lambda$ comme valeur propre : la fonction $x \mapsto e^{\lambda x}$ vérifie $f' = \lambda f$. Son spectre est $\mathbb{R}$ tout entier, infini. La finitude du spectre est donc bien un phénomène de dimension finie, reposant sur la borne « une famille libre compte au plus $n$ vecteurs ».

Signaler une erreur

Proposition — Endomorphismes qui commutent

Soient $u, v \in \mathcal{L}(E)$ avec $u \circ v = v \circ u$. Alors tout sous-espace propre $E_\lambda(u)$ est stable par $v$.

Preuve

De $u \circ v = v \circ u$ on tire $(u - \lambda \operatorname{Id}_E) \circ v = v \circ (u - \lambda \operatorname{Id}_E)$, donc $u - \lambda \operatorname{Id}_E$ et $v$ commutent. Par la stabilité des noyaux d'endomorphismes qui commutent — rappelée de Compléments d'algèbre linéaire — le noyau $E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E)$ est stable par $v$.

Proposition — Matrices semblables et spectre

Deux matrices semblables ont le même spectre : si $A \sim B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, alors $\operatorname{Sp}(A) = \operatorname{Sp}(B)$.

Preuve

Écrivons $B = P^{-1}AP$ avec $P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$. Si $\lambda \in \operatorname{Sp}(B)$, prenons $X \neq 0$ avec $BX = \lambda X$. Alors $A(PX) = P(BX) = \lambda(PX)$, et $PX \neq 0$ puisque $P$ est inversible, donc $\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$. Ainsi $\operatorname{Sp}(B) \subseteq \operatorname{Sp}(A)$ ; en échangeant les rôles de $A$ et $B$ (via $A = PBP^{-1}$) on obtient l'inclusion réciproque.

Exemple — Un sous-espace propre stable par un endomorphisme qui commute

Soit $u$ ayant $n$ valeurs propres distinctes et $v$ commutant avec $u$. Comme $u$ a $n$ valeurs propres distinctes, choisir un vecteur propre par valeur propre fournit une base de $E$, et chaque sous-espace propre $E_\lambda(u)$ est une droite propre. Chaque droite est stable par $v$, donc $v$ envoie tout vecteur propre de $u$ sur un multiple de lui-même : la matrice de $v$ est diagonale dans cette base propre de $u$. Commuter avec un endomorphisme fixé à $n$ valeurs propres distinctes force ainsi une base propre commune — un premier aperçu de la réduction simultanée.

Compétences à pratiquer

Utiliser la somme directe des sous-espaces propres

II Le polynôme caractéristique

II.1 Définition et premières propriétés

Chercher les valeurs propres à la main — tester chaque scalaire $\lambda$ pour la non-inversibilité de $u - \lambda \operatorname{Id}_E$ — est sans espoir : il y a une infinité de candidats. La sortie consiste à faire de $\lambda$ une variable. Le déterminant $\det(XI_n - M)$ est un polynôme en $X$, et ses racines situées dans $\mathbb{K}$ sont exactement les valeurs propres. Ce polynôme caractéristique convertit une recherche infinie en un calcul fini.

Signaler une erreur

Proposition — Valeur propre et déterminant nul

Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $\det(u - \lambda \operatorname{Id}_E) = 0$.

Preuve

$\lambda$ est valeur propre ssi $E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E) \neq \{0_E\}$, c'est-à-dire ssi $u - \lambda \operatorname{Id}_E$ n'est pas injective. En dimension finie un endomorphisme est injectif ssi il est inversible, et un endomorphisme est inversible ssi son déterminant est non nul. Donc « $u - \lambda \operatorname{Id}_E$ non injective » équivaut à « $\det(u - \lambda \operatorname{Id}_E) = 0$ ».

Définition — Polynôme caractéristique d'une matrice

Le polynôme caractéristique de $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est $$ \chi_M = \det(XI_n - M). $$ C'est un élément de $\mathbb{K}[X]$ obtenu en développant le déterminant de la matrice $XI_n - M$, dont les coefficients sont des polynômes de degré au plus $1$.

Exemple — Polynôme caractéristique d'une petite matrice

Pour $M = \begin{psmallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{psmallmatrix}$, $$ \chi_M = \det\begin{pmatrix} X-1 & -2 \\ -3 & X-2 \end{pmatrix} = (X-1)(X-2) - 6 = X^2 - 3X - 4 = (X-4)(X+1), $$ donc $\operatorname{Sp}(M) = \{4, -1\}$. Le coefficient de $X$ vaut $-3 = -\operatorname{tr}(M)$ et le terme constant $-4 = \det(M)$ — anticipant le théorème sur le degré et les coefficients ci-dessous.

Proposition — Invariance par similitude

Si $A \sim B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, alors $\chi_A = \chi_B$.

Preuve

Écrivons $B = P^{-1}AP$ avec $P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$. On raisonne par évaluation, pour rester dans la théorie du déterminant sur le corps $\mathbb{K}$. Pour tout scalaire $x \in \mathbb{K}$, $$ \begin{aligned} \chi_B(x) &= \det(xI_n - P^{-1}AP) && \text{(définition de $\chi_B$)} \\ &= \det\big(P^{-1}(xI_n - A)P\big) && \text{($xI_n = P^{-1}(xI_n)P$)} \\ &= \det(P^{-1})\det(xI_n - A)\det(P) && \text{(multiplicativité de $\det$)} \\ &= \det(xI_n - A) = \chi_A(x) && \text{($\det(P^{-1})\det(P) = 1$).} \end{aligned} $$ Les polynômes $\chi_A$ et $\chi_B$ coïncident donc en tout point de l'ensemble infini $\mathbb{K}$, donc sont égaux.

Définition — Polynôme caractéristique d'un endomorphisme

Le polynôme caractéristique de $u \in \mathcal{L}(E)$ est $\chi_u = \chi_M$, où $M$ est la matrice de $u$ dans une base quelconque de $E$. Cela ne dépend pas de la base : deux telles matrices sont semblables, et des matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

Exemple — Le polynôme caractéristique ne voit pas la base

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ de matrice $A = \begin{psmallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{psmallmatrix}$ dans la base canonique. Les vecteurs $(2, 3)$ et $(1, -1)$ vérifient $A\begin{psmallmatrix}2\\3\end{psmallmatrix} = \begin{psmallmatrix}8\\12\end{psmallmatrix} = 4\begin{psmallmatrix}2\\3\end{psmallmatrix}$ et $A\begin{psmallmatrix}1\\-1\end{psmallmatrix} = \begin{psmallmatrix}-1\\1\end{psmallmatrix} = -\begin{psmallmatrix}1\\-1\end{psmallmatrix}$, donc dans la base $\big((2,3),\,(1,-1)\big)$ la matrice de $u$ est $D = \operatorname{diag}(4, -1)$, semblable à $A$. Les deux donnent $\chi_u = X^2 - 3X - 4$ — lu sur $A$ comme $(X-1)(X-2)-6$, et sur $D$ aussitôt comme $(X-4)(X+1)$. Le polynôme caractéristique de $u$ est un seul objet, calculable via n'importe quelle matrice de $u$.

Théorème — Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique

Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $\chi_u(\lambda) = 0$. Le spectre de $u$ est l'ensemble des racines de $\chi_u$ situées dans $\mathbb{K}$.

Preuve

Fixons une base et soit $M$ la matrice de $u$. En évaluant $\chi_u = \det(XI_n - M)$ en $\lambda$, on obtient $\chi_u(\lambda) = \det(\lambda I_n - M)$. Or $\lambda I_n - M = -(M - \lambda I_n)$, et le déterminant est $n$-linéaire en les colonnes, donc $\det(\lambda I_n - M) = (-1)^n \det(M - \lambda I_n)$ — les deux s'annulent ensemble. Par la proposition sur le déterminant nul, $\det(M - \lambda I_n) = 0$ exactement lorsque $\lambda$ est valeur propre de $u$. Donc $\chi_u(\lambda) = 0 \iff \lambda \in \operatorname{Sp}(u)$.

Théorème — Degré et coefficients du polynôme caractéristique

Pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, le polynôme $\chi_M$ est unitaire de degré $n$, et $$ \chi_M = X^n - \operatorname{tr}(M)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det(M). $$ En particulier, le coefficient de $X^{n-1}$ vaut $-\operatorname{tr}(M)$ et le coefficient constant vaut $(-1)^n \det(M)$.

Preuve

Pour $n \ge 4$, l'énoncé est admis — le programme n'en exige pas la démonstration à ce niveau. On l'établit entièrement pour les dimensions usuelles $n \le 3$, où tout calcul est explicite, et on lit le coefficient constant en toute dimension. Ce coefficient constant : en posant $X = 0$, $\chi_M(0) = \det(0\cdot I_n - M) = \det(-M) = (-1)^n \det(M)$, pour tout $n$. On vérifie maintenant le degré, le terme dominant unitaire et le coefficient de $X^{n-1}$ pour $n = 1, 2, 3$. Dimension $n = 1$. $M = (m_{11})$ et $\chi_M = X - m_{11}$ : unitaire de degré $1$, de coefficient en $X^0$ égal à $-m_{11} = -\operatorname{tr}(M)$ et de terme constant $-m_{11} = (-1)^1 \det(M)$. Dimension $n = 2$. Pour $M = \begin{psmallmatrix} a & b \\ c & d \end{psmallmatrix}$, $$ \chi_M = \det\begin{pmatrix} X - a & -b \\ -c & X - d \end{pmatrix} = (X-a)(X-d) - bc = X^2 - (a+d)X + (ad - bc), $$ qui est unitaire de degré $2$, de coefficient en $X^{1}$ égal à $-(a+d) = -\operatorname{tr}(M)$ et de terme constant $ad - bc = \det(M) = (-1)^2 \det(M)$. Dimension $n = 3$. En développant $\det(XI_3 - M)$ pour $M = (m_{ij})$, le produit des trois coefficients diagonaux $(X - m_{11})(X - m_{22})(X - m_{33})$ est le seul terme de degré $\ge 2$ (tout coefficient hors diagonale de $XI_3 - M$ est une constante $-m_{ij}$, donc tout terme en utilisant un porte au plus un facteur $X$). Ce produit vaut $X^3 - (m_{11}+m_{22}+m_{33})X^2 + \dots$, donc $\chi_M$ est unitaire de degré $3$ de coefficient en $X^2$ égal à $-\operatorname{tr}(M)$ ; le terme constant est $(-1)^3 \det(M)$ comme ci-dessus. Pour $n \ge 4$, le même mécanisme opère — dans $\det(XI_n - M)$ le produit diagonal $\prod_{i=1}^n (X - m_{ii})$ fournit le terme dominant $X^n$ et le terme $-\operatorname{tr}(M)X^{n-1}$, tandis que tout autre terme du développement du déterminant est de degré au plus $n - 2$ — et la récurrence rigoureuse (par développement par cofacteurs sur l'anneau $\mathbb{K}[X]$) est admise, comme annoncé.

Exemple — Polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire

Si $T$ est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux $d_1, \dots, d_n$, alors $XI_n - T$ est triangulaire supérieure de diagonale $X - d_1, \dots, X - d_n$, donc $$ \chi_T = \prod_{i=1}^n (X - d_i). $$ Le spectre d'une matrice triangulaire se lit directement sur sa diagonale : $\operatorname{Sp}(T) = \{d_1, \dots, d_n\}$.

Méthode — Calculer le polynôme caractéristique et le spectre

Pour trouver les valeurs propres de $u$ donné par une matrice $M$ : former $XI_n - M$, calculer $\chi_M = \det(XI_n - M)$ — par développement selon une rangée, ou en ajoutant à une ligne (ou colonne) un multiple dans $\mathbb{K}[X]$ d'une autre, opérations valides sur l'anneau $\mathbb{K}[X]$ ; éviter de diviser une rangée par un polynôme non constant — puis factoriser $\chi_M$. Les valeurs propres sont les racines de $\chi_M$ dans $\mathbb{K}$. Les coefficients de degré $n-1$ et constant, $-\operatorname{tr}(M)$ et $(-1)^n\det(M)$, fournissent une vérification rapide du calcul.

Compétences à pratiquer

Calculer le polynôme caractéristique

II.2 Multiplicité d'une valeur propre

Une valeur propre peut être racine simple de $\chi_u$ ou racine multiple. Le nombre de répétitions — sa multiplicité — est le second nombre attaché à une valeur propre, à côté de la dimension de son sous-espace propre. Les deux sont liés par une inégalité fondamentale : le sous-espace propre ne peut jamais dépasser ce que la multiplicité autorise. Cette inégalité, $\dim E_\lambda \le m(\lambda)$, est la porte d'entrée de la diagonalisabilité.

Signaler une erreur

Définition — Multiplicité d'une valeur propre

Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. Sa multiplicité, notée $m(\lambda)$, est la multiplicité de $\lambda$ en tant que racine du polynôme caractéristique $\chi_u$. Une valeur propre de multiplicité $1$ est dite simple.

Exemple — Lire les multiplicités sur un polynôme caractéristique factorisé

Si $\chi_u = (X - 1)(X - 2)^2$, alors $u$ a pour valeurs propres $1$ et $2$, avec $m(1) = 1$ (simple) et $m(2) = 2$ (double). Les multiplicités ont pour somme $\deg \chi_u = 3 = n$, comme toujours lorsque $\chi_u$ est scindé.

Exemple — Une valeur propre triple

Pour la matrice triangulaire supérieure $T = \begin{psmallmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{psmallmatrix}$, le polynôme caractéristique est $\chi_T = (X - 3)^3$, lu sur la diagonale. Donc $3$ est l'unique valeur propre, de multiplicité $m(3) = 3$ — une valeur propre triple. Pourtant $T - 3I_3$ est de rang $2$, donc $\dim E_3(T) = 3 - 2 = 1$, bien en dessous de $m(3)$ : la multiplicité compte des racines de $\chi_T$, non des dimensions de sous-espaces propres.

Proposition — Nombre de racines du polynôme caractéristique

$\chi_u$ est unitaire de degré $n$, donc il a au plus $n$ racines dans $\mathbb{K}$ ; vu comme élément de $\mathbb{C}[X]$, il a exactement $n$ racines comptées avec multiplicité. En particulier $u$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes.

Preuve

Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines dans tout corps, comptées avec multiplicité — rappelé de Polynômes. Sur $\mathbb{C}$, d'Alembert-Gauss rend $\chi_u$ scindé, donc il a exactement $n$ racines comptées avec multiplicité. Les valeurs propres de $u$ sont parmi les racines situées dans $\mathbb{K}$, donc au plus $n$. Ceci redémontre, via $\chi_u$, la finitude du spectre déjà obtenue au sous-section 1.2 par la borne de famille libre, et la précise : le compte est lié à $\deg \chi_u = n$.

Proposition — Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit

Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$, avec $F \neq \{0_E\}$, et soit $u_F$ l'endomorphisme induit. Alors $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.

Preuve

Si $F = E$ alors $u_F = u$ et $\chi_{u_F} = \chi_u$ divise $\chi_u$ ; supposons désormais $F \subsetneq E$. Posons $p = \dim F$, de sorte que $1 \le p < n$. Complétons une base de $F$ en une base $\mathcal{B}$ de $E$. Comme $F$ est stable par $u$, la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ est triangulaire supérieure par blocs, $$ M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}, \qquad A = \operatorname{Mat}(u_F), $$ rappelé de Compléments d'algèbre linéaire. Alors $XI_n - M$ est triangulaire supérieure par blocs, de blocs diagonaux $XI_p - A$ et $XI_{n-p} - C$, et le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux : $$ \chi_u = \det(XI_n - M) = \det(XI_p - A)\cdot\det(XI_{n-p} - C) = \chi_{u_F}\cdot\chi_C. $$ Donc $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.

Théorème — Dimension d'un sous-espace propre

Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$ de multiplicité $m(\lambda)$. Alors $$ 1 \le \dim E_\lambda(u) \le m(\lambda). $$

Preuve

Posons $d = \dim E_\lambda(u)$. Comme $\lambda$ est valeur propre, $E_\lambda(u) \neq \{0_E\}$, donc $d \ge 1$.
Le sous-espace $E_\lambda(u)$ est stable par $u$, et l'endomorphisme induit est $u_{E_\lambda} = \lambda \operatorname{Id}_{E_\lambda}$ — une homothétie, puisque $u(x) = \lambda x$ pour tout $x \in E_\lambda(u)$. Son polynôme caractéristique est donc $\chi_{u_{E_\lambda}} = (X - \lambda)^d$. Par la proposition précédente, $(X - \lambda)^d$ divise $\chi_u$. La multiplicité de $\lambda$ comme racine de $\chi_u$ est donc au moins $d$, soit $d \le m(\lambda)$.

Proposition — Une valeur propre simple a un sous-espace propre de dimension un

Si $\lambda$ est une valeur propre simple de $u$, alors $\dim E_\lambda(u) = 1$.

Preuve

Une valeur propre simple a $m(\lambda) = 1$. Le théorème donne $1 \le \dim E_\lambda(u) \le 1$, d'où $\dim E_\lambda(u) = 1$.

Exemple — Un sous-espace propre strictement plus petit que la multiplicité

Pour $M = \begin{psmallmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{psmallmatrix}$, $\chi_M = (X - 2)^2$, donc $2$ est valeur propre de multiplicité $m(2) = 2$. Mais $M - 2I_2 = \begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{psmallmatrix}$ est de rang $1$, donc $\dim E_2(M) = 2 - 1 = 1 < m(2)$. L'inégalité $\dim E_\lambda \le m(\lambda)$ peut être stricte — et lorsqu'elle l'est, la diagonalisabilité échoue, comme le montrera le section 3.

Méthode — Calculer la dimension d'un sous-espace propre

Pour trouver $\dim E_\lambda(u)$ pour une valeur propre $\lambda$ (matrice $M$) : calculer le rang de $M - \lambda I_n$ par pivot de Gauss, puis appliquer le théorème du rang, $$ \dim E_\lambda(u) = n - \operatorname{rg}(M - \lambda I_n). $$ Ce nombre est à comparer à $m(\lambda)$ : par l'inégalité fondamentale, $1 \le \dim E_\lambda(u) \le m(\lambda)$, donc $\dim E_\lambda(u)$ atteint la multiplicité ou lui est strictement inférieur. Le fait que l'égalité ait lieu pour toute valeur propre — joint au caractère scindé de $\chi_u$ sur $\mathbb{K}$ — est exactement ce qui décide de la diagonalisabilité ; ce critère est établi à la section 3.

Compétences à pratiquer

Exploiter la multiplicité d'une valeur propre

III Diagonalisabilité

III.1 Endomorphismes et matrices diagonalisables

Le cas favorable de la réduction est celui où une base de vecteurs propres existe. Dans une telle base $u$ agit coordonnée par coordonnée comme une dilatation, et sa matrice est diagonale — la forme la plus simple qu'une matrice puisse prendre. Cette sous-section fixe le vocabulaire, pour les endomorphismes et pour les matrices, et en dégage le contenu géométrique : $E$ se scinde en droites propres sur chacune desquelles $u$ est une homothétie.

Signaler une erreur

Définition — Endomorphisme et matrice diagonalisables

L'endomorphisme $u$ est diagonalisable lorsqu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est diagonalisable lorsqu'elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire $P^{-1}MP = D$ pour un $P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$ et une matrice diagonale $D$.

Exemple — Une diagonalisation explicitée

La matrice $M = \begin{psmallmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{psmallmatrix}$ est diagonalisable. Son polynôme caractéristique est $\chi_M = (X-3)(X-2) - 2 = X^2 - 5X + 4 = (X-1)(X-4)$, à deux valeurs propres distinctes $1$ et $4$. En résolvant $(M - I_2)X = 0$ et $(M - 4I_2)X = 0$ on obtient les vecteurs propres $(1, -2)$ et $(1, 1)$. Avec $P = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{psmallmatrix}$, $$ P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, $$ les colonnes de $P$ formant une base de vecteurs propres.

Proposition — Les versions endomorphisme et matrice coïncident

Un endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans une base — de façon équivalente dans toute base — est une matrice diagonalisable. Plus généralement, la même équivalence vaut pour toute propriété matricielle invariante par similitude (en particulier la trigonalisabilité, rencontrée à la section 4).

Preuve

Les matrices de $u$ dans deux bases sont semblables, et la similitude est une relation d'équivalence. Donc si la matrice de $u$ dans une base est semblable à une matrice diagonale, la matrice dans toute autre base — semblable à la première — est aussi semblable à cette matrice diagonale, par transitivité. Ainsi « la matrice est diagonalisable » ne dépend pas de la base. Et $u$ est diagonalisable, par définition, exactement lorsqu'une base donne une matrice diagonale, c'est-à-dire exactement lorsque la matrice de $u$ est semblable à une matrice diagonale. L'argument n'a utilisé que la transitivité de la similitude, donc il s'applique mot pour mot à toute propriété matricielle invariante par similitude — en particulier « semblable à une matrice triangulaire supérieure », le cas trigonalisable de la section 4.

Proposition — Une base de diagonalisation est une base de vecteurs propres

Une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ diagonalise $u$ si et seulement si chaque $e_i$ est un vecteur propre de $u$. Dans cette base les coefficients diagonaux de la matrice sont les valeurs propres associées, chaque valeur propre $\lambda$ apparaissant exactement $\dim E_\lambda(u)$ fois.

Preuve

La matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ est diagonale, de coefficients diagonaux $d_1, \dots, d_n$, si et seulement si $u(e_i) = d_i e_i$ pour tout $i$ — c'est-à-dire si et seulement si chaque $e_i$ est un vecteur propre pour la valeur propre $d_i$. Pour une valeur propre $\lambda$ fixée, les vecteurs de base $e_i$ avec $d_i = \lambda$ sont des vecteurs propres dans $E_\lambda(u)$ ; faisant partie d'une base ils sont libres, et ils engendrent $E_\lambda(u)$ (tout vecteur propre pour $\lambda$ est combinaison des vecteurs de base, nécessairement de ceux avec $d_i = \lambda$). Ils forment donc une base de $E_\lambda(u)$, et $\lambda$ apparaît $\dim E_\lambda(u)$ fois sur la diagonale — comme le montrera la matrice $3 \times 3$ traitée au sous-section 3.2, où $0$ occupe deux des trois places diagonales.

Exemple — Endomorphismes diagonalisables déjà connus

L'identité et toute homothétie sont diagonalisables — elles sont déjà diagonales dans toute base. Un projecteur $p$ est diagonalisable : $E = \operatorname{Ker} p \oplus \operatorname{Im} p$, et une base adaptée à cette décomposition est une base de vecteurs propres (valeurs propres parmi $0$ et $1$). Une symétrie vectorielle est diagonalisable de même, de valeurs propres parmi $-1$ et $1$.

Exemple — Un endomorphisme non diagonalisable

La matrice $M = \begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{psmallmatrix}$ n'est pas diagonalisable. Si elle valait $PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, $D$ aurait le même spectre que $M$, à savoir $\{0\}$ (car $\chi_M = X^2$), donc $D = 0$, d'où $M = P\,0\,P^{-1} = 0$ — faux. L'obstruction est structurelle : $M$ n'a qu'une seule valeur propre $0$, mais son sous-espace propre $E_0(M) = \ker M = \operatorname{Vect}(e_1)$, où $e_1 = (1,0)$ est le premier vecteur de la base canonique de $\mathbb{K}^2$, est de dimension $1$, strictement inférieure à la dimension $2$ de l'espace — les sous-espaces propres ne remplissent pas $\mathbb{K}^2$.

La géométrie de la diagonalisation

Lorsque $u$ est diagonalisable, $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres : $E = E_{\lambda_1}(u) \oplus E_{\lambda_2}(u) \oplus \cdots$. Un vecteur $x$ se décompose de façon unique en $x = x_1 + x_2 + \cdots$ avec $x_i \in E_{\lambda_i}(u)$, et $u$ dilate chaque morceau selon son propre rapport : $u(x) = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots$. Lorsque chaque sous-espace propre est une droite — le cas de $n$ valeurs propres distinctes — c'est une décomposition en droites propres. La figure montre le cas de deux sous-espaces propres.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Identifier une matrice diagonalisable

III.2 Caractérisations de la diagonalisabilité

La question de savoir si $u$ est diagonalisable est désormais tranchée par trois tests équivalents, d'abstraction décroissante. Le premier est structurel : $E$ est la somme directe des sous-espaces propres. Le deuxième compte les dimensions. Le troisième est le test pratique : $\chi_u$ doit être scindé, et chaque sous-espace propre doit atteindre la dimension que sa multiplicité autorise. Un raccourci suffisant clôt la sous-section — $n$ valeurs propres distinctes suffisent.

Signaler une erreur

Théorème — Diagonalisable par la somme directe des sous-espaces propres

L'endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres : $$ E = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} E_\lambda(u). $$

Preuve

La somme des sous-espaces propres est toujours directe (sous-section 1.2), donc la condition est en fait « les sous-espaces propres engendrent $E$ ».

$(\Rightarrow)$ Si $u$ est diagonalisable, une base de diagonalisation est une base de vecteurs propres ; chaque vecteur de base appartient à un $E_\lambda(u)$, donc les sous-espaces propres engendrent $E$, et leur somme directe est $E$.
$(\Leftarrow)$ Si $E = \bigoplus_\lambda E_\lambda(u)$, concaténer une base de chaque $E_\lambda(u)$ donne une base de $E$ adaptée à la décomposition. Tout vecteur de cette base est un vecteur propre, donc la base diagonalise $u$.

Proposition — Critère par les dimensions

L'endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si $$ \sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} \dim E_\lambda(u) = n. $$

Preuve

La somme $\sum_\lambda E_\lambda(u)$ est directe, donc sa dimension vaut $\sum_\lambda \dim E_\lambda(u)$. Cette somme vaut $E$ tout entier exactement lorsque cette dimension vaut $\dim E = n$. Par le théorème précédent, c'est exactement la diagonalisabilité.

Proposition — Un endomorphisme à n valeurs propres distinctes

Si $u$ a $n = \dim E$ valeurs propres distinctes, alors $u$ est diagonalisable.

Preuve

Choisissons un vecteur propre pour chacune des $n$ valeurs propres distinctes. Par le sous-section 1.2, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre, donc ces $n$ vecteurs forment une famille libre de $E$ ; comptant $n = \dim E$ éléments, ils forment une base. C'est une base de vecteurs propres, donc $u$ est diagonalisable.

Exemple — La diagonalisabilité dépend du corps

Une même matrice peut être diagonalisable sur un corps et pas sur un autre. Prenons la matrice de rotation $$ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \chi_R = X^2 + 1. $$ Sur $\mathbb{R}$ : $\chi_R = X^2 + 1$ n'a aucune racine réelle, donc $R$ n'a aucune valeur propre réelle — son spectre dans $\mathbb{R}$ est vide. Une matrice réelle diagonalisable possède au moins une valeur propre (les coefficients diagonaux de sa forme réduite), donc $R$ n'est pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Géométriquement, c'est clair : une rotation d'un quart de tour ne fixe aucune direction réelle, donc ne dilate aucune droite réelle.
Sur $\mathbb{C}$ : $\chi_R = (X - i)(X + i)$ a les deux racines distinctes $i$ et $-i$. Ainsi $R$ a $2 = \dim \mathbb{C}^2$ valeurs propres distinctes, et par la proposition précédente $R$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$, semblable à $\operatorname{diag}(i, -i)$. Le verdict dépend donc du corps sur lequel on lit $\chi_R$.

Théorème — Diagonalisable par le polynôme caractéristique

L'endomorphisme $u$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et si, pour toute valeur propre $\lambda \in \operatorname{Sp}(u)$, $\dim E_\lambda(u) = m(\lambda)$.

Preuve

$(\Rightarrow)$ Supposons $u$ diagonalisable. Dans une base de diagonalisation la matrice est diagonale, chaque valeur propre $\lambda$ étant répétée $\dim E_\lambda(u)$ fois ; son polynôme caractéristique est alors $\chi_u = \prod_{\lambda} (X - \lambda)^{\dim E_\lambda(u)}$. Il est scindé sur $\mathbb{K}$, et l'exposant de $(X - \lambda)$, à savoir $m(\lambda)$, vaut $\dim E_\lambda(u)$.
$(\Leftarrow)$ Supposons $\chi_u$ scindé avec $\dim E_\lambda(u) = m(\lambda)$ pour toute $\lambda$. Comme $\chi_u$ est scindé de degré $n$, les multiplicités ont pour somme $n$ : $\sum_\lambda m(\lambda) = n$. Donc $\sum_\lambda \dim E_\lambda(u) = \sum_\lambda m(\lambda) = n$, et le critère par les dimensions donne la diagonalisabilité.

Méthode — Diagonaliser une matrice

Étant donné $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, procéder en deux temps.

Décider. Calculer $\chi_M$ et le factoriser. Si $\chi_M$ n'est pas scindé sur $\mathbb{K}$, $M$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{K}$. S'il est scindé, pour chaque valeur propre $\lambda$ de multiplicité $m(\lambda) \ge 2$ calculer $\dim E_\lambda = n - \operatorname{rg}(M - \lambda I_n)$ et comparer à $m(\lambda)$ ; $M$ est diagonalisable si et seulement si l'égalité a lieu pour toute $\lambda$ (les valeurs propres simples ne demandent aucune vérification, $\dim E_\lambda = 1 = m(\lambda)$ automatiquement).
Diagonaliser. Lorsque $M$ est diagonalisable, résoudre $(M - \lambda I_n)X = 0$ pour chaque $\lambda$ afin d'obtenir une base de $E_\lambda$, concaténer celles-ci en les colonnes de $P$ ; alors $P^{-1}MP = D$ est diagonale, les valeurs propres figurant sur la diagonale dans l'ordre correspondant.

Exemple — Un verdict de non-diagonalisabilité

La matrice $M = \begin{psmallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{psmallmatrix}$ a $\chi_M = (X - 2)^3$, scindé sur $\mathbb{R}$, avec l'unique valeur propre $2$ de multiplicité $m(2) = 3$. En appliquant la méthode : $M - 2I_3$ est de rang $1$, donc $\dim E_2 = 3 - 1 = 2 < 3 = m(2)$. Le critère échoue pour la valeur propre $2$, donc $M$ n'est pas diagonalisable — bien que $\chi_M$ soit scindé. Le polynôme caractéristique scindé est nécessaire mais non suffisant ; c'est le test de dimension qui tranche.

Exemple — Diagonaliser une matrice 3 par 3

Diagonaliser la matrice $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). $$

Correction

$M$ est de rang $1$, donc $0$ est valeur propre avec $\dim E_0 = 3 - \operatorname{rg}(M) = 2$ ; donc $m(0) \ge \dim E_0 = 2$ et $X^2$ divise le polynôme $\chi_M$, unitaire de degré $3$, ce qui donne $\chi_M = X^2(X - a)$ pour un certain $a$. Le coefficient de $X^2$ dans $\chi_M$ vaut $-\operatorname{tr}(M) = -3$ par le théorème sur le degré et les coefficients du sous-section 2.1, et dans $X^2(X - a)$ il vaut $-a$ ; donc $a = 3$ et $\chi_M = X^2(X - 3)$, scindé sur $\mathbb{R}$, avec $m(0) = 2$ et $m(3) = 1$.

$\dim E_0 = 2 = m(0)$ et $\dim E_3 = 1 = m(3)$ (simple), donc $M$ est diagonalisable.
$E_0 = \operatorname{Ker} M$ : le système $x + y + z = 0$ donne la base $(1, -1, 0)$, $(1, 0, -1)$.
$E_3 = \operatorname{Ker}(M - 3I_3)$ : la base $(1, 1, 1)$.

Avec $P = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{psmallmatrix}$ on obtient $P^{-1}MP = \operatorname{diag}(0, 0, 3)$.

Compétences à pratiquer

Diagonaliser une matrice

IV Trigonalisabilité

IV.1 Endomorphismes et matrices trigonalisables

La diagonalisation peut échouer — la matrice $\begin{psmallmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{psmallmatrix}$ y résiste déjà. Lorsque c'est le cas, la forme la meilleure ensuite est triangulaire : une base dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure expose encore le spectre sur la diagonale et maîtrise les puissances de $u$. Cette sous-section nomme les endomorphismes et matrices trigonalisables ; la suivante les caractérise.

Signaler une erreur

Définition — Endomorphisme et matrice trigonalisables

L'endomorphisme $u$ est trigonalisable lorsqu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure. Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est trigonalisable lorsqu'elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure. Comme pour la diagonalisabilité (sous-section 3.1), un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est une matrice trigonalisable.

Exemple — Diagonalisable implique trigonalisable

Toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable, étant semblable à elle-même. Tout endomorphisme diagonalisable est trigonalisable, une matrice diagonale étant en particulier triangulaire supérieure. La trigonalisabilité est donc une exigence plus faible que la diagonalisabilité — strictement plus faible, comme le montre l'exemple suivant.

Exemple — Trigonalisable sans être diagonalisable

La matrice $\begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{psmallmatrix}$ est triangulaire supérieure, donc trigonalisable, et pourtant non diagonalisable : $\chi = (X-1)^2$ et $\dim E_1 = 2 - \operatorname{rg}\begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{psmallmatrix} = 1 < 2 = m(1)$. La trigonalisabilité est bien la notion la plus large.

Exemple — Une trigonalisation exhibée

Pour $M = \begin{psmallmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{psmallmatrix}$, prenons $P = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{psmallmatrix}$ ; un calcul direct donne $P^{-1}MP = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{psmallmatrix}$, triangulaire supérieure. Donc $M$ est trigonalisable, de valeur propre unique $1$. Ici la matrice trigonalisante $P$ est donnée et la similitude seulement vérifiée — trouver un tel $P$ n'est pas un objectif du programme (voir sous-section 4.2).

Compétences à pratiquer

Identifier un endomorphisme trigonalisable

IV.2 Caractérisation par le polynôme caractéristique

La trigonalisabilité possède un critère unique et net : elle a lieu exactement lorsque le polynôme caractéristique est scindé. Un sens est immédiat — une matrice triangulaire a un polynôme caractéristique scindé, ses coefficients diagonaux en étant les racines. La réciproque est admise à ce niveau. Le critère a une conséquence immédiate sur $\mathbb{C}$, et il fixe la trace et le déterminant en fonction des valeurs propres.

Signaler une erreur

Théorème — Trigonalisable par un polynôme caractéristique scindé

Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ d'un espace de dimension finie est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$. De façon équivalente, une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_M$ est scindé. (L'implication réciproque est admise — voir la démonstration.)

Preuve

Un sens est direct. Si $u$ est trigonalisable, prenons une base dans laquelle sa matrice $T$ est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux $t_1, \dots, t_n$. Alors $XI_n - T$ est encore triangulaire supérieure, de diagonale $X - t_1, \dots, X - t_n$, donc $\chi_u = \det(XI_n - T) = \prod_{i=1}^n (X - t_i)$ est un produit de facteurs de degré un sur $\mathbb{K}$ — c'est-à-dire que $\chi_u$ est scindé. La réciproque — un polynôme caractéristique scindé force l'existence d'une base de trigonalisation — est admise : sa démonstration n'est pas exigible à ce niveau.

Proposition — Trigonalisabilité sur les complexes

Toute matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, puisque $\chi_M$ est toujours scindé sur $\mathbb{C}$. Une matrice réelle $M$ est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ exactement lorsque $\chi_M$ est scindé sur $\mathbb{R}$ ; lorsqu'il ne l'est pas — par exemple la matrice d'une rotation plane d'angle $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$, dont le $\chi$ n'a aucune racine réelle — $M$ reste trigonalisable une fois lue dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

Preuve

Pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, le polynôme $\chi_M$ est de degré $n$ et, par d'Alembert-Gauss (rappelé de Polynômes), scindé sur $\mathbb{C}$ ; le théorème rend alors $M$ trigonalisable sur $\mathbb{C}$. Pour une matrice réelle $M$, le théorème appliqué avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ donne la trigonalisabilité sur $\mathbb{R}$ exactement lorsque $\chi_M$ est scindé sur $\mathbb{R}$ ; à défaut, lire $M$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ramène au cas complexe.

La pratique de la trigonalisation n'est pas un objectif du programme. Le théorème est utilisé comme outil structurel — il garantit qu'une forme triangulaire existe — mais la recherche explicite d'une base de trigonalisation n'est pas exigée. Les exercices ne font jamais que vérifier une forme triangulaire qui leur est fournie.

Signaler une erreur

Proposition — Trace et déterminant d'un endomorphisme trigonalisable

Si $u$ est trigonalisable sur $\mathbb{K}$, alors $\operatorname{tr}(u)$ est la somme et $\det(u)$ le produit des valeurs propres de $u$, chacune comptée avec sa multiplicité.

Preuve

Trigonalisons $u$ : dans une base convenable sa matrice est triangulaire supérieure, $T$, de coefficients diagonaux $d_1, \dots, d_n$. La diagonale d'une matrice triangulaire porte ses valeurs propres, chaque $\lambda$ apparaissant $m(\lambda)$ fois puisque $\chi_T = \prod_i (X - d_i)$. Trace et déterminant sont des invariants de similitude, donc $\operatorname{tr}(u) = \operatorname{tr}(T) = \sum_i d_i$ et $\det(u) = \det(T) = \prod_i d_i$ — la somme et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité.

Extension à tout endomorphisme

Plus généralement, pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$, la trace et le déterminant sont la somme et le produit des racines de $\chi_u$ dans $\mathbb{C}$, comptées avec multiplicité. Cela ne demande aucun théorème nouveau : $\chi_u = X^n - \operatorname{tr}(u)X^{n-1} + \dots + (-1)^n\det(u)$ d'après le section 2, et $\chi_u$ se factorise sur $\mathbb{C}$ en $\prod_{i=1}^n (X - \lambda_i)$ par d'Alembert-Gauss ; en identifiant les coefficients de $X^{n-1}$ et le terme constant, on lit $\operatorname{tr}(u) = \sum_i \lambda_i$ et $\det(u) = \prod_i \lambda_i$. Lorsque $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ces racines sont exactement les valeurs propres ; sur un sous-corps strict, les racines non dans $\mathbb{K}$ ne sont pas des valeurs propres de $u$.

Signaler une erreur

Exemple — Lire trace et déterminant sur les valeurs propres

Soit $M$ trigonalisable sur $\mathbb{K}$, avec $T = P^{-1}MP$ triangulaire supérieure de diagonale $(\lambda_i)$ — les valeurs propres comptées avec multiplicité (donc $M = PTP^{-1}$). Alors $\operatorname{tr}(M) = \sum_i \lambda_i$ et $\det(M) = \prod_i \lambda_i$. De plus $M^k = P\,T^k P^{-1}$ avec $T^k$ triangulaire supérieure de diagonale $(\lambda_i^k)$, donc pour tout entier $k \ge 1$, $$ \operatorname{tr}(M^k) = \operatorname{tr}(T^k) = \sum_i \lambda_i^k, $$ par invariance de la trace par similitude. Une matrice de valeurs propres $1, 2, 2$ a ainsi $\operatorname{tr}(M) = 5$, $\det(M) = 4$ et $\operatorname{tr}(M^2) = 1 + 4 + 4 = 9$.

Méthode — Exploiter un polynôme caractéristique scindé

Lorsque $\chi_u$ est scindé — toujours le cas sur $\mathbb{C}$ — $u$ est trigonalisable, et l'on peut raisonner comme si sa matrice était triangulaire supérieure sans même calculer de base de trigonalisation. S'en servir pour lire $\operatorname{tr}(u)$ et $\det(u)$ comme somme et produit des valeurs propres comptées avec multiplicité, pour calculer $\operatorname{tr}(u^k) = \sum \lambda_i^k$ pour $k \ge 1$ (même convention de multiplicité), et pour borner ou localiser le spectre. La forme triangulaire est invoquée pour ce qu'elle garantit, jamais recherchée explicitement.

Pour aller plus loin

Les quatre sections de ce chapitre ont construit une unique voie géométrique de la réduction : éléments propres, polynôme caractéristique, diagonalisabilité et trigonalisabilité. La synthèse qu'elles permettent est opérationnelle. Lorsque $u$ est diagonalisable, écrire $M = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale rend immédiat le calcul de toute puissance, $M^k = PD^kP^{-1}$, de sorte qu'on calcule $M^k$ sous forme close et qu'on résout une suite récurrente linéaire $x_{n+1} = u(x_n)$ en lisant les valeurs propres. Lorsque $u$ est seulement trigonalisable, la réduction est structurale plutôt que calculatoire : une forme triangulaire existe et permet de lire la trace comme somme et le déterminant comme produit des valeurs propres comptées avec multiplicité, mais aucune technique de trigonalisation effective n'est requise à ce niveau. Les formes réduites obtenues ici reparaîtront dans les chapitres d'analyse, où la même diagonalisation intègre les systèmes différentiels linéaires $X' = AX$. Les chapitres suivants — sur les espaces euclidiens, les isométries et les matrices symétriques réelles — reviennent à la réduction dans un cadre géométrique, où une base orthonormée de vecteurs propres rend les endomorphismes symétriques du programme toujours diagonalisables.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Exploiter un polynôme caractéristique scindé

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Applications de la réduction
Synthèse de niveau concours