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Matrices symétriques réelles et théorème spectral

⌚ ~51 min ▢ 6 blocs ✓ 27 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Réduction, éléments propres et diagonalisation, Espaces préhilbertiens et euclidiens

Ce chapitre étudie les matrices symétriques réelles — les matrices $A$ égales à leur transposée, $A^\mathsf{T} = A$ — et la façon remarquable dont elles se réduisent. Tout se passe sur $\mathbb{R}^n$ muni de son produit scalaire canonique $\langle X, Y\rangle = X^\mathsf{T} Y$, pour lequel la base canonique est orthonormée ; on note $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ les matrices orthogonales ($P^\mathsf{T} P = I_n$), rappelées d'Isométries d'un espace euclidien, et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ les matrices carrées de taille $n$.
Le chapitre comporte trois étapes. (1) L'espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ des matrices symétriques réelles, sa lecture par le produit scalaire $\langle A X, Y\rangle = \langle X, A Y\rangle$, et la stabilité d'un supplémentaire orthogonal par une matrice symétrique. (2) Le théorème spectral : une matrice symétrique réelle n'a que des valeurs propres réelles, ses sous-espaces propres pour des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, et — le résultat phare — toute matrice symétrique réelle est diagonalisable orthogonalement : il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^\mathsf{T} A P = P^{-1} A P$ soit diagonale. (3) Les matrices symétriques positives et définies positives, celles pour lesquelles le nombre $X^\mathsf{T} A X$ est toujours positif (resp. reste $> 0$ hors de l'origine), lues sur le spectre.
Tout au long, la géométrie est mise en avant : la base propre orthonormée donne les axes principaux le long desquels $A$ agit par simples dilatations, et une matrice $A$ définie positive a des lignes de niveau elliptiques $X^\mathsf{T} A X = c$. Les techniques de réduction de Réduction, éléments propres et diagonalisation et les outils de produit scalaire de Espaces préhilbertiens et euclidiens sont utilisés tout au long.

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I Matrices symétriques réelles

I.1 L'espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et le critère matriciel

Une matrice symétrique réelle est une matrice dont les coefficients sont en miroir par rapport à la diagonale principale. Tout le chapitre repose sur une seule lecture par le produit scalaire de cette symétrie : une matrice symétrique peut être déplacée d'un argument du produit scalaire canonique à l'autre sans changer la valeur.

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Définition — Matrice symétrique

Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est symétrique lorsque $M^\mathsf{T} = M$. L'ensemble des matrices symétriques de taille $n$ se note $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.

Exemple — Lire la symétrie sur une matrice

La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ est symétrique : elle est égale à sa transposée, les coefficients étant en miroir par rapport à la diagonale. La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ n'est pas symétrique, puisque le coefficient $(1,2)$ valant $4$ diffère du coefficient $(2,1)$ valant $0$. La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ n'est pas symétrique non plus ; elle est antisymétrique ($M^\mathsf{T} = -M$).

Proposition — L'espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$

$\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, de dimension $\textcolor{colorprop}{\dfrac{n(n+1)}{2}}$.

Preuve

La matrice nulle est symétrique, et pour $A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, la transposition étant linéaire donne $(\lambda A + \mu B)^\mathsf{T} = \lambda A^\mathsf{T} + \mu B^\mathsf{T} = \lambda A + \mu B$, donc $\lambda A + \mu B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ : c'est un sous-espace.
Une matrice symétrique est déterminée par sa diagonale et son triangle supérieur strict. Les matrices $E_{ii}$ (pour $1 \leq i \leq n$) ainsi que $E_{ij} + E_{ji}$ (pour $1 \leq i < j \leq n$), où $E_{ij}$ est la matrice avec un seul $1$ en position $(i,j)$, forment une base de $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Elle a $n + \dfrac{n(n-1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}$ éléments.

Proposition — Critère par le produit scalaire

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $A$ est symétrique si et seulement si $$ \textcolor{colorprop}{\langle A X, Y\rangle = \langle X, A Y\rangle \quad \text{pour tous } X, Y \in \mathbb{R}^n,} $$ où $\langle X, Y\rangle = X^\mathsf{T} Y$ est le produit scalaire canonique.

Preuve

Pour tous $X, Y \in \mathbb{R}^n$, $\langle A X, Y\rangle = (A X)^\mathsf{T} Y = X^\mathsf{T} A^\mathsf{T} Y$, tandis que $\langle X, A Y\rangle = X^\mathsf{T} A Y$.
Si $A$ est symétrique, $A^\mathsf{T} = A$ et les deux sont égaux. Réciproquement, si $X^\mathsf{T} A^\mathsf{T} Y = X^\mathsf{T} A Y$ pour tous $X, Y$, alors $X^\mathsf{T} (A^\mathsf{T} - A) Y = 0$ pour tous $X, Y$ ; en prenant $X = E_i$ et $Y = E_j$ (colonnes de la base canonique) on lit le coefficient $(i,j)$ de $A^\mathsf{T} - A$, qui est donc $0$ pour tous $i, j$. Donc $A^\mathsf{T} = A$.

Exemple — Matrices de projections et symétries orthogonales

Dans une base orthonormée, la matrice d'une projection orthogonale ou d'une symétrie orthogonale est symétrique. Soit $P$ la matrice (dans la base canonique) de la projection orthogonale sur un sous-espace $F$. Pour $X, Y \in \mathbb{R}^n$, décomposons $X = X_F + X_\perp$ et $Y = Y_F + Y_\perp$ selon $\mathbb{R}^n = F \oplus F^\perp$ ; alors $P X = X_F$ et $P Y = Y_F$, donc $\langle P X, Y\rangle = \langle X_F, Y_F\rangle = \langle X, P Y\rangle$. Par le critère par le produit scalaire $P$ est symétrique. La symétrie orthogonale par rapport à $F$ a pour matrice $S = 2P - I_n$, elle aussi symétrique ($S^\mathsf{T} = 2P^\mathsf{T} - I_n = 2P - I_n = S$). Le mot orthogonale est essentiel : une projection oblique (parallèle à un supplémentaire autre que $F^\perp$) a une matrice non symétrique.

Méthode — Reconnaître et construire des matrices symétriques

Pour tester si $A$ est symétrique, vérifier $A^\mathsf{T} = A$ coefficient par coefficient (miroir par rapport à la diagonale) — c'est plus rapide que le critère par le produit scalaire, qui est l'outil des démonstrations. Pour construire une matrice symétrique : toute matrice de la forme $B^\mathsf{T} B$ ou $B + B^\mathsf{T}$ est symétrique, puisque $(B^\mathsf{T} B)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T} B$ et $(B + B^\mathsf{T})^\mathsf{T} = B + B^\mathsf{T}$. En particulier $U U^\mathsf{T}$ est symétrique pour toute colonne $U$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une matrice symétrique

I.2 Sous-espaces stables par une matrice symétrique

Une matrice symétrique interagit proprement avec l'orthogonalité : si un sous-espace est stable par $A$ (c'est-à-dire que $A$ l'envoie dans lui-même), alors son supplémentaire orthogonal est aussi stable. Itérer cette remarque est précisément le moteur du théorème spectral de la section suivante.

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Proposition — Stabilité du supplémentaire orthogonal

Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $F$ un sous-espace de $\mathbb{R}^n$ stable par $A$ (c'est-à-dire $A X \in F$ pour tout $X \in F$). Alors $F^\perp$ est aussi stable par $A$.

Preuve

Soit $Y \in F^\perp$ ; montrons $A Y \in F^\perp$, c'est-à-dire $\langle A Y, X\rangle = 0$ pour tout $X \in F$. Par le critère par le produit scalaire ($A$ symétrique), $$ \langle A Y, X\rangle = \langle Y, A X\rangle. $$ Or $F$ est stable, donc $A X \in F$ ; et $Y \in F^\perp$ est orthogonal à tout vecteur de $F$, en particulier à $A X$. D'où $\langle A Y, X\rangle = 0$ pour tout $X \in F$, c'est-à-dire $A Y \in F^\perp$.

Pour une matrice symétrique, un sous-espace stable $F$ entraîne son orthogonal $F^\perp$ : les deux sont stables, et l'étude de $A$ se scinde selon la décomposition orthogonale $\mathbb{R}^n = F \oplus F^\perp$.

La décomposition orthogonale $\mathbb{R}^n = F \oplus F^\perp$ est respectée par $A$.

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Compétences à pratiquer

Utiliser la stabilité du supplémentaire orthogonal

II Le théorème spectral

II.1 Valeurs propres réelles et sous-espaces propres orthogonaux

Deux faits préparent le théorème spectral : une matrice symétrique réelle n'a que des valeurs propres réelles, et ses sous-espaces propres pour des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Les notions de valeur propre et de sous-espace propre sont celles de Réduction, éléments propres et diagonalisation, appliquées ici à une matrice symétrique.

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Proposition — Valeurs propres réelles

Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Alors le polynôme caractéristique $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{R}$ : toutes ses racines sont réelles. En particulier toute valeur propre de $A$ est réelle, et $A$ admet au moins une valeur propre (réelle).

Preuve

Dimension $2$. Une matrice symétrique $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $X^2 - (a+c)X + (ac - b^2)$, de discriminant $(a+c)^2 - 4(ac - b^2) = (a - c)^2 + 4b^2 \geq 0$. Les deux racines sont donc réelles.
Cas général : admise (hors programme). On admet que $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{R}$ pour toute $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Idée (ce n'est pas une démonstration complète). Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une racine complexe quelconque de $\chi_A$ (il en existe au moins une par d'Alembert–Gauss), avec un vecteur propre complexe $X \in \mathbb{C}^n$, $A X = \lambda X$, et la quantité de coordonnées $\overline{X}^\mathsf{T} X = \sum_i |x_i|^2 > 0$ ; en comparant $\overline{X}^\mathsf{T} A X$ calculé de deux façons on force $\lambda = \overline{\lambda}$, donc $\lambda$ est réelle. Comme ceci vaut pour toute racine complexe, $\chi_A$ n'a que des racines réelles, c'est-à-dire qu'il est scindé sur $\mathbb{R}$. Cet argument est hors du programme à ce niveau (c'est un calcul de coordonnées dans $\mathbb{C}^n$ ; aucune structure de produit scalaire hermitien, elle-même hors programme, n'est requise).

Exemple — Le cas $2 \times 2$

Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, le discriminant de $\chi_A$ est $(2-2)^2 + 4 \cdot 1^2 = 4 > 0$, donc les deux valeurs propres sont réelles : $\chi_A = X^2 - 4X + 3 = (X-1)(X-3)$, donnant $1$ et $3$. Plus généralement, pour $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ le discriminant $(a-c)^2 + 4b^2$ s'annule exactement lorsque $a = c$ et $b = 0$, c'est-à-dire lorsque la matrice est $a I_2$ — les seules matrices symétriques $2 \times 2$ ayant une valeur propre double.

Proposition — Sous-espaces propres orthogonaux

Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\lambda \neq \mu$ deux valeurs propres de $A$. Alors les sous-espaces propres $E_\lambda(A)$ et $E_\mu(A)$ sont orthogonaux.

Preuve

Prenons $X \in E_\lambda(A)$ et $Y \in E_\mu(A)$. Par le critère par le produit scalaire ($A$ symétrique), $\langle A X, Y\rangle = \langle X, A Y\rangle$, soit $\langle \lambda X, Y\rangle = \langle X, \mu Y\rangle$, d'où $\lambda \langle X, Y\rangle = \mu \langle X, Y\rangle$. Donc $(\lambda - \mu)\langle X, Y\rangle = 0$, et comme $\lambda \neq \mu$ on obtient $\langle X, Y\rangle = 0$. Tout vecteur de $E_\lambda(A)$ est ainsi orthogonal à tout vecteur de $E_\mu(A)$.

Exemple — Droites propres orthogonales

La matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $1$ et $3$, de vecteurs propres $(1, -1)$ et $(1, 1)$. Les deux vecteurs propres vérifient $\langle (1,-1), (1,1)\rangle = 1 - 1 = 0$ : les droites propres sont orthogonales, comme l'assure la Proposition.

Méthode — Localiser les valeurs propres et tester l'orthogonalité

Pour une matrice symétrique réelle, les valeurs propres sont les racines de $\chi_A$ et elles sont toutes réelles — aucune racine complexe à écarter. Une fois connus des vecteurs propres de valeurs propres distinctes, leur orthogonalité est automatique ; elle sert de vérification numérique d'un calcul (deux vecteurs propres calculés de valeurs propres distinctes qui ne sont pas orthogonaux signalent une erreur).

Lorsqu'une matrice symétrique réelle d'ordre $2$ a deux valeurs propres distinctes, ses deux droites propres se coupent à angle droit.

Pour des valeurs propres distinctes $\lambda \neq \mu$, les sous-espaces propres $E_\lambda(A)$ et $E_\mu(A)$ sont orthogonaux.

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Compétences à pratiquer

Tester la réalité et l'orthogonalité

II.2 Diagonalisation orthogonale

Nous arrivons au résultat phare : une matrice symétrique réelle n'est pas seulement diagonalisable, elle est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres — de façon équivalente, elle est diagonalisable orthogonalement, par une matrice de passage orthogonale. Comme la réalité des valeurs propres, ce théorème est admis à ce niveau (sa démonstration est hors du programme) ; on en note l'idée mais on utilise le résultat librement.

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Théorème — Théorème spectral

Toute matrice symétrique réelle $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable orthogonalement : il existe une matrice orthogonale $P \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale réelle $D$ telles que $$ A = P D P^\mathsf{T} = P D P^{-1} \qquad (\star) $$ De façon équivalente, $\mathbb{R}^n$ est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de $A$, et il existe une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ formée de vecteurs propres de $A$. Les colonnes de $P$ forment une telle base propre orthonormée, et les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres correspondantes.

Preuve

Admise (hors programme). Idée de l'argument (ce n'est pas une démonstration complète). On retire un sous-espace propre à la fois : $A$ a une valeur propre réelle $\lambda$ (valeurs propres réelles), le sous-espace propre $E_\lambda(A)$ est stable, donc $E_\lambda(A)^\perp$ est stable aussi (stabilité du supplémentaire orthogonal) ; la restriction de $A$ à $E_\lambda(A)^\perp$ est de nouveau représentée, dans une base orthonormée de ce sous-espace, par une matrice symétrique, donc la même étude se répète par récurrence sur la dimension jusqu'à épuiser $\mathbb{R}^n$. En concaténant des bases orthonormées des sous-espaces propres on obtient la base propre orthonormée. La récurrence complète est hors du programme à ce niveau.

Exemple — Diagonaliser orthogonalement une matrice $3 \times 3$

Prenons $A = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_3(\mathbb{R})$. Son polynôme caractéristique est $\chi_A = (X - 3)(X - 6)(X - 9)$ (on peut lire $\operatorname{tr}(A) = 18 = 3+6+9$ et $\det(A) = 162 = 3 \cdot 6 \cdot 9$ en vérification), donc $\operatorname{Sp}(A) = \{3, 6, 9\}$. La résolution de $(A - 3 I_3) X = 0$ donne le vecteur propre $(2, 2, -1)$ pour $3$ ; de même $(1, -2, -2)$ pour $6$ et $(2, -1, 2)$ pour $9$. On vérifie $\langle (2,2,-1), (1,-2,-2)\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$, et de même pour les deux autres paires : les vecteurs propres sont deux à deux orthogonaux, comme l'assure le théorème spectral. Chacun est de norme $3$, donc les vecteurs propres unitaires sont $\tfrac13(2,2,-1)$, $\tfrac13(1,-2,-2)$, $\tfrac13(2,-1,2)$. Avec $$ P = \frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_3(\mathbb{R}), \qquad P^\mathsf{T} A P = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}. $$

Exemple — Une valeur propre multiple

La matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ a $\chi_A = (X - 1)^2(X - 4)$ : la valeur propre $1$ est de multiplicité $2$, de plan propre $E_1(A) = \{x + y + z = 0\}$, et $E_4(A) = \operatorname{Vect}(1,1,1)$. La droite $E_4(A)$ est automatiquement orthogonale au plan $E_1(A)$. À l'intérieur de $E_1(A)$, la base $(-1,1,0), (-1,0,1)$ n'est pas orthogonale ; Gram–Schmidt produit $(-1,1,0)$ et $\tfrac12(-1,-1,2)$. En normant les trois vecteurs on obtient une base propre orthonormée, et en les empilant en colonnes on obtient $P \in \mathrm{O}_3(\mathbb{R})$ avec $P^\mathsf{T} A P = \operatorname{diag}(1,1,4)$.

Méthode — Diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique

Étant donné $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ : calculer les valeurs propres à partir de $\chi_A$ (toutes réelles). Pour chaque valeur propre, trouver une base du sous-espace propre et l'orthonormaliser par Gram–Schmidt — nécessaire seulement à l'intérieur d'un sous-espace propre de multiplicité $\geq 2$, les sous-espaces propres de valeurs propres distinctes étant déjà orthogonaux. En empilant ces vecteurs propres orthonormés en colonnes, on obtient $P \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ avec $P^\mathsf{T} A P = P^{-1} A P$ diagonale. Une vérification utile : $P^\mathsf{T} P = I_n$, c'est-à-dire les colonnes sont orthonormées.

La base propre orthonormée d'une matrice symétrique donne les axes principaux : le long de ceux-ci $A$ agit par simples dilatations $\lambda_i$.

Dans la base propre orthonormée $(C_1, \dots, C_n)$ (les colonnes de $P$), la matrice $A$ agit comme la dilatation diagonale $C_i \mapsto \lambda_i C_i$.

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Compétences à pratiquer

Diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique

III Matrices symétriques positives et définies positives

III.1 Matrices positives et définies positives

Parmi les matrices symétriques, celles pour lesquelles le nombre $X^\mathsf{T} A X$ est toujours positif méritent un nom. Ce sont les positives, et — lorsque le nombre est de plus strictement positif hors de l'origine — les définies positives.

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Définition — Matrices symétriques positives et définies positives

Une matrice $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est positive lorsque $X^\mathsf{T} A X \geq 0$ pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, et définie positive lorsque $X^\mathsf{T} A X > 0$ pour tout $X \neq 0$. Leurs ensembles se notent $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. L'hypothèse de symétrie fait partie de la définition : positive et définie positive sont réservées aux matrices symétriques.

Exemple — Trois petits exemples

L'identité $I_n$ est définie positive : $X^\mathsf{T} I_n X = \|X\|^2 > 0$ pour $X \neq 0$. Plus généralement $\lambda I_n \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ pour $\lambda > 0$ et $\lambda I_n \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ pour $\lambda \geq 0$. La matrice $A = U U^\mathsf{T}$ pour une colonne $U$ non nulle est positive : $X^\mathsf{T} U U^\mathsf{T} X = (U^\mathsf{T} X)^2 \geq 0$ ; elle n'est pas définie positive dès que $n \geq 2$ (elle s'annule sur $U^\perp$). La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est symétrique mais pas positive : pour $X = (1, -1)$, $X^\mathsf{T} A X = 1 - 4 + 1 = -2 < 0$.

Méthode — Tester la positivité par la forme quadratique

Pour décider directement si une matrice symétrique $A$ est positive, étudier le signe de la forme quadratique $X \mapsto X^\mathsf{T} A X$ : positive lorsque ce nombre est $\geq 0$ partout, définie positive lorsqu'il est $> 0$ hors de l'origine. Pour montrer que $A$ n'est pas positive, il suffit d'exhiber un $X$ avec $X^\mathsf{T} A X < 0$. Pour une décision propre la caractérisation spectrale de la sous-section suivante est en général plus rapide, mais le test direct par la forme quadratique est la définition et le premier réflexe le plus sûr.

Pour $A$ définie positive et $c > 0$, les lignes de niveau $X^\mathsf{T} A X = c$ sont emboîtées autour de l'origine, d'axes les vecteurs propres de $A$ : des ellipses en dimension $2$, des ellipsoïdes en dimension $\geq 3$ (en dimension $1$ elles dégénèrent en les deux points $\pm\sqrt{c/a}$). (La forme elliptique bornée est propre au cas défini positif : pour une matrice seulement positive les lignes de niveau peuvent être non bornées ou dégénérées.)

La forme quadratique $X \mapsto X^\mathsf{T} A X$ d'une matrice définie positive a des lignes de niveau elliptiques.

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Compétences à pratiquer

Reconnaître une matrice positive ou définie positive

III.2 La caractérisation spectrale de la positivité

Le théorème spectral transforme la positivité en une condition sur le spectre : une matrice symétrique est positive exactement lorsque ses valeurs propres sont $\geq 0$, et définie positive exactement lorsqu'elles sont $> 0$.

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Proposition — Caractérisation spectrale de la positivité

Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Alors $$ A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) \iff \textcolor{colorprop}{\operatorname{Sp}(A) \subset \mathbb{R}_+}, \qquad A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \iff \textcolor{colorprop}{\operatorname{Sp}(A) \subset \mathbb{R}_+^*}. $$

Preuve

Supposons $A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et soit $\lambda$ une valeur propre, $A X = \lambda X$ avec $X \neq 0$. Alors $0 \leq X^\mathsf{T} A X = \lambda X^\mathsf{T} X = \lambda \|X\|^2$, donc $\lambda \geq 0$.
Réciproquement, supposons $\operatorname{Sp}(A) \subset \mathbb{R}_+$. Par le théorème spectral il existe une base propre orthonormée $(C_1, \dots, C_n)$ avec $A C_i = \lambda_i C_i$ et chaque $\lambda_i \geq 0$. En écrivant $X = \sum_i y_i C_i$, la base étant orthonormée donne $X^\mathsf{T} A X = \sum_i \lambda_i y_i^2 \geq 0$, donc $A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.
Pour la version stricte : si $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ le même premier pas donne $\lambda \|X\|^2 > 0$, donc $\lambda > 0$. Réciproquement si tout $\lambda_i > 0$, alors pour $X \neq 0$ un $y_i \neq 0$ et $X^\mathsf{T} A X = \sum_i \lambda_i y_i^2 > 0$.

Exemple — Décider la positivité sur les valeurs propres

La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $1$ et $3$, toutes deux $> 0$, est dans $\mathcal{S}_2^{++}(\mathbb{R})$. La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $0$ et $2$, est dans $\mathcal{S}_2^+(\mathbb{R})$ mais pas dans $\mathcal{S}_2^{++}(\mathbb{R})$. La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $-1$ et $3$, n'est dans aucun des deux.

Exemple — Matrices symétriques définies positives et produits scalaires

Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. La forme bilinéaire $(X, Y) \mapsto X^\mathsf{T} A Y$ sur $\mathbb{R}^n$ est symétrique (car $A$ l'est). C'est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$ si et seulement si elle est définie positive, soit $X^\mathsf{T} A X > 0$ pour $X \neq 0$ — exactement la condition $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Les matrices symétriques définies positives sont donc précisément les matrices qui définissent un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$.

Méthode — Utiliser la caractérisation spectrale

Pour décider la positivité, calculer le spectre : $A$ est positive ssi toutes les valeurs propres sont $\geq 0$, définie positive ssi toutes sont $> 0$ — en général plus rapide que de manier $X^\mathsf{T} A X$ directement. Pour une matrice symétrique $2 \times 2$, la trace et le déterminant suffisent : $A$ est définie positive ssi $\operatorname{tr}(A) > 0$ et $\det(A) > 0$ (le produit et la somme des deux valeurs propres réelles sont alors tous deux $> 0$). La matrice hessienne d'une fonction lisse de plusieurs variables en un point critique est symétrique, et sa positivité gouverne la classification des extrema locaux — un lien développé dans Calcul différentiel.

Les matrices symétriques définies positives sont à l'intérieur des positives, elles-mêmes à l'intérieur des symétriques.

Les inclusions strictes sont $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) \subset \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Au sein de $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ — où le spectre est déjà réel — l'appartenance aux deux ensembles intérieurs se lit sur le spectre : $A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ ssi $\operatorname{Sp}(A) \subset \mathbb{R}_+$, et $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ssi $\operatorname{Sp}(A) \subset \mathbb{R}_+^*$.

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Compétences à pratiquer

Pour aller plus loin