Déterminants

• Deux colonnes égales. Supposons \(C_i = C_j\) avec \(i \neq j\). Échanger les colonnes \(i\) et \(j\) redonne exactement la même matrice \(A\) (les deux colonnes échangées sont égales), donc son déterminant vaut encore \(\det(A)\) ; mais par antisymétrie (ii) cet échange multiplie aussi le déterminant par \(-1\). En égalant les deux lectures, \(\det(A) = -\det(A)\), d'où \(2\det(A) = 0\), et comme \(\mathbb{K}\) vaut \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) (donc \(2 \neq 0\)), \(\det(A) = 0\).
• Une colonne nulle. Si \(C_i = 0\), on écrit \(C_i = 0 \cdot C_i\) et on utilise la linéarité dans la colonne \(i\) (propriété (i)) : \(\det(A) = 0 \cdot \det(A) = 0\).

On prouve la formule de taille \(2\) à partir des axiomes ; la règle de Sarrus en taille \(3\) s'obtient par le même développement par colonnes (six termes survivants au lieu de deux) et est admise ici. On écrit les deux colonnes sur la base canonique \((E_1, E_2)\) de \(\mathbb{K}^2\) : \(C_1 = a E_1 + c E_2\) et \(C_2 = b E_1 + d E_2\). On développe par linéarité dans chaque colonne (propriété (i)) : $$ \begin{aligned} \det(C_1, C_2) &= \det(a E_1 + c E_2,\; b E_1 + d E_2) \\ &= ab\,\det(E_1, E_1) + ad\,\det(E_1, E_2) \\ &\quad + cb\,\det(E_2, E_1) + cd\,\det(E_2, E_2) && \text{(bilinéarité)} \\ &= ad\,\det(E_1, E_2) + cb\,\det(E_2, E_1) && \text{(\(\det(E_1,E_1) = \det(E_2,E_2) = 0\))} \\ &= ad\,\det(E_1, E_2) - cb\,\det(E_1, E_2) && \text{(antisymétrie)} \\ &= (ad - bc)\,\det(I_2) = ad - bc && \text{(\(\det(I_2) = 1\)).} \end{aligned} $$

• Échange. C'est exactement l'antisymétrie, propriété (ii).
• Dilatation. Par linéarité dans la colonne \(i\) (propriété (i)), \(\det(\dots, \lambda C_i, \dots) = \lambda \det(\dots, C_i, \dots) = \lambda \det(A)\).
• Transvection. Par linéarité dans la colonne \(i\), $$ \begin{aligned} \det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots, C_j, \dots) &= \det(\dots, C_i, \dots, C_j, \dots) + \lambda \det(\dots, C_j, \dots, C_j, \dots) && \text{(linéarité en colonne \(i\))} \\ &= \det(A) + \lambda \cdot 0 && \text{(deux colonnes égales \(C_j\))} \\ &= \det(A). \end{aligned} $$

La matrice \(\lambda A\) a pour colonnes \((\lambda C_1, \dots, \lambda C_n)\). En factorisant \(\lambda\) de chacune des \(n\) colonnes par linéarité (propriété (i)), on obtient un facteur \(\lambda\) par colonne, d'où \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)\).

On traite le cas triangulaire supérieur par récurrence sur \(n\), en n'utilisant que les propriétés (i)–(iii). Pour le cas de base \(n = 1\), l'unique colonne est \(a_{11} E_1\), donc par linéarité et \(\det(I_1) = \det\big((1)\big) = 1\), \(\det\big((a_{11})\big) = a_{11} \det\big((1)\big) = a_{11}\). Soit \(A = (C_1, \dots, C_n)\) triangulaire supérieure de taille \(n \geq 2\), de colonnes dans la base canonique \(\mathcal{B}_n = (E_1, \dots, E_n)\) de \(\mathbb{K}^n\). Comme \(A\) est triangulaire supérieure, la première colonne est \(C_1 = a_{11} E_1\), et chaque colonne suivante \(C_j\) (\(j \geq 2\)) s'écrit \(C_j = a_{1j} E_1 + C_j'\) avec \(C_j' = \sum_{2 \leq i \leq j} a_{ij} E_i \in \mathrm{span}(E_2, \dots, E_n)\). On factorise d'abord \(a_{11}\) de la colonne \(1\) par linéarité (propriété (i)) : $$ \det(A) = \det(a_{11} E_1, C_2, \dots, C_n) = a_{11}\, \det(E_1, C_2, \dots, C_n). $$ Ensuite, pour chaque \(j \geq 2\), on effectue la transvection \(C_j \leftarrow C_j - a_{1j} C_1\) (après factorisation, la première variable contient maintenant \(C_1 = E_1\), donc ceci retranche \(a_{1j} E_1\) à la colonne \(j\)) : chaque telle transvection laisse le déterminant inchangé et change \(C_j\) en \(C_j'\). D'où $$ \det(A) = a_{11}\, \det(E_1, C_2', \dots, C_n'). $$ Toutes les colonnes \(C_2', \dots, C_n'\) vivent maintenant dans \(\mathrm{span}(E_2, \dots, E_n)\), tandis que la première colonne est exactement \(E_1\). En lisant les \(n-1\) vecteurs \(C_2', \dots, C_n'\) par leurs coordonnées sur \((E_2, \dots, E_n)\), notons \(B \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})\) la matrice \((n-1) \times (n-1)\) obtenue ; \(B\) est triangulaire supérieure de diagonale \((a_{22}, \dots, a_{nn})\). On affirme que \(\det(E_1, C_2', \dots, C_n') = \det(B)\). En effet, l'application \(\psi\) qui à une matrice \(M \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})\), de colonnes \(D_2, \dots, D_n\) lues sur \((E_2, \dots, E_n)\), associe \(\det(E_1, D_2, \dots, D_n)\) est linéaire par rapport à chaque colonne de \(M\) et antisymétrique (par les propriétés (i)–(ii) dans les variables \(2, \dots, n\)), et \(\psi(I_{n-1}) = \det(E_1, E_2, \dots, E_n) = \det(I_n) = 1\) ; par l'unicité du déterminant en taille \(n-1\), \(\psi = \det\) sur \(\mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})\). Donc, par l'hypothèse de récurrence appliquée à \(B\) triangulaire, \(\det(E_1, C_2', \dots, C_n') = \det(B) = a_{22} \cdots a_{nn}\). D'où \(\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\). Pour une matrice triangulaire inférieure, on mène la même récurrence par le bas : on factorise \(a_{nn}\) de la dernière colonne \(C_n = a_{nn} E_n\), on annule la composante en \(E_n\) des autres colonnes par transvections, et on raisonne sur le bloc de tête de taille \(n-1\) ; le produit diagonal est le même.

On réduit \(A\) en une matrice triangulaire \(T\) par opérations élémentaires sur les colonnes (le pivot de Gauss par colonnes amène toute matrice carrée sous forme triangulaire — résultat de première année). Chaque opération élémentaire sur les colonnes est la multiplication à droite de \(A\) par une matrice élémentaire inversible, donc elle préserve l'inversibilité : \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \iff T \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\). Chaque opération multiplie aussi le déterminant par un facteur non nul (\(-1\) pour un échange, \(\lambda \neq 0\) pour une dilatation, \(1\) pour une transvection), donc il existe un \(c \in \mathbb{K}\) non nul tel que \(\det(A) = c\,\det(T)\) ; en particulier \(\det(A) = 0 \iff \det(T) = 0\). Inversibilité d'une matrice triangulaire, par ses colonnes (sans déterminant). Une matrice triangulaire \(T\) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux \(t_{ii}\) sont non nuls. Prenons \(T = (C_1, \dots, C_n)\) triangulaire supérieure (le cas triangulaire inférieur est identique, lu de la première ligne vers le bas). Si tous les \(t_{ii} \neq 0\), supposons \(\sum_{j=1}^{n} \lambda_j C_j = 0\). La dernière ligne ne contient que le coefficient \(t_{nn}\) de \(C_n\) (toutes les colonnes précédentes ont un \(0\) sur la ligne \(n\)), donc l'équation de la ligne \(n\) s'écrit \(\lambda_n t_{nn} = 0\), d'où \(\lambda_n = 0\). Avec \(\lambda_n = 0\), l'équation de la ligne \(n-1\) s'écrit \(\lambda_{n-1} t_{n-1,n-1} = 0\), donc \(\lambda_{n-1} = 0\) ; en remontant les lignes, tout \(\lambda_j = 0\). Les colonnes sont libres, donc \(T\) est inversible. Réciproquement, si un \(t_{kk} = 0\), alors les \(k\) premières colonnes \(C_1, \dots, C_k\) appartiennent toutes à \(\mathrm{span}(E_1, \dots, E_{k-1})\) (leurs lignes \(k, k+1, \dots, n\) sont nulles), espace de dimension \(k-1 < k\), donc ces \(k\) colonnes sont liées et \(T\) n'est pas inversible. Liaison des deux. Par la Proposition du déterminant triangulaire, \(\det(T) = t_{11} \cdots t_{nn}\), donc « tous les \(t_{ii} \neq 0 » \iff \det(T) \neq 0\). En combinant, $$ A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \iff T \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \iff \text{tous les } t_{ii} \neq 0 \iff \det(T) \neq 0 \iff \det(A) \neq 0. $$ Comme \(A\) est inversible ssi ses colonnes sont libres, la contraposée s'écrit \(\det(A) = 0 \iff\) les colonnes sont liées.

• (i) Produit. Cette identité fait partie du cours et est utilisée librement ci-dessous ; seule sa démonstration n'est pas exigible, et on l'admet. (Idée, hors du cours : si \(A\) n'est pas inversible, \(AB\) ne l'est pas non plus, et les deux membres valent \(0\) ; si \(A\) est inversible, l'application \(M \mapsto \det(AM)/\det(A)\) est linéaire par rapport à chaque colonne de \(M\), antisymétrique, et vaut \(1\) en \(M = I_n\), donc par l'unicité du déterminant elle est égale à \(\det\), ce qui donne \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\).) Le produit général suit par récurrence.
• (ii) Inverse. De \(A A^{-1} = I_n\) et (i), \(\det(A)\det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1\), donc \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\). La multiplicativité donne ensuite \(\det(A^k) = \det(A)^k\) pour \(k \geq 0\), et la formule de l'inverse l'étend à \(k < 0\).
• (iii) Transposée. Cette identité fait elle aussi partie du cours ; sa démonstration n'est pas exigible, on l'admet donc. C'est précisément cette identité qui transfère aux lignes tout énoncé sur les colonnes : une opération sur les lignes de \(A\) est une opération sur les colonnes de \(A^\top\), de même effet sur \(\det(A^\top) = \det(A)\). En particulier les trois opérations élémentaires sur les lignes ont le même effet sur le déterminant que celles sur les colonnes, et le pivot peut s'exécuter sur les lignes.

La famille \(\mathcal{X}\) de \(n\) vecteurs de l'espace \(E\) de dimension \(n\) est une base si et seulement si elle est libre, si et seulement si la matrice \(M = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})\) a des colonnes libres, c'est-à-dire \(M\) inversible. Par le critère d'inversibilité, \(M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \iff \det(M) \neq 0\), soit \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) \neq 0\).

Par multiplicativité et la formule de l'inverse, $$ \det(P^{-1} A P) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \frac{1}{\det(P)}\det(A)\det(P) = \det(A). $$

On fixe une base \(\mathcal{B}\) et on note \(A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\), \(B = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(v)\) ; la matrice d'une composée est le produit matriciel et la matrice de \(\lambda u\) est \(\lambda A\). Chaque énoncé traduit alors la propriété matricielle correspondante.

• (0) \(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathrm{Id}_E) = I_n\), donc \(\det(\mathrm{Id}_E) = \det(I_n) = 1\).
• (i) \(\det(\lambda u) = \det(\lambda A) = \lambda^n \det(A) = \lambda^n \det(u)\).
• (ii) \(\det(u \circ v) = \det(AB) = \det(A)\det(B) = \det(u)\det(v)\).
• (iii) \(u\) est un automorphisme ssi \(A\) est inversible ssi \(\det(A) \neq 0\), soit \(\det(u) \neq 0\) ; et alors de \(u \circ u^{-1} = \mathrm{Id}_E\), \(\det(u)\det(u^{-1}) = 1\), donc \(\det(u^{-1}) = \det(u)^{-1}\).