Éducation Nationale Française · Troisième

Translations et vecteurs

⌚ ~154 min ▢ 17 blocs ✓ 71 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : La trigonométrie

I Les transformations

Définition — Symétrique d’un point

Le symétrique du point $M$ par rapport à la droite $\LineFr{d}$ est le point $M'$ tel que la droite $\LineFr{d}$ est la médiatrice du segment $\SegmentFr{MM'}$. (Si $M$ est sur $\LineFr{d}$, son symétrique est $M$ lui-même.)

Définition — Symétrie axiale

La symétrie axiale d’axe $\LineFr{d}$ correspond à un pliage le long de la droite $\LineFr{d}$ : on obtient l’image de l’objet, comme dans un miroir.

Définition — Symétrique d’un point

Le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$ (son image par le demi-tour autour de $O$) est le point $M'$ tel que $O$ est le milieu du segment $\SegmentFr{MM'}$. Autrement dit, $OM = OM'$ et les points $M$, $O$ et $M'$ sont alignés, $M$ et $M'$ étant de part et d'autre de $O$. (Si $M = O$, son symétrique est $O$ lui-même.)

Définition — Symétrie centrale

La symétrie centrale d’un objet par rapport au point $O$ est obtenue en construisant le symétrique de chacun de ses points par rapport à $O$. L’image a la même taille et la même forme que l’objet, mais elle est tournée de $180^\circ$ autour de $O$.

Définition — Translation qui transforme A en B

Étant donnés deux points distincts $A$ et $B$, la translation qui transforme $A$ en $B$ est le glissement qui amène $A$ sur $B$.
L'image $M'$ d'un point $M$ s'obtient en déplaçant $M$

selon la direction de la droite $(AB)$,
dans le sens de $A$ vers $B$,
de la longueur $AB$.

Proposition — Translation et parallélogramme

Si $M'$ est l'image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$, et si $M$ n'est pas sur la droite $(AB)$, alors $$\textcolor{colorprop}{ABM'M \text{ est un parallélogramme.}}$$ En effet, les segments $[AB]$ et $[MM']$ sont parallèles et de même longueur — d'après le critère du parallélogramme : deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur (et $ABM'M$ est non croisé : $M$ et $M'$ se suivent dans le même sens que $A$ et $B$).
(Si $M$ est sur la droite $(AB)$, les quatre points sont alignés : le parallélogramme est aplati.)

Méthode — Construire une image au compas

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ hors de la droite $(AB)$, par la translation qui transforme $A$ en $B$ (sans quadrillage), utiliser le parallélogramme $ABM'M$ :

Tracer un arc de cercle de centre $M$ et de rayon $AB$.
Tracer un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $AM$.
Le point $M'$ est à l'intersection des deux arcs située de l'autre côté de la droite $(MB)$ que $A$ — pour que $ABM'M$ soit non croisé.

(Si $M$ est sur la droite $(AB)$ : reporter simplement la longueur $AB$ sur la droite, dans le sens de $A$ vers $B$.)

Proposition — Propriétés de conservation

Une translation conserve les longueurs, les mesures d'angles, les périmètres et les aires : l'image d'une figure est une copie identique de la figure, glissée sans tourner. En particulier :

l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
l'image d'une droite est une droite parallèle à celle-ci (ou confondue avec elle) ;
l'image d'un cercle est un cercle de même rayon ;
si des points sont alignés, leurs images sont alignées aussi.

Compétences à pratiquer

Retrouver l'image d'un point (symétrie axiale)
Déterminer les images de points par une symétrie centrale
Reconnaître des translations
Construire des images

II Le vecteur

Découverte

Un téléphérique se déplace le long d'un câble de $A$ à $B$ :

Dessiner le téléphérique lorsqu'il arrive en $B$.

Correction

Le déplacement du téléphérique se lit sur le quadrillage : $3$ carreaux vers la droite et $3$ carreaux vers le haut. Deux nombres suffisent à décrire tout le déplacement — et la flèche de $A$ à $B$ les rassemble en un seul objet : un vecteur.

Déplacer une figure par translation, c'est la faire glisser sans la faire tourner. Pour décrire ce mouvement, on utilise une flèche $\vec{u}$ appelée vecteur : chaque point de la figure glisse suivant la même direction, dans le même sens, de la même longueur — celles que donne la flèche.

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Définition — Vecteur

Un vecteur non nul $\vec{u}$ se définit géométriquement par une direction, un sens et une longueur.

Un vecteur ne dépend pas du point de départ : deux flèches ayant la même direction, le même sens et la même longueur représentent le même vecteur.

Exemple

Décrire le vecteur $\vec{w}$ tracé ci-dessous : donner sa direction, son sens et sa longueur.

Correction

Le vecteur $\vec{w}$ a une direction oblique (celle de la droite qui le porte), son sens est vers le bas à droite, et sa longueur est celle de la flèche — repérée par ses déplacements sur le quadrillage : $4$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le bas (avec le théorème de Pythagore, $\sqrt{4^2 + 2^2} \approx 4{,}5$ carreaux). Toute flèche ayant ces trois caractéristiques représente le même vecteur $\vec{w}$.

Définition — Notation à deux points

La notation $\Vect{AB}$ désigne le vecteur d'origine $A$ et d'extrémité $B$ : la flèche qui part de $A$ et arrive en $B$.

Compétences à pratiquer

Identifier les vecteurs
Lire et nommer des vecteurs

III La translation point par point

Découverte

Lorsqu’un objet est déplacé sans tourner, tous ses points sont déplacés de la même façon. Ce déplacement peut être représenté par un vecteur, qui indique la direction, le sens et la longueur de la translation.

Le téléphérique $\textcolor{colorprop}{A'}$ est l’image du téléphérique $\textcolor{colordef}{A}$ par la translation de vecteur $\textcolor{olive}{\vec{v}}$.

Définition — Translation d’un point

L’image d’un point $M$ par la translation de vecteur $\textcolor{olive}{\vec{v}}$ est le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\textcolor{olive}{\vec{v}}$ : le point $M$ est déplacé vers le point $M'$ en suivant la direction, le sens et la longueur du vecteur $\textcolor{olive}{\vec{v}}$.

Exemple

Déterminer les coordonnées de l’image du point $M$ par la translation de vecteur $\textcolor{olive}{\vec{v}}$.

Correction

$M'(\textcolor{colordef}{3}\,;\textcolor{colorprop}{2})$

Proposition — Translation et parallélogramme

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. La translation de vecteur $\Vect{AB}$ est la translation qui transforme $A$ en $B$. Pour un point $M$ hors de la droite $\LineFr{AB}$ : $M'$ est l'image de $M$ si et seulement si $\Vect{MM'} = \Vect{AB}$, c'est-à-dire si et seulement si $ABM'M$ est un parallélogramme. Si $M$ est sur la droite $\LineFr{AB}$, son image $M'$ est sur cette droite elle aussi, à la distance $AB$ de $M$, dans le sens de $A$ vers $B$ : les quatre points sont alignés, le parallélogramme $ABM'M$ est aplati.

Définition — Translation

L’image d’un objet par la translation de vecteur $\textcolor{olive}{\vec{v}}$ est la figure obtenue en déplaçant tous ses points par la translation de vecteur $\textcolor{olive}{\vec{v}}$.

Compétences à pratiquer

Déterminer l’image d’un point par une translation
Translations de figures
Dessiner les figures images

IV Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont dits égaux s'ils représentent la même translation.

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Définition — Égalité géométrique de vecteurs

Deux vecteurs non nuls sont égaux s'ils ont :

la même direction (droites parallèles),
le même sens (même orientation),
et la même longueur.

$\textcolor{olive}{\Vect{u}} = \textcolor{olive}{\Vect{v}}$

Proposition — Critère du parallélogramme

Deux vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{DC}$ sont égaux si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Compétences à pratiquer

Tracer des vecteurs égaux
Construire un parallélogramme

V La somme : enchaîner deux translations

Découverte

On translate le point $A$ vers $B$, puis le point $B$ vers $C$. Quel déplacement unique remplace les deux ?

Correction

Translater directement le point $A$ vers $C$ donne le même résultat. En langage vectoriel, cela s'écrit : $\Vect{AB}+\Vect{BC}=\Vect{AC}$, où le signe $+$ peut se lire « suivi de ».

Définition — Addition de vecteurs

On appelle somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+ \vec{v}$, le vecteur associé à la translation obtenue en enchaînant la translation de vecteur $\vec{u}$ puis celle de vecteur $\vec{v}$.

Proposition — Relation de Chasles

Pour tous points $A$, $B$, $C$ :$$\Vect{AB} + \Vect{BC} = \Vect{AC}$$

Définition — Vecteur nul

Le vecteur associé à la translation qui transforme un point quelconque en lui-même est le vecteur nul, noté $\Vect{0}$.$$\Vect{v} + \Vect{0} = \Vect{0} + \Vect{v} = \Vect{v}$$

Proposition — Vecteur d'un point à lui-même

Pour tout point $A$ :$$\Vect{AA} = \Vect{0}$$

Proposition — La somme ne dépend pas de l'ordre

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$$ En partant d'un point $A$, le chemin « $\vec{u}$ puis $\vec{v}$ » et le chemin « $\vec{v}$ puis $\vec{u}$ » arrivent au même point $D$ : les deux chemins ferment un parallélogramme (éventuellement aplati), et la somme $\Vect{AD}$ en est la diagonale issue de $A$ — c'est la règle du parallélogramme.

Compétences à pratiquer

Tracer la somme de deux vecteurs
Reconnaître la somme de vecteurs

VI L'opposé d'un vecteur

Découverte

On translate le point $A$ vers $B$, puis le point $B$ vers $A$. Quel déplacement unique remplace les deux ?

Correction

Aucun déplacement : le point $A$ revient sur lui-même. En langage vectoriel, $\Vect{AB} + \Vect{BA} = \Vect{AA} = \Vect{0}$, le vecteur nul : le vecteur $\Vect{BA}$ annule le vecteur $\Vect{AB}$.

Définition — Vecteur opposé

Le vecteur opposé à un vecteur non nul $\vec{u}$ est le vecteur ayant la même direction, la même longueur, mais le sens contraire. On le note $-\vec{u}$. L'opposé du vecteur nul est le vecteur nul.

Proposition — Vecteur opposé à $\Vect{AB}$

Le vecteur $\Vect{BA}$ (de $B$ vers $A$) est le vecteur opposé au vecteur $\Vect{AB}$ (de $A$ vers $B$) :$$\Vect{BA} = -\Vect{AB}$$

Proposition — Somme d'un vecteur et de son opposé

Pour tout vecteur $\vec{u}$ :$$\vec{u} + \left(-\vec{u}\right) = \Vect{0}$$ En particulier, pour tous points $A$ et $B$ : $\Vect{AB} + \Vect{BA} = \Vect{AA} = \Vect{0}$ (relation de Chasles).

Compétences à pratiquer

Tracer le vecteur opposé
Reconnaître le vecteur opposé

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Type brevet
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.