Éducation Nationale Française · Quatrième

Triangles

⌚ ~202 min ▢ 23 blocs ✓ 89 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Parallélogrammes et translations

I Les triangles

I.1 Angles et côtés du triangle

Proposition — Somme des angles d'un triangle

Dans tout triangle, la somme des trois angles intérieurs est de $180^\circ$.

Preuve

L'activité de découpage et de réarrangement suggère le résultat ; ici, on le démontre. Par le sommet $C$, on trace la droite parallèle au côté opposé $\LineFr{AB}$. Les deux côtés $\SegmentFr{CA}$ et $\SegmentFr{CB}$ sont alors des sécantes coupant deux droites parallèles.

Chaque angle à la base se retrouve en $C$ comme angle alterne-interne : la sécante $\SegmentFr{CA}$ donne $\AngleFr{LCA}=c^\circ$, et la sécante $\SegmentFr{CB}$ donne $\AngleFr{BCR}=b^\circ$. Les trois angles en $C$ sont alignés le long de la droite $\LineFr{LR}$ ; ils forment donc un angle plat : $$\begin{aligned}[t] \AngleFr{LCA}+\AngleFr{ACB}+\AngleFr{BCR} &= 180^\circ && \text{(angles sur une droite)}\\ c^\circ + a^\circ + b^\circ &= 180^\circ. && \text{(angles alternes-internes, droites parallèles)} \end{aligned}$$ Ainsi les trois angles intérieurs vérifient $a^\circ+b^\circ+c^\circ=180^\circ$.

Exemple

Calculer $x$.

Correction

La somme des angles d’un triangle est de $180^\circ$. Donc : $$\begin{aligned}[t] x^\circ + 45^\circ + 80^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ + 125^\circ &= 180^\circ \\ x^\circ &= 180^\circ - 125^\circ \\ x^\circ &= 55^\circ \end{aligned}$$

Proposition — Angles d'un triangle isocèle

Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux (angles à la base) sont égaux. Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

Preuve

Dessiner un triangle isocèle quelconque avec deux côtés égaux.
Tracer le segment qui joint le sommet principal au milieu de la base. Il partage le triangle en deux triangles. Ombrer chacun différemment.
Découper le triangle isocèle et le plier le long de ce segment : les deux côtés égaux se superposent. On admet ici ce que l'étude de la symétrie axiale a montré — un triangle isocèle a un axe de symétrie, la droite qui passe par son sommet principal et le milieu de sa base ; le pliage le fait voir, il ne le démontre pas.
Observer que les deux moitiés coïncident lorsqu’elles sont pliées, ce qui montre que les angles à la base sont égaux en raison de la symétrie.

La réciproque — un triangle qui a deux angles égaux est isocèle — est admise ici.

Théorème — Théorème de l'inégalité triangulaire

Dans tout triangle, la longueur de chaque côté doit être inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Compétences à pratiquer

Calculer la mesure d'un angle inconnu
Calculer les mesures des angles d'un triangle isocèle
Déterminer l'existence d'un triangle

I.2 Médiatrices et cercle circonscrit

Définition — Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par son milieu et qui lui est perpendiculaire.

Méthode — Construire la médiatrice de $\SegmentFr{AB}$

Construire, à l’aide du compas, deux arcs de cercle de même rayon, supérieur à la moitié de $\SegmentFr{AB}$ pour que les arcs se coupent, et de centres $A$ et $B$.
Les arcs de cercle se coupent en $E$ et $F$.
La médiatrice de $\SegmentFr{AB}$ est la droite $\LineFr{EF}$.

Proposition — Médiatrice et équidistance

La médiatrice d'un segment $\SegmentFr{AB}$ est l'ensemble de tous les points situés à égale distance de $A$ et de $B$. Autrement dit, un point $M$ appartient à la médiatrice de $\SegmentFr{AB}$ si et seulement si $MA = MB$.

Preuve

La médiatrice passe par le milieu $I$ de $\SegmentFr{AB}$ (donc $IA = IB$) et lui est perpendiculaire. Plier la figure le long de cette droite amène donc $A$ exactement sur $B$.

Si $M$ est sur la droite, le pli laisse $M$ en place et amène $\SegmentFr{MA}$ sur $\SegmentFr{MB}$, donc $MA = MB$.
Si $M$ n'est pas sur la droite, il est du côté de $A$ ou du côté de $B$, et il est alors plus près du point de son côté : $MA \neq MB$. Ce second point, la réciproque, est admis ici — le pliage envoie $M$ sur un autre point $M'$, mais cela ne suffit pas à comparer $MA$ et $MB$ ; sa démonstration passe par l'inégalité triangulaire.

Les points tels que $MA = MB$ sont donc exactement les points de la médiatrice.

Proposition — Cercle circonscrit à un triangle

Soit $ABC$ un triangle. Les médiatrices de ses trois côtés passent par un même point $O$, situé à égale distance des trois sommets : $OA = OB = OC$. Le cercle de centre $O$ passant par $A$, $B$ et $C$ est appelé le cercle circonscrit au triangle.

Preuve

On note $O$ le point où se coupent les médiatrices de $\SegmentFr{AB}$ et de $\SegmentFr{BC}$.

$O$ est sur la médiatrice de $\SegmentFr{AB}$, donc $OA = OB$.
$O$ est sur la médiatrice de $\SegmentFr{BC}$, donc $OB = OC$.

Donc $OA = OB = OC$. En particulier $OA = OC$, donc $O$ est aussi à égale distance de $A$ et de $C$ et appartient également à la médiatrice de $\SegmentFr{CA}$ : les trois médiatrices se coupent en $O$. Enfin, puisque $OA = OB = OC$, le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ passe par les trois sommets.

Proposition — Triangle rectangle inscrit dans son cercle

Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle qui a pour diamètre son hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) : le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

Le milieu $O$ de l'hypoténuse $\SegmentFr{AB}$ est à égale distance des trois sommets : $OA = OB = OC$. Réciproquement, si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l'un de ses côtés, alors il est rectangle au sommet opposé. Ces deux propriétés sont admises.

Compétences à pratiquer

Construire des cercles circonscrits

I.3 Droites remarquables du triangle

Définition — Hauteur d'un triangle

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement). On dit : la hauteur issue de $B$, ou la hauteur relative au côté $\SegmentFr{AC}$ — on dit alors que ce côté est associé à la hauteur. Le mot hauteur désigne aussi le segment du sommet à son pied — le point où la hauteur rencontre la droite qui porte le côté opposé —, et la longueur de ce segment. Cette longueur est la hauteur $h$ de l'aire d'un triangle, $A = b \times h \div 2$, quand le côté associé est pris pour base $b$.

Si le triangle a un angle obtus, deux des hauteurs ne touchent le triangle qu'en leur sommet : leurs pieds tombent à l'extérieur, sur le prolongement du côté opposé. Si le triangle est rectangle, deux des hauteurs sont confondues avec les deux côtés de l'angle droit.

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Proposition — Orthocentre

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes : elles passent par un même point, appelé l'orthocentre du triangle. Cette propriété est admise ici.

Définition — Médiane d'un triangle

Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Méthode — Construire une médiane

Pour construire la médiane issue de $B$ :

Déterminer le milieu $M$ du côté opposé $\SegmentFr{AC}$ (à la règle, ou au compas en construisant la médiatrice de $\SegmentFr{AC}$) ;
Tracer la droite qui passe par le sommet $B$ et par le point $M$.

Définition — Bissectrice d'un angle

Les angles considérés ici sont saillants : ils mesurent moins de $180^\circ$. La bissectrice d'un tel angle est la demi-droite, issue de son sommet, qui partage l'angle en deux angles égaux. C'est l'axe de symétrie de l'angle : en pliant le long de la bissectrice, un côté se pose exactement sur l'autre.

Méthode — Construire la bissectrice au compas

Placer la pointe du compas sur le sommet $O$ et tracer un arc qui coupe les deux côtés de l'angle, en $P$ et $Q$.
Placer la pointe du compas sur $P$ et, avec un écartement assez grand, tracer un arc à l'intérieur de l'angle. Sans changer l'écartement, la placer sur $Q$ et tracer un second arc qui coupe le premier, en $R$.
Tracer la demi-droite issue de $O$ passant par $R$. Cette demi-droite est la bissectrice : elle partage l'angle en deux angles égaux.

Exemple

On trace la bissectrice d'un angle de $70^\circ$. Quelle est la mesure de chacun des deux angles obtenus ?

Correction

La bissectrice partage l'angle en deux moitiés égales ; chacune mesure donc la moitié de $70^\circ$ : $$\begin{aligned}[t] 70^\circ \div 2 &= 35^\circ. && \text{(moitié de l'angle)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Tracer des hauteurs
Construire des médianes
Construire des bissectrices

II La droite des milieux

II.1 Le théorème des milieux

Découverte

Tom veut connaître la largeur $BC$ d'un étang, mais il ne peut pas mesurer à travers l'eau. Il plante un piquet en un point $A$ à l'écart de l'étang, marque le milieu $M$ de $\SegmentFr{AB}$ et le milieu $N$ de $\SegmentFr{AC}$, puis mesure au sec : $$MN = 27 \text{ m}$$

Tom peut-il en déduire la largeur $BC$ sans traverser l'étang ?

Correction

Oui. Le segment $\SegmentFr{MN}$ joint les milieux de deux côtés du triangle $ABC$ : le théorème ci-dessous affirme que $BC$ vaut exactement le double de $MN$ : $$BC = 2 \times MN = 2 \times 27 = \textcolor{colorprop}{54} \text{ m}$$ Tom a mesuré $27$ m au sec et connaît la largeur de l'étang.

Théorème — Théorème des milieux

Dans un triangle $ABC$, soit $M$ le milieu de $\SegmentFr{AB}$ et $N$ le milieu de $\SegmentFr{AC}$. Alors :

la droite $\LineFr{MN}$ est parallèle à la droite $\LineFr{BC}$ ;
le segment $\SegmentFr{MN}$ mesure la moitié de $\SegmentFr{BC}$ : $$MN = \dfrac{BC}{2}$$

Preuve

Soit $P$ l'image de $M$ par la symétrie centrale de centre $N$ (ainsi $N$ est le milieu de $\SegmentFr{MP}$).

Dans le quadrilatère $AMCP$, les diagonales $\SegmentFr{AC}$ et $\SegmentFr{MP}$ ont le même milieu $N$ : d'après le critère du parallélogramme, $AMCP$ est un parallélogramme. Donc $\SegmentFr{CP}$ est parallèle à $\SegmentFr{AM}$ et $CP = AM$.
Comme $M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$ : $AM = MB$. Donc $CP = MB$, et $\SegmentFr{CP}$ est parallèle à $\SegmentFr{MB}$ (même droite $\LineFr{AB}$). Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme : $MBCP$, qui n'est pas croisé (voir la figure), est un parallélogramme.
Donc $\LineFr{MP} \parallel \LineFr{BC}$ — c'est-à-dire $\LineFr{MN} \parallel \LineFr{BC}$ — et $MP = BC$. Comme $N$ est le milieu de $\SegmentFr{MP}$ : $$MN = \dfrac{MP}{2} = \dfrac{BC}{2}$$

Exemple

Dans le triangle $ABC$ : $M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$, $N$ est le milieu de $\SegmentFr{AC}$, $BC = 10$ cm et $AB = 8$ cm.

Calculer $MN$. Justifier.
Calculer $AM$.
Que peut-on dire des droites $\LineFr{MN}$ et $\LineFr{BC}$ ?

Correction

$M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés du triangle $ABC$, donc d'après le théorème des milieux : $$MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = \textcolor{colorprop}{5} \text{ cm}$$
$M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$, donc $$AM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = \textcolor{colorprop}{4} \text{ cm}$$
D'après le même théorème des milieux, la droite $\LineFr{MN}$ est parallèle à la droite $\LineFr{BC}$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître quand le théorème s'applique
Calculer des longueurs avec le théorème des milieux

II.2 La réciproque du théorème des milieux

Théorème — Réciproque du théorème des milieux

Dans un triangle $ABC$, soit $M$ le milieu de $\SegmentFr{AB}$. La droite qui passe par $M$ et qui est parallèle à $\LineFr{BC}$ coupe le côté $\SegmentFr{AC}$ en son milieu.

Preuve

Soit $N$ le milieu de $\SegmentFr{AC}$. D'après le théorème des milieux, la droite $\LineFr{MN}$ est parallèle à $\LineFr{BC}$.
Par le point $M$, il ne passe qu'une seule droite parallèle à $\LineFr{BC}$. Donc la parallèle à $\LineFr{BC}$ passant par $M$ est exactement la droite $\LineFr{MN}$ : elle coupe $\SegmentFr{AC}$ en $N$, le milieu de $\SegmentFr{AC}$.

Exemple

Dans le triangle $ABC$ : $M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$, la droite passant par $M$ et parallèle à $\LineFr{BC}$ coupe $\SegmentFr{AC}$ en $N$, et $AC = 9$ cm.
Calculer $AN$. Justifier.

Correction

$M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$ et la droite $\LineFr{MN}$ est parallèle à $\LineFr{BC}$ : d'après la réciproque du théorème des milieux, $N$ est le milieu de $\SegmentFr{AC}$. Donc $$AN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{9}{2} = \textcolor{colorprop}{4{,}5} \text{ cm}$$

Trois énoncés sont à distinguer :

milieux de deux côtés $\Rightarrow$ la droite est parallèle au troisième côté ;
milieux de deux côtés $\Rightarrow$ le segment mesure la moitié du troisième côté ;
réciproque : milieu d'un côté $+$ parallèle à un autre côté $\Rightarrow$ milieu du troisième côté.

Avant d'en utiliser un, on vérifie toujours quelles informations on a (deux milieux ? un milieu et une parallèle ?).

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Compétences à pratiquer

Reconnaître la réciproque
Utiliser la réciproque
Justifier avec les théorèmes

III Le théorème de Pythagore

III.1 Le théorème et le calcul d'une longueur

L’un des concepts mathématiques les plus anciens et les plus célèbres est le théorème de Pythagore. Il porte le nom du mathématicien grec de l’Antiquité Pythagore et établit une relation fondamentale entre les côtés d’un triangle rectangle.

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Découverte

Une échelle de $5\,\text{m}$ est appuyée contre un mur et atteint $4\,\text{m}$ de haut. À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ? On ne peut pas tendre un mètre jusqu'au pied — il est caché derrière une haie — et pourtant la réponse est déterminée. L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle, et dans un triangle rectangle les trois côtés sont liés : en connaissant deux, on peut calculer le troisième.

Une relation lie les côtés du triangle rectangle — le théorème de Pythagore — et transforme « je ne peux pas l'atteindre » en « je peux le calculer ».

Correction

L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle ($5$ m) et un côté de l'angle droit le mur ($4$ m). Le théorème de Pythagore lie les trois côtés : $$\begin{aligned}[t] 5^2 &= 4^2 + d^2 && {\scriptstyle(\text{théorème de Pythagore})} \\ d^2 &= 25 - 16 = 9 \\ d &= 3 \text{ m.} \end{aligned}$$ Le pied de l'échelle est à $3$ m du mur — calculé, jamais mesuré.

Définition — Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).

Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit.
Le côté le plus long, opposé à l’angle droit, est appelé l’hypoténuse.

Théorème — Théorème de Pythagore

Pour tout triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $\textcolor{colordef}{a}$ et $\textcolor{colorprop}{b}$ et dont l’hypoténuse a pour longueur $\textcolor{olive}{c}$, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit : $$ \textcolor{colordef}{a^2} + \textcolor{colorprop}{b^2} = \textcolor{olive}{c^2}. $$ Cela signifie que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

Preuve

La preuve géométrique repose sur la réorganisation de quatre triangles rectangles identiques à l’intérieur d’un carré de côté $a + b$.
1. Dans la première disposition, les quatre triangles rectangles forment un carré plus petit au centre du grand carré : Le quadrilatère intérieur est bien un carré : ses côtés sont égaux, et en chaque sommet les deux angles aigus du triangle rectangle totalisent $90^\circ$, laissant $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ pour l'angle du quadrilatère.
2. Dans la seconde disposition, les quatre triangles rectangles forment deux carrés plus petits à l’intérieur du grand carré :
3. Puisque l’aire non couverte par les triangles est égale dans les deux dispositions, on a : $$a^2 + b^2 = c^2.$$
Preuve algébrique : en utilisant quatre copies du même triangle disposées symétriquement autour d’un carré central de côté $c$, à l’intérieur d’un grand carré de côté $a + b$ : Le grand carré a pour côté $a + b$, donc pour aire $(a + b)^2$. Les quatre triangles et le carré central de côté $c$ ont la même aire totale que le grand carré : $$\begin{aligned} (a + b)^2 &= \overbrace{c^2}^{\text{aire du carré central}} + 4 \times \overbrace{\frac{ab}{2}}^{\text{aire d’un triangle}} \\ a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 &= c^2. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{4^2} + \textcolor{colorprop}{3^2} &= \textcolor{olive}{5^2} \\ \textcolor{colordef}{16} + \textcolor{colorprop}{9} &= \textcolor{olive}{25}\end{aligned}$$ Cette illustration fournit une représentation visuelle du théorème de Pythagore.

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Exemple

Calculer la longueur de l’hypoténuse, $x$.

Correction

D'après le théorème de Pythagore : $$ \begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\ 3^2 + 5^2 &= x^2 \\ 9 + 25 &= x^2 \\ 34 &= x^2 \\ x &= \sqrt{34} \, \text{cm} \end{aligned} $$ L’hypoténuse mesure $\sqrt{34}$ cm (environ 5,83 cm).

Exemple

Calculer la longueur inconnue $y$ du côté de l'angle droit.

Correction

D'après le théorème de Pythagore, avec $c = 13$ l’hypoténuse : $$ \begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\ y^2 + 5^2 &= 13^2 \\ y^2 + 25 &= 169 \\ y^2 &= 169 - 25 \\ y^2 &= 144 \\ y &= \sqrt{144} = 12 \, \text{m} \end{aligned} $$ Le côté inconnu $y$ mesure donc 12 m.

Compétences à pratiquer

Calculer les carrés des longueurs des côtés
Calculer la longueur de l'hypoténuse
Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
Utiliser le théorème de Pythagore

III.2 Réciproque et contraposée

Théorème — Réciproque du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que ces longueurs vérifient $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est un triangle rectangle, et l'angle droit est opposé au côté le plus long, $c$.

Preuve

On considère un triangle $ABC$ avec $CB = a$, $CA = b$, $AB = c$, où $a^2 + b^2 = c^2$. On montre que l'angle en $C$ est droit, en utilisant uniquement le théorème de Pythagore (déjà démontré).
Soit $H$ le pied de la perpendiculaire menée de $B$ à la droite $\LineFr{CA}$, et l'on pose $x = CH$. Si $H = C$, alors $\LineFr{CB} \perp \LineFr{CA}$ et c'est terminé ; si $H = A$, alors $BH = BA = c$ et $HA = 0$, donc la relation $c^2 = BH^2 + HA^2$ utilisée ci-dessous est directement vraie (sans triangle) ; on suppose donc $H \neq C$. Deux cas, selon le côté de $C$ où tombe le pied $H$.
Cas 1 : $H$ sur la demi-droite $\RayFr{CA}$ (l'angle en $C$ est aigu). Les triangles $BHC$ et $BHA$ sont rectangles en $H$, donc$$\begin{aligned}[t] c^2 &= BH^2 + HA^2 && \text{(théorème de Pythagore dans } \triangle BHA\text{)} \\ &= (a^2 - x^2) + (b - x)^2 && \text{(théorème de Pythagore dans } \triangle BHC\text{, et } HA = |b-x|\text{)} \\ &= a^2 + b^2 - 2bx. \end{aligned}$$

Cas 2 : $H$ sur la demi-droite opposée (l'angle en $C$ est obtus). Alors $HA = b + x$, et les deux mêmes applications donnent$$c^2 = (a^2 - x^2) + (b + x)^2 = a^2 + b^2 + 2bx.$$

On compare avec l'hypothèse $c^2 = a^2 + b^2$. Dans le cas 2, on aurait $c^2 = a^2+b^2+2bx > a^2 + b^2$ (car $x > 0$) : impossible. On est donc dans le cas 1, et $a^2+b^2-2bx = a^2+b^2$ impose $x = 0$, c'est-à-dire $H = C$ : la droite $\LineFr{CB}$ est perpendiculaire à $\LineFr{CA}$. Le triangle est rectangle en $C$ — le sommet opposé au côté $c$.
Bonus de ce calcul : $c^2 < a^2+b^2$ exactement lorsque l'angle en $C$ est aigu, et $c^2 > a^2+b^2$ exactement lorsqu'il est obtus.

Exemple

Un triangle avec des côtés de longueurs 5 cm, 12 cm et 13 cm est-il rectangle ?

Correction

On vérifie si la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du côté le plus long. Le plus long côté mesure 13 cm.

$ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $
$ 13^2 = 169 $

Puisque $5^2 + 12^2 = 13^2$, le triangle est rectangle d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Théorème — Contraposée du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que la somme des carrés des deux côtés les plus courts n'est pas égale au carré du côté le plus long ($a^2 + b^2 \neq c^2$), alors le triangle n'est pas un triangle rectangle.

Preuve

La contraposée d'un énoncé « si $P$, alors $Q$ » est l'énoncé « si non $Q$, alors non $P$ » — et les deux sont toujours vrais ensemble. Ici :

le théorème de Pythagore dit : si le triangle est rectangle (d'angle droit opposé à $c$), alors $a^2 + b^2 = c^2$ ;
sa contraposée dit : si $a^2 + b^2 \neq c^2$, alors le triangle n'est pas rectangle — exactement l'énoncé ci-dessus.

En effet, si un tel triangle était rectangle, le théorème de Pythagore imposerait $a^2 + b^2 = c^2$, ce qui contredit l'hypothèse. Noter la différence avec la réciproque (« si $a^2+b^2=c^2$, alors rectangle »), qui n'est pas automatique : elle exige une démonstration à part.

Exemple

Un triangle avec des côtés de longueurs 5, 8 et 9 est-il rectangle ?

Correction

Les deux côtés les plus courts mesurent 5 et 8, et le côté le plus long mesure 9.

$ 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 $
$ 9^2 = 81 $

Puisque $89 \neq 81$, le triangle n'est pas rectangle d'après la contraposée du théorème de Pythagore.

Compétences à pratiquer

Reconnaître le bon énoncé
Rédiger la vérification

III.3 Triangle rectangle et cercle circonscrit

Découverte

Sur un chantier, Tom doit tracer un angle droit au sol, mais il n'a pas d'équerre — seulement un cordeau et des piquets. Il plante deux piquets $B$ et $C$, trace le cercle de diamètre $\SegmentFr{BC}$ (cordeau attaché au milieu $O$), et plante un troisième piquet en un point $A$ quelconque du cercle (autre que $B$ et $C$).

Tom affirme que l'angle en $A$ est droit, où que soit $A$ sur le cercle. A-t-il raison ?

Correction

Oui : c'est le théorème ci-dessous — tout triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, au sommet opposé au diamètre. Le cordeau et les piquets de Tom tracent des angles droits parfaits. Ce résultat est souvent admis sans preuve — le voici démontré.

Théorème — Triangle inscrit dans un demi-cercle

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.

Preuve

Soit $O$ le centre du cercle (le milieu du diamètre $\SegmentFr{BC}$). Les segments $\SegmentFr{OA}$, $\SegmentFr{OB}$ et $\SegmentFr{OC}$ sont tous des rayons : $OA = OB = OC$.

Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$, donc ses angles à la base sont égaux : $\AngleFr{BAO} = \AngleFr{ABO} = \alpha$.
Le triangle $OAC$ est isocèle en $O$, donc ses angles à la base sont égaux : $\AngleFr{OAC} = \AngleFr{OCA} = \beta$.

Comme $O$ est sur $\SegmentFr{BC}$, l'angle en $A$ vaut $\AngleFr{BAC} = \AngleFr{BAO} + \AngleFr{OAC} = \alpha + \beta$ ; l'angle en $B$ vaut $\alpha$ et l'angle en $C$ vaut $\beta$. La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ : $$(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^\circ \quad\text{donc}\quad 2(\alpha + \beta) = 180^\circ \quad\text{donc}\quad \alpha + \beta = 90^\circ$$ L'angle en $A$ mesure $90^\circ$ : le triangle est rectangle en $A$.

Théorème — Cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse (l'hypoténuse est un diamètre).
En particulier, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.

Preuve

Soit $ABC$ rectangle en $A$, et soit $O$ le milieu de l'hypoténuse $\SegmentFr{BC}$. Soit $D$ l'image de $A$ par la symétrie centrale de centre $O$.

Les diagonales $\SegmentFr{AD}$ et $\SegmentFr{BC}$ du quadrilatère $ABDC$ ont le même milieu $O$ : $ABDC$ est un parallélogramme.
Ce parallélogramme a un angle droit (en $A$) : c'est un rectangle.
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu : donc $OA = OB = OC = OD$.

$O$ est à la même distance de $A$, $B$ et $C$ : c'est le centre du cercle circonscrit, et $OA$ (la médiane issue de $A$) vaut $OB = \dfrac{BC}{2}$, la moitié de l'hypoténuse.

Exemple

Le point $C$ est sur le cercle de diamètre $\SegmentFr{AB}$, avec $AB = 13$ cm et $AC = 5$ cm.

Expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Calculer $BC$.
$O$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$. Calculer la médiane $CO$.

Correction

Le triangle $ABC$ est inscrit dans le cercle et $\SegmentFr{AB}$ est un diamètre : d'après le théorème du demi-cercle, $ABC$ est rectangle en $C$, le sommet opposé au diamètre.
Dans le triangle rectangle, d'après le théorème de Pythagore : $$\begin{aligned} AB^2 &= AC^2 + BC^2 \\ 13^2 &= 5^2 + BC^2 \\ BC^2 &= 169 - 25 = 144 \\ BC &= \textcolor{colorprop}{12} \text{ cm} \end{aligned}$$
La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : $$CO = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{13}{2} = \textcolor{colorprop}{6{,}5} \text{ cm}$$

Compétences à pratiquer

Reconnaître des triangles rectangles dans des cercles
Utiliser les théorèmes du cercle circonscrit
Construire sans équerre

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Résoudre des problèmes avec les milieux
Raisonner et résoudre des problèmes
Quiz