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Éducation Nationale Française · Quatrième

Triangles égaux (programme 2018, jusqu'en 2027)

⌚ ~51 min ▢ 6 blocs ✓ 24 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Triangles
I Construire un triangle
Méthode — Construire un triangle à partir de trois données
Trois données bien choisies suffisent pour construire un triangle — trois angles, par exemple, ne suffisent pas, puisqu'ils ne disent rien de sa taille. Voici les trois cas usuels ; c'est la construction elle-même qui montre si le triangle existe.
  1. Trois longueurs (côté, côté, côté) : tracer un côté ; depuis chacune de ses extrémités, tracer un arc de cercle dont le rayon est la longueur voulue ; le troisième sommet est là où les deux arcs se coupent. Si les arcs ne se coupent pas, le triangle n'existe pas ; s'ils ne font que se toucher en un point, les trois points sont alignés et le triangle est aplati — c'est l'inégalité triangulaire, avec son cas d'égalité, qui décide.
  2. Deux longueurs et l'angle entre elles (côté, angle, côté) : tracer un côté ; à l'une de ses extrémités, reporter l'angle au rapporteur, ce qui donne une demi-droite ; sur cette demi-droite, placer le point à la seconde longueur ; joindre.
  3. Un côté et ses deux angles adjacents (angle, côté, angle) : tracer le côté ; reporter chaque angle à son extrémité, les deux demi-droites du même côté du segment ; le troisième sommet est là où elles se coupent. Les deux angles doivent totaliser moins de \(180^\circ\).
Dans chacun des trois cas, tous les triangles que l'on peut construire sont des copies les uns des autres : les données déterminent le triangle.
Compétences à pratiquer
  • Construire un triangle à partir de ses trois côtés
  • Construire un triangle à partir de deux côtés et de l'angle compris
  • Construire un triangle à partir de deux angles et du côté compris
II Triangles égaux

Hugo et Léa ont chacun découpé un triangle en papier. Les côtés du triangle de Hugo mesurent \(5\) cm, \(6\) cm et \(7\) cm ; Léa a mesuré le sien et trouvé \(7\) cm, \(5\) cm et \(6\) cm. Sans mesurer aucun angle, peut-on être sûr que l'un des triangles se superpose exactement à l'autre ?

Oui. Trois longueurs ne laissent aucun choix au compas (Méthode « Construire un triangle à partir de trois données ») : un triangle de côtés \(5\) cm, \(6\) cm et \(7\) cm ne se trace que d'une seule façon, à sa position près. Le triangle de Léa est donc celui de Hugo, déplacé et peut-être retourné : posé dessus, il le recouvre exactement — et ses angles sont égaux à ceux du triangle de Hugo, sans qu'on les ait mesurés.


Définition — Triangles égaux
Deux triangles sont égaux lorsqu'on peut les superposer exactement, après avoir déplacé l'un d'eux et éventuellement l'avoir retourné. Leurs côtés sont alors égaux deux à deux, et leurs angles aussi. Les côtés et les angles qui se correspondent sont dits homologues.
Illustration
Ici, \(DEF\) est \(ABC\) retourné : \(A\) correspond à \(D\), \(B\) à \(E\) et \(C\) à \(F\). Donc \(AB = DE\), \(BC = EF\), \(CA = FD\), et les angles homologues sont égaux.
Proposition — Les trois cas d'égalité
Deux triangles sont égaux dès que l'une des conditions suivantes est vérifiée :
  1. trois côtés : leurs trois côtés sont égaux deux à deux ;
  2. deux côtés et l'angle compris : deux côtés sont égaux deux à deux, ainsi que l'angle formé par ces deux côtés ;
  3. un côté et les deux angles adjacents : un côté a la même longueur dans les deux triangles, et les deux angles situés à ses extrémités sont égaux deux à deux.
Illustration
Sur chaque figure, les éléments codés sont ceux qui doivent être égaux aux éléments homologues de l'autre triangle. Chaque cas reprend l'une des trois constructions d'un triangle : ces données fixent le triangle, donc deux triangles qui les partagent coïncident.
Méthode — Démontrer que deux triangles sont égaux
  1. Nommer les deux triangles en associant leurs sommets dans l'ordre où ils se correspondent.
  2. Repérer trois données égales deux à deux, chacune justifiée : une donnée de l'énoncé, un côté commun, des angles opposés par le sommet, une propriété d'une figure connue…
  3. Nommer le cas d'égalité (trois côtés ; deux côtés et l'angle compris ; un côté et les deux angles adjacents ; et, lorsqu'ils sont connus, deux angles et un côté homologue (AAS) ou, pour deux triangles rectangles, l'hypoténuse et un côté de l'angle droit (RHS)) et conclure que les triangles sont égaux.
  4. En déduire les autres égalités : les côtés et les angles homologues restants sont égaux.
Exemple
\(ABC\) est un triangle isocèle de sommet principal \(A\), et \(I\) est le milieu de \([BC]\). Démontrer que les triangles \(ABI\) et \(ACI\) sont égaux, puis en déduire que les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ACB}\) sont égaux.
Illustration

Dans les triangles \(ABI\) et \(ACI\), les sommets sont associés ainsi : \(A \leftrightarrow A\), \(B \leftrightarrow C\), \(I \leftrightarrow I\).
  • \(AB = AC\), car \(ABC\) est isocèle de sommet principal \(A\) ;
  • \(BI = CI\), car \(I\) est le milieu de \([BC]\) ;
  • \(AI = AI\) : le côté \([AI]\) est commun aux deux triangles.
Les trois côtés sont égaux deux à deux : les triangles \(ABI\) et \(ACI\) sont égaux (trois côtés). Leurs angles homologues sont donc égaux : l'angle en \(B\) du triangle \(ABI\) correspond à l'angle en \(C\) du triangle \(ACI\), d'où \(\widehat{ABI} = \widehat{ACI}\), c'est-à-dire \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\) : les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. La propriété, vue jusqu'ici par pliage, est ainsi démontrée par un raisonnement — dans ce sens seulement, pas sa réciproque.

Exemple
Les segments \([AB]\) et \([CD]\) se coupent en leur milieu commun \(O\). Démontrer que \(AC = BD\).
Illustration

\(AC\) et \(BD\) sont des côtés des triangles \(AOC\) et \(BOD\), associés ainsi : \(O \leftrightarrow O\), \(A \leftrightarrow B\), \(C \leftrightarrow D\).
  • \(OA = OB\), car \(O\) est le milieu de \([AB]\) ;
  • \(OC = OD\), car \(O\) est le milieu de \([CD]\) ;
  • \(\widehat{AOC} = \widehat{BOD}\), car ce sont des angles opposés par le sommet.
Deux côtés et l'angle qu'ils forment sont égaux deux à deux : les triangles \(AOC\) et \(BOD\) sont égaux (deux côtés et l'angle compris). Le côté \([AC]\), opposé à \(O\) dans le premier triangle, correspond au côté \([BD]\), opposé à \(O\) dans le second : \(AC = BD\).

Exemple
\(ABCD\) est un parallélogramme : ses côtés opposés sont parallèles. Démontrer que les triangles \(ABC\) et \(CDA\) sont égaux, puis en déduire que les côtés opposés du parallélogramme ont la même longueur.
Illustration

Dans les triangles \(ABC\) et \(CDA\), les sommets sont associés ainsi : \(A \leftrightarrow C\), \(B \leftrightarrow D\), \(C \leftrightarrow A\).
  • Le côté \([AC]\) est commun aux deux triangles.
  • Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles, coupées par la sécante \((AC)\) : les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{DCA}\) sont alternes-internes, donc \(\widehat{BAC} = \widehat{DCA}\).
  • Les droites \((BC)\) et \((AD)\) sont parallèles, coupées par \((AC)\) : les angles \(\widehat{BCA}\) et \(\widehat{DAC}\) sont alternes-internes, donc \(\widehat{BCA} = \widehat{DAC}\).
Un côté et ses deux angles adjacents sont égaux deux à deux : les triangles \(ABC\) et \(CDA\) sont égaux (un côté et les deux angles adjacents). Leurs côtés homologues sont égaux : \(AB = CD\) et \(BC = DA\) — les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur.

Trois données qui ne suffisent pas
  • Trois angles égaux ne suffisent pas : un agrandissement conserve les angles et change les longueurs.
  • Deux côtés et un angle qui n'est pas compris entre eux ne suffisent pas en général. Ci-dessous, le côté \([AB]\) et l'angle en \(A\) sont les mêmes pour les deux triangles, et \(BC = BC'\) ; pourtant \(ABC\) et \(ABC'\) ne sont pas égaux.
Illustration
Avant de conclure, vérifier que les données forment l'un des cas. Avec deux côtés égaux et un angle égal, le cas « deux côtés et l'angle compris » demande que l'angle soit compris entre les deux côtés. Avec un côté égal et deux angles égaux, le côté doit être homologue — opposé à des angles égaux dans les deux triangles —, mais les angles n'ont pas besoin d'être à ses extrémités : dès que deux angles sont égaux deux à deux, les troisièmes angles le sont aussi (la somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\)), donc les angles aux extrémités du côté sont égaux eux aussi.
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Compétences à pratiquer
  • Reconnaître le cas d'égalité
  • Démontrer que deux triangles sont égaux
III Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Problèmes