I Effectifs et fréquences

Définition — Effectif et fréquence

L’effectif d'une catégorie est le nombre de fois où cette catégorie apparaît dans les données.
La fréquence (ou fréquence relative) est la proportion des données qui correspond à une catégorie. On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. $$ \text{Fréquence (en }\pourcent\text{)} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \times 100\pourcent $$

Exemple

On calcule les fréquences relatives pour l'enquête sur la « Matière préférée » auprès de 25 élèves :

Matière	Effectif	Fréquence
Maths	8	$8/25\times 100\pourcent = 32\pourcent$
Sciences	5	$5/25\times 100\pourcent = 20\pourcent$
Sport	7	$7/25\times 100\pourcent = 28\pourcent$
Arts	5	$5/25\times 100\pourcent = 20\pourcent$
Total	25	100$\pourcent$

Exemple

Les $32$ membres d'un club ont chacun choisi un sport. Un effectif est manquant.

Sport	Football	Basket	Natation	Danse	Total
Effectif	11	7	?	6	32

Déterminer l'effectif manquant, puis la fréquence de la natation.

Correction

Les effectifs ont pour somme l'effectif total, donc l'effectif manquant est le total moins les effectifs connus : $$32 - (11 + 7 + 6) = 32 - 24 = \textcolor{colordef}{8}.$$ Contrôle : $11 + 7 + 8 + 6 = 32$. La fréquence de la natation vaut $\dfrac{8}{32} = 0{,}25 = 25\pourcent$.

Compétences à pratiquer

Calculer des fréquences
Déterminer un effectif manquant dans un tableau

II Indicateurs de position et de dispersion

Définition — Moyenne

La moyenne est la somme de toutes les valeurs numériques divisée par le nombre de valeurs.$$ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} \\ &= \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}\end{aligned}$$

Exemple

Pour l'ensemble de données $1\,;\,4\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,4\,;\,5\,;\,4\,;\,4$, quelle est la moyenne ?

Correction

$$ \text{Moyenne} = \frac{1 + 4 + 2 + 3 + 5 + 4 + 5 + 4 + 4}{9} = \frac{32}{9} \approx 3{,}56 $$

Définition — Médiane

La médiane est la valeur centrale d'un ensemble de données qui a été ordonné du plus petit au plus grand.

S’il y a un nombre impair de valeurs, la médiane est l'unique valeur du milieu.
S’il y a un nombre pair de valeurs, il y a deux valeurs centrales et la médiane est la moyenne de ces deux valeurs.

Exemple

Pour l'ensemble de données $1\,;\,4\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,4\,;\,5\,;\,4\,;\,4$, quelle est la médiane ?

Correction

Ordonner les données : $1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,4\,;\,4\,;\,4\,;\,5\,;\,5$.
Déterminer la valeur centrale : il y a 9 valeurs (un nombre impair), donc la valeur du milieu est la cinquième. $$1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,\underline{4}\,;\,4\,;\,4\,;\,5\,;\,5$$

La médiane est 4.

Définition — Étendue

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’un ensemble de données. Elle donne une mesure rapide de la dispersion totale. $$ \text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale} $$

Exemple

Déterminer l’étendue pour les données : $1\,;\,19\,;\,10\,;\,2\,;\,18\,;\,10\,;\,5\,;\,15\,;\,10$.

Correction

La valeur minimale est 1 et la valeur maximale est 19.
L’étendue est $19 - 1 = 18$.

Compétences à pratiquer

Calculer la moyenne
Calculer la médiane
Calculer l'étendue
Lire l'étendue sur un diagramme en barres

III La moyenne pondérée

Définition — Moyenne pondérée

Lorsqu'une valeur apparaît plusieurs fois dans une série statistique (un ensemble de données), il est inutile de l'ajouter autant de fois qu'elle apparaît. On multiplie chaque valeur par son effectif (le nombre de fois où elle apparaît), on ajoute ces produits, puis on divise par l'effectif total : $$\bar{x} = \dfrac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots}$$ La moyenne ainsi calculée s'appelle la moyenne pondérée : chaque valeur est pondérée par son effectif.

Méthode — Calculer une moyenne pondérée depuis un tableau

Multiplier chaque valeur par son effectif.
Ajouter tous ces produits.
Diviser par l'effectif total — la somme des effectifs, pas le nombre de colonnes du tableau.

Exemple

Voici les notes des huit dernières interrogations de vocabulaire de Léa, dans l'ordre où elles sont tombées : $6\,;\,8\,;\,8\,;\,6\,;\,10\,;\,8\,;\,6\,;\,8$. Regrouper les valeurs répétées dans un tableau, puis calculer la moyenne.

Correction

La valeur $6$ apparaît $3$ fois, $8$ apparaît $4$ fois et $10$ apparaît une fois :

Note	6	8	10
Effectif	3	4	1
Produit	18	32	10

$$\bar{x} = \dfrac{3 \times 6 + 4 \times 8 + 1 \times 10}{3+4+1} = \dfrac{18+32+10}{8} = \dfrac{60}{8} = \textcolor{colorprop}{7{,}5}$$ Regrouper d'abord les données brutes transforme une longue somme en une courte moyenne pondérée — même résultat, moins de travail.

Exemple

Voici les notes (sur 20) d'une classe au dernier contrôle.

Note	8	10	12	15
Effectif	3	5	8	4

Calculer la note moyenne de la classe.

Correction

Chaque note est multipliée par son effectif, et l'effectif total vaut $3+5+8+4 = 20$ élèves :

Note	8	10	12	15
Effectif	3	5	8	4
Produit	24	50	96	60

$$\bar{x} = \dfrac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 8 \times 12 + 4 \times 15}{3+5+8+4} = \dfrac{24+50+96+60}{20} = \dfrac{230}{20} = \textcolor{colorprop}{11{,}5}$$ La note moyenne de la classe est $11{,}5$ sur $20$.

Exemple

Ce diagramme en barres montre combien de livres les élèves d'une classe ont lus le mois dernier.

Calculer le nombre moyen de livres lus par élève.

Correction

Les hauteurs des barres donnent les effectifs — soit $4+7+6+2+1 = 20$ élèves en tout :

Livres	0	1	2	3	4
Effectif	4	7	6	2	1
Produit	0	7	12	6	4

$$\bar{x} = \dfrac{4 \times 0 + 7 \times 1 + 6 \times 2 + 2 \times 3 + 1 \times 4}{20} = \dfrac{0+7+12+6+4}{20} = \dfrac{29}{20} = \textcolor{colorprop}{1{,}45}$$ En moyenne, chaque élève a lu $1{,}45$ livre — la moyenne n'est pas forcément un nombre entier, même quand toutes les valeurs le sont.

Compétences à pratiquer

Calculer des moyennes pondérées
Remonter à partir de la moyenne

IV Moyenne ou médiane ? Valeurs extrêmes

Découverte

Dans une petite entreprise, les cinq techniciens gagnent $1\,600~\Euro$, $1\,800~\Euro$, $2\,000~\Euro$, $2\,200~\Euro$ et $2\,400~\Euro$ par mois. Le patron se verse $14\,000~\Euro$. Une annonce d'embauche affirme alors : « dans notre entreprise, le salaire moyen est de $4\,000~\Euro$ ».

L'annonce ment-elle ? Que dit le salaire médian ?

Correction

L'annonce ne ment pas : $\dfrac{1\,600+1\,800+2\,000+2\,200+2\,400+14\,000}{6} = \dfrac{24\,000}{6} = 4\,000$. Pourtant personne dans l'entreprise ne gagne un salaire proche de $4\,000~\Euro$ : l'unique salaire extrême tire la moyenne vers le haut. Le salaire médian — $\dfrac{2\,000+2\,200}{2} = 2\,100$ — décrit bien mieux la paie typique — c'est tout l'enjeu du choix entre moyenne et médiane.

Proposition — L'effet d'une valeur extrême

Une valeur extrême (beaucoup plus grande ou beaucoup plus petite que les autres) tire la moyenne vers elle, car la moyenne utilise toutes les valeurs. Ajouter ou retirer une valeur décale la médiane d'au plus un rang dans la liste ordonnée : elle passe au plus à une valeur voisine — pour des valeurs resserrées, peu ou pas.
Quand une série contient une valeur extrême, la médiane décrit souvent mieux la valeur typique que ne le fait la moyenne.

Exemple

Les notes de cinq amis à un contrôle sont $9$, $10$, $11$, $12$, $13$.

Calculer la moyenne et la médiane de ces cinq notes.
Un sixième ami, absent ce jour-là, rend copie blanche : un $0$ rejoint la série. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane.
Quel indicateur a le plus changé ?

Correction

Moyenne : $\dfrac{9+10+11+12+13}{5} = \dfrac{55}{5} = \textcolor{colorprop}{11}$. La liste ordonnée compte $5$ valeurs, celle du milieu est la troisième : médiane $= \textcolor{colorprop}{11}$.
Nouvelle série, ordonnée : $0\,;\,9\,;\,10\,;\,11\,;\,12\,;\,13$. Moyenne : $\dfrac{55+0}{6} = \dfrac{55}{6} \approx \textcolor{colorprop}{9{,}2}$. Avec $6$ valeurs, la médiane est la moyenne de la troisième et de la quatrième : $\dfrac{10+11}{2} = \textcolor{colorprop}{10{,}5}$.
La moyenne a perdu presque $2$ points ; la médiane seulement $0{,}5$. La valeur extrême $0$ a tiré la moyenne, tandis que la médiane a résisté.

Compétences à pratiquer

Reconnaître l'effet d'une valeur extrême
Choisir entre moyenne et médiane

V Comparer deux séries

Méthode — Comparer deux séries

Comparer un indicateur de position : les moyennes — ou les médianes si une série contient une valeur extrême.
Comparer un indicateur de dispersion : les étendues — ou un autre indicateur de dispersion connu.
Conclure dans le contexte : même position mais dispersions différentes signifie « même niveau typique, mais pas la même régularité ».

Exemple

Alice et Bilal ont chacun tiré cinq volées au club de tir à l'arc.

Alice	6	7	8	9	10
Bilal	2	8	8	8	14

Comparer les deux séries.

Correction

Position : Alice $\dfrac{6+7+8+9+10}{5} = \dfrac{40}{5} = \textcolor{colorprop}{8}$ ; Bilal $\dfrac{2+8+8+8+14}{5} = \dfrac{40}{5} = \textcolor{colorprop}{8}$ — et les deux médianes valent aussi $8$. Les deux archers ont le même niveau typique.
Dispersion : Alice $10-6 = \textcolor{colorprop}{4}$ ; Bilal $14-2 = \textcolor{colorprop}{12}$.
Dans le contexte : même niveau, mais l'étendue d'Alice est trois fois plus petite — c'est elle la plus régulière des deux ; Bilal peut tirer un $14$ — et un $2$.

Compétences à pratiquer

Évaluer des affirmations statistiques
Comparer avec la moyenne et l'étendue

VI Statistiques au tableur

Pour douze valeurs, le papier et le crayon suffisent. Pour douze cents valeurs, les statisticiens utilisent un tableur : les données occupent une colonne, une formule calcule l'indicateur — et le recalcule instantanément dès qu'une valeur change.

Signaler une erreur

Méthode — Les formules statistiques au tableur

Dans un tableur, une plage comme B2:B13 désigne « toutes les cellules de B2 jusqu'à B13 ». Une formule commence toujours par le signe =.

=MOYENNE(B2:B13) calcule la moyenne de la plage ;
=MEDIANE(B2:B13) calcule la médiane ;
=MAX(B2:B13)-MIN(B2:B13) calcule l'étendue de la série.

Exemple

Une boulangère note dans un tableur le nombre de baguettes vendues chaque jour pendant $12$ jours.

Qu'affichent les formules =MOYENNE(B2:B13), =MEDIANE(B2:B13) et =MAX(B2:B13)-MIN(B2:B13) ?

Correction

La plage B2:B13 contient les $12$ ventes.

=MOYENNE(B2:B13) : la somme vaut $520$, donc la moyenne vaut $\dfrac{520}{12} \approx \textcolor{colorprop}{43{,}3}$ baguettes par jour.
=MEDIANE(B2:B13) : une fois la série ordonnée, les sixième et septième valeurs sont $42$ et $43$, donc la médiane vaut $\dfrac{42+43}{2} = \textcolor{colorprop}{42{,}5}$.
=MAX(B2:B13)-MIN(B2:B13) : $53 - 36 = \textcolor{colorprop}{17}$ baguettes — l'étendue.

Compétences à pratiquer

Lire des formules de tableur
Prédire le résultat d'une formule
Corriger des formules de tableur

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Mener une enquête complète
Quiz