Éducation Nationale Française · Quatrième

Parallélogrammes et translations

⌚ ~122 min ▢ 13 blocs ✓ 55 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Pyramides et cônes

I Les symétries

Définition — Symétrique d’un point

Le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$ (son image par le demi-tour autour de $O$) est le point $M'$ tel que $O$ est le milieu du segment $\SegmentFr{MM'}$. Autrement dit, $OM = OM'$ et les points $M$, $O$ et $M'$ sont alignés, $M$ et $M'$ étant de part et d'autre de $O$. (Si $M = O$, son symétrique est $O$ lui-même.)

Définition — Symétrie centrale

La symétrie centrale d’un objet par rapport au point $O$ est obtenue en construisant le symétrique de chacun de ses points par rapport à $O$. L’image a la même taille et la même forme que l’objet, mais elle est tournée de $180^\circ$ autour de $O$.

Proposition — Propriétés de conservation

Une symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d'angles, les périmètres et les aires : l'image d'une figure est une copie identique de la figure, tournée d'un demi-tour. En particulier :

l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
l'image d'une droite est une droite parallèle à celle-ci (ou confondue avec elle) ;
l'image d'un cercle est un cercle de même rayon ;
si des points sont alignés, leurs images sont alignées aussi.

Compétences à pratiquer

Déterminer les images de points par une symétrie centrale
Reconnaître l'image d'une figure par une symétrie centrale
Identifier les symétries axiales
Dessiner les figures images
Dessiner la figure miroir

II Les parallélogrammes

Définition — Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel les deux paires de côtés opposés sont parallèles.

Proposition — Propriétés d’un parallélogramme

Les côtés opposés sont de longueur égale.
Les angles opposés sont égaux.
Les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme est égale à $180^\circ$).
Les diagonales se coupent en leur milieu (chacune coupe l'autre en son milieu).

Proposition — Centre de symétrie d'un parallélogramme

Le point $O$ où se croisent les deux diagonales d'un parallélogramme est son centre de symétrie : le demi-tour autour de $O$ transforme le parallélogramme exactement en lui-même, en envoyant chaque sommet sur le sommet opposé ($A$ sur $C$, et $B$ sur $D$).

Réciproquement, un quadrilatère non croisé qui a un centre de symétrie est un parallélogramme : le demi-tour autour de ce centre envoie chaque sommet sur le sommet opposé, donc le centre est le milieu commun des deux diagonales.

Preuve

On note $O$ le milieu de la diagonale $\SegmentFr{AC}$ : le demi-tour de centre $O$ envoie $A$ sur $C$ et $C$ sur $A$. D'après les propriétés de conservation de la symétrie centrale, l'image de la droite $(AB)$ est une droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$, l'image de $A$ : c'est la droite $(CD)$, puisque $ABCD$ est un parallélogramme. De même, l'image de la droite $(CB)$ est la parallèle à $(CB)$ passant par $A$ : c'est $(AD)$. Le point $B$ est à la fois sur $(AB)$ et sur $(CB)$, donc son image est à la fois sur $(CD)$ et sur $(AD)$ : c'est $D$.
Le demi-tour de centre $O$ envoie donc $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$ : le parallélogramme retombe exactement sur lui-même, $O$ est un centre de symétrie, et les propriétés en découlent aussitôt :

le demi-tour amène le côté $[AB]$ sur le côté $[CD]$, et le côté $[AD]$ sur le côté $[CB]$, donc les côtés opposés sont égaux et les angles opposés sont égaux ;
le demi-tour envoie $B$ sur $D$ en laissant $O$ fixe, donc $O$ est aussi le milieu de $[BD]$ : les diagonales se coupent en $O$, en leur milieu.

La dernière propriété en découle : les quatre angles d'un quadrilatère ont pour somme $360^\circ$ (on le coupe le long d'une diagonale : deux triangles, $2 \times 180^\circ$), et puisque les angles opposés sont égaux, deux angles consécutifs en font la moitié, $180^\circ$ — les angles consécutifs sont supplémentaires.

Proposition — Reconnaître un parallélogramme

Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si l'une des conditions suivantes est vraie :

ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (c'est la définition) ;
ses côtés opposés sont égaux deux à deux ;
deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur ;
ses diagonales se coupent en leur milieu commun.

Proposition — Propriétés d’un carré

Les côtés opposés sont parallèles.
Les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de longueur égale.

Proposition — Propriétés d’un rectangle

Les côtés opposés sont de longueur égale.
Les côtés opposés sont parallèles.
Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de longueur égale.

Proposition — Propriétés d’un losange

Les côtés opposés sont parallèles.
Les angles opposés sont égaux.
Les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme est égale à $180^\circ$).
Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Proposition — Reconnaître les parallélogrammes particuliers

Un parallélogramme devient un quadrilatère particulier dès qu'une condition supplémentaire est vraie :

un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle ;
un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle ;
un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange ;
un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange ;
un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.

Compétences à pratiquer

Utiliser les propriétés du parallélogramme
Décider si un quadrilatère est forcément un parallélogramme
Reconnaître les parallélogrammes particuliers

III La translation qui transforme A en B

Découverte

Sur cette frise, le même drapeau se répète : chaque drapeau est obtenu en faisant glisser le précédent, sans le tourner et sans le retourner.

Comment décrire précisément ce glissement, pour que n'importe qui puisse placer le drapeau suivant exactement ?

Correction

Il suffit de donner un point $A$ et son image $B$ : le glissement est alors complètement connu. Chaque point du drapeau se déplace

selon la direction de la droite $(AB)$,
dans le sens de $A$ vers $B$,
de la longueur $AB$ (ici $3$ carreaux vers la droite).

Ce glissement s'appelle la translation qui transforme $A$ en $B$. Contrairement à un demi-tour (symétrie centrale), rien ne tourne : le drapeau garde son orientation.

Définition — Translation qui transforme A en B

Étant donnés deux points distincts $A$ et $B$, la translation qui transforme $A$ en $B$ est le glissement qui amène $A$ sur $B$.
L'image $M'$ d'un point $M$ s'obtient en déplaçant $M$

selon la direction de la droite $(AB)$,
dans le sens de $A$ vers $B$,
de la longueur $AB$.

Exemple

Sur le quadrillage, placer l'image $M'$ du point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$, puis donner ses coordonnées.

Correction

Pour aller de $A$ à $B$ : $\textcolor{colordef}{3}$ carreaux vers la droite et $\textcolor{colorprop}{1}$ carreau vers le haut. Le point $M$ doit faire exactement les mêmes déplacements :

$$M'(\textcolor{colordef}{5}\,;\textcolor{colorprop}{2})$$

Compétences à pratiquer

Reconnaître des translations
Déterminer les coordonnées d'images

IV Parallélogramme et propriétés de la translation

Proposition — Translation et parallélogramme

Si $M'$ est l'image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$, et si $M$ n'est pas sur la droite $(AB)$, alors $$\textcolor{colorprop}{ABM'M \text{ est un parallélogramme.}}$$ En effet, les segments $[AB]$ et $[MM']$ sont parallèles et de même longueur — d'après le critère du parallélogramme : deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur (et $ABM'M$ est non croisé : $M$ et $M'$ se suivent dans le même sens que $A$ et $B$).
(Si $M$ est sur la droite $(AB)$, les quatre points sont alignés : le parallélogramme est aplati.)

Méthode — Construire une image au compas

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ hors de la droite $(AB)$, par la translation qui transforme $A$ en $B$ (sans quadrillage), utiliser le parallélogramme $ABM'M$ :

Tracer un arc de cercle de centre $M$ et de rayon $AB$.
Tracer un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $AM$.
Le point $M'$ est à l'intersection des deux arcs située de l'autre côté de la droite $(MB)$ que $A$ — pour que $ABM'M$ soit non croisé.

(Si $M$ est sur la droite $(AB)$ : reporter simplement la longueur $AB$ sur la droite, dans le sens de $A$ vers $B$.)

Exemple

$A$, $B$ et $M$ sont trois points, sans quadrillage. Construire l'image $M'$ de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$, puis expliquer la construction.

Correction

$ABM'M$ doit être un parallélogramme, donc $MM' = AB$ et $BM' = AM$ :

l'arc de centre $M$ et de rayon $AB$ contient les points à la distance $AB$ de $M$ ;
l'arc de centre $B$ et de rayon $AM$ contient les points à la distance $AM$ de $B$ ;
leur intersection, choisie pour que $ABM'M$ soit non croisé, est $M'$ : les côtés opposés sont alors deux à deux de même longueur — le critère du parallélogramme.

Proposition — Propriétés de conservation

Une translation conserve les longueurs, les mesures d'angles, les périmètres et les aires : l'image d'une figure est une copie identique de la figure, glissée sans tourner. En particulier :

l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
l'image d'une droite est une droite parallèle à celle-ci (ou confondue avec elle) ;
l'image d'un cercle est un cercle de même rayon ;
si des points sont alignés, leurs images sont alignées aussi.

Exemple

Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une translation. Dans le triangle $ABC$ : $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm et $\AngleFr{ABC} = 35^\circ$.
Sans rien mesurer, donner $A'B'$, $B'C'$ et $\AngleFr{A'B'C'}$.

Correction

Une translation conserve les longueurs et les mesures d'angles, donc $$A'B' = AB = {4} \text{ cm}, \quad B'C' = BC = {6} \text{ cm}, \quad \AngleFr{A'B'C'} = \AngleFr{ABC} = {35^\circ}$$

Compétences à pratiquer

Construire des images
Utiliser les propriétés de conservation

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Résoudre des problèmes avec des translations
Quiz