Éducation Nationale Française · Quatrième

Le théorème de Thalès, agrandissements et réductions (programme 2018, jusqu'en 2027)

⌚ ~43 min ▢ 5 blocs ✓ 20 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Triangles

I Le théorème de Thalès

Théorème — Théorème de Thalès

Soit un triangle $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$, avec un point $\textcolor{colorprop}{D}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$ et un point $\textcolor{colorprop}{E}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{C}}$, tous deux distincts de $A$.
Si la droite $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}$ est parallèle à la droite $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$, alors les triangles $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$ et $\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}$ sont semblables : $$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$ Configurations de Thalès : figures clés

Chaque triangle bleu est semblable au triangle rouge.

Preuve

On prouve d'abord $\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}}$ à l'aide des aires.
On relie $\textcolor{colordef}{B}$ à $\textcolor{colorprop}{E}$ et $\textcolor{colordef}{C}$ à $\textcolor{colorprop}{D}$. Les triangles $\triangle B\textcolor{colorprop}{DE}$ et $\triangle C\textcolor{colorprop}{DE}$ ont la même base $\SegmentFr{DE}$ et la même hauteur — la distance entre les droites parallèles $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}$ et $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$ — donc la même aire. En ajoutant à chacun l'aire de $\triangle A\textcolor{colorprop}{DE}$, on obtient$$\text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{B}\textcolor{colorprop}{E}) = \text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{D}).$$

Or $\triangle A\textcolor{colorprop}{DE}$ et $\triangle A\textcolor{colordef}{B}\textcolor{colorprop}{E}$ ont le même sommet $\textcolor{colorprop}{E}$ et leurs bases $A\textcolor{colorprop}{D}$, $A\textcolor{colordef}{B}$ sont portées par la même droite : leurs aires sont dans le rapport des bases ; de même pour $\triangle A\textcolor{colorprop}{DE}$ et $\triangle A\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{D}$ avec les bases $A\textcolor{colorprop}{E}$, $A\textcolor{colordef}{C}$. Donc$$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colorprop}{DE})}{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{B}\textcolor{colorprop}{E})} = \dfrac{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colorprop}{DE})}{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{D})} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}}.$$ Pour le troisième rapport, on trace la droite passant par $\textcolor{colorprop}{E}$ parallèle à $\LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$ ; elle coupe $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$ en un point $F$. Le quadrilatère $\textcolor{colorprop}{D}\textcolor{colordef}{B}F\textcolor{colorprop}{E}$ a deux paires de côtés parallèles : c'est un parallélogramme, donc $\textcolor{colordef}{B}F = \textcolor{colorprop}{DE}$.

En appliquant le premier résultat dans le triangle lu depuis $\textcolor{colordef}{C}$ (avec la parallèle $\LineFr{\textcolor{colorprop}{E}F} \parallel \LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$) :$$\dfrac{\textcolor{colordef}{C}F}{\textcolor{colordef}{CB}} = \dfrac{\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{E}}{\textcolor{colordef}{C}A}, \quad\text{d'où, comme } BF = BC - CF \text{ et } AE = AC - CE,\quad \dfrac{\textcolor{colordef}{B}F}{\textcolor{colordef}{BC}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} \quad\text{et donc}\quad \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}}.$$ Enfin, puisque $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}} \parallel \textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$, les angles correspondants sont égaux ($\AngleFr{A\textcolor{colorprop}{DE}} = \AngleFr{A\textcolor{colordef}{BC}}$ et $\AngleFr{A\textcolor{colorprop}{ED}} = \AngleFr{A\textcolor{colordef}{CB}}$) et l'angle $\AngleFr{A}$ est commun : les triangles $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$ et $\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}$ ont des angles égaux et des côtés proportionnels — on dit qu'ils sont semblables :$$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$ Cette démonstration traite le cas où $D$ est sur le segment $\SegmentFr{AB}$ ; les autres positions ($D$ au-delà de $B$, ou $D$ et $E$ de l'autre côté de $A$ par rapport à $B$ et $C$ — la configuration « papillon » présentée ci-dessous) s'y ramènent et sont admises.

Exemple

Dans le triangle $ABC$, le point $D$ est sur le segment $\SegmentFr{AB}$ et le point $E$ sur le segment $\SegmentFr{AC}$, avec $(DE) \parallel (BC)$, $AD = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm et $AC = 10$ cm. Calculer $AE$.

Correction

Les droites $\LineFr{DB}$ et $\LineFr{EC}$ se coupent en $A$, et $(DE) \parallel (BC)$ : par le théorème de Thalès, $$\begin{aligned}[t]\dfrac{AD}{AB} &= \dfrac{AE}{AC} \\ \dfrac{3}{7{,}5} &= \dfrac{AE}{10} \\ AE &= \dfrac{3 \times 10}{7{,}5} = 4 \text{ cm.}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Thalès sans justifier
Appliquer le théorème de Thalès

II La réciproque

Théorème — Réciproque du théorème de Thalès

Soit $\triangle ABC$ un triangle, $D$ un point de la demi-droite $\RayFr{AB}$ et $E$ un point de la demi-droite $\RayFr{AC}$, tous deux distincts de $A$ — ou, en position papillon, $D$ et $B$ de part et d'autre de $A$, de même $E$ et $C$.
Si $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC},$$ alors la droite $\LineFr{DE}$ est parallèle à la droite $\LineFr{BC}$.

Preuve

On trace la droite passant par $D$ parallèle à $\LineFr{BC}$ : elle coupe la demi-droite $\RayFr{AC}$ en un point $E'$. D'après le théorème de Thalès,$$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE'}{AC}.$$ En comparant avec l'hypothèse $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$, on obtient $AE' = AE$. Les points $E$ et $E'$ sont sur la même demi-droite $\RayFr{AC}$ à la même distance de $A$, donc $E' = E$. Ainsi $\LineFr{DE} = \LineFr{DE'}$ est parallèle à $\LineFr{BC}$. La démonstration ci-dessus traite les demi-droites $\RayFr{AB}$ et $\RayFr{AC}$ ; la position papillon s'y ramène et est admise.

Exemple

Dans le triangle $ABC$, le point $D$ est sur le segment $\SegmentFr{AB}$ et le point $E$ sur le segment $\SegmentFr{AC}$, avec $AD = 2$ cm, $AB = 5$ cm, $AE = 2{,}4$ cm et $AC = 6$ cm. Les droites $\LineFr{DE}$ et $\LineFr{BC}$ sont-elles parallèles ?

Correction

$$\begin{aligned}[t] \dfrac{AD}{AB} &= \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \\ \dfrac{AE}{AC} &= \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4 \end{aligned}$$ Les deux rapports sont égaux, et $D$, $E$ sont sur les demi-droites $\RayFr{AB}$, $\RayFr{AC}$ : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $\LineFr{DE} \parallel \LineFr{BC}$.

Compétences à pratiquer

Utiliser la réciproque

III Agrandissements et réductions

Dans les deux configurations de Thalès, le petit triangle est une réduction du grand (ou le grand, un agrandissement du petit) : toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre positif $k$, le rapport de l'agrandissement ou de la réduction — un agrandissement quand $k > 1$, une réduction quand $0 < k < 1$ (et une reproduction à l'identique quand $k = 1$).

Signaler une erreur

Proposition — Effets d'un agrandissement ou d'une réduction

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :

toutes les longueurs sont multipliées par $k$ ;
toutes les aires sont multipliées par $k^2$ ;
tous les volumes sont multipliés par $k^3$.

Les angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés.

Exemple

Un triangle a un périmètre de $12$ cm et une aire de $6$ cm$^2$. On l'agrandit avec le rapport $k = 5$. Donner le périmètre et l'aire du triangle agrandi.

Correction

Le périmètre est une longueur : il est multiplié par $k = 5$, soit $12 \times 5 = 60$ cm. L'aire est multipliée par $k^2 = 25$, soit $6 \times 25 = 150$ cm$^2$ — pas par $5$ (voir la remarque : c'est $k^2$, pas $k$).

Compétences à pratiquer

Effets d'un agrandissement ou d'une réduction

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes