Éducation Nationale Française · Cinquième
Nombres relatifs
I
Les nombres relatifs
I.1
Signe et opposé
On imagine un monde avec deux types de particules : les positives (+) et les négatives (-). Elles interagissent de manière spécifique.
- Lorsque des particules du même type se rencontrent, elles unissent leurs forces.
- Lorsqu'une particule positive et une négative se rencontrent, elles s'annulent, ne laissant rien. C'est une paire nulle.
- Lorsque 2 positifs rencontrent 1 négatif, une paire nulle se forme, laissant 1 positif.
- Pour indiquer le type de particule, on place un signe devant le nombre :
- Le signe + pour un groupe de positifs.
- Le signe - pour un groupe de négatifs.
- Le signe + pour un groupe de positifs.
- Lorsque 3 positifs rencontrent 1 négatif :
- Lorsque 2 positifs rencontrent 2 négatifs :
Définition — Entiers relatifs
Les entiers relatifs sont l'ensemble formé des entiers naturels (\(0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,\dots\)) et de leurs opposés (\(0\,;\,-1\,;\,-2\,;\,-3\,;\,\dots\)). - Les nombres positifs (\(\textcolor{colordef}{+0}\,;\,\textcolor{colordef}{+1}\,;\,\textcolor{colordef}{+2}\,;\,\dots\)) sont écrits avec un signe positif \((+)\). Ce signe est souvent omis (\(\textcolor{colordef}{+2}=\textcolor{colordef}{2}\)).
\(\textcolor{colordef}{+2}=\) 
- Les nombres négatifs (\(\textcolor{colorprop}{-0}\,;\,\textcolor{colorprop}{-1}\,;\,\textcolor{colorprop}{-2}\,;\,\dots\)) sont écrits avec un signe négatif \((-)\).
\(\textcolor{colorprop}{-3}=\) 
- Zéro (\(0\)) est à la fois positif et négatif : on peut l'écrire \(\textcolor{colordef}{+0}\) ou \(\textcolor{colorprop}{-0}\).
- Deux entiers sont opposés s'ils ont le même nombre d'unités avec des signes contraires ; zéro est son propre opposé. La figure ci-dessous montre que réunir \((+2)\) et \((-2)\) ne laisse aucune unité.
\(\textcolor{colorprop}{-2}\) est l'opposé de \(\textcolor{colordef}{+2}\). - Pour éviter la confusion entre le signe d'un nombre et un signe d'opération, on utilise souvent des parenthèses. Par exemple, \(\textcolor{colordef}{+1}+\textcolor{colorprop}{-2}\) peut s'écrire \(\textcolor{colordef}{(+1)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\).
Compétences à pratiquer
- Compter les nombres positifs et négatifs
- Écrire les entiers relatifs à partir des mots
- Déterminer l'opposé
I.2
La droite graduée et la distance à zéro
Sur une droite graduée, \(0\) est sur une graduation, et les nombres \(\textcolor{colordef}{+1}\,;\,\textcolor{colordef}{+2}\,;\,\textcolor{colordef}{+3}\,;\,\ldots\) vont à droite de \(0\), un pas à chaque graduation. La droite est maintenant tracée de l'autre côté de \(0\) aussi. 
Comment la droite continue-t-elle en dessous de \(0\), vers la gauche ? Quels nombres placer sur les graduations à gauche de \(0\) ?
Vers la droite, chaque graduation vaut un pas de plus : \(0\) ; \(\textcolor{colordef}{+1}\) ; \(\textcolor{colordef}{+2}\) ; …\ Vers la gauche à partir de \(0\), chaque graduation vaut un pas de moins : un pas à gauche de \(0\), c'est \(\textcolor{colorprop}{-1}\) ; deux pas à gauche, c'est \(\textcolor{colorprop}{-2}\) ; trois pas, c'est \(\textcolor{colorprop}{-3}\), et ainsi de suite.
En dessous de \(0\), la droite continue vers la gauche avec les nombres négatifs \(\textcolor{colorprop}{-1}\,;\,\textcolor{colorprop}{-2}\,;\,\textcolor{colorprop}{-3}\,;\,\ldots\) 
En dessous de \(0\), la droite continue vers la gauche avec les nombres négatifs \(\textcolor{colorprop}{-1}\,;\,\textcolor{colorprop}{-2}\,;\,\textcolor{colorprop}{-3}\,;\,\ldots\)
Définition — Droite graduée
Une droite graduée est une droite avec des graduations régulières : une graduation est \(0\), les nombres positifs sont à droite de \(0\), les nombres négatifs à gauche, et le pas d'une graduation à la suivante est toujours le même. 
Définition — Distance à zéro
La distance à zéro d'un nombre est la distance qui sépare son point du point \(0\) sur la droite graduée. Elle ne dépend pas du signe : \(\textcolor{colordef}{+3}\) et \(\textcolor{colorprop}{-3}\) ont la même distance à zéro, qui vaut \(3\). Cette distance est aussi appelée la valeur absolue du nombre : pour un nombre \(n\), elle se note \(|n|\), et l'on écrit \(|+3| = |-3| = 3\). Exemple
- \(\textcolor{colordef}{+2}\) est à \(2\) unités à droite de \(0\) : sa distance à zéro est \(2\).
- \(\textcolor{colorprop}{-3}\) est à \(3\) unités à gauche de \(0\) : sa distance à zéro est \(3\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer x sur la droite graduée
- Placer des nombres sur la droite graduée
- Déterminer la distance à zéro
I.3
Comparer et ranger
Quel est le plus grand nombre : \(\textcolor{colorprop}{-4}\) ou \(\textcolor{colorprop}{-2}\) ? Tom dit \(\textcolor{colorprop}{-4}\), parce que \(4\) est plus grand que \(2\). Utiliser la droite graduée pour décider. 
Sur la droite graduée, de gauche à droite, les nombres augmentent : $$\dots\lt\textcolor{colorprop}{-3}\lt\textcolor{colorprop}{-2}\lt\textcolor{colorprop}{-1}\lt 0 \lt \textcolor{colordef}{+1}\lt\textcolor{colordef}{+2}\lt\textcolor{colordef}{+3}\lt\dots$$ 
\(\textcolor{colorprop}{-2}\) est à droite de \(\textcolor{colorprop}{-4}\), donc \(\textcolor{colorprop}{-2}\) est le plus grand : \(\textcolor{colorprop}{-4}\lt \textcolor{colorprop}{-2}\). Tom se trompe : de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.
- De même, \(\textcolor{colordef}{+3}\) est à droite de \(\textcolor{colorprop}{-5}\), donc \(\textcolor{colorprop}{-5} \lt \textcolor{colordef}{+3}\) : un nombre positif est plus grand qu'un nombre négatif (tous deux non nuls).
- \(\textcolor{colordef}{+6}\) est à droite de \(\textcolor{colordef}{+4}\), donc \(\textcolor{colordef}{+4}\lt \textcolor{colordef}{+6}\) : de deux nombres positifs, le plus grand est celui qui est le plus éloigné de zéro.
Méthode — Comparer deux nombres
- Lorsqu'un nombre est positif et l'autre négatif (tous deux non nuls), le nombre positif est plus grand.
- Lorsque les deux nombres sont négatifs, le nombre le plus proche de zéro est plus grand (le nombre avec la plus petite distance à zéro est plus grand).
- Lorsque les deux nombres sont positifs, le nombre le plus éloigné de zéro est plus grand (le nombre avec la plus grande distance à zéro est plus grand).
- \(0\) est plus grand que tout nombre strictement négatif et plus petit que tout nombre strictement positif.
- Lorsque les deux nombres sont égaux, aucun n'est plus grand que l'autre : on écrit \(a = b\).
Exemple
Comparer \(\textcolor{colorprop}{-4}\) et \(\textcolor{colordef}{+3}\). - Comme \(\textcolor{colordef}{+3}\) est positif et \(\textcolor{colorprop}{-4}\) est négatif, le nombre positif est plus grand que le nombre négatif : \(\textcolor{colorprop}{-4} < \textcolor{colordef}{+3}\).
-
Méthode — Ranger plusieurs nombres relatifs
- Séparer les négatifs, zéro et les positifs : tout nombre strictement négatif est plus petit que \(0\), et \(0\) est plus petit que tout nombre strictement positif.
- Ranger les négatifs entre eux avec les distances à zéro : le négatif de plus grande distance à zéro est le plus petit.
- Ranger les positifs comme d'habitude, comme les nombres sans signe.
- Écrire la chaîne dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant.
Exemple
Ranger dans l'ordre croissant : \(+3 \; ; \; -5 \; ; \; 0 \; ; \; -2 \; ; \; +1\).
Les négatifs d'abord : \(-5\) est à \(5\) de zéro, \(-2\) est à \(2\), donc \(-5 < -2\). Puis zéro, puis les positifs \(+1 < +3\) : $$-5 < -2 < 0 < +1 < +3.$$
Compétences à pratiquer
- Comparer des petits nombres relatifs
- Comparer des nombres relatifs
- Comparer des nombres relatifs dans des problèmes concrets
- Ranger des nombres relatifs : niveau 1
- Ranger des nombres relatifs : niveau 2
II
Additionner et soustraire
II.1
Additionner
Exemple
Calculer \(\textcolor{colordef}{(+1)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\). -
- Donc, \(\textcolor{colordef}{(+1)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colorprop}{-1}\).
Méthode — Règles de l'addition
- Lorsqu'on ajoute deux nombres positifs, on ajoute leurs distances à zéro. La somme est un nombre positif : $$\textcolor{colordef}{(+2)}+\textcolor{colordef}{(+4)}=\textcolor{colordef}{+6} \quad \text{car }2+4=6.$$
- Lorsqu'on ajoute deux nombres négatifs, on ajoute leurs distances à zéro. La somme est un nombre négatif : $$\textcolor{colorprop}{(-5)}+\textcolor{colorprop}{(-3)}=\textcolor{colorprop}{-8} \quad \text{car }5+3=8.$$
- Lorsqu'on ajoute un nombre positif et un nombre négatif, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, puis on prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro. Lorsque les deux distances à zéro sont égales, la somme vaut \(0\) (les deux nombres sont opposés).
\(\textcolor{colorprop}{(-2)}+\textcolor{colordef}{(+5)}=\textcolor{colordef}{+3} \quad \text{car }5-2=3\)
\(\textcolor{colordef}{(+2)}+\textcolor{colorprop}{(-6)}=\textcolor{colorprop}{-4} \quad \text{car }6-2=4\)
Exemple
Calculer \(\textcolor{colorprop}{(-10)}+\textcolor{colordef}{(+3)}\). - \(\textcolor{colorprop}{(-10)}+\textcolor{colordef}{(+3)}=\textcolor{colorprop}{-7} \quad \text{car }10-3=7.\)
-
Écriture simplifiée. Dans une somme, on peut supprimer les parenthèses et les signes \(+\) de tête ; quand un signe d'opération \(+\) rencontre un signe de nombre \(-\), seul le \(-\) reste : $$(+3) + (-5) = 3 + (-5) = 3 - 5 \qquad\qquad -5 + 8 \text{ se lit } (-5) + (+8).$$ Les deux écritures désignent le même calcul ; la simplifiée est celle de tous les jours.
Ajouter peut diminuer. Avec les nombres sans signe, ajouter faisait toujours grandir. Avec les nombres relatifs, c'est le signe du nombre ajouté qui décide, et non l'opération : $$\textcolor{colordef}{(+5)}+\textcolor{colorprop}{(-3)}=\textcolor{colordef}{+2} \quad\text{est plus petit que}\quad \textcolor{colordef}{+5}.$$ La lecture vaut dans l'autre sens : soustraire un nombre négatif fait grandir, puisque \(\textcolor{colordef}{(+5)}-\textcolor{colorprop}{(-3)}=\textcolor{colordef}{+8}\). On ne décide donc jamais d'après l'opération seule ; on lit le signe du nombre ajouté ou soustrait.
Compétences à pratiquer
- Additionner des petits nombres relatifs
- Déterminer les nombres manquants dans les additions
- Additionner des nombres relatifs
- Additionner des nombres relatifs sans signes explicites
- Additionner plusieurs nombres relatifs
- Additionner des nombres relatifs dans des problèmes concrets
II.2
Soustraire
-
- Pour la soustraction, \(\textcolor{colordef}{(+3)}-\textcolor{colordef}{(+2)}\) :
- Pour l'addition, \(\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\) :
- Donc, ces deux opérations sont équivalentes :
\(\textcolor{colordef}{(+3)}-\textcolor{colordef}{(+2)}=\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\) 
- Pour la soustraction, \(\textcolor{colordef}{(+3)}-\textcolor{colordef}{(+2)}\) :
-
- Pour la soustraction, \(\textcolor{colorprop}{(-3)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}\) :
- Pour l'addition, \(\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+2)}\) :
- Donc, ces deux opérations sont équivalentes :
\(\textcolor{colorprop}{(-3)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+2)}\) 
- Pour la soustraction, \(\textcolor{colorprop}{(-3)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}\) :
- En conclusion, ces exemples montrent un principe fondamental de l'arithmétique : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Définition — Soustraction
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Exemple
Calculer \(\textcolor{colordef}{(+4)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}\).
$$\begin{aligned}[t] \textcolor{colordef}{(+4)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}&=\textcolor{colordef}{(+4)}+\textcolor{colordef}{(+2)}&&\text{(ajouter l'opposé)}\\
&=\textcolor{colordef}{+6}&&\text{(même signe : ajouter les distances à zéro)} \end{aligned}$$ 
Exemple
Ce matin la température était de \(-2\,^\circ\)C ; cet après-midi elle est de \(+3\,^\circ\)C. Quelle est la variation de température ?
La variation est l'état final moins l'état initial : $$(+3) - (-2) = (+3) + (+2) = +5.$$ La température a augmenté de \(5\,^\circ\)C — une variation positive est une hausse, une négative une baisse.
Méthode — Distance entre deux points
Pour déterminer la distance entre deux points d'une droite graduée : - Repérer la plus grande abscisse et la plus petite — sur la droite, la plus grande est celle de droite.
- Soustraire la plus petite de la plus grande : la distance est cette différence.
- Contrôler le signe : une distance n'est jamais négative.
Exemple
Déterminer la distance entre les points d'abscisses \(\textcolor{colorprop}{-5}\) et \(\textcolor{colordef}{+2}\), puis entre ceux d'abscisses \(\textcolor{colorprop}{-6}\) et \(\textcolor{colorprop}{-2}\). - La plus grande est \(\textcolor{colordef}{+2}\), la plus petite est \(\textcolor{colorprop}{-5}\) : $$\textcolor{colordef}{(+2)}-\textcolor{colorprop}{(-5)}=\textcolor{colordef}{(+2)}+\textcolor{colordef}{(+5)}=\textcolor{colordef}{+7},$$ donc la distance vaut \(7\).
- La plus grande est \(\textcolor{colorprop}{-2}\), la plus petite est \(\textcolor{colorprop}{-6}\) : $$\textcolor{colorprop}{(-2)}-\textcolor{colorprop}{(-6)}=\textcolor{colorprop}{(-2)}+\textcolor{colordef}{(+6)}=\textcolor{colordef}{+4},$$ donc la distance vaut \(4\).
Compétences à pratiquer
- Convertir une soustraction en addition
- Soustraire des nombres relatifs étape par étape
- Soustraire des nombres relatifs
- Soustraire des nombres relatifs sans signes explicites
- Soustraire des nombres relatifs dans des problèmes concrets
- Calculer la distance entre deux points
II.3
Les nombres relatifs décimaux
Pendant trois jours de suite, la température baisse de \(1{,}5\,^\circ\)C par jour. La variation totale est : $$\textcolor{colorprop}{(-1{,}5)} + \textcolor{colorprop}{(-1{,}5)} + \textcolor{colorprop}{(-1{,}5)} = \textcolor{colorprop}{-4{,}5}\,^\circ\text{C}.$$ Les règles des nombres relatifs — opposé, comparaison, addition, soustraction — fonctionnent avec les nombres décimaux exactement comme avec les entiers.
Définition — Nombres relatifs
Tout nombre — positif, négatif ou nul, entier ou décimal — est un nombre relatif. Tout ce qui a été construit pour les entiers relatifs s'applique sans changement : opposé, distance à zéro, comparaison, addition et soustraction. Exemple
Comparer \(-2{,}4\) et \(-2{,}15\).
Les deux nombres sont négatifs : celui de plus grande distance à zéro est le plus petit. Ici \(-2{,}4\) est à \(2{,}4\) de zéro et \(-2{,}15\) est à \(2{,}15\), et \(2{,}4 > 2{,}15\), donc : $$-2{,}4 < -2{,}15.$$ Attention : \(2{,}4 > 2{,}15\) pour les positifs, mais l'ordre s'inverse pour les négatifs.
Exemple
Calculer \((-3{,}5) - (-1{,}2)\).
Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $$(-3{,}5) - (-1{,}2) = (-3{,}5) + (+1{,}2) = -2{,}3.$$
Compétences à pratiquer
- Déterminer des nombres décimaux sur la droite graduée
- Déterminer l'opposé pour les nombres décimaux
- Déterminer la distance à zéro pour les nombres décimaux
- Comparer des décimaux négatifs
- Ranger des relatifs décimaux
- Additionner des nombres décimaux relatifs
- Soustraire des nombres décimaux relatifs
II.4
Enchaîner additions et soustractions
Une expression peut mélanger additions et soustractions, ou utiliser des parenthèses. On suit alors un ordre fixe pour que tout le monde trouve le même résultat.
Méthode — Enchaîner additions et soustractions
Pour calculer un enchaînement d'additions et de soustractions : - on calcule d'abord ce qui est entre les parenthèses les plus intérieures ;
- on transforme chaque soustraction en addition de l'opposé ;
- puis on ajoute les termes de gauche à droite (on peut regrouper deux nombres opposés, car leur somme vaut \(0\)).
Proposition — Regrouper par signe
Dans une somme de nombres relatifs, on peut changer l'ordre des termes. On regroupe souvent tous les positifs ensemble, puis tous les négatifs : $$(+16) + (-11) + (+4) + (-9) = (16 + 4) + (-11 - 9) = (+20) + (-20) = 0.$$ Exemple
Calculer \(A=\textcolor{colordef}{(+8)}-\big(\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+5)}\big)\).
$$\begin{aligned}[t] A&=\textcolor{colordef}{(+8)}-\big(\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+5)}\big)&&\text{(parenthèse intérieure d'abord)}\\
&=\textcolor{colordef}{(+8)}-\textcolor{colordef}{(+2)}&&\text{(}\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+5)}=\textcolor{colordef}{+2}\text{)}\\
&=\textcolor{colordef}{(+8)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}&&\text{(ajouter l'opposé)}\\
&=\textcolor{colordef}{+6}&&\text{(signes contraires)} \end{aligned}$$
Exemple
Calculer \(B=\textcolor{colorprop}{(-4)}+\textcolor{colordef}{(+9)}-\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colorprop}{(-6)}\).
$$\begin{aligned}[t] B&=\textcolor{colorprop}{(-4)}+\textcolor{colordef}{(+9)}+\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-6)}&&\text{(ajouter l'opposé)}\\
&=\textcolor{colordef}{(+5)}+\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-6)}&&\text{(de gauche à droite)}\\
&=\textcolor{colordef}{(+8)}+\textcolor{colorprop}{(-6)}&&\text{(de gauche à droite)}\\
&=\textcolor{colordef}{+2}&&\text{(signes contraires)} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer des enchaînements sans parenthèses : niveau 1
- Calculer des enchaînements sans parenthèses : niveau 2
- Calculer des enchaînements avec parenthèses : niveau 1
- Calculer des enchaînements avec parenthèses : niveau 2
- Analyser l'impact des parenthèses
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des carrés magiques
- Résoudre des problèmes
- Quiz
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