Éducation Nationale Française · Cinquième

Divisibilité

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I Les nombres 1 et 0

Zéro $(0)$ et un $(1)$ sont des nombres aux propriétés particulières.

Proposition — Propriété de l'identité additive

Ajouter $0$ à n'importe quel nombre ne change pas ce nombre.
Pour tout nombre $a$, $$0 + a = a \quad \text{et} \quad a + 0 = a.$$

Exemple

$7 + 0 = 7$

Proposition — Propriété de l'identité multiplicative

Multiplier n'importe quel nombre par $1$ ne change pas ce nombre.
Pour tout nombre $a$, $$1 \times a = a \quad \text{et} \quad a \times 1 = a.$$

Exemple

$1 \times 7 = 7$

Multiplier par $0$ :
- Le produit de n'importe quel nombre et de $0$ est toujours $0$.
- Par exemple, $5 \times 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
Diviser par $0$ :
- Diviser un nombre non nul par $0$ conduit à une contradiction.
- Par exemple, si on suppose $a = 5 \div 0$, alors $a \times 0 = 5$. Mais c'est impossible car $a \times 0$ est toujours $0$, et non $5$.
- Le cas $0 \div 0$ est différent : il n'y a pas de contradiction, puisque $a \times 0 = 0$ est vrai pour tout nombre $a$ — mais alors aucun nombre ne s'impose, il n'y a pas de quotient unique. Dans les deux cas, diviser par $0$ n'a pas de sens.

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Proposition — Multiplication par 0

Pour n'importe quel nombre $a$, $$a \times 0 = 0 \quad \text{et} \quad 0 \times a = 0.$$

Proposition — Division par 0

Pour tout nombre $a$, la division $a \div 0$ n'a pas de sens.

Compétences à pratiquer

Appliquer des propriétés des nombres

II La division euclidienne

Théorème — Division avec reste

Pour tout entier naturel $\textcolor{olive}{a}$ et tout entier naturel non nul $\textcolor{colordef}{b}$, il existe des entiers naturels uniques $\textcolor{colorprop}{q}$ et $\textcolor{orange}{r}$ tels que $$\textcolor{olive}{a} = \textcolor{colordef}{b} \times \textcolor{colorprop}{q} + \textcolor{orange}{r} \quad \text{avec} \quad 0 \leq \textcolor{orange}{r} < \textcolor{colordef}{b}.$$

$\textcolor{olive}{a}$ est le $\textcolor{olive}{\text{dividende}}$ (le nombre à partager),
$\textcolor{colordef}{b}$ est le $\textcolor{colordef}{\text{diviseur}}$ (le nombre par lequel on divise / le nombre de groupes),
$\textcolor{colorprop}{q}$ est le $\textcolor{colorprop}{\text{quotient}}$ (la taille de chaque groupe),
$\textcolor{orange}{r}$ est le $\textcolor{orange}{\text{reste}}$.

Cette division s'appelle aussi la division euclidienne.

Exemple

$$ \begin{array}{ccccccccl} \textcolor{olive}{13} &=& \textcolor{colordef}{3} & \times & \textcolor{colorprop}{4} & + & \textcolor{orange}{1} & \text{avec} & 0 \leq\textcolor{orange}{1} < \textcolor{colordef}{3} \\ \textcolor{olive}{\text{Dividende}} &=& \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} & \times & \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}} & + & \textcolor{orange}{\text{Reste}} & \text{avec} & 0 \leq\textcolor{orange}{\text{Reste}} < \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} \end{array} $$

Compétences à pratiquer

Calculer la division avec reste
Résoudre des problèmes de la vie quotidienne

III Multiples et diviseurs

Découverte

Léa a $51$ cartes. Peut-elle les partager équitablement entre ses $3$ amis ? Et avec $52$ cartes ?

Correction

Avec $51$ cartes : $51 = 3 \times 17$, la division ne laisse aucun reste — chaque ami reçoit exactement $17$ cartes. Avec $52$ cartes : $52 = 3 \times 17 + 1$, une carte reste — le partage équitable est impossible. Quand le reste est nul, on dit que $51$ est divisible par $3$ : c'est exactement l'idée que la divisibilité rend précise.

Définition — Relations de divisibilité

On dit qu'un entier naturel non nul $b$ divise un entier naturel $a$ si $a$ peut être obtenu en multipliant $b$ par un entier naturel $k$ : $$ a = k \times b $$ En d'autres termes, le nombre $a$ apparaît dans la table de multiplication de $b$.
On peut également utiliser les formulations suivantes :

$b$ est un diviseur de $a$
$a$ est divisible par $b$
$a$ est un multiple de $b$

Exemple

On considère les nombres $10$ et $5$.
Puisqu'on peut écrire $\textcolor{olive}{10} = \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{5}$, on peut dire que :

$\textcolor{colordef}{5}$ divise $\textcolor{olive}{10}$.
$\textcolor{colordef}{5}$ est un diviseur de $\textcolor{olive}{10}$.
$\textcolor{olive}{10}$ est divisible par $\textcolor{colordef}{5}$.
$\textcolor{olive}{10}$ est un multiple de $\textcolor{colordef}{5}$.

Exemple

Lister les cinq premiers multiples non nuls de $7$.

Correction

On multiplie $7$ par $1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5$ tour à tour : $$7 \times 1 = 7 \qquad 7 \times 2 = 14 \qquad 7 \times 3 = 21 \qquad 7 \times 4 = 28 \qquad 7 \times 5 = 35$$ Les cinq premiers multiples non nuls de $7$ sont $7\,;\,14\,;\,21\,;\,28\,;\,35$ — et la liste ne s'arrête jamais : tout nombre non nul a une infinité de multiples.

Les nombres $0$ et $1$ jouent des rôles particuliers pour la divisibilité :

$1$ divise tout nombre entier : $n = n \times 1$ ;
tout nombre entier non nul divise $0$ : $0 = n \times 0$ ;
voilà pourquoi la définition exige $b \neq 0$ : diviser par $0$ n'est jamais permis.

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Méthode — Vérifier la divisibilité

Pour vérifier si un nombre $a$ est divisible par un nombre non nul $b$, effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$.

Si le reste est zéro, alors $a$ est divisible par $b$.
Si le reste n'est pas zéro, alors $a$ n'est pas divisible par $b$.

Exemple

$13$ est-il divisible par $5$ ?

Correction

On effectue la division de $13$ par $5$ : $$\textcolor{olive}{13} = \textcolor{colordef}{5} \times \textcolor{colorprop}{2} + \textcolor{orange}{3}$$ Le reste est $\textcolor{orange}{3}$ (ce n'est pas zéro). Donc $\textcolor{olive}{13}$ n'est pas divisible par $\textcolor{colordef}{5}$.

Méthode — Déterminer tous les diviseurs par paires

Chercher les diviseurs par paires : pour un nombre entier naturel $n$ non nul, chaque diviseur $d$ vient avec son partenaire $n \div d$.
Partir de $1$ et tester $2\,;\,3\,;\,4\,;\,\dots$ dans l'ordre, en écrivant chaque paire trouvée.
S'arrêter quand les paires se croisent : dès que le candidat $d$ vérifie $d \times d > n$, tous les diviseurs positifs sont trouvés — au-delà, chaque diviseur a déjà été rencontré comme partenaire d'un plus petit. Si une paire a deux membres égaux ($d \times d = n$), ce diviseur ne compte qu'une fois.

Exemple

Déterminer tous les diviseurs de $60$.

Correction

On teste les candidats dans l'ordre, par paires : $$1 \times 60 \qquad 2 \times 30 \qquad 3 \times 20 \qquad 4 \times 15 \qquad 5 \times 12 \qquad 6 \times 10$$ Le candidat $7$ ne divise pas $60$ ($60 = 7 \times 8 + 4$). Le candidat suivant est $8$, et $8 \times 8 = 64 > 60$ : on s'arrête, les paires se sont croisées. $$\text{Diviseurs de } 60 : \; 1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,10\,;\,12\,;\,15\,;\,20\,;\,30\,;\,60 \quad (\text{12 diviseurs}).$$

Compétences à pratiquer

Déterminer la divisibilité
Reconnaître des multiples
Produire des multiples
Reconnaître des diviseurs
Déterminer tous les diviseurs : niveau 1
Déterminer tous les diviseurs : niveau 2

IV Les critères de divisibilité

Les critères de divisibilité sont des méthodes rapides pour déterminer si un nombre entier est divisible par un autre, sans poser la division. Ces règles sont utiles pour simplifier les calculs et mieux comprendre les propriétés des nombres. Voici quelques critères de divisibilité courants :

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Proposition — Critères de divisibilité par 3 et 9

Un nombre entier est divisible par $3$ exactement lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
Un nombre entier est divisible par $9$ exactement lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Exemple

Déterminer si $948$ est divisible par $3$.

Correction

$948$ est divisible par $3$ car la somme de ses chiffres, $9 + 4 + 8 = 21$, est divisible par $3$ ($21 = 3 \times 7$).

Exemple

Déterminer si $948$ est divisible par $9$.

Correction

$948$ n'est pas divisible par $9$ car la somme de ses chiffres, $9 + 4 + 8 = 21$, n'est pas divisible par $9$ ($21 = 9 \times 2 + 3$).

Exemple

Les nombres $7\,254$ et $1\,372$ sont-ils divisibles par $3$ ? Par $9$ ?

Correction

Pour $7\,254$ : la somme des chiffres est $7 + 2 + 5 + 4 = 18$, multiple de $9$ — donc $7\,254$ est divisible par $9$, et donc aussi par $3$ (tout multiple de $9$ est un multiple de $3$).
Pour $1\,372$ : la somme des chiffres est $1 + 3 + 7 + 2 = 13$, qui n'est multiple ni de $3$ ni de $9$ — donc $1\,372$ n'est divisible ni par l'un ni par l'autre.

Pourquoi ces deux critères fonctionnent-ils ? Parce que $10$ ; $100$ ; $1\,000$ valent chacun un de plus qu'un multiple de $9$ : $$10 = 9 + 1, \qquad 100 = 99 + 1, \qquad 1\,000 = 999 + 1.$$ On prend $253 = 2 \times 100 + 5 \times 10 + 3$ et on remplace $100$ et $10$ : $$\begin{aligned} 253 &= 2 \times (99 + 1) + 5 \times (9 + 1) + 3 \\ &= \underbrace{2 \times 99 + 5 \times 9}_{\text{multiple de } 9} + \underbrace{(2 + 5 + 3)}_{\text{somme des chiffres}}. \end{aligned}$$ Ainsi $253$ et sa somme des chiffres diffèrent d'un multiple de $9$ : l'un est divisible par $9$ exactement quand l'autre l'est. Il en va de même pour n'importe quel nombre entier, puisque chacun de ses chiffres y est multiplié par $10$ ; $100$ ; $1\,000$ ; … — tous un de plus qu'un multiple de $9$. Et comme $99$ ; $999$ ; … sont aussi des multiples de $3$, le même raisonnement donne le critère de divisibilité par $3$.

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Définition — Nombres pairs et impairs

Un nombre entier est pair s'il est un multiple de $2$ ; son chiffre des unités est alors $0\,;\,2\,;\,4\,;\,6$ ou $8$.
Un nombre entier qui n'est pas pair est impair ; son chiffre des unités est alors $1\,;\,3\,;\,5\,;\,7$ ou $9$.

Exemple

Déterminer si $374$ et $481$ sont pairs ou impairs.

Correction

Le chiffre des unités de $374$ est $4$ : le nombre $374$ est pair (en effet $374 = 2 \times 187$).
Le chiffre des unités de $481$ est $1$ : le nombre $481$ est impair.

Proposition — Critères de divisibilité par 2 et 5

Un nombre entier est divisible par $2$ exactement lorsque son chiffre des unités est pair ($0\,;\,2\,;\,4\,;\,6$ ou $8$).
Un nombre entier est divisible par $5$ exactement lorsque son chiffre des unités est $0$ ou $5$.

Exemple

Déterminer si $946$ est divisible par $2$.

Correction

$946$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $6$, qui est pair.

Exemple

Déterminer si $947$ est divisible par $5$.

Correction

$947$ n'est pas divisible par $5$ car son chiffre des unités est $7$, qui n'est ni $0$ ni $5$.

Proposition — Critère de divisibilité par 10

Un nombre entier est divisible par $10$ exactement lorsque son chiffre des unités est $0$.

Exemple

Déterminer si $940$ et $945$ sont divisibles par $10$.

Correction

$940$ se termine par $0$ : il est divisible par $10$ (en effet $940 = 10 \times 94$).
$945$ se termine par $5$ : il n'est pas divisible par $10$.

Les critères qui suivent sont des compléments : ils peuvent être gardés pour une seconde lecture.

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Proposition — Critère de divisibilité par 6

Un nombre entier est divisible par $6$ exactement lorsqu'il est divisible à la fois par $2$ et par $3$. En effet $6 = 2 \times 3$ : tout multiple de $6$ est pair et multiple de $3$. La réciproque est admise : un nombre à la fois pair et multiple de $3$ est toujours un multiple de $6$.

Exemple

Déterminer si $8\,514$ est divisible par $6$.

Correction

Il faut vérifier les deux conditions.

Par $2$ : le dernier chiffre est $4$, qui est pair — donc $8\,514$ est divisible par $2$.
Par $3$ : la somme des chiffres vaut $8 + 5 + 1 + 4 = 18$, multiple de $3$ — donc $8\,514$ est divisible par $3$.

Les deux conditions sont remplies, donc $8\,514$ est divisible par $6$. Contrôle : $8\,514 = 6 \times 1\,419$.

Exemple

Déterminer si $2\,346$ est divisible par $6$, puis si $2\,344$ l'est.

Correction

Pour $2\,346$ : le dernier chiffre $6$ est pair, et $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ est multiple de $3$. Les deux conditions sont remplies, donc $2\,346$ est divisible par $6$ ($2\,346 = 6 \times 391$). Pour $2\,344$ : le dernier chiffre $4$ est pair, mais $2 + 3 + 4 + 4 = 13$ n'est pas multiple de $3$. Il suffit qu'une condition échoue : $2\,344$ n'est pas divisible par $6$.

Proposition — Critère de divisibilité par 4

Un nombre entier naturel est divisible par $4$ exactement lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$ (pour un nombre d'un seul chiffre, c'est le nombre lui-même).

Exemple

Déterminer si $917$ est divisible par $4$, puis si $1\,316$ l'est.

Correction

$917$ n'est pas divisible par $4$ car le nombre formé par ses deux derniers chiffres, $17$, n'est pas divisible par $4$ ($17 = 4 \times 4 + 1$). $1\,316$ est divisible par $4$ car le nombre formé par ses deux derniers chiffres, $16$, est divisible par $4$ ($16 = 4 \times 4$). Contrôle : $1\,316 = 4 \times 329$.

Compétences à pratiquer

Déterminer la divisibilité par 2 et 5
Déterminer la divisibilité par 10
Déterminer la divisibilité par 3 et 9
Déterminer le chiffre manquant
Déterminer la divisibilité par 6
Déterminer la divisibilité par 4

V Les nombres premiers

Découverte

Nora a un collier de $91$ perles. Elle veut toutes les disposer en un rectangle complet — au moins deux rangées égales d'au moins deux perles, sans qu'il en reste. Le peut-elle ? Et avec $97$ perles ? Pour quels nombres de perles la file unique est-elle la seule disposition possible ?

Correction

Avec $91$ perles : $91 = 7 \times 13$, donc un rectangle de $7$ rangées de $13$ perles convient. Avec $97$ perles : $97$ est impair, la somme de ses chiffres $16$ n'est pas un multiple de $3$, il ne se termine ni par $0$ ni par $5$, et $97 = 7 \times 13 + 6$ ; donc $2$ ; $3$ ; $5$ ou $7$ rangées ne conviennent pas, ni $4$ ; $6$ ; $8$ ou $9$ rangées (on pourrait les regrouper en $2$ ou $3$ rangées). Des rangées de $2$ à $9$ suffisent, car $10 \times 10 = 100 > 97$ : avec $10$ rangées ou plus, chaque rangée aurait moins de $10$ perles, et le rectangle tourné d'un quart de tour aurait moins de $10$ rangées — aucun rectangle n'existe à part la file $1 \times 97$. Parmi les nombres de perles strictement supérieurs à $1$, ceux dont la seule disposition est la file unique sont exactement les nombres premiers (une seule perle n'a rien à disposer, et $1$ n'est pas premier).

Définition — Nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier plus grand que $1$ qui a exactement deux diviseurs différents : $1$ et lui-même.
Un nombre entier plus grand que $1$ qui n'est pas premier est appelé un nombre composé.

Exemple

Indiquer si $6$ est un nombre premier.

Correction

Comme $2 \times 3 = 6$, $6$ n'est pas un nombre premier car il est divisible par $2$ et $3$, en plus de $1$ et $6$. Donc $6$ est un nombre composé.

Exemple

Indiquer si $5$ est un nombre premier.

Correction

$5$ est un nombre premier car il n'est divisible (sans reste) que par $1$ et par $5$. On ne peut pas le diviser exactement par $2$ ; $3$ ou $4$ (il y aurait un reste).

Proposition — Les 25 premiers nombres premiers

Voici la liste des 25 premiers nombres premiers : $$2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,11\,;\,13\,;\,17\,;\,19\,;\,23\,;\,29\,;\,31\,;\,37\,;\,41\,;\,43\,;\,47\,;\,53\,;\,59\,;\,61\,;\,67\,;\,71\,;\,73\,;\,79\,;\,83\,;\,89\,;\,97$$

Méthode — Tester si un nombre est premier

Pour décider si un nombre entier $n$ plus grand que $1$ est premier :

Vérifier les critères rapides : si $n$ est pair, ou si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$, ou s'il se termine par $0$ ou $5$, alors $n$ est composé (sauf si $n$ est $2$ ; $3$ ou $5$ lui-même).
Sinon, tester les nombres premiers suivants les uns après les autres ($7$ ; $11$ ; $13$ ; …) : diviser $n$ par chacun.
S'arrêter dès que le nombre premier $p$ à tester vérifie $p \times p > n$ : si aucun nombre premier avant ce point ne divise $n$, alors $n$ est premier. En effet, si $n$ est composé, il s'écrit $n = a \times b$ avec $1 < a \leq b$, donc $a \times a \leq n$. Et le plus petit diviseur de $n$ supérieur à $1$ est nécessairement premier : s'il ne l'était pas, il aurait lui-même un diviseur plus petit, qui diviserait $n$. Un nombre composé a donc toujours un facteur premier $p$ avec $p \times p \leq n$.

Exemple

$101$ est-il un nombre premier ?

Correction

$101$ est impair, la somme de ses chiffres $1 + 0 + 1 = 2$ n'est pas un multiple de $3$, et il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ : ni $2$, ni $3$, ni $5$ ne le divise. On teste les nombres premiers suivants : $101 = 7 \times 14 + 3$, donc $7$ ne le divise pas. Le nombre premier suivant est $11$, et $11 \times 11 = 121 > 101$ : on s'arrête. Aucun nombre premier jusqu'au point d'arrêt ne divise $101$ : le nombre $101$ est premier.

Culture : le crible d'Ératosthène. Il y a plus de deux mille ans, le savant grec Ératosthène a décrit une méthode pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à une borne choisie : écrire les nombres de $2$ jusqu'à la borne, garder $2$ et barrer ses multiples plus grands, garder le nombre suivant non barré ($3$) et barrer ses multiples plus grands, et ainsi de suite. Les nombres jamais barrés sont exactement les nombres premiers. Euclide, un peu plus tôt, a démontré que la liste des nombres premiers ne s'arrête jamais : il existe une infinité de nombres premiers.

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Compétences à pratiquer

Vérifier si un nombre est premier
Décider si un nombre est premier

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Quiz