Nombres relatifs : multiplication et division

• Lorsqu'un nombre est positif et l'autre négatif (tous deux non nuls), le nombre positif est plus grand.
• Lorsque les deux nombres sont négatifs, le nombre le plus proche de zéro est plus grand (le nombre avec la plus petite distance à zéro est plus grand).
• Lorsque les deux nombres sont positifs, le nombre le plus éloigné de zéro est plus grand (le nombre avec la plus grande distance à zéro est plus grand).
• \(0\) est plus grand que tout nombre strictement négatif et plus petit que tout nombre strictement positif.
• Lorsque les deux nombres sont égaux, aucun n'est plus grand que l'autre : on écrit \(a = b\).

1. Séparer les négatifs, zéro et les positifs : tout nombre strictement négatif est plus petit que \(0\), et \(0\) est plus petit que tout nombre strictement positif.
2. Ranger les négatifs entre eux avec les distances à zéro : le négatif de plus grande distance à zéro est le plus petit.
3. Ranger les positifs comme d'habitude, comme les nombres sans signe.
4. Écrire la chaîne dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant.

• Lorsqu'on ajoute deux nombres positifs, on ajoute leurs distances à zéro. La somme est un nombre positif : $$\textcolor{colordef}{(+2)}+\textcolor{colordef}{(+4)}=\textcolor{colordef}{+6} \quad \text{car }2+4=6.$$
• Lorsqu'on ajoute deux nombres négatifs, on ajoute leurs distances à zéro. La somme est un nombre négatif : $$\textcolor{colorprop}{(-5)}+\textcolor{colorprop}{(-3)}=\textcolor{colorprop}{-8} \quad \text{car }5+3=8.$$
• Lorsqu'on ajoute un nombre positif et un nombre négatif, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, puis on prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro. Lorsque les deux distances à zéro sont égales, la somme vaut \(0\) (les deux nombres sont opposés). \(\textcolor{colorprop}{(-2)}+\textcolor{colordef}{(+5)}=\textcolor{colordef}{+3} \quad \text{car }5-2=3\)
  \(\textcolor{colordef}{(+2)}+\textcolor{colorprop}{(-6)}=\textcolor{colorprop}{-4} \quad \text{car }6-2=4\)
  

Ajouter \(0\) ne change rien : \(0+(-3)=-3\).

Pour déterminer la distance entre deux points d'une droite graduée :

1. Repérer la plus grande abscisse et la plus petite — sur la droite, la plus grande est celle de droite.
2. Soustraire la plus petite de la plus grande : la distance est cette différence.
3. Contrôler le signe : une distance n'est jamais négative.

Lue dans l'autre sens, la différence donne le nombre opposé ; la distance est sa distance à zéro : \(\text{distance} = |a - b| = |b - a|\).

Le signe d'un produit de plusieurs nombres relatifs (tous les facteurs non nuls) ne dépend que du nombre de facteurs négatifs :

• un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ;
• un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.

Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul.

Pour calculer une expression :

• on calcule d'abord ce qui est entre les parenthèses les plus intérieures ;
• puis les puissances ;
• puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
• enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.

Une expression construite par un enchaînement d'opérations porte le nom de la dernière opération effectuée — celle que les priorités gardent pour la fin. Pour $$A = (-3)\times(+4)+(+2),$$ le produit \((-3)\times(+4)\) se calcule d'abord et l'addition vient en dernier : \(A\) est une somme — la somme du produit de \((-3)\) par \((+4)\), et de \((+2)\). Le même nommage couvre les quatre opérations : une différence si la soustraction vient en dernier, un produit si c'est la multiplication, un quotient si c'est la division.
Ce vocabulaire traduit les programmes de calcul dans les deux sens : le programme « choisir \((-3)\) ; multiplier par \((+4)\) ; ajouter \((+2)\) » fabrique exactement \(A\) — et, dans l'autre sens, lire \(A\) comme une somme dont le premier terme est un produit dicte le programme.