Éducation Nationale Française · Cinquième
Calcul littéral
I
Motifs et régularités
Pour une fête, on aligne des tables carrées. Une table seule reçoit \(4\) personnes, une par côté. Quand on colle des tables, les côtés collés ne reçoivent plus personne. 
\(\;,\quad\) 
\(\;,\quad\) 
\(\;,\; \dots\)
\(\;,\quad\) \(\;,\quad\) \(\;,\; \dots\) - Compter les places sur chaque figure et compléter le tableau.
Nombre de tables 1 2 3 4 Nombre de places \(4\) \(?\) \(?\) \(?\) - Décrire la règle en mots : on commence avec combien de places, et on en ajoute combien par table supplémentaire ?
- Combien de personnes peuvent s'asseoir sur une rangée de \(10\) tables ?
- Et sur une rangée de \(100\) tables ? Compter une à une devient déraisonnable : trouver une formule qui donne le nombre de places pour n'importe quel nombre \(n\) de tables.
- Chaque table supplémentaire supprime deux côtés collés et apporte deux nouvelles places de front : le compte grandit de \(2\) à chaque fois.
\(4 \xrightarrow{\;+2\;} 6 \xrightarrow{\;+2\;} 8 \xrightarrow{\;+2\;} 10\) - La règle est : on commence avec \(4\) places et on ajoute \(2\) places par table supplémentaire.
- De \(4\) tables à \(10\) tables, il y a \(6\) tables de plus, donc \(6 \times 2 = 12\) places de plus : les \(10\) places des \(4\) tables plus les \(12\) nouvelles donnent \(10 + 12 = 22\) places.
- On regarde la structure d'une rangée de \(n\) tables : chaque table offre \(2\) places (une au-dessus, une au-dessous), et les \(2\) bouts de la rangée offrent chacun une place de plus. Le nombre de places est donc $$\mathbf{2 \times n + 2}.$$ Contrôle avec le tableau : pour \(n = 4\), \(2 \times 4 + 2 = 8 + 2 = 10\) (on fait d'abord la multiplication). \(\checkmark\)
Pour \(100\) tables, la formule répond en une ligne : \(2 \times 100 + 2 = 202\) places.
Méthode — Déterminer la formule de la figure \(n\)
- Compléter le tableau pour les premières figures et dire la règle en mots : on commence avec ..., on ajoute ... à chaque fois.
- Regarder la structure : où les nouveaux bâtonnets ou points se placent-ils dans le dessin ? Qu'apporte chaque nouvelle figure ?
- Écrire le compte de la figure \(n\) : exprimer ce que l'on voit avec \(n\) — tant par case plus le départ, ou tant de branches de \(n\) moins le centre partagé. Dans une formule, on écrit \(2n\) pour \(2 \times n\), et \(3n + 4\) pour \(3 \times n + 4\).
- Contrôler : la formule doit redonner tous les nombres du tableau.
Exemple
Ce motif de points en « T » grandit à chaque figure. 
\(\quad,\quad\) 
\(\quad,\quad\) 
\(\quad,\; \dots\) - Tableau et règle : les nombres de points sont \(1\,;\,4\,;\,7\,;\,\dots\) — on commence avec \(1\) point et on ajoute \(3\) points à chaque fois.
Numéro de la figure 1 2 3 Nombre de points 1 4 7 - Structure : le « T » a \(3\) branches (gauche, droite, bas) de \(n\) points chacune, et elles partagent le point central — compté \(3\) fois au lieu de \(1\).
- Formule : \(3\) branches de \(n\) points, moins le centre compté deux fois de trop : $$\mathbf{3 \times n - 2}.$$
- Contrôle : \(n = 2\) donne \(3 \times 2 - 2 = 4\) \(\checkmark\) ; \(n = 3\) donne \(3 \times 3 - 2 = 7\) \(\checkmark\).
Pour la figure \(10\) : \(3 \times 10 - 2 = 28\) points.
Compétences à pratiquer
- Déterminer la règle d'un motif géométrique
- Déterminer la règle d'un motif de points
II
Qu'est-ce qu'une expression littérale ?
Définition — Constante
Une constante est un nombre. Exemple
\(0 \; ; \; 3 \; ; \; 2{,}5\) Définition — Variable
Une variable est une quantité que l'on représente par une lettre. Exemple
Définition — Expression
Une expression est un calcul écrit avec des nombres, des lettres et des signes d'opérations tels que \(+\), \(-\), \(\times\), \(\div\) et \(\sqrt{\ }\), sans signe égal. Un nombre ou une lettre seuls sont aussi des expressions. Exemple
Définition — Équation
Une équation est une égalité entre deux expressions, le membre de gauche et le membre de droite, séparées par un signe égal \(=\), et qui comporte au moins une inconnue — une lettre qui désigne un nombre que l'on cherche : la valeur qui rend l'égalité vraie. Exemple
Compétences à pratiquer
- Écrire des expressions
- Identifier les équations ou les expressions
- Identifier les variables ou les constantes
III
Écrire et simplifier
Définition — Notation du produit
On peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est suivi d'une variable ou d'une parenthèse. Exemple
- \(2 \times x = 2x\)
- \(2 \times (L+l) = 2(L+l)\)
Trois pièges classiques de la première rencontre avec les lettres :
- \(4x\) est une multiplication cachée : \(4x = 4 \times x\). Le \(4\) et le \(x\) ne sont pas « collés » : si \(x = 3\), alors \(4x = 12\), pas \(43\).
- Une lettre seule porte un coefficient invisible : \(x = 1x\).
- \(x + 2\) est une réponse terminée. Rien n'oblige à écrire en un seul symbole la somme d'une lettre et d'un nombre : \(x + 2\) ne s'écrit pas \(2x\).
Définition — Addition itérée
$$\overbrace{x + x + \ldots + x}^{n\text{ termes}} = n\times x$$ Exemple
$$x + x + 1 + 1 + 1 = 2x + 3$$
Définition — Multiplication itérée
Pour un entier \(n \geq 1\) : $$\overbrace{x \times x \times \ldots \times x}^{n\text{ facteurs}} = x^n$$ Exemple
Pour un cercle :
, simplifier la formule de l'aire \(A = \pi \times r \times r\).
$$\begin{aligned}A &= \pi \times r \times r \\
&= \pi r^2\end{aligned}$$
Méthode — Simplifier en regroupant les termes semblables
Simplifier une expression en regroupant les termes semblables consiste à regrouper des termes qui ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances. - Identifier les termes semblables : Les termes semblables ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances. Par exemple, \(3x\) et \(5x\) sont semblables, mais \(3x\) et \(3x^2\) ne le sont pas.
- Regrouper les termes semblables : Ajouter ou soustraire les coefficients (partie numérique) des termes semblables. La partie variable reste la même.
Exemple
Simplifier l'expression : \(2x + 4 + x - 2\)
$$\begin{aligned}[t]2x + 4 + x - 2 &= \textcolor{colordef}{2x} \textcolor{colorprop}{+4} \textcolor{colordef}{+x} \textcolor{colorprop}{-2} &&(\text{identifier les termes semblables}) \\
&= \textcolor{colordef}{(2+1)x} + \textcolor{colorprop}{4-2} &&(\text{regrouper les termes semblables}) \\
&= \textcolor{colordef}{3x} + \textcolor{colorprop}{2} &&(\text{simplifier})\end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Écrire sans le signe multiplié
- Comprendre la notation littérale
- Simplifier l’addition itérée
- Simplifier la multiplication itérée
- Regrouper les termes similaires : niveau 1
- Regrouper les termes similaires : niveau 2
- Simplifier des expressions
- Réduire avec des coefficients décimaux
IV
Traduire en formule
Définition — Formule
Une formule est une égalité qui relie des grandeurs : elle exprime l'une d'elles, la variable isolée, en fonction des autres. Ses lettres sont des variables : elles prennent beaucoup de valeurs. Les formules viennent souvent du monde réel, de la physique ou de la géométrie. Exemple
Pour un triangle : 
, \(A = \dfrac{b \times h}{2}\) est la formule de l'aire. Proposition — Expressions usuelles
Pour tout nombre \(x\) : - le double de \(x\) est \(2 \times x = 2x\), et son triple est \(3 \times x = 3x\) ;
- la moitié de \(x\) est \(x \div 2 = \dfrac{x}{2}\), et son tiers est \(x \div 3 = \dfrac{x}{3}\) ;
- le carré de \(x\) est \(x \times x = x^2\), et son cube est \(x \times x \times x = x^3\).
Exemple
Exprimer en fonction de la lettre : le double de \(x\) ; le tiers de \(t\) ; le carré de \(y\) ; le successeur du nombre entier \(n\).
Le double de \(x\) est \(2x\) ; le tiers de \(t\) est \(\dfrac{t}{3}\) ; le carré de \(y\) est \(y^2\) ; le successeur de \(n\) est \(n + 1\).
Compétences à pratiquer
- Écrire les formules usuelles
- Écrire les formules pour le périmètre et l'aire
V
Substituer et tester une égalité
Définition — Substituer
Substituer consiste à remplacer une variable dans une expression ou une équation par une valeur donnée.
Pour éviter toute confusion avec les signes, notamment lors de la substitution de valeurs négatives, on écrit généralement les substitutions entre parenthèses.
Méthode — Évaluer
Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace chaque variable par un nombre puis on effectue les opérations arithmétiques. Exemple
$$\begin{aligned}2x + 4 &= 2 \times \textcolor{olive}{(5)} + 4 \quad (\text{remplacer } \textcolor{olive}{x} \text{ par } \textcolor{olive}{5}) \\
&= 10 + 4 \\
&= 14\end{aligned}$$ Il y a 14 billes. 
Méthode — Tester une égalité
Pour tester si une égalité entre deux expressions est vraie pour une valeur donnée de la lettre : - Remplacer la lettre par la valeur dans chaque membre séparément — la même valeur partout où la lettre apparaît.
- Calculer chaque membre.
- Comparer : même résultat, l'égalité est vraie pour cette valeur ; résultats différents, elle est fausse pour cette valeur.
Exemple
Tester l'égalité \(4n = 15 + n\) pour \(n = 5\), puis pour \(n = 8\).
Pour \(n = 5\), chaque membre séparément : $$4 \times 5 = 20 \qquad\text{et}\qquad 15 + 5 = 20.$$ Même résultat : l'égalité est vraie pour \(n = 5\).
Pour \(n = 8\) : $$4 \times 8 = 32 \qquad\text{et}\qquad 15 + 8 = 23.$$ Résultats différents : l'égalité est fausse pour \(n = 8\). Une seule égalité, deux verdicts — un test ne parle jamais que de sa propre valeur.
Pour \(n = 8\) : $$4 \times 8 = 32 \qquad\text{et}\qquad 15 + 8 = 23.$$ Résultats différents : l'égalité est fausse pour \(n = 8\). Une seule égalité, deux verdicts — un test ne parle jamais que de sa propre valeur.
Compétences à pratiquer
- Évaluer une expression
- Évaluer des expressions : niveau 1
- Évaluer dans des équations
- Évaluer dans des formules
- Évaluer des expressions : niveau 2
- Tester une égalité : niveau 1
- Tester une égalité : niveau 2
VI
Distributivité littérale
On a demandé à trois élèves de donner la formule du périmètre du rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\) : 
Ils ont écrit :
- Su : \(P = 2(l + L)\)
- Louis : \(P = l + L + l + L\)
- Hugo : \(P = 2l + 2L\)
Ils ont tous raison. Ces trois expressions \(2(l + L)\), \(l + L + l + L\) et \(2l + 2L\) donnent le même résultat pour le périmètre du rectangle, quelles que soient les valeurs de \(l\) et \(L\). Les égalités entre elles, comme \(2(l + L) = 2l + 2L\), sont des identités.
Le grand rectangle ci-dessous est divisé en deux rectangles plus petits. Exprimer l'aire totale du grand rectangle de deux manières différentes. 
- Méthode 1 : Somme des parties
L'aire totale est la somme des aires des deux rectangles plus petits. $$\text{Aire totale} = \textcolor{colordef}{\text{Aire 1}} + \textcolor{colorprop}{\text{Aire 2}} = \textcolor{colordef}{ab} + \textcolor{colorprop}{ac}$$
- Méthode 2 : Aire du tout
La longueur totale de la base est \(b+c\) et la hauteur est \(a\). $$\text{Aire totale} = \textcolor{olive}{a(b+c)}$$
Proposition — Distributivité de la multiplication
Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(c\), la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction : - Addition :
- Soustraction :
Méthode — Somme ou produit ?
Les identités distributives font passer d'une forme d'expression à une autre. Pour décider quelle forme a une expression, regarder sa dernière opération — celle que l'on effectuerait en dernier en calculant : - dans \(3(x+2)\), on calcule la parenthèse, puis on multiplie : la dernière opération est une multiplication — l'expression est un produit ;
- dans \(3x+2\), on calcule \(3x\), puis on ajoute \(2\) : la dernière opération est une addition — l'expression est une somme.
Exemple
Somme ou produit ? Décider pour chaque expression : $$5(x+1) \qquad ; \qquad 5x+1 \qquad ; \qquad 2(x+3)+1$$ - \(5(x+1)\) : on calcule la parenthèse, puis on multiplie par \(5\) — un produit.
- \(5x+1\) : on calcule \(5x\), puis on ajoute \(1\) — une somme.
- \(2(x+3)+1\) : on calcule la parenthèse, on multiplie par \(2\), puis on ajoute \(1\) — les parenthèses suggèrent un produit, mais la dernière opération est l'addition du \(1\) : une somme.
Définition — Développer
Développer consiste à utiliser la distributivité pour écrire un produit avec des parenthèses sous la forme d'une somme (ou d'une différence) de termes. 
Factoriser par un facteur commun, c'est lire la distributivité de droite à gauche : au lieu de développer des parenthèses, on cherche un facteur commun à mettre en facteur pour introduire des parenthèses.
Proposition — Factorisation par un facteur commun
Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(c\) : Exemple
Factoriser \(2x+2\).
$$\begin{aligned} 2x+2&=\textcolor{colorprop}{2}\times x +\textcolor{colorprop}{2}\times 1\\
&=\textcolor{colorprop}{2}(x+1). \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une somme ou un produit
- Développer avec l'addition : niveau 1
- Développer avec l'addition : niveau 3
- Développer avec la soustraction : niveau 1
- Développer avec la soustraction : niveau 3
- Factoriser par le facteur commun : niveau 1
- Développer avec l'addition : niveau 2
- Développer avec la soustraction : niveau 2
VII
Démontrer et réfuter
Certaines égalités sont vraies pour toutes les valeurs de la lettre — ce sont des identités. Une affirmation qui commence par « pour tout nombre » ne peut pas être démontrée par des tests : mille valeurs favorables ne prouvent rien — alors qu'une seule valeur défavorable suffit à la détruire. Deux outils tranchent ces affirmations : le calcul littéral démontre, et un contre-exemple réfute.
Méthode — Démontrer une propriété générale par le calcul littéral
- Nommer les nombres par des lettres : un nombre entier est \(n\), son successeur est \(n + 1\), son double est \(2n\).
- Traduire la propriété en une expression.
- Transformer l'expression — regrouper les termes semblables, et développer avec la distributivité — jusqu'à faire apparaître la forme annoncée.
- Conclure : l'égalité vaut pour toutes les valeurs de la lettre à la fois — ce qu'aucune liste d'exemples ne peut faire.
Exemple
Démontrer que la somme d'un nombre entier et de son successeur est toujours un nombre impair.
On note \(n\) un nombre entier ; son successeur est \(n + 1\). Leur somme : $$\begin{aligned}[t]n + (n + 1) &= 2n + 1. && (\text{regrouper les termes})\end{aligned}$$ Or \(2n\) est le double de \(n\), un nombre pair — donc \(2n + 1\), un de plus qu'un nombre pair, est impair. C'est démontré pour tous les entiers \(n\) à la fois. Illustration (pas une preuve) : \(n = 4\) donne \(4 + 5 = 9\), impair en effet.
Méthode — Réfuter par un contre-exemple
Une affirmation de la forme « pour tout nombre… » est réfutée par une seule valeur qui la met en défaut : - Tester l'affirmation sur des valeurs de la lettre.
- Exhiber une valeur pour laquelle elle est fausse, en calculant les deux membres — cette valeur est un contre-exemple.
- Conclure : l'affirmation est fausse. Un seul contre-exemple suffit ; vérifier beaucoup de valeurs favorables ne démontre jamais.
Exemple
Zoé affirme : « pour tout nombre entier \(n\), on a \(2n > n + 2\) ». Elle a vérifié \(n = 5\), \(n = 10\) et \(n = 100\). Réfuter son affirmation.
On teste \(n = 1\) : $$2 \times 1 = 2 \qquad\text{et}\qquad 1 + 2 = 3,$$ et \(2 > 3\) est faux : \(n = 1\) est un contre-exemple, l'affirmation est donc réfutée. Les trois vérifications de Zoé étaient justes — \(10 > 7\), \(20 > 12\), \(200 > 102\) — mais des valeurs favorables, si nombreuses soient-elles, ne démontrent jamais un « pour tout » : un seul échec le détruit.
On note l'asymétrie : pour démontrer un « pour tout nombre », vérifier des exemples ne suffit jamais — il faut un raisonnement qui couvre toutes les valeurs à la fois, et le calcul littéral est un tel outil ; pour réfuter, un seul nombre suffit. Les tests ne peuvent jamais faire que le second travail.
Méthode — Conjecturer avec un tableur ou un algorithme
Des tests ne démontrent jamais une affirmation qui porte sur tous les nombres, mais c'est par eux qu'on la trouve. Faire tourner un programme de calcul pour de nombreux nombres de départ peut faire apparaître une régularité ; énoncée pour tous les nombres de départ, cette régularité est une conjecture — une affirmation qui semble vraie et qui n'est pas encore démontrée. - Faire tourner le programme pour de nombreux nombres de départ, avec un tableur ou avec un algorithme.
- Lire la régularité dans les résultats : toujours le même nombre, toujours le double du nombre de départ, toujours un nombre impair…
- Énoncer la conjecture pour tous les nombres de départ : « quel que soit le nombre de départ, le résultat est…».
- La démontrer ou la réfuter : aussi nombreuses que soient les lignes qui la vérifient, une conjecture n'est pas une preuve. Le calcul littéral, avec une lettre pour le nombre de départ, la démontre ; un seul nombre de départ pour lequel elle échoue, un contre-exemple, la réfute.
=, et * est le signe de la multiplication. Pour le programme « multiplier par \(2\), ajouter \(3\) », la cellule B2 reçoit =2*A2+3 ; la recopier vers le bas change A2 en A3, A4…, de sorte que chaque ligne fait tourner le programme sur son propre nombre de départ : | A | B | |
| 1 | Nombre de départ | Résultat |
| 2 | 1 | =2*A2+3 |
| 3 | 2 | =2*A3+3 |
| 4 | 3 | =2*A4+3 |
Avec un algorithme : quelques lignes en langage naturel font le même travail.
| 1 | Pour \(n\) de \(1\) à \(10\), répéter les lignes 2 et 3. |
| 2 | Calculer le résultat \(r\) du programme pour \(n\). |
| 3 | Afficher \(n\) et \(r\). |
Exemple
On considère le programme : « choisir un nombre ; ajouter \(3\) ; multiplier par \(2\) ; soustraire le double du nombre de départ ». - Faire tourner le programme dans un tableur pour plusieurs nombres de départ.
- Énoncer une conjecture.
- La démontrer par le calcul littéral.
- La cellule B2 reçoit la formule
=(A2+3)*2-2*A2, recopiée vers le bas — les parenthèses font passer l'addition avant la multiplication, comme dans le programme. Avec des nombres de départ choisis petits, grands et décimaux :A B 1 Nombre de départ Résultat 2 \(0\) \(6\) 3 \(1\) \(6\) 4 \(2\) \(6\) 5 \(5\) \(6\) 6 \(10\) \(6\) 7 \(2{,}5\) \(6\) - Chaque ligne affiche \(6\). Conjecture : quel que soit le nombre de départ, le résultat est \(6\). Six lignes sont six tests, pas une preuve.
- On note \(n\) le nombre de départ. Le programme construit, étape par étape : $$\begin{aligned}[t] n &\longrightarrow n + 3 && \text{(ajouter 3)}\\ &\longrightarrow 2(n + 3) && \text{(multiplier par 2)}\\ &\longrightarrow 2(n + 3) - 2n && \text{(soustraire le double)}. \end{aligned}$$ Puis : $$\begin{aligned}[t] 2(n + 3) - 2n &= 2n + 6 - 2n && \text{(distributivité)}\\ &= 0 + 6 && (2n - 2n = 0)\\ &= 6. \end{aligned}$$ Le résultat vaut \(6\) pour tout nombre de départ \(n\) : la conjecture est démontrée. Le tableur l'a montré pour six nombres ; le calcul littéral le montre pour tous à la fois, et l'explique : la multiplication par \(2\) double le nombre de départ, la dernière étape soustrait ce double, et il ne reste que \(2 \times 3 = 6\).
Compétences à pratiquer
- Décider ce qu'un test démontre
- Conjecturer à partir d'un tableau de valeurs
- Démontrer une propriété générale
- Réfuter par un contre-exemple
- Conjecturer puis démontrer
- Problèmes
VIII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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