Éducation Nationale Française · Cinquième
Repérages
I
La droite graduée
Définition — Droite graduée
Une droite graduée est une droite avec des graduations régulières : une graduation est \(0\), les nombres positifs sont à droite de \(0\), les nombres négatifs à gauche, et le pas d'une graduation à la suivante est toujours le même. 
Méthode — Lire et placer une abscisse
Pour placer un nombre écrit avec un chiffre de plus après la virgule que les graduations (par exemple \(1{,}4\) entre les graduations \(1\) et \(2\)) : - Partager l'intervalle qui le contient en \(10\) parts égales (chaque petite part vaut un dixième de l'intervalle).
- Compter combien de petites parts séparent le nombre de la graduation la plus proche qui lui est inférieure.
- Marquer le point à ce nombre de petites parts à droite de cette graduation (vers la graduation suivante).
Pour lire l'abscisse d'un point placé entre deux graduations : partir de la graduation la plus proche qui lui est inférieure, puis compter les petites parts jusqu'au point.
Exemple
Sur la droite graduée ci-dessous, donner l'abscisse du point \(A\) ; puis placer le point \(B(-1{,}6)\). 
\(A\) est à \(7\) petites parts (dixièmes) à droite de \(0\) : son abscisse est \(\mathbf{0{,}7}\).
Pour \(B(-1{,}6)\) : le nombre \(-1{,}6\) est entre \(-2\) et \(-1\), à \(4\) dixièmes à droite de \(-2\) (autrement dit, à \(6\) dixièmes à gauche de \(-1\)). 
Pour \(B(-1{,}6)\) : le nombre \(-1{,}6\) est entre \(-2\) et \(-1\), à \(4\) dixièmes à droite de \(-2\) (autrement dit, à \(6\) dixièmes à gauche de \(-1\)).
Compétences à pratiquer
- Placer des décimaux sur la droite
- Placer des points sur une demi-droite graduée
- Lire et placer des abscisses relatives
II
Le repère du plan
Maya et Tom se donnent rendez-vous au parc. Maya écrit : « près du grand chêne ». Tom attend une heure... sous l'autre grand chêne, à l'opposé de la pelouse. La prochaine fois, le point de rendez-vous sera donné par des nombres. Le plan du parc est couvert d'un quadrillage de lignes. Comment des nombres peuvent-ils désigner un point exact du plan — combien de nombres faut-il, et leur ordre a-t-il de l'importance ?
Les nœuds d'un quadrillage, nommés par deux nombres, deviennent les points d'un repère : les deux lignes numérotées \(0\) deviennent les axes, et le nœud \((0\,;0)\) l'origine.
Définition — Repère du plan
Un repère du plan — ou repère orthogonal — est formé par deux droites graduées perpendiculaires qui se croisent à leur point zéro, appelé l’origine. L’origine a pour coordonnées \((0\,;0)\). 
- La droite graduée horizontale est appelée l’axe des \(x\) (ou axe des abscisses).
- La droite graduée verticale est appelée l’axe des \(y\) (ou axe des ordonnées).
Définition — Coordonnées d’un point
Les coordonnées d’un point sont un couple de nombres (l'ordre compte), écrit sous la forme \((x\,;y)\), où \(x\) est la coordonnée \(x\) (l’abscisse) et \(y\) est la coordonnée \(y\) (l’ordonnée) : - La coordonnée \(x\) indique la position horizontale le long de l’axe des \(x\), avec des nombres positifs à droite de l’origine et des nombres négatifs à gauche.
- La coordonnée \(y\) indique la position verticale le long de l’axe des \(y\), avec des nombres positifs au-dessus de l’origine et des nombres négatifs en dessous.
Définition — Quadrants
Les deux axes partagent le repère du plan en quatre régions appelées quadrants, numérotées dans le sens inverse des aiguilles d'une montre en partant d'en haut à droite : - le premier quadrant : \(x\geq0\) et \(y\geq0\) ;
- le deuxième quadrant : \(x\leq0\) et \(y\geq0\) ;
- le troisième quadrant : \(x\leq0\) et \(y\leq0\) ;
- le quatrième quadrant : \(x\geq0\) et \(y\leq0\).
Exemple
Placer ces points sur un repère du plan : $$A(-2\,;3),\quad B(3\,;-1),\quad \text{et}\quad C(-3\,;-2).$$
Pour chaque point, on part de l'origine et on lit les coordonnées dans l'ordre — d'abord \(x\) (vers la droite si positif, vers la gauche si négatif), puis \(y\) (vers le haut si positif, vers le bas si négatif) : 
- \(A(-2\,;3)\) : \(x=-2\), on va 2 unités vers la gauche ; \(y=3\), on monte de 3 unités.
- \(B(3\,;-1)\) : \(x=3\), on va 3 unités vers la droite ; \(y=-1\), on descend d'une unité.
- \(C(-3\,;-2)\) : \(x=-3\), on va 3 unités vers la gauche ; \(y=-2\), on descend de 2 unités.
Compétences à pratiquer
- Lire les coordonnées d'un point
- Identifier les coordonnées des points
- Identifier les quadrants
III
Tableaux de points
Définition — Tableau de points
Un tableau de points présente les coordonnées de plusieurs points d’un repère du plan. - La première ligne représente les coordonnées \(x\) (ou abscisses).
- La deuxième ligne représente les coordonnées \(y\) (ou ordonnées).
Exemple
| \(\textcolor{colordef}{x}\) | \(\textcolor{colordef}{-2}\) | \(\textcolor{colordef}{1}\) | \(\textcolor{colordef}{2}\) |
| \(\textcolor{colorprop}{y}\) | \(\textcolor{colorprop}{-3}\) | \(\textcolor{colorprop}{3}\) | \(\textcolor{colorprop}{-1}\) |
Compétences à pratiquer
- Remplir un tableau de points
- Associer tableaux et graphiques
- Placer des points à partir d'un tableau
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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