Opérations

Cette grille montre toutes les tables de 1 à 10 en un seul endroit. Pour trouver un produit comme \(7 \times 8\), on repère la ligne du 7 et la colonne du 8 : le résultat se trouve dans la case où elles se croisent. La grille se lit aussi à rebours : pour \(7 \times \square = 42\), on suit la ligne du 7 jusqu'à \(42\), puis on remonte en haut de sa colonne : \(6\). Donc \(7 \times 6 = 42\).

\(\times\)	\(\textcolor{colorprop}{1}\)	\(\textcolor{colorprop}{2}\)	\(\textcolor{colorprop}{3}\)	\(\textcolor{colorprop}{4}\)	\(\textcolor{colorprop}{5}\)	\(\textcolor{colorprop}{6}\)	\(\textcolor{colorprop}{7}\)	\(\textcolor{colorprop}{8}\)	\(\textcolor{colorprop}{9}\)	\(\textcolor{colorprop}{10}\)
\(\textcolor{colordef}{1}\)	\(\textcolor{olive}{1}\)	\(\textcolor{olive}{2}\)	\(\textcolor{olive}{3}\)	\(\textcolor{olive}{4}\)	\(\textcolor{olive}{5}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{7}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{9}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)
\(\textcolor{colordef}{2}\)	\(\textcolor{olive}{2}\)	\(\textcolor{olive}{4}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{14}\)	\(\textcolor{olive}{16}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)
\(\textcolor{colordef}{3}\)	\(\textcolor{olive}{3}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{9}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{15}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{21}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{27}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)
\(\textcolor{colordef}{4}\)	\(\textcolor{olive}{4}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{16}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{28}\)	\(\textcolor{olive}{32}\)	\(\textcolor{olive}{36}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)
\(\textcolor{colordef}{5}\)	\(\textcolor{olive}{5}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)	\(\textcolor{olive}{15}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)	\(\textcolor{olive}{25}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)	\(\textcolor{olive}{35}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)	\(\textcolor{olive}{45}\)	\(\textcolor{olive}{50}\)
\(\textcolor{colordef}{6}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)	\(\textcolor{olive}{36}\)	\(\textcolor{olive}{42}\)	\(\textcolor{olive}{48}\)	\(\textcolor{olive}{54}\)	\(\textcolor{olive}{60}\)
\(\textcolor{colordef}{7}\)	\(\textcolor{olive}{7}\)	\(\textcolor{olive}{14}\)	\(\textcolor{olive}{21}\)	\(\textcolor{olive}{28}\)	\(\textcolor{olive}{35}\)	\(\textcolor{olive}{42}\)	\(\textcolor{olive}{49}\)	\(\textcolor{olive}{56}\)	\(\textcolor{olive}{63}\)	\(\textcolor{olive}{70}\)
\(\textcolor{colordef}{8}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{16}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{32}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)	\(\textcolor{olive}{48}\)	\(\textcolor{olive}{56}\)	\(\textcolor{olive}{64}\)	\(\textcolor{olive}{72}\)	\(\textcolor{olive}{80}\)
\(\textcolor{colordef}{9}\)	\(\textcolor{olive}{9}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{27}\)	\(\textcolor{olive}{36}\)	\(\textcolor{olive}{45}\)	\(\textcolor{olive}{54}\)	\(\textcolor{olive}{63}\)	\(\textcolor{olive}{72}\)	\(\textcolor{olive}{81}\)	\(\textcolor{olive}{90}\)
\(\textcolor{colordef}{10}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)	\(\textcolor{olive}{50}\)	\(\textcolor{olive}{60}\)	\(\textcolor{olive}{70}\)	\(\textcolor{olive}{80}\)	\(\textcolor{olive}{90}\)	\(\textcolor{olive}{100}\)

Pour multiplier par 10, 100 ou \(1\,000\), il faut déplacer la virgule vers la droite du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.

• Multiplier par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 rang vers la droite.
• Multiplier par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 rangs vers la droite.
• Multiplier par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 rangs vers la droite.

S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.

Pour diviser par 10, 100 ou \(1\,000\), il faut déplacer la virgule vers la gauche du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.

• Diviser par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 rang vers la gauche.
• Diviser par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 rangs vers la gauche.
• Diviser par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 rangs vers la gauche.

S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.

Comme \(0{,}1 = \dfrac{1}{10}\), \(0{,}01 = \dfrac{1}{100}\) et \(0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}\) :

• multiplier par \(0{,}1\), c'est diviser par \(10\) : la virgule se déplace de \(1\) rang vers la gauche ;
• multiplier par \(0{,}01\), c'est diviser par \(100\) : la virgule se déplace de \(2\) rangs vers la gauche ;
• multiplier par \(0{,}001\), c'est diviser par \(1\,000\) : la virgule se déplace de \(3\) rangs vers la gauche.

$$47 \times 0{,}1 = 47 \div 10 = 4{,}7 \qquad\quad 3{,}4 \times 0{,}01 = 3{,}4 \div 100 = 0{,}034 \qquad\quad 27 \times 0{,}001 = 27 \div 1\,000 = 0{,}027$$

Pour calculer un produit comme \(0{,}4 \times 0{,}3\) sans aucun dessin :

1. Étape 1 : écrire chaque décimal comme un nombre entier multiplié par \(0{,}1\), \(0{,}01\) ou \(0{,}001\). Ici \(0{,}4 = 4 \times 0{,}1\) et \(0{,}3 = 3 \times 0{,}1\).
2. Étape 2 : changer l'ordre des facteurs et les regrouper autrement — dans un produit, c'est toujours permis : les entiers ensemble, les \(0{,}1\) ensemble. $$0{,}4 \times 0{,}3 = (4 \times 0{,}1) \times (3 \times 0{,}1) = (4 \times 3) \times (0{,}1 \times 0{,}1)$$
3. Étape 3 : calculer les deux produits. \(4 \times 3 = 12\) et \(0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01\) (un dixième de dixième). $$0{,}4 \times 0{,}3 = 12 \times 0{,}01 = 0{,}12$$

Le produit de deux décimaux se ramène ainsi au produit de deux nombres entiers, suivi d'une multiplication par \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\), …

1. Étape 1 : Poser la division. Écrire le problème sous la forme d'une division posée.
2. Étape 2 : Placer la virgule. Écrire la virgule dans le quotient au moment d'abaisser le premier chiffre après la virgule du dividende.
3. Étape 3 : Diviser de gauche à droite. Diviser comme avec des nombres entiers, en ignorant maintenant la virgule.

Quand les chiffres du dividende sont épuisés, la division euclidienne s'arrête là : un quotient entier et un reste. Pour un quotient décimal, on la poursuit, car ajouter des zéros après la virgule ne change pas la valeur d'un nombre : \(10 = 10{,}0 = 10{,}00\).

1. Étape 1 : Épuiser les chiffres. Diviser comme d'habitude. Si le reste n'est pas nul après le dernier chiffre du dividende, continuer.
2. Étape 2 : Écrire la virgule et ajouter un zéro. Écrire la virgule dans le quotient (si elle n'y est pas déjà). Ajouter un zéro au dividende (\(10\) devient \(10{,}0\)) et abaisser ce zéro.
3. Étape 3 : Poursuivre la division. Continuer la division. Ajouter un nouveau zéro chaque fois que les chiffres manquent, jusqu'à ce que le reste soit nul ou que le quotient atteigne le nombre de chiffres demandé après la virgule.

Si le reste n'est jamais nul, le quotient ne se termine jamais : s'arrêter au rang demandé ; le quotient obtenu est alors une valeur approchée.

Pour poser une division par un nombre décimal, rendre d'abord le diviseur entier.

1. Étape 1 : Rendre le diviseur entier. Déplacer la virgule du diviseur vers la droite jusqu'à ce que le diviseur soit entier. Compter de combien de rangs elle a été déplacée.
2. Étape 2 : Déplacer l'autre virgule. Déplacer la virgule du dividende du même nombre de rangs vers la droite, en complétant par des zéros s'il n'y a plus de chiffres (\(6 \div 0{,}75\) devient \(600 \div 75\)).
3. Étape 3 : Diviser. Le problème est maintenant une division par un nombre entier. Suivre les étapes de cette division.

Un quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre non nul : il y a autant de fois \(1{,}2\) cm dans \(4{,}56\) cm que de fois \(12\) mm dans \(45{,}6\) mm — changer d'unité multiplie les deux nombres par \(10\) sans changer la réponse. $$4{,}56 \div 1{,}2 = (4{,}56 \times 10) \div (1{,}2 \times 10) = 45{,}6 \div 12$$ « Déplacer les deux virgules d'une place vers la droite », c'est exactement « multiplier les deux nombres par 10 ». La méthode remplace la division par un nombre décimal par une division égale dont le diviseur est entier — une division que l'on sait poser.

1. Étape 1 : Arrondir chaque nombre à un nombre simple proche — souvent à l'unité ; pour un nombre plus petit que \(1\), garder son premier chiffre non nul : \(0{,}29 \approx 0{,}3\) et \(0{,}048 \approx 0{,}05\).
2. Étape 2 : Calculer mentalement avec les nombres arrondis.
3. Étape 3 : Conclure. Le résultat obtenu est un ordre de grandeur : le résultat exact en est proche.

L'erreur la plus fréquente dans les calculs sur les décimaux n'est pas un chiffre faux mais une virgule mal placée — un résultat dix ou cent fois trop grand ou trop petit. Une estimation rapide permet de la repérer.

1. Étape 1 : Arrondir. Arrondir chaque nombre à l'unité (ou à un nombre simple proche).
2. Étape 2 : Estimer. Calculer mentalement avec les nombres arrondis.
3. Étape 3 : Comparer. Comparer l'estimation avec le résultat exact : ils doivent être du même ordre de grandeur. Sinon, chercher l'erreur — le plus souvent une virgule mal placée.

Pour calculer une expression, on suit ces étapes dans l'ordre :

1. Parenthèses () : effectuer d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures ; à l'intérieur des parenthèses, les mêmes règles s'appliquent.
2. Multiplication (\(\times\)) et Division (\(\div\)) : les effectuer ensuite, en allant de gauche à droite.
3. Addition (\(+\)) et Soustraction (\(-\)) : les effectuer en dernier, en allant aussi de gauche à droite.

Pour transformer une phrase en une seule expression :

1. Repérer l'opération nommée en premier : dans une phrase qui nomme le calcul, c'est elle qui s'effectue en dernier (« le double de la somme » — le double s'applique à toute la somme). Dans une suite d'instructions, c'est l'inverse : « ajouter \(3\) à \(2\), puis multiplier le résultat par \(4\) » s'écrit \((2 + 3) \times 4\) — la première instruction s'effectue en premier, donc elle se met entre parenthèses.
2. Mettre entre parenthèses tout calcul qui doit être fait d'abord : la somme dans « le double de la somme », le résultat qu'utilise l'instruction suivante.
3. Contrôler en calculant : recalculer l'expression, parenthèses d'abord — retrouve-t-on la phrase ?

Dans une somme, les termes peuvent être échangés et regroupés dans n'importe quel ordre. Dans un produit, les facteurs peuvent être échangés et regroupés dans n'importe quel ordre. Choisir des paires qui forment des nombres simples — un nombre entier, \(1\), \(10\), \(100\) — accélère le calcul mental. $$\begin{aligned} 1{,}2+27{,}9+0{,}8&=(1{,}2+0{,}8)+27{,}9 &&\text{(échanger et regrouper les termes qui forment un entier)}\\ &=2+27{,}9\\ &=29{,}9 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 2{,}5\times 6{,}7\times 4&=(2{,}5\times 4)\times 6{,}7 &&\text{(échanger et regrouper les facteurs qui forment un nombre simple)}\\ &=10\times 6{,}7\\ &=67 \end{aligned}$$ Ces propriétés sont valables pour l'addition et la multiplication ; elles ne le sont pas pour la soustraction ni pour la division.

La multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction — ici les lettres \(k\), \(a\) et \(b\) désignent simplement des nombres quelconques : $$k\times(a+b)=k\times a+k\times b \qquad\qquad k\times(a-b)=k\times a-k\times b$$ Un facteur proche d'un nombre simple peut être remplacé par une somme ou une différence : $$\begin{aligned} 25\times 0{,}99&=25\times(1-0{,}01) &&\text{(car } 0{,}99=1-0{,}01\text{)}\\ &=25\times 1-25\times 0{,}01 &&\text{(distributivité)}\\ &=25-0{,}25\\ &=24{,}75 \end{aligned}$$

Les quatre étapes d'un problème restent les mêmes ; à l'étape « Modéliser », le plan s'écrit maintenant en une seule expression, au lieu d'un calcul par étape.

1. Comprendre : lire le problème et identifier la question et ce qui est donné.
2. Modéliser : déterminer les opérations nécessaires, et dans quel ordre, puis les écrire en une seule expression, avec des parenthèses partout où il en faut pour que les calculs se fassent dans l'ordre voulu.
3. Calculer : effectuer les calculs de l'expression.
4. Répondre et vérifier : écrire la phrase qui répond à la question, puis se poser la question habituelle — est-ce possible ?