I Carré et cube

Deux puissances reviennent si souvent qu'elles portent un nom, et toutes deux viennent de la géométrie : l'aire d'un carré et le volume d'un cube.

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Définition — Carré et cube

Le carré d'un nombre $c$ est le produit de $c$ par lui-même, noté $c^2$ et lu « $c$ au carré ». Le cube d'un nombre $c$ est le produit de trois facteurs tous égaux à $c$, noté $c^3$ et lu « $c$ au cube ». $$c^2 = c \times c \qquad\text{et}\qquad c^3 = c \times c \times c.$$ Un carré de côté $c$ a pour aire $c^2$ ; un cube d'arête $c$ a pour volume $c^3$ — c'est de là que viennent les deux noms :

Ces écritures s'appellent des puissances : le petit nombre en haut, qui compte les facteurs, est l'exposant.

La même idée nomme les unités : une aire en $\mathrm{cm}^2$ est un produit de deux longueurs en cm, un volume en $\mathrm{cm}^3$ un produit de trois.

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Proposition — Les carrés à connaître

Les carrés des entiers de $0$ à $12$ méritent d'être connus par cœur :

$0^2 = 0$	$1^2 = 1$	$2^2 = 4$	$3^2 = 9$	$4^2 = 16$	$5^2 = 25$	$6^2 = 36$
$7^2 = 49$	$8^2 = 64$	$9^2 = 81$	$10^2 = 100$	$11^2 = 121$	$12^2 = 144$

Un cube est tout aussi utile : $10^3 = 1\,000$.

Exemple

C'est en lisant la table à l'envers qu'on reconnaît un nombre comme un carré : $49$ vaut $7 \times 7$, donc $49 = 7^2$ ; $144$ vaut $12 \times 12$, donc $144 = 12^2$. De même $1\,000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$.

Exemple

Un carré a une aire de $20\ \mathrm{m}^2$. Entre quels nombres entiers son côté se trouve-t-il ?

Correction

$20$ n'est pas dans la table des carrés : il est compris entre deux carrés consécutifs, $$4^2 = 16 < 20 < 25 = 5^2,$$ et plus le côté est grand, plus l'aire est grande. Donc $20$ n'est pas le carré d'un nombre entier, et le côté se trouve entre $4$ m et $5$ m.

Compétences à pratiquer

Choisir la bonne puissance et la bonne unité
Calculer des carrés et des cubes
Encadrer entre deux carrés ou deux cubes
Utiliser carrés et cubes en géométrie

II La notation puissance

Découverte

On dispose d'un échiquier. On place deux grains de blé sur la première case, quatre grains sur la deuxième case, huit grains sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains sur chaque case suivante.

Combien de grains de blé y a-t-il sur la dernière case d'un échiquier de 64 cases ?

Correction

Numéro de la case	Nombre de grains
$1$	$2$
$2$	$2 \times 2$
$3$	$2 \times 2 \times 2$
$\vdots$	$\vdots$
$64$	$\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}$

Au lieu d'écrire $\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}$, on peut écrire ce produit sous la forme $2^{64}$.
Cela signifie qu'il y a $2^{64}$ grains sur la dernière case. Une calculatrice courante n'affiche que le début de ce nombre ; en entier, il s'écrit avec vingt chiffres : $$2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616.$$ C'est un nombre énorme.

Définition — Puissance

Une puissance est l'écriture d'une multiplication répétée d'un nombre par lui-même :
Pour un nombre $a$ et un entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $$ a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}. $$

Exemple

Écrire sous forme de puissance : $5 \times 5 \times 5$.

Correction

$5 \times 5 \times 5 = 5^3$

Définition — Vocabulaire

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Valeur} & \text{Multiplication répétée} & \text{Puissance} & \text{À l'oral} \\ \hline 2 & 2 & 2^1 & 2\ \text{ou}\ 2\ \text{puissance}\ 1 \\ 4 & 2 \times 2 & 2^2 & 2\ \text{au carré ou}\ 2\ \text{puissance}\ 2 \\ 8 & 2 \times 2 \times 2 & 2^3 & 2\ \text{au cube ou}\ 2\ \text{puissance}\ 3 \\ 16 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^4 & 2\ \text{puissance}\ 4 \\ 32 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^5 & 2\ \text{puissance}\ 5 \\ \hline \end{array} $$

Exemple

Déterminer la valeur de $2^3$.

Correction

$$ \begin{aligned}[t] 2^3 &= 2 \times 2 \times 2 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Écrire une multiplication répétée sous forme de puissance
Écrire sous forme de puissance à partir d'un énoncé
Calculer des puissances
Exprimer des nombres sous forme de puissance
Interpréter des puissances
Exposants plus grands

III Les priorités avec les puissances

L'ordre des opérations est un ensemble de règles qui indique quelles opérations faire en premier dans une expression mathématique.

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Définition — Ordre des opérations

Dans une expression, on effectue les calculs dans cet ordre des opérations :

d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures ;
puis les puissances ;
puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.

On dit que les puissances sont prioritaires sur les produits, et que la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.

Exemple

Calculer $(1+2) \times 2^3 + 4$.

Correction

$$ \begin{aligned}[t] (1+2) \times 2^3 + 4 &= \textcolor{colordef}{3} \times 2^3 + 4 && (\text{parenthèses : } 1+2 = 3) \\ &= 3 \times \textcolor{colordef}{8} + 4 && (\text{puissance : } 2^3 = 8) \\ &= \textcolor{colordef}{24} + 4 && (\text{multiplication : } 3 \times 8 = 24) \\ &= \textcolor{colordef}{28} && (\text{addition : } 24 + 4 = 28) \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Calculer des expressions avec des puissances
Calculer des expressions en deux étapes
Calculer des expressions en trois étapes
Déterminer l'opération

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

\(0^2 = 0\)	\(1^2 = 1\)	\(2^2 = 4\)	\(3^2 = 9\)	\(4^2 = 16\)	\(5^2 = 25\)	\(6^2 = 36\)
\(7^2 = 49\)	\(8^2 = 64\)	\(9^2 = 81\)	\(10^2 = 100\)	\(11^2 = 121\)	\(12^2 = 144\)

Numéro de la case	Nombre de grains
\(1\)	\(2\)
\(2\)	\(2 \times 2\)
\(3\)	\(2 \times 2 \times 2\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(64\)	\(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\)