Nombres entiers et nombres décimaux

Pour lire un grand nombre, ou pour l'écrire en lettres :

1. Séparer les chiffres en classes de trois, à partir de la droite : \(7\,040\,300\), c'est \(7 \mid 040 \mid 300\).
2. Lire chaque classe comme un nombre de \(0\) à \(999\), puis dire le nom de sa classe (rien pour la classe des unités) : « sept millions », « quarante mille », « trois cents ». Une classe \(000\) ne se lit pas.
3. Écrire le tout à la suite : « sept millions quarante mille trois cents ».

Dans l'autre sens, chaque classe, sauf la première à gauche, s'écrit avec trois chiffres, en complétant par des zéros : « vingt-six millions trente mille neuf », c'est \(26 \mid 030 \mid 009\), soit \(26\,030\,009\). Une classe qu'on ne dit pas s'écrit \(000\) : « sept millions neuf », c'est \(7 \mid 000 \mid 009\), soit \(7\,000\,009\). Orthographe. « Mille » ne prend jamais de s, et on dit « mille », pas « un mille » : \(1\,000\) se lit « mille », \(201\,000\) « deux cent un mille ». Devant « mille », « cent » et « vingt » ne prennent pas de s : deux cent mille, quatre-vingt mille. « Million » et « milliard » sont des noms : ils prennent un s au pluriel (deux millions, trois milliards), et « cent » et « vingt » multipliés prennent un s juste devant eux : deux cents millions, quatre-vingts millions (mais cent millions, deux cent trois millions). La graphie de 1990, avec des traits d'union entre tous les mots (sept-millions-quarante-mille-trois-cents), est aussi juste.

Un même nombre décimal peut s'écrire de plusieurs façons. Toutes ces écritures désignent exactement le même nombre. Pour \(42{,}48\) : $$42{,}48 = \frac{4248}{100} = 40 + 2 + \frac{4}{10} + \frac{8}{100}$$

• De l'écriture décimale vers une décomposition : lire chaque chiffre selon sa position. Dans \(42{,}48\), le 4 de gauche vaut \(40\), le 2 vaut \(2\), le 4 après la virgule vaut \(\frac{4}{10}\) et le 8 vaut \(\frac{8}{100}\).
• De l'écriture décimale vers les centièmes : tout compter en centièmes. Chaque unité est 100 centièmes et chaque dixième est 10 centièmes, donc \(42{,}48\) est \(4248\) centièmes : \(42{,}48 = \frac{4248}{100}\).
• D'une décomposition vers l'écriture décimale : placer chaque partie dans sa colonne du tableau de numération, puis lire le nombre.

Le nom du nombre en toutes lettres est une écriture de plus du même nombre : \(42{,}48\) se lit « quarante-deux virgule quarante-huit ».

Dans \(1{,}27\), le chiffre des centièmes est \(7\), mais le nombre de centièmes est \(127\) : le nombre \(1{,}27\) tout entier est fait de \(127\) centièmes. Le chiffre est ce qui est écrit à un rang ; le nombre compte combien d'unités de ce rang contient le nombre tout entier.

1. Le chiffre d'un rang : lire le seul chiffre écrit à ce rang. Dans \(84{,}375\), le chiffre des centièmes est \(\textcolor{colordef}{7}\).
2. Le nombre d'unités d'un rang : lire tout ce qui est écrit jusqu'à ce rang, sans la virgule. Dans \(84{,}375\), le nombre de centièmes est \(\textcolor{colorprop}{8\,437}\) : le nombre contient \(8\,437\) centièmes, et il reste \(5\) millièmes. Si le rang n'est pas écrit, compléter d'abord par des zéros : \(1{,}2 = 1{,}20\) contient \(120\) centièmes.

Pour placer un nombre décimal comme \(2{,}27\) sur une demi-droite graduée :

1. Trouver le début et la fin. Le nombre \(2{,}27\) se situe entre \(2{,}2 = 2{,}20\) et \(2{,}3 = 2{,}30\).
2. Dessiner la ligne et la diviser en 10 parties égales. Chaque partie représentera un centième.
3. Compter à partir du début. Les marques seront \(2{,}21\) ; \(2{,}22\) ; \(2{,}23\), etc. Trouver la 7e marque pour placer \(2{,}27\).

Pour savoir quel nombre décimal est le plus grand, il faut suivre ces étapes :

1. Les aligner : Placer les nombres l'un au-dessus de l'autre, en s'assurant que les virgules sont parfaitement alignées.
2. Leur donner la même longueur : Ajouter des zéros à la fin du nombre le plus court jusqu'à ce que les deux aient le même nombre de décimales. Cela ne change pas leur valeur.
3. Comparer de gauche à droite : En commençant par la gauche, comparer les chiffres dans chaque colonne. Le premier nombre ayant un chiffre plus grand est le plus grand nombre. Si une partie entière a plus de chiffres que l'autre, ce nombre est le plus grand.

Pour ranger une liste de nombres décimaux, les placer pas à pas :

1. Écrire tous les nombres avec le même nombre de décimales en ajoutant des zéros — cela ne change rien et rend la comparaison facile.
2. Trouver le plus petit (ou le plus grand) et le placer en premier.
3. Recommencer avec les nombres qui restent, jusqu'à épuiser la liste.

Le rangement est dans l'ordre croissant quand il va du plus petit au plus grand, décroissant dans l'autre sens.

1. Encadrer un nombre décimal par deux nombres entiers consécutifs : la partie entière donne la borne inférieure, et le nombre entier suivant donne la borne supérieure. Pour \(6{,}815\) : $$6\leq 6{,}815<7$$
2. Encadrer un nombre décimal par deux dixièmes consécutifs : garder les chiffres jusqu'à la position des dixièmes pour la borne inférieure, puis ajouter un dixième pour la borne supérieure. Pour \(6{,}815\) : $$6{,}8\leq 6{,}815<6{,}9$$
3. Encadrer un nombre décimal par deux centièmes consécutifs : garder les chiffres jusqu'à la position des centièmes pour la borne inférieure, puis ajouter un centième pour la borne supérieure. Pour \(6{,}815\) : $$6{,}81\leq 6{,}815<6{,}82$$ Le signe \(\leq\) se lit « est inférieur ou égal à » : le nombre peut être égal à sa borne inférieure (\(6\leq 6<7\) et \(6{,}1\leq 6{,}1<6{,}2\)), jamais à sa borne supérieure.
4. Intercaler un nombre décimal entre deux nombres donnés : écrire d'abord les deux nombres avec le même nombre de décimales, puis avec une décimale de plus ; de nouvelles graduations apparaissent entre eux. Entre \(5{,}7=5{,}70\) et \(5{,}8=5{,}80\), on peut intercaler \(5{,}71\) ; \(5{,}72\) ; …; \(5{,}79\). Entre deux nombres décimaux différents, il existe toujours un autre nombre décimal.

Pour arrondir un nombre à la dizaine (à la centaine, au millier…), on l'encadre entre deux multiples consécutifs de \(10\) (de \(100\), de \(1\,000\)…) : son arrondi est la borne la plus proche. Un nombre exactement au milieu des deux bornes s'arrondit, par convention, à la borne supérieure. À la centaine, \(365\) est encadré par \(300\) et \(400\). Il est à \(65\) de \(300\) et à \(35\) de \(400\) : il est plus proche de \(400\), donc \(365\) arrondi à la centaine est \(400\). Le chiffre à droite du chiffre cible dit dans quelle moitié de l'encadrement se trouve le nombre : de \(5\) à \(9\), la moitié haute (le milieu, \(350\), compris) ; de \(0\) à \(4\), la moitié basse. C'est pourquoi la procédure d'arrondi ne regarde que ce chiffre.

1. Souligner le chiffre cible : Trouver et souligner le chiffre à la position à laquelle il faut arrondir.
2. Regarder le chiffre à droite : Regarder le chiffre immédiatement à droite du chiffre souligné.
3. Décider d'arrondir :
   • Si le chiffre à droite est 5 ou plus, ajouter un au chiffre souligné. Si le chiffre souligné est \(9\), il devient \(10\) : écrire \(0\) et ajouter \(1\) au chiffre à sa gauche (ainsi \(0{,}\underline{9}5\) s'arrondit à \(1{,}0\)) ; si ce chiffre est lui aussi un \(9\), il devient \(0\) à son tour et la retenue passe encore à gauche (ainsi \(9{,}\underline{9}5\) s'arrondit à \(10{,}0\)).
   • Si le chiffre à droite est 4 ou moins, le chiffre souligné reste le même.
4. Laisser tomber le reste : les chiffres à droite du chiffre souligné sont supprimés s'ils sont après la virgule ; dans la partie entière, on les remplace par des zéros (\(365 \approx 400\) à la centaine).