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Éducation Nationale Française · CM2

Le calcul mental

⌚ ~130 min ▢ 14 blocs ✓ 51 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les nombres décimaux
I Multiplier et diviser par 10
Méthode — Déplacer la virgule pour multiplier
Pour multiplier par 10, 100 ou \(1\,000\), il faut déplacer la virgule vers la droite du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.
  • Multiplier par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 rang vers la droite.
  • Multiplier par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 rangs vers la droite.
  • Multiplier par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 rangs vers la droite.
S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.
Exemple
Calculer \(10\times 5{,}24 \)

Illustration

Méthode — Déplacer la virgule pour diviser
Pour diviser par 10, 100 ou \(1\,000\), il faut déplacer la virgule vers la gauche du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.
  • Diviser par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 rang vers la gauche.
  • Diviser par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 rangs vers la gauche.
  • Diviser par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 rangs vers la gauche.
S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.
Exemple
Calculer \(23{,}2\div 10\)

Illustration

Compétences à pratiquer
  • Multiplier par 10
  • Diviser par 10
II Multiplier et diviser par 100 et par 1 000
Exemple
Calculer : \(100 \times 7{,}3\) et \(2{,}456 \times 100\).

$$\begin{aligned}[t] 100 \times 7{,}3 &= 730 && \text{(2 zéros : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite, compléter par un zéro)} \\ 2{,}456 \times 100 &= 245{,}6 && \text{(2 rangs vers la droite)} \end{aligned}$$

Exemple
Calculer : \(56 \div 100\) et \(340{,}8 \div 100\).

$$\begin{aligned}[t] 56 \div 100 &= 0{,}56 && \text{(2 zéros : déplacer la virgule de 2 rangs vers la gauche)} \\ 340{,}8 \div 100 &= 3{,}408 && \text{(2 rangs vers la gauche)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Multiplier par 100
  • Diviser par 100
  • Multiplier par 1 000
  • Diviser par 1 000
III Multiplier par 5 et par 50
Méthode — Multiplier par 5 et par 50
  1. Multiplier par 5 : multiplier par \(10\), puis diviser par \(2\), car \(5=10\div 2\). $$\begin{aligned} 2{,}6\times 5&=2{,}6\times 10\div 2 &&\text{(car } 5=10\div 2\text{)}\\ &=26\div 2\\ &=13 \end{aligned}$$
  2. Multiplier par 50 : multiplier par \(100\), puis diviser par \(2\), car \(50=100\div 2\). $$\begin{aligned} 1{,}4\times 50&=1{,}4\times 100\div 2 &&\text{(car } 50=100\div 2\text{)}\\ &=140\div 2\\ &=70 \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
  • Multiplier par 5 et par 50
IV Les multiples de 25 et de 50
Méthode — Les multiples de 25 et de 50
Certains multiples reviennent partout — dans la monnaie, dans les minutes, dans les mesures — et valent d'être connus par cœur :
  • les multiples de 25 : \(25\) ; \(50\) ; \(75\) ; \(100\) ; \(125\) ; \(150\) ; \(175\) ; \(200\)…\ — quatre sauts de \(25\) font \(100\) ;
  • les multiples de 50 : \(50\) ; \(100\) ; \(150\) ; \(200\) ; \(250\)…\ — deux sauts de \(50\) font \(100\), donc ils se terminent par \(00\) ou \(50\).
Pour reconnaître un multiple de \(25\), regarder ses deux derniers chiffres : ils doivent se lire \(00\) ; \(25\) ; \(50\) ou \(75\).
Exemple
Parmi les nombres \(325\) ; \(460\) ; \(875\) et \(1\,050\), lesquels sont des multiples de \(25\) ? Lesquels sont des multiples de \(50\) ?

$$\begin{aligned}[t] 325 \rightarrow 25\,;\; 875 \rightarrow 75\,;\; 1\,050 \rightarrow 50 && \text{(deux derniers chiffres : } 00\,;\,25\,;\,50 \text{ ou } 75\text{)} \\ 460 \rightarrow 60 && \text{(pas un multiple de } 25\text{)} \end{aligned}$$ Multiples de \(25\) : \(325\) ; \(875\) ; \(1\,050\). Multiples de \(50\) (terminés par \(00\) ou \(50\)) : \(1\,050\) seulement.

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître les multiples de 25 et de 50
V Le complément à l'entier supérieur
Méthode — Le complément à l'entier supérieur
Pour trouver ce qu'il faut ajouter pour atteindre l'entier supérieur, compléter position par position : d'abord les centièmes pour atteindre un dixième rond, puis les dixièmes pour atteindre l'entier. $$5{,}62 + \square = 6 \qquad\rightarrow\qquad 5{,}62 + \textcolor{colorprop}{0{,}38} = 6$$ car \(62\) centièmes \(+ \textcolor{colorprop}{38}\) centièmes \(= 100\) centièmes \(= 1\).
Exemple
Compléter : \(\square + 42{,}85 = 43\).

$$\begin{aligned}[t] 85 \text{ centièmes} + 15 \text{ centièmes} &= 100 \text{ centièmes} && \text{(compléter les centièmes)} \\ 0{,}15 + 42{,}85 &= 43 && \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Trouver le complément à l'entier supérieur
VI Réorganiser avec les propriétés des opérations
Méthode — Réorganiser avec les propriétés des opérations
L'ordre des termes d'une somme, et des facteurs d'un produit, peut être changé pour faire apparaître des nombres ronds :
  • Grouper ce qui se complète : \(2{,}3 + 18{,}6 + 0{,}7 = (2{,}3 + 0{,}7) + 18{,}6 = 3 + 18{,}6 = 21{,}6\).
  • Associer les facteurs qui font 100 : \(4{,}7 \times 25 \times 4 = 4{,}7 \times 100 = 470\).
  • Passer par le nombre rond et ajuster : \(26 + 399 = 26 + 400 - 1 = 425\), et \(35 \times 19 = 35 \times 20 - 35 = 665\).
Exemple
Calculer astucieusement : \(1{,}8 + 45{,}9 + 0{,}2\).

$$\begin{aligned}[t] 1{,}8 + 45{,}9 + 0{,}2 &= (1{,}8 + 0{,}2) + 45{,}9 && \text{(grouper ce qui se complète)} \\ &= 2 + 45{,}9 && \\ &= 47{,}9 && \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Réorganiser pour calculer astucieusement
VII Doubles et moitiés
Méthode — Doubles et moitiés
Doubler et prendre la moitié marchent sur les décimaux comme sur les entiers, position par position :
  • Le double : le double de \(3{,}6\) est \(7{,}2\) (double de \(3\), double de \(6\) dixièmes \(= 12\) dixièmes).
  • La moitié : la moitié de \(8{,}4\) est \(4{,}2\) — et la moitié d'un nombre impair est un décimal : la moitié de \(9\) est \(4{,}5\) (\(8 \div 2 = 4\) et \(1 \div 2 = 0{,}5\)).
  • Diviser par 4 ou par 8 en prenant des moitiés : \(\div 4\), c'est la moitié de la moitié ; \(\div 8\), une moitié de plus. \(60 \div 4 = 30 \div 2 = 15\).
Exemple
Calculer : la moitié de \(13\), puis \(72 \div 8\).

$$\begin{aligned}[t] \text{la moitié de } 13 &= 6{,}5 && \text{(moitié d'un impair : un décimal)} \\ 72 \div 8 &= 36 \div 4 = 18 \div 2 = 9 && \text{(trois moitiés successives)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Doubler et prendre la moitié
VIII La division de tête
Méthode — La division de tête
Quand le diviseur est petit, découper le nombre en parts commodes et diviser chaque part, en commençant par la plus grande : $$368 \div 2 : \quad 300 \div 2 = 150\,; \quad 68 \div 2 = 34\,; \quad\text{donc } 368 \div 2 = 184.$$
  • Choisir des parts que le diviseur divise exactement : \(75 = 50 + 25\) convient pour \(\div 5\) ; \(927 = 900 + 27\), deux parts que \(3\) divise exactement, donc \(927 \div 3 = 300 + 9 = 309\) ; les mêmes parts conviennent pour \(9\) : \(927 \div 9 = 100 + 3 = 103\).
Exemple
Calculer de tête : \(1\,400 \div 5\).

$$\begin{aligned}[t] 1\,400 \div 5 &= (1\,000 + 400) \div 5 && \text{(découper en parts commodes)} \\ &= 200 + 80 && \\ &= 280 && \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Diviser de tête
IX Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Comparer des stratégies de calcul
  • Résoudre des problèmes de calcul mental
  • Quiz