I L'aire

Définition — Aire

L’aire d’une figure, c’est la quantité d’espace qu’elle occupe sur une surface plane.
On mesure l’aire en comptant combien d’unités d’aire la recouvrent exactement, sans trou ni chevauchement.

Méthode — Comparer des aires sans mesurer

Pour comparer les aires de deux figures sans mesurer :

Superposer : poser une figure sur l'autre (on a le droit de la tourner). Si elle tient dedans et qu'une partie de l'autre figure reste découverte, elle a la plus petite aire ; si les deux figures coïncident exactement, les aires sont égales.
Découper et recomposer : si aucune ne tient dans l'autre, découper une figure en morceaux et poser tous les morceaux sur l'autre figure, sans chevauchement — déplacer des morceaux ne change pas l'aire. S'ils la couvrent exactement, les aires sont égales ; si une partie de l'autre figure reste découverte, c'est elle qui a la plus grande aire.

Définition — Unités d’aire

Centimètre carré $\left(\mathrm{cm}^2\right)$ : L’aire d’un carré de 1 cm de côté. C’est à peu près la taille de l’ongle du pouce. On l’écrit $1\;\text{cm}^2$.
Mètre carré $\left(\mathrm{m}^2\right)$ : L’aire d’un carré de 1 m de côté. C’est à peu près la surface d’une petite table carrée. On l’écrit $1\;\text{m}^2$.

Compétences à pratiquer

Comparer en superposant et en découpant
Choisir des unités pour l'aire
Calculer l'aire d'une forme

II Le décimètre carré

Définition — Le décimètre carré

Entre le centimètre carré et le mètre carré, il y a le décimètre carré $\left(\mathrm{dm}^2\right)$ : l'aire d'un carré de $1$ dm ($= 10$ cm) de côté. C'est à peu près la taille d'un carreau de carrelage, ou la face d'un boîtier de CD. On l'écrit $1\;\text{dm}^2$.

Compétences à pratiquer

Choisir entre cm², dm² et m²

III Aire des rectangles et carrés

Découverte

Compter chaque carreau pour trouver l’aire peut prendre beaucoup de temps. Existe-t-il un raccourci ?
On considère un rectangle de 5 unités de longueur et 3 unités de largeur.

On peut trouver son aire en additionnant les carreaux de chaque colonne.

L’aire est $\underbrace{\textcolor{colordef}{3}\;\;+\;\textcolor{colorprop}{3}\;\;+\;\textcolor{olive}{3}\;\;+\;\textcolor{purple}{3}\;\;+\;\textcolor{orange}{3}}_{5\,\text{fois}} = 5 \times 3 = 15$ unités d’aire.
Cela montre que l’on peut trouver l’aire d’un rectangle en multipliant simplement sa longueur par sa largeur.

Proposition — Formules d’aire

Pour trouver l’aire d’un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur. Pour trouver l’aire d’un carré, on multiplie la longueur d’un côté par elle-même.

Nom	Figure	Formule d’aire
Rectangle		$A = L \times l$
Carré		$A = c \times c$

Exemple

Trouver l’aire du rectangle :

Correction

C’est un rectangle avec une longueur $L = 8$ m et une largeur $l = 4$ m. En utilisant la formule de l’aire d’un rectangle : $$\begin{aligned}[t] A &= L \times l \\ &= 8 \times 4 \\ &= 32 \, \mathrm{m}^2 \end{aligned}$$ L’aire est de $32$ mètres carrés (on lit $32\,\mathrm{m}^2$ « 32 mètres carrés »).

Exemple

Trouver l'aire du carré :

Correction

C'est un carré dont tous les côtés mesurent $6$ cm. Son aire est la longueur du côté multipliée par elle-même : $$\begin{aligned}[t] A &= 6 \times 6 \\ &= 36 \, \mathrm{cm}^2 \end{aligned}$$ L'aire est de $36$ centimètres carrés.

Compétences à pratiquer

Trouver des formules
Calculer les aires de carrés et de rectangles

IV Convertir les unités d'aire

Découverte

Combien faut-il de carrés de $1 \, \text{cm}^2$ pour paver un carreau de $1 \, \text{dm}^2$ ? Chaque côté mesure $1$ dm $= 10$ cm, donc chaque rangée contient $10$ petits carrés, et il y a $10$ rangées : $$ \begin{aligned} 1 \, \mathrm{dm}^2 &= (10 \times 10) \, \mathrm{cm}^2 && \text{(10 rangées de 10 carrés)} \\ &= 100 \, \mathrm{cm}^2 \end{aligned} $$ Donc $1 \, \text{dm}^2 = 100 \, \text{cm}^2$. Le même pavage marche pour le mètre carré : $1$ m $= 10$ dm, donc $1 \, \text{m}^2 = (10 \times 10) \, \text{dm}^2 = \mathbf{100} \, \text{dm}^2$.

Proposition — Convertir entre cm², dm² et m²

Parmi le $\text{cm}^2$, le $\text{dm}^2$ et le $\text{m}^2$, deux unités voisines diffèrent d'un facteur $100$, car $10 \times 10 = 100$ :

$1 \, \text{dm}^2 = \mathbf{100} \, \text{cm}^2$ et $1 \, \text{m}^2 = \mathbf{100} \, \text{dm}^2$.
Pour aller vers une unité plus petite, multiplier par $100$ à chaque pas ; vers une unité plus grande, diviser par $100$.
En deux pas : $1 \, \text{m}^2 = 100 \, \text{dm}^2 = \mathbf{10\,000} \, \text{cm}^2$.

On s'appuie sur ces relations — aucun tableau de conversion n'est nécessaire.

Exemple

Convertir : $3 \, \text{dm}^2$ en $\text{cm}^2$ ; puis $500 \, \text{dm}^2$ en $\text{m}^2$ ; puis $2{,}5 \, \text{m}^2$ en $\text{dm}^2$.

Correction

Compétences à pratiquer

Convertir entre unités voisines
Convertir avec des nombres décimaux simples
Expliquer la conversion

V Aire et périmètre

Une figure plane a deux mesures différentes.
Son périmètre est la distance tout autour de son bord — une longueur, mesurée par exemple en cm.
Son aire est la quantité d'espace qu'elle couvre à l'intérieur — mesurée en unités d'aire, par exemple en cm$^2$.
Le périmètre et l'aire répondent à deux questions différentes et utilisent deux unités différentes.

Signaler une erreur

Exemple

Trouver à la fois le périmètre et l'aire de ce rectangle.

Correction

Le rectangle mesure $4$ cm de long et $3$ cm de large.
Périmètre — on fait le tour du bord, côté après côté : $$\begin{aligned}[t] P &= 4 + 3 + 4 + 3 && \text{(les quatre côtés)} \\ &= 14 \ \text{cm.} \end{aligned}$$ Aire — on couvre l'intérieur : $3$ rangées de $4$ carreaux de $1\ \text{cm}^2$ : $$\begin{aligned}[t] A &= 4 \times 3 && \text{(3 rangées de 4 carreaux)} \\ &= 12 \ \text{cm}^2. \end{aligned}$$ Le périmètre est de $14$ cm (une longueur) ; l'aire est de $12\ \text{cm}^2$ (une surface couverte). Le même rectangle a deux mesures différentes, avec deux unités différentes.

Méthode — Distinguer périmètre et aire

Pour une même figure, deux questions différentes :

Périmètre — on fait le tour du bord et on additionne les longueurs des côtés. La réponse est une longueur, par exemple en cm.
Aire — on couvre l'intérieur : on compte les unités d'aire (pour un rectangle, on multiplie le nombre de rangées par le nombre de carreaux d'une rangée). La réponse est un nombre d'unités d'aire, par exemple de cm$^2$.

Exemple

Ces deux rectangles ont tous les deux un périmètre de $12$ cm. Ont-ils la même aire ?

Correction

On calcule le périmètre et l'aire de chaque rectangle. $$\begin{aligned}[t] \text{A } (5\times1):\quad P &= 5+1+5+1 = 12 \ \text{cm}, & \text{aire} &= 5\times1 = 5 \ \text{cm}^2 && \text{(1 rangée de 5 carreaux)} \\ \text{B } (3\times3):\quad P &= 3+3+3+3 = 12 \ \text{cm}, & \text{aire} &= 3\times3 = 9 \ \text{cm}^2 && \text{(3 rangées de 3 carreaux)} \end{aligned}$$ Les deux ont le même périmètre ($12$ cm), mais leurs aires sont différentes ($5\ \text{cm}^2$ et $9\ \text{cm}^2$). Connaître le périmètre ne donne pas l'aire.

Compétences à pratiquer

Calculer le périmètre et l'aire
Trouver un côté manquant
Dessiner un rectangle

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Résoudre des problèmes de coût
Calculer l'aire de figures en rectangles
Résoudre des problèmes d'aires et de périmètres à étapes
Quiz