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Éducation Nationale Française · CM2

Les nombres décimaux

⌚ ~362 min ▢ 43 blocs ✓ 179 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les fractions
I Écrire les nombres décimaux
I.1 Les fractions décimales

Pour mesurer une longueur plus courte qu'une unité, il faut diviser l'unité en parts égales. On considère un ruban plus court qu'un mètre. L'unité (un mètre) est divisée en 10 parts égales ; chaque part est un dixième de l'unité, écrit \(\dfrac{1}{10}\). Le ruban couvre 7 de ces parts, donc sa longueur est \(\dfrac{7}{10}\) de mètre.
Illustration
Sur la demi-droite graduée, le segment de 0 à 1 est l'unité. En le divisant en 10 parts égales, on place \(\dfrac{7}{10}\) exactement :
Illustration
Diviser l'unité en 10 parts égales correspond à la numération en base dix : dix parts font une unité, comme dix unités font une dizaine. Les fractions construites sur ce partage sont si utiles qu'elles reçoivent un nom particulier.

Définition — Fraction décimale
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est \(10\), \(100\), \(1\,000\), …
  • \(\dfrac{7}{10}\) se lit « sept dixièmes » : l'unité est divisée en 10 parts égales.
  • \(\dfrac{23}{100}\) se lit « vingt-trois centièmes » : en divisant chaque dixième en 10 parts égales, on divise l'unité en 100 parts égales.
Proposition — Entier et fraction décimale inférieure à 1
Puisque 10 dixièmes font une unité, \(\dfrac{10}{10}=1\). Toute fraction décimale peut donc s'écrire comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction décimale inférieure à 1, et réciproquement : $$\dfrac{47}{10} = 4 + \dfrac{7}{10} \qquad\text{et}\qquad 4 + \dfrac{7}{10} = \dfrac{47}{10}.$$
Illustration
Exemple
  1. Écrire \(\dfrac{35}{10}\) sous la forme de la somme d'un nombre entier et d'une fraction décimale inférieure à 1.
  2. Écrire \(2+\dfrac{6}{10}\) sous la forme d'une seule fraction décimale.

  1. \(\begin{aligned}[t] \dfrac{35}{10} &= \dfrac{30}{10}+\dfrac{5}{10} &&\text{(on sépare les dixièmes qui font des unités)}\\ &= 3+\dfrac{5}{10} &&\left(\dfrac{30}{10}=3\right) \end{aligned}\)
  2. \(\begin{aligned}[t] 2+\dfrac{6}{10} &= \dfrac{20}{10}+\dfrac{6}{10} &&\left(2=\dfrac{20}{10}\right)\\ &= \dfrac{26}{10} &&\text{(on additionne les numérateurs)} \end{aligned}\)

Exemple
Les fractions décimales de même dénominateur s'additionnent comme toutes les fractions de même dénominateur : on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur. Calculer :
  1. \(\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{10}\)
  2. \(\dfrac{26}{100}+\dfrac{24}{100}\)

  1. Illustration
    \(\begin{aligned}[t] \dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{10} &= \dfrac{3+4}{10} &&\text{(même dénominateur : on additionne les numérateurs)}\\ &= \dfrac{7}{10} \end{aligned}\)
  2. \(\begin{aligned}[t] \dfrac{26}{100}+\dfrac{24}{100} &= \dfrac{26+24}{100} &&\text{(même dénominateur : on additionne les numérateurs)}\\ &= \dfrac{50}{100}\\ &= \dfrac{5}{10} &&\text{(50 centièmes font 5 dixièmes)} \end{aligned}\)

Comme leurs dénominateurs sont \(10\), \(100\), \(1\,000\), …, les fractions décimales ont une écriture plus courte, qui utilise une virgule : par exemple, \(\dfrac{7}{10}\) s'écrit aussi \(0{,}7\). Cette écriture à virgule est celle des nombres décimaux : un nombre décimal peut s'écrire comme une fraction décimale, ou, plus court, avec une virgule.
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Compétences à pratiquer
  • Écrire une fraction décimale comme un entier plus des dixièmes et des centièmes
  • Additionner des fractions décimales
  • Expliquer une écriture en fraction décimale
I.2 Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Dans le système décimal, la position d'un chiffre indique sa valeur. On considère le nombre 235.
\(235=\) Illustration
Il est composé de trois parties :
  • Le 5 est à la position des unités, ce qui signifie 5 unités (\(5\)).
  • Le 3 est à la position des dizaines, ce qui signifie 3 dizaines (\(30\)).
  • Le 2 est à la position des centaines, ce qui signifie 2 centaines (\(200\)).
Le système décimal suit un modèle basé sur 10.
  • Quand on se déplace vers la gauche \(\leftarrow\), chaque position est 10 fois plus grande. (10 unités font une dizaine, 10 dizaines font une centaine).
  • Quand on se déplace vers la droite \(\rightarrow\), chaque position est 10 fois plus petite. (Une centaine divisée par 10 est une dizaine, une dizaine divisée par 10 est une unité).
Que se passe-t-il si on continue de se déplacer vers la droite ? Qu'est-ce qu'une unité divisée par 10 ?
On obtient une partie appelée un dixième. Un dixième est une fraction, écrite \(\dfrac{1}{10}\).
Pour écrire des nombres qui incluent ces plus petites parties, on utilise une virgule pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire.
\(35{,}4\) = Illustration
Ce nombre signifie 3 dizaines, 5 unités et 4 dixièmes.

Définition — Nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une partie entière et une partie fractionnaire séparées par une virgule, avec un nombre fini de chiffres après la virgule. On peut représenter un nombre décimal de différentes manières :
  • Écriture décimale :
    \(35{,}4\)
  • Forme décomposée : $$\begin{aligned} 3\text{ dizaines} &+ &5\text{ unités} &+& 4\text{ dixièmes} \\ 30 &+& 5 &+& \frac{4}{10} \end{aligned}$$
  • Tableau de numération :
    Dizaines Unités , Dixièmes
    3 5 , 4
  • Cubes de base dix :
    Illustration
Définition — Le centième
Le modèle du système décimal ne s'arrête pas aux dixièmes : chaque position est toujours 10 fois plus petite que la position à sa gauche.
  • Une unité divisée par 10 est un dixième : \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\).
  • Un dixième divisé par 10 est une nouvelle partie, plus petite, appelée un centième. Un centième s'écrit \(\dfrac{1}{100}\) sous forme de fraction, ou \(0{,}01\) sous forme décimale.
Un centième est un dixième d'un dixième. Dans l'autre sens :
  • 10 centièmes font 1 dixième : \(\dfrac{10}{100} = \dfrac{1}{10}\).
  • 100 centièmes font 1 unité : \(\dfrac{100}{100} = 1\).
Le tableau de numération gagne une colonne de plus à droite. Pour le nombre \(2{,}64\) (2 unités, 6 dixièmes, 4 centièmes) :
Unités , Dixièmes Centièmes
2 , 6 4
\(2{,}64\) = Illustration
Exemple
Écrire sous forme décimale :
  1. \(\dfrac{34}{100}\)
  2. \(\dfrac{207}{100}\)

  1. $$\begin{aligned}[t] \frac{34}{100} &= \frac{30}{100} + \frac{4}{100} && \text{(séparer les centièmes)} \\ &= \frac{3}{10} + \frac{4}{100} && \text{(30 centièmes font 3 dixièmes)} \\ &= 0{,}34 && \text{(3 dixièmes et 4 centièmes)} \end{aligned}$$
    \(\dfrac{34}{100} = \) Illustration
  2. $$\begin{aligned}[t] \frac{207}{100} &= \frac{200}{100} + \frac{7}{100} && \text{(séparer les centièmes)} \\ &= 2 + \frac{7}{100} && \text{(200 centièmes font 2 unités)} \\ &= 2{,}07 && \text{(0 dixième et 7 centièmes)} \end{aligned}$$
    Unités , Dixièmes Centièmes
    2 , 0 7

Proposition — Différentes écritures d'un même nombre
Un même nombre décimal peut s'écrire de plusieurs façons. Toutes ces écritures désignent exactement le même nombre. Pour \(42{,}48\) : $$42{,}48 = \frac{4248}{100} = 40 + 2 + \frac{4}{10} + \frac{8}{100}$$
  • De l'écriture décimale vers une décomposition : lire chaque chiffre selon sa position. Dans \(42{,}48\), le 4 de gauche vaut \(40\), le 2 vaut \(2\), le 4 après la virgule vaut \(\frac{4}{10}\) et le 8 vaut \(\frac{8}{100}\).
  • De l'écriture décimale vers les centièmes : tout compter en centièmes. Chaque unité est 100 centièmes et chaque dixième est 10 centièmes, donc \(42{,}48\) est \(4248\) centièmes : \(42{,}48 = \frac{4248}{100}\).
  • D'une décomposition vers l'écriture décimale : placer chaque partie dans sa colonne du tableau de numération, puis lire le nombre.
Le nom du nombre en toutes lettres est une écriture de plus du même nombre : \(42{,}48\) se lit « quarante-deux virgule quarante-huit ».
Exemple
  1. Écrire \(36{,}07\) sous forme de fraction décimale et sous forme décomposée.
  2. Écrire sous la forme d'un seul nombre décimal : \(50 + 3 + \dfrac{9}{10} + \dfrac{2}{100}\).

  1. Forme décomposée : lire chaque chiffre selon sa position. Le zéro signifie qu'il n'y a pas de dixièmes. $$\begin{aligned}[t] 36{,}07 &= 30 + 6 + \frac{7}{100} && \text{(3 dizaines, 6 unités, 0 dixième, 7 centièmes)} \end{aligned}$$ Fraction décimale : tout compter en centièmes. $$\begin{aligned}[t] 36{,}07 &= \frac{3600}{100} + \frac{7}{100} && \text{(36 unités font 3600 centièmes)} \\ &= \frac{3607}{100} \end{aligned}$$
  2. $$\begin{aligned}[t] 50 + 3 + \frac{9}{10} + \frac{2}{100} &= 53 + 0{,}9 + 0{,}02 && \text{(valeur de chaque terme)} \\ &= 53{,}92 \end{aligned}$$
    Dizaines Unités , Dixièmes Centièmes
    5 3 , 9 2

Exemple — Écriture décimale de fractions usuelles
Écrire sous forme décimale :
  1. \(\dfrac{1}{2}\)
  2. \(\dfrac{1}{4}\)
  3. \(\dfrac{3}{4}\)

L'unité est le grand carré. Il est partagé en \(100\) petits carrés : chaque petit carré est un centième.
Illustration
  1. La moitié des \(100\) petits carrés, c'est \(50\) petits carrés : $$\begin{aligned}[t] \frac{1}{2} &= \frac{50}{100} && \text{(la moitié de 100 centièmes)} \\ &= \frac{5}{10} && \text{(50 centièmes font 5 dixièmes)} \\ &= 0{,}5 \end{aligned}$$
  2. Partagés en \(4\) parts égales, les \(100\) petits carrés donnent \(25\) petits carrés chacune, car \(4\times 25=100\) : $$\begin{aligned}[t] \frac{1}{4} &= \frac{25}{100} && \text{(le quart de 100 centièmes)} \\ &= 0{,}25 && \text{(2 dixièmes et 5 centièmes)} \end{aligned}$$
  3. Trois quarts, c'est \(3\) fois \(25\) petits carrés, soit \(75\) petits carrés : $$\begin{aligned}[t] \frac{3}{4} &= \frac{75}{100} && \text{(3 fois 25 centièmes)} \\ &= 0{,}75 && \text{(7 dixièmes et 5 centièmes)} \end{aligned}$$
Ces trois écritures reviennent si souvent qu'on les connaît par cœur : \(\dfrac{1}{2}=0{,}5\) ; \(\dfrac{1}{4}=0{,}25\) ; \(\dfrac{3}{4}=0{,}75\).

Compétences à pratiquer
  • Comprendre le rôle du zéro
  • Identifier les valeurs de position
  • Écrire des nombres décimaux
  • Trouver le chiffre dans la valeur de position
  • Convertir une fraction décimale en nombre décimal
  • Écrire une fraction décimale à partir d'un nombre décimal
  • Écrire un décimal à partir d'une décomposition additive
  • Écrire un décimal à partir d'une décomposition multiplicative
  • Écrire une décomposition à partir d'un décimal
  • Distinguer le chiffre et le nombre de dixièmes ou de centièmes
  • Utiliser les nombres décimaux pour la monnaie et les longueurs
I.3 Le millième
Définition — Le millième
Le motif continue après les centièmes : chaque position est encore 10 fois plus petite que la position à sa gauche.
  • Un centième divisé par 10 est une nouvelle part, plus petite, appelée un millième. Un millième s'écrit \(\dfrac{1}{1\,000}\) en fraction, ou \(0{,}001\) en écriture décimale.
Un millième est un dixième d'un centième. En remontant :
  • 10 millièmes font 1 centième : \(\dfrac{10}{1\,000} = \dfrac{1}{100}\).
  • \(1\,000\) millièmes font 1 unité : \(\dfrac{1\,000}{1\,000} = 1\).
Le tableau de numération gagne une colonne de plus à droite. Pour le nombre \(2{,}647\) (2 unités, 6 dixièmes, 4 centièmes, 7 millièmes) :
Unités , Dixièmes Centièmes Millièmes
\(2\) , \(6\) \(4\) \(7\)
Compétences à pratiquer
  • Identifier les millièmes
I.4 Écrire un décimal au millième
Exemple
On considère le nombre \(53{,}276\).
  1. Écrire \(53{,}276\) sous forme décomposée.
  2. Écrire \(53{,}276\) sous la forme d'une seule fraction décimale.
  3. Décomposer \(53{,}276\) en un nombre entier plus une fraction inférieure à \(1\).

Le tableau de numération de \(53{,}276\) est :
Dizaines Unités , Dixièmes Centièmes Millièmes
5 3 , 2 7 6
  1. Forme décomposée : $$53{,}276=5\times 10+3\times 1+2\times \frac{1}{10}+7\times \frac{1}{100}+6\times \frac{1}{1000}$$
  2. Sous la forme d'une seule fraction décimale : $$\begin{aligned} 53{,}276&=\frac{53\,276}{1000} &&\text{(le dernier chiffre, 6, est à la position des millièmes)} \end{aligned}$$
  3. En un nombre entier plus une fraction inférieure à \(1\) : $$\begin{aligned} 53{,}276&=53+0{,}276 &&\text{(partie entière et partie décimale)}\\ &=53+\frac{276}{1000} &&\text{(276 millièmes)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Écrire des décimaux avec des millièmes
  • Convertir au millième, dans les deux sens
II Repérer et comparer
II.1 La demi-droite graduée

Tout nombre décimal a une position exacte sur la demi-droite graduée.
  • Trouver les dixièmes
    Si on prend l'espace entre deux nombres entiers, comme 0 et 1, et qu'on le divise en 10 parties égales, chaque partie est un dixième (\(0{,}1\)).
    Illustration
  • Trouver les centièmes
    Si on agrandit une petite section, comme celle entre \(0\) et \(0{,}1\), et qu'on la divise en 10 parties égales, chaque nouvelle partie est un centième (\(0{,}01\)).
    Illustration

Méthode — Placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
Pour placer un nombre décimal comme \(2{,}27\) sur une demi-droite graduée :
  1. Trouver le début et la fin. Le nombre \(2{,}27\) se situe entre \(2{,}2 = 2{,}20\) et \(2{,}3 = 2{,}30\).
  2. Dessiner la ligne et la diviser en 10 parties égales. Chaque partie représentera un centième.
  3. Compter à partir du début. Les marques seront \(2{,}21\) ; \(2{,}22\) ; \(2{,}23\), etc. Trouver la 7e marque pour placer \(2{,}27\).
Illustration
Compétences à pratiquer
  • Identifier les nombres décimaux sur une demi-droite graduée
  • Reconnaître le point qui repère un nombre décimal
  • Marquer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
  • Repérer un point par une fraction décimale
  • Compter de dixième en dixième et de centième en centième
II.2 Placer et repérer au millième
Exemple
Sur la demi-droite graduée ci-dessous, les grandes graduations sont espacées d'un centième, et le segment de \(4{,}36\) à \(4{,}37\) est partagé en \(10\) parts égales. Quel nombre le point \(A\) repère-t-il ?
Illustration

Entre \(4{,}36\) et \(4{,}37\) il y a un centième, partagé en \(10\) parts égales : chaque petite part vaut un millième. Le point \(A\) est placé \(7\) petites parts après \(4{,}36\), donc il repère le nombre $$4{,}36 + \dfrac{7}{1\,000} = 4{,}367.$$

Compétences à pratiquer
  • Lire un décimal sur une graduation fine
  • Marquer un nombre décimal au centième ou au millième sur une demi-droite graduée
  • Produire des suites de nombres décimaux
II.3 Comparer des nombres décimaux
Méthode — Comparer les décimaux étape par étape
Pour savoir quel nombre décimal est le plus grand, il faut suivre ces étapes :
  1. Les aligner : Placer les nombres l'un au-dessus de l'autre, en s'assurant que les virgules sont parfaitement alignées.
  2. Leur donner la même longueur : Ajouter des zéros à la fin du nombre le plus court jusqu'à ce que les deux aient le même nombre de décimales. Cela ne change pas leur valeur.
  3. Comparer de gauche à droite : En commençant par la gauche, comparer les chiffres dans chaque colonne. Le premier nombre ayant un chiffre plus grand est le plus grand nombre. Si une partie entière a plus de chiffres que l'autre, ce nombre est le plus grand.
Exemple
Comparer \(6{,}22\) et \(6{,}3\).

  1. Les aligner :
    \(6{,}22\)
    \(6{,}3\)
  2. Leur donner la même longueur : On ajoute un zéro à \(6{,}3\) pour en faire \(6{,}30\).
    \(6{,}22\)
    \(6{,}30\)
  3. Comparer :
    • Position des unités : Les deux ont un 6.
    • Position des dixièmes : Le nombre du haut a un 2, celui du bas a un 3.
    Comme 3 est supérieur à 2, le nombre \(6{,}30\) est supérieur à \(6{,}22\). Donc, \(6{,}22 < 6{,}3\).
Illustration\(\lt\)Illustration

Compétences à pratiquer
  • Comparer des nombres décimaux
  • Comparer des décimaux au millième
II.4 Ranger des décimaux et des fractions décimales
Méthode — Ranger plusieurs nombres décimaux
Pour ranger une liste de nombres décimaux, les placer pas à pas :
  1. Écrire tous les nombres avec le même nombre de décimales en ajoutant des zéros — cela ne change rien et rend la comparaison facile.
  2. Trouver le plus petit (ou le plus grand) et le placer en premier.
  3. Recommencer avec les nombres qui restent, jusqu'à épuiser la liste.
Le rangement est dans l'ordre croissant quand il va du plus petit au plus grand, décroissant dans l'autre sens.
Exemple
Ranger les nombres \(3{,}7\) ; \(3{,}09\) ; \(3{,}71\) ; \(3{,}2\) dans l'ordre croissant.

$$\begin{aligned}[t] 3{,}70 \;;\; 3{,}09 \;;\; 3{,}71 \;;\; 3{,}20 && \text{(même nombre de décimales)} \\ 3{,}09 && \text{(le plus petit : son chiffre des dixièmes est } 0\text{)} \\ 3{,}09 < 3{,}20 < 3{,}70 < 3{,}71 && \text{(puis } 2 \text{ dixièmes, puis } 70 < 71 \text{ centièmes)} \end{aligned}$$

Méthode — Comparer et ranger des fractions décimales
Pour comparer deux fractions décimales, on les écrit avec le même dénominateur, puis on compare les numérateurs : le plus grand numérateur donne la plus grande fraction. Comme un dixième, c'est dix centièmes, et un centième, dix millièmes, \(\dfrac{7}{10}=\dfrac{70}{100}\) et \(\dfrac{7}{100}=\dfrac{70}{1\,000}\). $$\dfrac{7}{10}=\dfrac{70}{100}\quad\text{et}\quad 70>65,\quad\text{donc}\quad \dfrac{7}{10}>\dfrac{65}{100}.$$ On peut aussi les écrire avec une virgule et comparer les décimaux : \(0{,}70>0{,}65\). Pour ranger plusieurs fractions décimales, on les écrit toutes avec le plus grand dénominateur, puis on range les numérateurs.
Exemple
Ranger les fractions décimales \(\dfrac{5}{10}\) ; \(\dfrac{48}{100}\) ; \(\dfrac{503}{1\,000}\) dans l'ordre croissant.

$$\begin{aligned}[t] &\dfrac{5}{10}=\dfrac{500}{1\,000} \;;\; \dfrac{48}{100}=\dfrac{480}{1\,000} \;;\; \dfrac{503}{1\,000} && \text{(tout en millièmes)} \\ &480<500<503 && \text{(on range les numérateurs)} \\ &\dfrac{48}{100}<\dfrac{5}{10}<\dfrac{503}{1\,000} \end{aligned}$$ Vérification avec l'écriture à virgule : \(0{,}48<0{,}5<0{,}503\).

Compétences à pratiquer
  • Ranger des décimaux dans des problèmes concrets
III Encadrer, arrondir et mesurer
III.1 Encadrer et intercaler
Méthode — Encadrer et intercaler des nombres décimaux
  1. Encadrer un nombre décimal par deux nombres entiers consécutifs : la partie entière donne la borne inférieure, et le nombre entier suivant donne la borne supérieure. Pour \(6{,}815\) : $$6\leq 6{,}815<7$$
  2. Encadrer un nombre décimal par deux dixièmes consécutifs : garder les chiffres jusqu'à la position des dixièmes pour la borne inférieure, puis ajouter un dixième pour la borne supérieure. Pour \(6{,}815\) : $$6{,}8\leq 6{,}815<6{,}9$$
  3. Encadrer un nombre décimal par deux centièmes consécutifs : garder les chiffres jusqu'à la position des centièmes pour la borne inférieure, puis ajouter un centième pour la borne supérieure. Pour \(6{,}815\) : $$6{,}81\leq 6{,}815<6{,}82$$ Le signe \(\leq\) se lit « est inférieur ou égal à » : le nombre peut être égal à sa borne inférieure (\(6\leq 6<7\) et \(6{,}1\leq 6{,}1<6{,}2\)), jamais à sa borne supérieure.
  4. Intercaler un nombre décimal entre deux nombres donnés : écrire d'abord les deux nombres avec le même nombre de décimales, puis avec une décimale de plus ; de nouvelles graduations apparaissent entre eux. Entre \(5{,}7=5{,}70\) et \(5{,}8=5{,}80\), on peut intercaler \(5{,}71\) ; \(5{,}72\) ; …; \(5{,}79\). Entre deux nombres décimaux différents, il existe toujours un autre nombre décimal.
Exemple — Encadrer et intercaler des fractions décimales
  1. Encadrer \(\dfrac{347}{100}\) entre deux nombres entiers consécutifs, puis entre deux dixièmes consécutifs.
  2. Donner une fraction décimale comprise entre \(\dfrac{3}{10}\) et \(\dfrac{4}{10}\).

  1. \(\dfrac{347}{100}=3{,}47\) : sa partie entière est \(3\), donc \(3<\dfrac{347}{100}<4\). En centièmes, les dixièmes \(\dfrac{34}{10}\) et \(\dfrac{35}{10}\) valent \(\dfrac{340}{100}\) et \(\dfrac{350}{100}\), et \(340<347<350\) : $$\dfrac{34}{10}<\dfrac{347}{100}<\dfrac{35}{10}.$$
  2. En centièmes, \(\dfrac{3}{10}=\dfrac{30}{100}\) et \(\dfrac{4}{10}=\dfrac{40}{100}\) : entre les deux se trouvent \(\dfrac{31}{100}\), \(\dfrac{32}{100}\), …, \(\dfrac{39}{100}\). Par exemple \(\dfrac{3}{10}<\dfrac{35}{100}<\dfrac{4}{10}\) : \(\dfrac{35}{100}\) est exactement au milieu.

Compétences à pratiquer
  • Encadrer un décimal entre deux entiers consécutifs
  • Encadrer un décimal entre deux dixièmes consécutifs
  • Intercaler un nombre décimal entre deux nombres
  • Comparer, encadrer et intercaler des fractions décimales
III.2 Encadrer et intercaler au millième
Exemple
  1. Encadrer \(7{,}062\) par deux nombres entiers consécutifs.
  2. Encadrer \(7{,}062\) par deux dixièmes consécutifs.
  3. Encadrer \(7{,}062\) par deux centièmes consécutifs.
  4. Trouver trois nombres décimaux compris entre \(9{,}61\) et \(9{,}62\).

  1. La partie entière de \(7{,}062\) est \(7\), donc : $$7\leq 7{,}062<8$$
  2. Les chiffres jusqu'à la position des dixièmes donnent \(7{,}0\) ; en ajoutant un dixième, on obtient \(7{,}1\), donc : $$7{,}0\leq 7{,}062<7{,}1$$
  3. Les chiffres jusqu'à la position des centièmes donnent \(7{,}06\) ; en ajoutant un centième, on obtient \(7{,}07\), donc : $$7{,}06\leq 7{,}062<7{,}07$$
  4. On écrit les deux nombres avec une décimale de plus : \(9{,}61=9{,}610\) et \(9{,}62=9{,}620\). Les nouvelles graduations \(9{,}611\) ; \(9{,}612\) ; …; \(9{,}619\) sont toutes comprises entre eux. Par exemple : $$9{,}61<9{,}612<9{,}615<9{,}618<9{,}62$$
    Illustration

Compétences à pratiquer
  • Encadrer un décimal au millième entre deux entiers consécutifs
  • Encadrer et intercaler des décimaux au millième
  • Ranger, encadrer et intercaler des fractions décimales au millième
III.3 Partie entière et arrondi à l'entier
Définition — La partie entière d'un nombre décimal
La partie entière d'un nombre décimal est le nombre entier écrit avant la virgule : la partie entière de \(8{,}4\) est \(8\), celle de \(0{,}36\) est \(0\), celle de \(120{,}05\) est \(120\). Pour un nombre entier, la partie entière est le nombre lui-même : la partie entière de \(8\) est \(8\).
  • Un nombre décimal qui n'est pas entier est compris entre sa partie entière et le nombre entier suivant : \(6 < 6{,}72 < 7\).
  • La partie entière n'est pas l'arrondi. \(6{,}72\) a pour partie entière \(6\), mais arrondi à l'entier le plus proche il donne \(7\), car il est plus proche de \(7\). La partie entière ne monte jamais ; l'arrondi monte quand le chiffre des dixièmes est \(5\) ou plus.
Méthode — La règle de l'arrondi en quatre étapes
  1. Souligner le chiffre cible : Trouver et souligner le chiffre à la position à laquelle il faut arrondir.
  2. Regarder le chiffre à droite : Regarder le chiffre immédiatement à droite du chiffre souligné.
  3. Décider d'arrondir :
    • Si le chiffre à droite est 5 ou plus, ajouter un au chiffre souligné. Si le chiffre souligné est \(9\), il devient \(10\) : écrire \(0\) et ajouter \(1\) au chiffre à sa gauche (ainsi \(0{,}\underline{9}5\) s'arrondit à \(1{,}0\)) ; si ce chiffre est lui aussi un \(9\), il devient \(0\) à son tour et la retenue passe encore à gauche (ainsi \(9{,}\underline{9}5\) s'arrondit à \(10{,}0\)).
    • Si le chiffre à droite est 4 ou moins, le chiffre souligné reste le même.
  4. Laisser tomber le reste : les chiffres à droite du chiffre souligné sont supprimés s'ils sont après la virgule ; dans la partie entière, on les remplace par des zéros (\(365 \approx 400\) à la centaine).
Exemple
Arrondir le nombre \(6{,}72\) à l'entier le plus proche.

On suit les étapes :
  1. Souligner le chiffre (la position des unités) : \(\underline{6}{,}72\)
  2. Regarder le chiffre à droite : le chiffre à droite (les dixièmes) est 7.
  3. Décider : comme 7 est « 5 ou plus », on arrondit au-dessus : le 6 devient 7.
  4. Laisser tomber le reste : le 7 et le 2 sont supprimés.
Le nombre arrondi est 7. Sur la demi-droite graduée, \(6{,}72\) est entre \(6\) et \(7\), plus près de \(7\).

Compétences à pratiquer
  • Donner la partie entière d'un nombre décimal
  • Arrondir à l'entier près
III.4 Les décimaux et les unités de mesure
Méthode — Des unités de numération aux unités de mesure
Les unités de longueur, de masse et de contenance suivent exactement le même motif que les unités de numération : chacune est 10 fois plus petite que la précédente. C'est pourquoi une mesure peut s'écrire comme un nombre décimal d'une unité plus grande.
Unité de numération Longueurs Masses et contenances
le dixième (\(0{,}1\)) \(1\) dm \(= 0{,}1\) m \(1\) dg \(= 0{,}1\) g ; \; \(1\) dL \(= 0{,}1\) L
le centième (\(0{,}01\)) \(1\) cm \(= 0{,}01\) m \(1\) cg \(= 0{,}01\) g ; \; \(1\) cL \(= 0{,}01\) L
le millième (\(0{,}001\)) \(1\) mm \(= 0{,}001\) m \(1\) mg \(= 0{,}001\) g ; \; \(1\) mL \(= 0{,}001\) L
La monnaie suit le même motif : \(1\) centime est un centième d'euro, donc \(3\) euros et \(45\) centimes s'écrivent \(3{,}45\) euros.
Exemple
Un ruban mesure \(2\) mètres et \(35\) centimètres. Écrire cette longueur comme un nombre décimal de mètres.

$$\begin{aligned}[t] 1 \text{ cm} &= 0{,}01 \text{ m} && \text{(un centimètre est un centième de mètre)} \\ 35 \text{ cm} &= 0{,}35 \text{ m} && \text{(35 centièmes)} \\ 2 \text{ m } 35 \text{ cm} &= 2{,}35 \text{ m} && \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Convertir des unités de mesure
  • Convertir des contenances
IV Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Analyser des erreurs de comparaison
  • Justifier des stratégies d'intercalation
  • Placer des nombres et choisir une précision
  • Problèmes
  • Quiz
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