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Éducation Nationale Française · CM2

La résolution de problèmes

⌚ ~90 min ▢ 9 blocs ✓ 35 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Le calcul mental, Poser les opérations avec les décimaux
I Résoudre un problème
Méthode — Les quatre étapes d'un problème
Ce sont les étapes déjà connues (comprendre l'histoire, dessiner le modèle, choisir l'opération, résoudre et vérifier) ; elles prennent ici un nom court. Tout problème se résout avec les mêmes quatre étapes.
  1. Comprendre : raconter à nouveau l'histoire avec ses propres mots. Que sait-on ? Que cherche-t-on ?
  2. Modéliser : choisir le dessin que l'histoire demande — un schéma en barres (des parties et un tout, deux barres pour une comparaison, des groupes égaux pour une multiplication), ou un tableau ou un arbre quand il faut compter ou lister les cas.
  3. Calculer : le modèle montre l'opération. De tête quand les nombres le permettent, sinon l'opération se pose en colonne.
  4. Répondre et vérifier : écrire la réponse avec son mot (cahiers, euros, rangées), puis se demander : est-ce possible ? Une partie ne dépasse jamais le tout ; un écart ne dépasse jamais la plus grande quantité ; le tout n'est jamais plus petit qu'une de ses parties.
Si la vérification échoue, l'erreur est dans l'une des trois premières étapes : relire l'histoire, puis le modèle, puis le calcul.
Méthode — Le modèle ne change pas, les nombres grandissent
Avec des nombres jusqu'à \(10\,000\), un problème en une étape se lit exactement comme avec de plus petits nombres.
  • Parties-tout : si le tout est inconnu, on additionne les parties ; si une partie est inconnue, on soustrait.
  • Comparaison : deux quantités sont comparées. Pour trouver la plus grande, on ajoute l'écart ; pour la plus petite, on le soustrait ; pour l'écart, on soustrait la plus petite de la plus grande.
  • Lire le modèle, pas les mots : « de plus » dans l'histoire ne veut pas dire « additionner ». Le modèle montre qui en a le plus, et l'opération suit le modèle.
  • Ce qui change, c'est seulement le calcul : de tête quand les nombres le permettent, sinon l'opération se pose en colonne.
Méthode — D'abord la quantité manquante, puis le tout
Quand un problème de comparaison demande le tout, une étape ne suffit pas : la seconde quantité manque.
  • Étape 1 — trouver la quantité manquante. Dessiner les deux barres et regarder le modèle, pas les mots : si la quantité manquante est la plus grande, on ajoute l'écart ; si c'est la plus petite, on le soustrait.
  • Étape 2 — additionner les deux quantités pour obtenir le tout.
  • L'accolade à droite du modèle montre ce qui est demandé : elle couvre les deux barres.
  • Le piège : l'écart ne s'ajoute jamais au tout. Il ne sert qu'à construire la seconde barre.
Méthode — Quatre de plus ou quatre fois plus ?
Deux petits mots changent tout dans une comparaison.
  • « quatre de plus » ajoute : la quantité augmente de quatre. C'est une addition, et le modèle montre deux barres avec un petit écart.
  • « quatre fois plus » répète : la quantité est prise quatre fois. C'est une multiplication, et le modèle montre quatre barres égales.
  • « quatre fois moins » partage : la quantité est découpée en quatre parts égales. C'est une division.
  • Pour choisir, se demander : l'histoire ajoute-t-elle quelque chose, ou répète-t-elle la quantité ? Avec \(32\) : quatre de plus donne \(36\), quatre fois plus donne \(128\), quatre fois moins donne \(8\).
Méthode — Trois questions, un seul modèle
Dans un problème de groupes égaux, trois nombres se rencontrent : le nombre de groupes, la valeur d'un groupe et le tout. Deux sont donnés, le troisième est cherché. Le modèle en barres montre toujours la même image — un tout découpé en groupes égaux — et seule la place du « ? » change.
  • Le tout est inconnu : on multiplie le nombre de groupes par la valeur d'un groupe.
  • La valeur d'un groupe est inconnue : on divise le tout par le nombre de groupes.
  • Le nombre de groupes est inconnu : on divise le tout par la valeur d'un groupe.
  • Les deux divisions viennent de la même multiplication : \(\textcolor{colordef}{6} \times \textcolor{colorprop}{12}=\textcolor{olive}{72}\) donne à la fois \(72 \div 6 = 12\) et \(72 \div 12 = 6\).
Méthode — Un tableau pour deux ensembles, un arbre pour trois
Certains problèmes demandent combien de couples on peut former, sans rien ajouter ni rien partager.
  • Deux ensembles : on dessine un tableau, une ligne par objet du premier ensemble, une colonne par objet du second. Chaque case est un choix possible, et le nombre de cases est le produit des deux nombres.
  • Trois ensembles : on dessine un arbre. De chaque branche du premier ensemble part une branche par objet du second, puis une branche par objet du troisième. Le nombre de branches finales est le produit des trois nombres.
  • Le tableau et l'arbre ne donnent pas seulement le nombre : ils montrent toutes les solutions, et c'est ainsi que la réponse se vérifie.
Méthode — Une étape à la fois
Un problème mixte demande plusieurs opérations, et elles ne sont pas de la même sorte.
  • Trouver d'abord les nombres cachés. Chaque nombre dont la question a besoin mais que l'histoire ne donne pas est une étape à lui seul.
  • Écrire chaque étape avec son mot : « \(24\) places aux grandes tables », et pas seulement « \(24\) ». C'est ainsi qu'on vérifie une étape avant de commencer la suivante.
  • Puis combiner : la dernière étape se lit dans l'histoire comme la première — additionner si les quantités sont réunies, soustraire si l'une est retirée de l'autre, multiplier si une quantité est répétée, diviser si elle est partagée.
  • Vérifier à la fin : la réponse doit être possible pour toute l'histoire, pas seulement pour le dernier calcul.
Méthode — Lister sans oublier ni répéter
Dénombrer les cas dit combien il y en a. Ici, ce sont les cas eux-mêmes que l'on demande, et compter ne suffit plus : il faut les lister.
  1. Choisir un ordre et ne plus en changer : le plus petit d'abord, ou l'ordre alphabétique, ou la plus grosse pièce d'abord. N'importe quel ordre convient ; c'est d'en changer en cours de route qui fait perdre un cas.
  2. Fixer le premier choix, puis épuiser : le premier choix étant tenu, écrire tous les cas qu'il permet. Passer au premier choix suivant seulement ensuite.
  3. Garder la trace : un arbre, une branche par premier choix, ou un tableau, une ligne par premier choix.
  4. Contrôler deux fois : à chaque niveau, tous les choix permis ont été écrits — c'est cela qui rend la liste complète ; et aucun cas n'apparaît deux fois.
Un cas écrit deux fois vient le plus souvent d'un ordre quitté — ou d'un cas recopié une seconde fois ; un cas manquant, d'un choix oublié à l'un des niveaux.
Méthode — Trouver le meilleur choix
Certains problèmes ne demandent pas une solution, mais la meilleure. La réponse ne se trouve pas en essayant au hasard : elle se trouve en n'oubliant aucun cas.
  1. Nommer la contrainte et le critère : ce qui doit être respecté (au moins \(12\) cahiers, tous les élèves transportés) et ce qu'il faut rendre le plus petit ou le plus grand possible (le prix, le nombre de cars).
  2. Lister tous les cas possibles, dans l'ordre : c'est la recherche organisée. On fait varier un choix de sa plus petite valeur à sa plus grande, et le reste suit.
  3. Arrêter la liste là où elle devient inutile : au-delà d'une certaine valeur, la contrainte est déjà dépassée et le critère ne fait qu'empirer. Dire pourquoi il empire fait partie de la réponse — un car de plus transporte plus et coûte plus, donc en essayer cinq ne sert à rien dès que quatre suffisent.
  4. Comparer, puis justifier : annoncer le meilleur cas, et dire pourquoi aucun autre ne fait mieux — parce que tous les cas utiles ont été examinés, et que ceux qu'on a laissés de côté ne peuvent être que pires.
Une réponse « la meilleure » sans cette dernière phrase n'est pas finie : elle dit ce qu'on a trouvé, pas que rien de mieux n'existe.
Compétences à pratiquer
  • Cette réponse est-elle possible ?
II Des problèmes avec de grands nombres et des décimaux
Compétences à pratiquer
  • Multiplier de grands nombres
  • Résoudre des problèmes à étapes avec de grands nombres
  • Problèmes de masses
III Une seule expression, avec des parenthèses
Méthode — Calculer avec des parenthèses
Pour calculer une expression :
  1. D'abord les parenthèses : effectuer d'abord les calculs entre parenthèses ; quand des parenthèses sont à l'intérieur d'autres parenthèses, commencer par les plus intérieures.
  2. Puis de gauche à droite : un calcul qui ne contient que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions, s'effectue de gauche à droite.
Pour indiquer quel calcul passe en premier, l'écrire entre parenthèses.
Méthode — Procédure de résolution de problèmes
Les quatre étapes d'un problème restent les mêmes ; à l'étape « Modéliser », le plan s'écrit maintenant en une seule expression, au lieu d'un calcul par étape.
  1. Comprendre : lire le problème et identifier la question et ce qui est donné.
  2. Modéliser : déterminer les opérations nécessaires, et dans quel ordre, puis les écrire en une seule expression, avec des parenthèses partout où il en faut pour que les calculs se fassent dans l'ordre voulu.
  3. Calculer : effectuer les calculs de l'expression.
  4. Répondre et vérifier : écrire la phrase qui répond à la question, puis se poser la question habituelle — est-ce possible ?
Compétences à pratiquer
  • Calculer avec une ou deux paires de parenthèses
  • Écrire et justifier une expression
IV Suivre une démarche pas à pas

Un caissier doit rendre \(37~\Euro\). Sa caisse affiche chaque fois la même consigne : « prendre la plus grosse valeur qui ne dépasse pas ce qui reste à rendre, la donner, puis recommencer avec ce qui reste, jusqu'à ce qu'il ne reste rien ». Les billets sont de \(20~\Euro\), \(10~\Euro\) et \(5~\Euro\), les pièces de \(2~\Euro\) et \(1~\Euro\), et la caisse a autant de chaque valeur qu'il faut. Que rend le caissier ?

  • Comprendre : la consigne n'est pas un calcul à inventer — c'est une règle à appliquer, encore et encore, jusqu'à ce qu'il ne reste rien à rendre.
  • Modéliser : une ligne par tour. Ce qui reste, la plus grosse valeur qui tient, ce qui reste ensuite.
    Tour Reste à rendre Plus grosse valeur qui tient Reste ensuite
    \(1\) \(37~\Euro\) \(20~\Euro\) \(17~\Euro\)
    \(2\) \(17~\Euro\) \(10~\Euro\) \(7~\Euro\)
    \(3\) \(7~\Euro\) \(5~\Euro\) \(2~\Euro\)
    \(4\) \(2~\Euro\) \(2~\Euro\) \(0~\Euro\)
  • Calculer : le tableau s'arrête tout seul au tour \(4\), quand il ne reste rien.
  • Répondre et vérifier : le caissier rend \(20~\Euro\) \(+\) \(10~\Euro\) \(+\) \(5~\Euro\) \(+\) \(2~\Euro\), soit quatre billets et pièces. Contrôle : \(20 + 10 + 5 + 2 = 37~\Euro\).


Méthode — Suivre une démarche pas à pas
Une démarche est une liste d'instructions assez précises pour que celui qui les applique n'ait jamais de choix à faire de lui-même. En appliquer une est un savoir-faire à part entière.
  1. Lire toute la démarche avant de commencer. Une instruction ne se juge pas toute seule : il faut voir où elle mène, et surtout où la démarche s'arrête.
  2. Tenir un tableau des tours : une ligne par tour — ce que la démarche regarde, ce qu'elle fait, ce qui reste ensuite. Le tableau est la preuve de ce qui a été fait.
  3. Appliquer dans l'ordre, sans décider à la place de la démarche. Si une instruction dit « la plus grosse », c'est la plus grosse, même quand un autre choix semble meilleur.
  4. Repérer la condition d'arrêt. Une liste d'instructions lue une fois se termine d'elle-même. Mais dès qu'une instruction renvoie en arrière, la démarche doit dire quand s'arrêter — il ne reste rien, le résultat est plus petit qu'un nombre donné, la réponse est trouvée — et cet arrêt doit être vraiment atteint.
  5. Contrôler avec la question. La démarche donne un résultat ; le problème, lui, demandait quelque chose. La dernière ligne de la réponse reste une phrase, avec son mot.
Une démarche s'écrit une fois et sert pour tous les nombres de son domaine. C'est ce qui la sépare d'un calcul particulier — celle de la monnaie demande une somme entière d'euros et assez de chaque coupure ; hors de là, elle ne dit rien. Ce qui change avec les nombres, ce sont ses tours et ses choix : rendre \(37~\Euro\) demande quatre tours, rendre \(6~\Euro\) n'en demande que deux. C'est aussi ce qui la rapproche du programme de calcul, que l'on exécute et que l'on produit de la même façon.
Et le plus petit nombre de billets et de pièces ? Avec nos billets et nos pièces, et à condition d'avoir assez de chaque, cette démarche le donne bien : on l'admet ici. Ce qui s'apprend dans cette section, c'est de l'appliquer sans se tromper.
Signaler une erreur
Exemple — Une démarche à trou
Voici une démarche qui répond à la question « ce nombre est-il dans la table de \(4\) ? ». Une instruction a été effacée.
  1. Partir du nombre.
  2. Si le nombre est \(0\), répondre OUI et s'arrêter. S'il est plus petit que \(4\), répondre NON et s'arrêter.
  3. \(\dots\) Puis revenir à l'instruction \(2\).
Appliquée à \(12\), la démarche donne les tours \(12\), \(8\), \(4\), \(0\) et répond OUI. Quelle est l'instruction \(3\) ?

Les tours font \(12\), \(8\), \(4\), \(0\) : chacun vaut \(4\) de moins que le précédent. L'instruction \(3\) est soustraire \(4\). Contrôle sur \(18\) : \(18\), \(14\), \(10\), \(6\), \(2\) — et \(2\) est plus petit que \(4\), donc la réponse est NON, ce qui est juste, puisque \(18\) n'est pas dans la table de \(4\). Remarquer où se place le test : il vient avant de soustraire, ce qui fait que \(0\) répond OUI tout de suite.

Compétences à pratiquer
  • Appliquer une démarche
  • Compléter une démarche
V Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Des démarches qui surprennent
  • Quiz