Éducation Nationale Française · CM2

Poser les opérations avec les décimaux

⌚ ~90 min ▢ 9 blocs ✓ 34 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les nombres décimaux

I Les opérations posées

Méthode — Addition et soustraction posées

Étape 1 : Aligner les virgules. Écrire les nombres l'un en dessous de l'autre pour que les virgules soient alignées verticalement.
Étape 2 : Combler les vides. Ajouter des zéros à la fin des nombres pour qu'ils aient tous la même longueur après la virgule.
Étape 3 : Additionner ou soustraire. Procéder de droite à gauche, colonne par colonne, comme avec les nombres entiers.
Étape 4 : Placer la virgule. Mettre la virgule directement en dessous des autres dans la réponse.

Proposition — Pourquoi aligner les virgules

Aligner les virgules, c'est aligner les rangs : unités sous unités, dixièmes sous dixièmes, centièmes sous centièmes. L'addition combine alors les unités de même rang entre elles, exactement comme avec les nombres entiers.

Unités	,	Dixièmes	Centièmes
3	,	8	3
2	,	7	0

Ajouter un zéro à la fin ($2{,}7 \rightarrow 2{,}70$) ne change pas le nombre, car $2{,}7 = 2{,}70$ : sept dixièmes font soixante-dix centièmes. Le zéro ne fait que remplir la colonne vide des centièmes.

Méthode — Multiplication posée

Étape 1 : Ignorer les virgules. Écrire le calcul comme si les nombres étaient des entiers. Il n'est pas nécessaire d'aligner les virgules.
Étape 2 : Multiplier. Effectuer la multiplication comme avec des nombres entiers.
Étape 3 : Compter les chiffres après la virgule. Compter les chiffres après la virgule de chaque facteur et additionner ces nombres (un facteur entier n'en apporte aucun).
Étape 4 : Placer la virgule. Dans la réponse, placer la virgule de manière à avoir le même nombre de chiffres après la virgule que celui compté à l'étape 3.

Exemple

Calculer $3{,}45 \times 3$.

Correction

On ignore la virgule : $345 \times 3 = 1035$. Le facteur $3{,}45$ a $2$ chiffres après la virgule, donc on place la virgule à $2$ chiffres depuis la droite : $$3{,}45 \times 3 = \textbf{10{,}35}$$ Pourquoi ça marche : $3{,}45$, c'est $345$ centièmes, donc $3{,}45 \times 3 = 1035$ centièmes $= 10{,}35$.

Définition — Division euclidienne

Dans la division d'un nombre entier par un autre (différent de $0$), le reste est ce qui reste une fois les groupes égaux formés.

Le reste vaut $0$ ou plus, et il est toujours plus petit que le diviseur : sinon on pourrait encore former un groupe.
Si le reste est $0$, la division est exacte.

Le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont liés par une égalité, l'identité euclidienne :$$\textcolor{olive}{\text{Dividende}} = \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}} + \textcolor{orange}{\text{Reste}}$$ La division euclidienne peut être représentée de plusieurs manières :

En mots : $\textcolor{olive}{\text{Sept}}$ divisé par $\textcolor{colordef}{\text{trois}}$ égale $\textcolor{colorprop}{\text{deux}}$, avec un reste de $\textcolor{orange}{\text{un}}$
Phrase de division :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}} \div \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} = \divionRemainderFr{\underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}}}{\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}}$$
Identité euclidienne :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}}= \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} \times \underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}} +\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}$$
Modèle en groupes :
Algorithme de la division posée :

Méthode — L'algorithme de la division posée : plusieurs étapes

Pour faire une division avec reste, comme $\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}$, suivre ces étapes :

Poser : écrire le dividende ($\textcolor{olive}{130}$) à gauche de la potence et le diviseur ($\textcolor{colordef}{4}$) à sa droite, au-dessus du trait horizontal ; le quotient s’écrira sous ce trait.
Diviser la première partie : $1$ est plus petit que $4$ : on commence par $13$ dizaines. Dans $\textcolor{olive}{13}$, combien de fois $\textcolor{colordef}{4}$ ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\boxed{12}\ (\le \textcolor{olive}{13}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{4}=\cancel{16}\ (> \textcolor{olive}{13}).$$ On écrit $\textcolor{colorprop}{3}$ dans la potence, sous le diviseur, et $12$ sous $13$.
Abaisser : On soustrait $\textcolor{olive}{13}-12=\textcolor{olive}{1}$ puis on abaisse le chiffre suivant ($0$) pour obtenir $\textcolor{olive}{10}$.
Diviser le nouveau nombre (10) : Dans $\textcolor{olive}{10}$, combien de fois $\textcolor{colordef}{4}$ ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{2}=\boxed{8}\ (\le \textcolor{olive}{10}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\cancel{12}\ (> \textcolor{olive}{10}).$$ On écrit $\textcolor{colorprop}{2}$ dans la potence, à droite du $\textcolor{colorprop}{3}$, on pose $8$ sous $10$, puis on soustrait.
Recommencer : abaisser, diviser, soustraire, jusqu'à ce que tous les chiffres du dividende aient été utilisés. Ici, il ne reste plus de chiffre après le $0$ : $\textcolor{orange}{2}$ est le reste.
Réponse : $\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}= \divionRemainderFr{\textcolor{colorprop}{32}}{\textcolor{orange}{2}}$ et $\textcolor{olive}{130}=\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{32}+\textcolor{orange}{2}$.

Méthode — Le contrôle par un ordre de grandeur

L'erreur la plus fréquente dans les calculs sur les décimaux n'est pas un chiffre faux mais une virgule mal placée — un résultat dix ou cent fois trop grand ou trop petit. Une estimation rapide permet de la repérer.

Étape 1 : Arrondir. Arrondir chaque nombre à l'unité (ou à un nombre simple proche).
Étape 2 : Estimer. Calculer mentalement avec les nombres arrondis.
Étape 3 : Comparer. Comparer l'estimation avec le résultat exact : ils doivent être du même ordre de grandeur. Sinon, chercher l'erreur — le plus souvent une virgule mal placée.

Exemple

Léo pose $42{,}7 + 9{,}8$ et trouve $52{,}5$. Vérifier avec un ordre de grandeur que son résultat est vraisemblable.

Correction

$$\begin{aligned}[t] 42{,}7 + 9{,}8 &\approx 43 + 10 &&{\scriptstyle\text{(arrondi à l'unité)}}\\ &= 53 &&{\scriptstyle\text{(addition)}} \end{aligned}$$ Le résultat exact $52{,}5$ est proche de l'estimation $53$ : le résultat de Léo est vraisemblable.

Compétences à pratiquer

Estimer avant de calculer
Calculer une division posée en deux étapes

II Multiplier un décimal par un nombre à plusieurs chiffres

Exemple

Calculer $2{,}35 \times 16$ en colonne.

Correction

On ignore la virgule : $235 \times 16$. Première ligne : $235 \times 6 = 1\,410$ ; deuxième ligne, avec un zéro de position : $235 \times 10 = 2\,350$ ; somme : $1\,410 + 2\,350 = 3\,760$. \opmul[voperator=bottom, decimalsepsymbol={,}, displayshiftintermediary=all, shiftintermediarysymbol=\textcolor{olive}{0}]{2.35}{16} Le facteur $2{,}35$ a deux chiffres après la virgule, le produit aussi : $2{,}35 \times 16 = 37{,}60 = \textbf{37{,}6}$.
Contrôle : $2 \times 16 = 32$ et $3 \times 16 = 48$, donc $37{,}6$ est vraisemblable.

Compétences à pratiquer

Multiplier un décimal par un nombre à deux chiffres
Résoudre des problèmes de la vie quotidienne

III Poursuivre la division : le quotient décimal

Méthode — Prolonger une division en ajoutant des zéros

Quand les chiffres du dividende sont épuisés, la division euclidienne s'arrête là : un quotient entier et un reste. Pour un quotient décimal, on la poursuit, car ajouter des zéros après la virgule ne change pas la valeur d'un nombre : $10 = 10{,}0 = 10{,}00$.

Étape 1 : Épuiser les chiffres. Diviser comme d'habitude. Si le reste n'est pas nul après le dernier chiffre du dividende, continuer.
Étape 2 : Écrire la virgule et ajouter un zéro. Écrire la virgule dans le quotient (si elle n'y est pas déjà). Ajouter un zéro au dividende ($10$ devient $10{,}0$) et abaisser ce zéro.
Étape 3 : Poursuivre la division. Continuer la division. Ajouter un nouveau zéro chaque fois que les chiffres manquent, jusqu'à ce que le reste soit nul ou que le quotient atteigne le nombre de chiffres demandé après la virgule.

Si le reste n'est jamais nul, le quotient ne se termine jamais : s'arrêter au rang demandé ; le quotient obtenu est alors une valeur approchée.

Exemple

Calculer $10 \div 4$.

Correction

Épuiser les chiffres.
- Combien de fois 4 dans 10 ? 2. ($2 \times 4 = 8$)
- Soustraire : $10 - 8 = 2$. Les chiffres du dividende sont épuisés : la division euclidienne s'arrête là, quotient 2 et reste 2. Pour un quotient décimal, on la poursuit.
Écrire la virgule et ajouter un zéro. Comme $10 = 10{,}0$, écrire la virgule dans le quotient et abaisser le zéro ajouté : le nouveau nombre est 20 (vingt dixièmes).
Poursuivre la division.
- Combien de fois 4 dans 20 ? 5. ($5 \times 4 = 20$)
- Soustraire : $20 - 20 = 0$. La division est terminée.

Donc, $10 \div 4 = 2{,}5$. Vérification : $4 \times 2{,}5 = 10$.

Compétences à pratiquer

Poursuivre une division jusqu'au quotient décimal
Expliquer un quotient décimal

IV Diviser un décimal par un entier

Méthode — Division posée par un nombre entier

Étape 1 : Poser la division. Écrire le problème sous la forme d'une division posée.
Étape 2 : Placer la virgule. Écrire la virgule dans le quotient au moment d'abaisser le premier chiffre après la virgule du dividende.
Étape 3 : Diviser de gauche à droite. Diviser comme avec des nombres entiers, en ignorant maintenant la virgule.

Exemple

Calculer $34{,}4 \div 4$.

Correction

Poser la division et placer la virgule.
Diviser.
- Combien de fois 4 dans 34 ? 8. ($8 \times 4 = 32$)
- Soustraire : $34 - 32 = 2$.
- Abaisser le 4 pour faire 24.
- Combien de fois 4 dans 24 ? 6. ($6 \times 4 = 24$)
- Soustraire : $24 - 24 = 0$. La division est terminée.

Donc, $34{,}4 \div 4 = 8{,}6$.

Compétences à pratiquer

Diviser un décimal par un entier
Analyser des calculs sans les poser

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Résoudre des problèmes à étapes
Quiz