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Éducation Nationale Française · CE1

Les rangs et les suites

⌚ ~194 min ▢ 22 blocs ✓ 102 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les nombres jusqu'à 1000, Nombres pairs et impairs
I Le rang jusqu'à vingtième

Six enfants font la queue au toboggan. Léa dit : « Je suis la troisième. » Combien d'enfants y a-t-il devant elle ? Et combien derrière elle ?
Illustration

Léa est la troisième : le premier et le deuxième sont devant elle, donc \(2\) enfants sont devant. Derrière elle viennent le quatrième, le cinquième et le sixième : \(3\) enfants. Vérification : \(2 + 1 + 3 = 6\).


Définition — Les nombres ordinaux jusqu'à vingtième
Le rang d'un objet dans une file est sa place quand on compte à partir du début. Les mots qui disent un rang sont les nombres ordinaux :
\(1\) premier \(6\) sixième \(11\) onzième \(16\) seizième
\(2\) deuxième \(7\) septième \(12\) douzième \(17\) dix-septième
\(3\) troisième \(8\) huitième \(13\) treizième \(18\) dix-huitième
\(4\) quatrième \(9\) neuvième \(14\) quatorzième \(19\) dix-neuvième
\(5\) cinquième \(10\) dixième \(15\) quinzième \(20\) vingtième
À partir de deux, l'ordinal est le nombre suivi de -ième, avec quelques changements d'orthographe : quatre \(\to\) quatrième (le e tombe), cinq \(\to\) cinquième, neuf \(\to\) neuvième, onze \(\to\) onzième. Seul « premier » est un mot à part (on dit aussi « second » pour deuxième).
Méthode — Le rang et ceux qui précèdent
  • Du rang à ceux qui précèdent : ceux qui précèdent sont un de moins que le rang (tous les rangs plus petits). Le septième en a \(6\) devant lui.
  • De ceux qui précèdent au rang : si \(4\) personnes sont devant moi, je suis le cinquième (\(4 + 1\)).
  • Le rang dépend du départ : compté depuis l'autre bout de la file, le rang peut changer (le troisième de six devient le quatrième ; le troisième de cinq reste le troisième).
Exemple
Voici une liste de nombres : \(2\), \(6\), \(10\), \(14\), \(18\), \(22\). (a) En quelle position est \(10\) ? (b) Quel nombre est en cinquième position ? (c) Combien de nombres viennent avant \(14\) ?

On compte les positions depuis le début : \(2\) premier, \(6\) deuxième, \(10\) troisième, \(14\) quatrième, \(18\) cinquième, \(22\) sixième. (a) \(10\) est en troisième position. (b) Le cinquième nombre est \(18\). (c) \(14\) est quatrième, donc \(3\) nombres viennent avant lui. Une position dans une liste est un rang : les nombres de la liste sont les objets, pas les rangs.

Compétences à pratiquer
  • Dire le rang
  • Compter ceux qui précèdent
  • Trouver le rang dans une liste de nombres
II Le rang jusqu'à centième

À la course de l'école, \(100\) enfants sont classés à l'arrivée. Léa est la trente-deuxième. Combien d'enfants sont arrivés avant elle ? Et combien après elle ?

Au rang \(32\), tous les rangs de \(1\) à \(31\) sont avant elle : \(31\) enfants. Après elle viennent les rangs \(33\) à \(100\) : \(100 - 32 = 68\) enfants. Vérification : \(31 + 1 + 68 = 100\).


Définition — Les nombres ordinaux jusqu'à centième
Les nombres ordinaux disent un rang. Au-delà de vingtième, ils se forment avec le nombre suivi de -ième :
\(21\) vingt-et-unième \(40\) quarantième \(71\) soixante-et-onzième
\(22\) vingt-deuxième \(50\) cinquantième \(80\) quatre-vingtième
\(23\) vingt-troisième \(60\) soixantième \(81\) quatre-vingt-unième
\(30\) trentième \(70\) soixante-dixième \(100\) centième
\(31\) trente-et-unième \(90\) quatre-vingt-dixième \(91\) quatre-vingt-onzième
Les pièges : le « et » de vingt-et-unième, trente-et-unième … soixante-et-onzième, mais quatre-vingt-unième et quatre-vingt-onzième sans « et » ; trente, quarante … soixante perdent leur e final (trentième, quarantième) ; quatre-vingts perd son s (quatre-vingtième). Un rang ne change pas le nombre : le quatre-vingt-unième est l'enfant numéro \(81\).
Méthode — Les rangs à deux chiffres et ceux qui précèdent
  • Du rang à ceux qui précèdent : ceux qui précèdent sont un de moins que le rang. Le soixante-quatrième en a \(63\) devant lui.
  • De ceux qui précèdent au rang : si \(47\) personnes sont devant moi, je suis le quarante-huitième (\(47 + 1\)).
  • Ceux qui suivent : le total moins le rang. Le soixante-quatrième de \(100\) en a \(100 - 64 = 36\) derrière.
Compétences à pratiquer
  • Dire le rang
  • Compter ceux qui précèdent et ceux qui suivent
III Suite périodique
Définition — Suite périodique
Une suite périodique est un motif qui répète toujours le même paquet, dans le même ordre. Ce paquet s'appelle la période. Il peut être fait de formes, de couleurs, de sons ou de nombres.
Exemple
En observant le motif qui se répète, quelle est la couleur du prochain ballon de la suite ?
Illustration

La couleur du prochain ballon est rouge. La suite suit un motif simple qui se répète : rouge, bleu, rouge, bleu, et ainsi de suite.
Illustration

Méthode — Trouver la forme à un rang donné
Dans une suite qui se répète, il n'est pas nécessaire de tout dessiner jusqu'au rang demandé.
  1. Trouver la période : le paquet qui se répète, et compter ses formes. Dans A B A B A B…, le paquet est « A B », il a \(2\) formes.
  2. Compter par paquets entiers jusqu'au rang demandé, puis compter ce qui reste. Pour la dix-neuvième lettre : \(9\) paquets de \(2\) font \(18\) lettres, et il en reste \(1\).
  3. Lire le reste dans le paquet : \(1\) de reste, c'est la première lettre du paquet : la dix-neuvième lettre est A. S'il ne reste rien, c'est la dernière forme du paquet.
Exemple
Dans la suite \(\triangle\) \(\times\) \(\square\) \(\circ\) \(\triangle\) \(\times\) \(\square\) \(\circ\) …, quel est le vingtième symbole ? Et le neuvième ?

Le paquet est « \(\triangle\) \(\times\) \(\square\) \(\circ\) » : \(4\) symboles. Vingtième : \(5\) paquets de \(4\) font exactement \(20\), il ne reste rien, c'est donc le dernier symbole du paquet : \(\circ\). Neuvième : \(2\) paquets de \(4\) font \(8\), il reste \(1\), c'est donc le premier symbole : \(\triangle\).

Exemple — Un grand rang
Dans la suite A B A B A B …, quelle est la quatre-vingt-neuvième lettre ?

Le groupe « A B » a \(2\) lettres. On compte par groupes entiers : \(44\) groupes font \(88\) lettres, et il en reste \(1\). La quatre-vingt-neuvième lettre est la première du groupe : A. Sans les groupes, il faudrait écrire \(89\) lettres. Autre façon : dans A B A B …, A est à tous les rangs impairs (\(1\) ; \(3\) ; \(5\) ; …) ; \(89\) est impair, donc c'est A.

Compétences à pratiquer
  • Trouver la prochaine forme dans le motif 1-1
  • Trouver la prochaine forme dans le motif 1-1-1
  • Trouver la prochaine forme dans le motif 1-1-1-1
  • Trouver la prochaine forme dans le motif 2-1
  • Trouver la forme à un rang donné
  • Trouver la forme à un grand rang
IV Suite numérique
Définition — Suite numérique
Une suite numérique est une liste de nombres dans un ordre précis. Chaque nombre de la suite s’appelle un terme, et les termes suivent une règle qui permet de trouver le nombre suivant.
Exemple
Quel est le prochain nombre dans la suite ? $$0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,?$$

Le prochain nombre dans la suite est \(5\). Dans cette suite, on commence à \(0\) et on ajoute \(1\) à chaque fois pour obtenir le nombre suivant.
Illustration

Méthode — Trouver le nombre à un rang donné
Dans une suite de nombres qui avance par pas égaux, on trouve le pas (le saut d'un nombre au suivant), puis on avance pas à pas depuis le premier nombre, en comptant les rangs au fur et à mesure : pour \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\)…, le pas est \(+2\) ; premier \(1\), deuxième \(3\), troisième \(5\), quatrième \(7\), cinquième \(9\), sixième \(11\), septième \(13\). Un rang compte les nombres, il n'est pas l'un d'eux.
Exemple
Dans la suite \(5\), \(10\), \(15\), \(20\)…, quel est le huitième nombre ?

Le pas est \(+5\). Premier \(5\), deuxième \(10\), troisième \(15\), quatrième \(20\), cinquième \(25\), sixième \(30\), septième \(35\), huitième \(40\).

Exemple — Le rang dans une liste longue
(a) Dans la liste \(10\) ; \(20\) ; \(30\) ; \(40\)… (qui commence à \(10\) et monte de \(10\) en \(10\)), quel est le quarantième nombre ? (b) Dans la liste \(5\) ; \(10\) ; \(15\) ; \(20\)…, en quelle position est \(40\) ?

(a) Premier \(10\), deuxième \(20\), troisième \(30\) : le rang dit le nombre de dizaines. Le quarantième nombre est \(40\) dizaines, soit \(400\). (b) On compte de \(5\) en \(5\) jusqu'à \(40\) : \(5\) ; \(10\) ; \(15\) ; \(20\) ; \(25\) ; \(30\) ; \(35\) ; \(40\) : huit nombres, donc \(40\) est en huitième position. Le premier nombre et le sens comptent : si la liste commençait à \(0\), le quarantième serait \(390\).

Compétences à pratiquer
  • Trouver le nombre suivant
  • Continuer des suites de 5 en 5, de 10 en 10, de 100 en 100
  • Trouver le nombre à un rang donné
  • Trouver le rang dans une liste longue
V Suites évolutives

Léa écrit \(1\) ; \(2\) ; \(4\) ; \(7\) ; \(11\) ; \(16\)… et dit : « J'ajoute \(1\), puis \(2\), puis \(3\), puis \(4\)… un de plus à chaque fois. » Quel est le onzième nombre ?
Illustration

Les pas ne sont pas égaux : ils grandissent de \(1\). On continue pas à pas, en comptant les rangs : sixième \(16\), \(+6\) \(\to\) septième \(22\), \(+7\) \(\to\) huitième \(29\), \(+8\) \(\to\) neuvième \(37\), \(+9\) \(\to\) dixième \(46\), \(+10\) \(\to\) onzième \(56\).


Définition — Suite évolutive
Une suite évolutive est une suite de nombres dont le pas change selon une règle. Trois règles courantes :
  • le pas grandit de 1 : \(1\) ; \(2\) ; \(4\) ; \(7\) ; \(11\)… (\(+1\) ; \(+2\) ; \(+3\) ; \(+4\)) ;
  • le pas double : \(1\) ; \(3\) ; \(7\) ; \(15\)… (\(+2\) ; \(+4\) ; \(+8\)) ;
  • chaque nombre double : \(3\) ; \(6\) ; \(12\) ; \(24\)… (\(3 + 3 = 6\), puis \(6 + 6 = 12\), puis \(12 + 12 = 24\)).
Avec ces trois règles, contrairement à une suite périodique, rien ne revient : les nombres grandissent toujours.
Méthode — Écrire les pas
  1. Écrire les pas entre les nombres donnés : \(1 \to 3\) c'est \(+2\), \(3 \to 7\) c'est \(+4\), \(7 \to 15\) c'est \(+8\).
  2. Trouver la règle des pas : ici chaque pas est le double du précédent.
  3. Continuer pas à pas, en comptant les rangs, jusqu'au rang demandé : cinquième \(15 + 16 = 31\), sixième \(31 + 32 = 63\).
Quand la règle est « chaque nombre double », les pas sont les nombres eux-mêmes : \(3 \to 6\) c'est \(+3\), \(6 \to 12\) c'est \(+6\).
Exemple
(a) \(2\) ; \(3\) ; \(5\) ; \(8\) ; \(12\)… le pas grandit de \(1\) : trouver le neuvième nombre. (b) \(1\) ; \(3\) ; \(7\) ; \(15\)… le pas double : trouver le sixième nombre. (c) \(3\) ; \(6\) ; \(12\) ; \(24\)… chaque nombre double : trouver le septième nombre.

(a) Pas \(+1\) ; \(+2\) ; \(+3\) ; \(+4\), puis \(+5\) ; \(+6\) ; \(+7\) ; \(+8\) : cinquième \(12\), sixième \(17\), septième \(23\), huitième \(30\), neuvième \(38\). (b) Pas \(+2\) ; \(+4\) ; \(+8\), puis \(+16\) ; \(+32\) : cinquième \(31\), sixième \(63\). (c) Cinquième \(48\), sixième \(96\), septième \(192\).

Compétences à pratiquer
  • Trouver la règle
  • Continuer la suite
  • Trouver le nombre à un rang donné dans une suite évolutive
VI Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Compléter des suites et leurs règles
  • Compléter des suites et leurs sauts
  • Relier un motif à sa suite
  • Problèmes
  • Quiz