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Matrices
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels. C'est l'objet naturel pour ranger les coefficients d'un système linéaire, pour décrire comment plusieurs grandeurs dépendent linéairement de plusieurs autres, et plus généralement pour organiser des données en lignes et en colonnes. Ce chapitre fixe le vocabulaire, définit les opérations sur les matrices (somme, multiple scalaire, produit, transposée), étudie la structure des matrices carrées (puissances, méthode du binôme lorsque deux matrices commutent, formes triangulaire, diagonale, symétrique, antisymétrique), puis répond à la question centrale : quand une matrice carrée est-elle inversible, et comment calculer son inverse. Une courte section finale installe l'inventaire de commandes
numpy sur lequel toute la suite de l'année s'appuiera. Tout au long du chapitre, les coefficients sont réels ; l'ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes se note \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), abrégé en \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) lorsque \(n = p\). Les entiers \(n\) et \(p\) sont toujours pris dans \(\mathbb{N}^{*}\) sauf mention contraire. Le symbole \(\sum\), la factorielle, les coefficients binomiaux et la formule du binôme sur les réels sont ceux rappelés dans Méthodes de calcul.
I
Matrices rectangulaires
I.1
Matrices et coefficients
On commence par la définition d'une matrice et la façon de repérer chacun de ses coefficients par deux indices : un indice de ligne et un indice de colonne. La forme générale « \(n\) lignes par \(p\) colonnes » englobe les matrices lignes (\(n = 1\)), colonnes (\(p = 1\)) et carrées (\(n = p\)), qui joueront un rôle central à partir du section 3.
Définition — Matrice
Soient \(n, p \in \mathbb{N}^{*}\). Une matrice de taille \(n \times p\) à coefficients réels est un tableau rectangulaire de nombres réels à \(n\) lignes et \(p\) colonnes : $$ A \;=\; \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix}. $$ Le réel \(a_{ij}\) situé sur la ligne \(i\) et la colonne \(j\) est le coefficient de \(A\) de position \((i, j)\). On écrit \(A = (a_{ij})_{1 \le i \le n,\, 1 \le j \le p}\) ou simplement \(A = (a_{ij})\). L'ensemble des matrices de taille \(n \times p\) à coefficients réels se note \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\). Exemple
La matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix}\) a \(2\) lignes et \(3\) colonnes, donc sa taille est \(2 \times 3\) et \(A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\). Son coefficient \(a_{13}\) sur la ligne \(1\) et la colonne \(3\) vaut \(5\), tandis que \(a_{21} = 7\). Exemple
La matrice \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\) a \(3\) lignes et \(2\) colonnes, donc \(B \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\). On lit le coefficient sur la ligne \(3\) et la colonne \(1\) : \(b_{31} = 3\). Définition — Matrices ligne, colonne et carrée
Une matrice ligne n'a qu'une ligne (\(n = 1\)) ; une matrice colonne n'a qu'une colonne (\(p = 1\)). Une matrice à autant de lignes que de colonnes (\(n = p\)) est une matrice carrée d'ordre \(n\) ; leur ensemble se note \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Les coefficients \(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}\) d'une matrice carrée forment sa diagonale principale. Exemple
\(L = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\) est une matrice ligne de taille \(1 \times 3\) ; \(C = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) est une matrice colonne de taille \(3 \times 1\) ; \(S = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\) est carrée d'ordre \(2\), de diagonale principale \((1, 5)\). Définition — Égalité de matrices
Deux matrices \(A\) et \(B\) sont égales lorsqu'elles ont la même taille et le même coefficient à chaque position. Ainsi \(A = B\) signifie que \(A\) et \(B\) sont toutes deux dans le même \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), et \(a_{ij} = b_{ij}\) pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\) et tout \(j \in \llbracket 1, p \rrbracket\). Exemple
Les deux matrices \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) sont égales. Les deux matrices \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}\) ne le sont pas : elles n'ont pas la même taille. Compétences à pratiquer
- Lire coefficients et tailles
I.2
Identité, nulle et transposée
Deux matrices distinguées jouent le rôle des éléments neutres pour les opérations à venir : la matrice nulle pour l'addition, et la matrice identité pour le produit sur les matrices carrées. On introduit aussi la transposée, opération fondamentale qui échange lignes et colonnes et réapparaîtra tout au long du chapitre.
Définition — Matrice nulle et matrice identité
La matrice nulle \(0_{n,p} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) est la matrice dont tous les coefficients valent \(0\). La matrice identité \(I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est la matrice carrée d'ordre \(n\) dont les coefficients sur la diagonale principale valent \(1\) et tous les autres \(0\) ; autrement dit \(I_n = (\delta_{ij})_{1 \le i, j \le n}\), où le symbole de Kronecker est défini par \(\delta_{ij} = 1\) si \(i = j\) et \(\delta_{ij} = 0\) sinon. Exemple
Les formes concrètes les plus utiles : $$ 0_{2,3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Définition — Transposée
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\). La transposée de \(A\) est la matrice \({}^{t}\!A \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\) obtenue en échangeant lignes et colonnes : son coefficient de position \((i, j)\) est le coefficient \(a_{ji}\) de \(A\). Autrement dit, la ligne \(i\) de \(A\) devient la colonne \(i\) de \({}^{t}\!A\). Exemple
Pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix}\) on obtient \({}^{t}\!A = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\). Remarquons que \(A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) mais \({}^{t}\!A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\). Transposer deux fois redonne la matrice initiale : \({}^{t}({}^{t}\!A) = A\). Exemple
La transposée d'une matrice ligne est une matrice colonne de même longueur : pour \(L = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{1,3}(\mathbb{R})\), on a \({}^{t}\!L = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\). Compétences à pratiquer
- Reconnaître identité et matrice nulle et transposer
II
Opérations sur les matrices
II.1
Somme et multiple scalaire
Deux matrices de même taille s'additionnent coefficient par coefficient, et on multiplie une matrice par un nombre en multipliant chaque coefficient par ce même nombre. Ces deux opérations obéissent exactement aux mêmes règles que l'addition et la multiplication des nombres réels ; leur compatibilité avec la transposée est immédiate.
Définition — Somme et multiple scalaire
Soient \(A = (a_{ij})\) et \(B = (b_{ij})\) deux matrices de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) (même taille), et \(\lambda \in \mathbb{R}\). - la somme \(A + B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) a pour coefficients \((a_{ij} + b_{ij})\) ;
- le multiple scalaire \(\lambda A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) a pour coefficients \((\lambda a_{ij})\) ;
- l'opposé de \(A\) est \(-A = (-1)\, A\), de coefficients \((-a_{ij})\), et la différence est \(A - B = A + (-B)\), de coefficients \((a_{ij} - b_{ij})\).
Exemple
Un calcul direct : $$ 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\
3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 1 \\
0 & 2 \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 0 & 2 \\
6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 1 \\
0 & 2 \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 2 & 1 \\
6 & 6 \end{pmatrix}. $$ Exemple
La somme de deux matrices de tailles différentes n'est pas définie : \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) n'a pas de sens, et l'expression est traitée comme une erreur de notation. Proposition — Règles de la somme et du multiple scalaire
Pour tous \(A, B, C \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) : - commutativité et associativité : \(A + B = B + A\) et \((A + B) + C = A + (B + C)\) ;
- neutre et opposé : \(A + 0_{n,p} = A\) et \(A + (-A) = 0_{n,p}\) ;
- distributivité : \(\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B\) et \((\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A\) ;
- scalaires : \(\lambda(\mu A) = (\lambda\mu)A\) et \(1 \cdot A = A\) ;
- compatibilité avec la transposée : \({}^{t}(A + B) = {}^{t}\!A + {}^{t}B\) et \({}^{t}(\lambda A) = \lambda\, {}^{t}\!A\).
Les cinq points sont des conséquences immédiates des définitions coefficient par coefficient et des règles correspondantes sur les réels. Pour la commutativité : le coefficient de \(A + B\) en \((i, j)\) est \(a_{ij} + b_{ij}\), qui vaut \(b_{ij} + a_{ij}\) par commutativité dans \(\mathbb{R}\), donc \(A + B\) et \(B + A\) ont même coefficient à chaque position, et sont donc égales. Les autres règles s'établissent de la même façon. Pour la transposée : le coefficient de \({}^{t}(A + B)\) en \((i, j)\) vaut par définition \((a_{ji} + b_{ji})\), qui est le coefficient de \({}^{t}\!A + {}^{t}B\) en \((i, j)\) ; même argument pour \(\lambda A\).
Méthode — Combiner des matrices
Pour calculer \(\lambda A + \mu B\), vérifier d'abord que \(A\) et \(B\) ont la même taille ; puis travailler coefficient par coefficient, en calculant \(\lambda a_{ij} + \mu b_{ij}\) à chaque position. L'opération est purement positionnelle — il n'y a rien à aligner à la main. Compétences à pratiquer
- Combiner des matrices
II.2
Le produit matriciel
Le produit de deux matrices est l'opération la plus importante du chapitre, et celle dont la définition est la moins immédiate. Sa forme est fixée par la règle de compatibilité des tailles : le nombre de colonnes de \(A\) doit être égal au nombre de lignes de \(B\). Une fois cette règle satisfaite, chaque coefficient du produit s'obtient comme la somme des termes d'une ligne de \(A\) multipliée coefficient par coefficient avec une colonne de \(B\). Le produit admet aussi une lecture colonne par colonne que nous utiliserons tout au long du chapitre.
Définition — Produit matriciel
Soient \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et \(B = (b_{ij}) \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\) — le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Le produit matriciel \(AB \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R})\) est la matrice de coefficients $$ (AB)_{ij} \;=\; \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}, \qquad 1 \le i \le n,\ 1 \le j \le q. $$ Le coefficient de \(AB\) en \((i, j)\) est la somme des produits coefficient par coefficient de la ligne \(i\) de \(A\) avec la colonne \(j\) de \(B\). Exemple
Un produit \(2 \times 2\) par \(2 \times 2\) classique : $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\
3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\
7 & 8 \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 1\cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\
3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 19 & 22 \\
43 & 50 \end{pmatrix}. $$ Exemple
Une matrice ligne fois une matrice colonne donne une matrice \(1 \times 1\) — un tableau à une seule case, que l'on identifie conventionnellement à son unique coefficient — tandis qu'une matrice colonne fois une matrice ligne donne une matrice carrée : $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\
5 \\
6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 4 \\
5 \\
6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\
5 & 10 & 15 \\
6 & 12 & 18 \end{pmatrix}. $$ Proposition — Lecture colonne par colonne du produit
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\). Écrivons \(B = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_q \end{pmatrix}\) avec \(b_1, \dots, b_q \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})\) les colonnes de \(B\). Alors $$ AB \;=\; \begin{pmatrix} A b_1 & A b_2 & \cdots & A b_q \end{pmatrix}, $$ c'est-à-dire que la colonne \(j\) de \(AB\) est la matrice colonne \(A b_j\), produit de \(A\) par la \(j\)-ième colonne de \(B\).
Pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\) et tout \(j \in \llbracket 1, q \rrbracket\), par définition le coefficient de \(A b_j\) sur la ligne \(i\) vaut $$ \begin{aligned} (A b_j)_{i1} &= \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, (b_j)_{k1} && \text{(définition du produit)} \\
&= \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj} && \text{(le \(k\)-ième coefficient de la colonne \(b_j\) est \(b_{kj}\))} \\
&= (AB)_{ij} && \text{(définition de \((AB)_{ij}\)).} \end{aligned} $$ Donc la colonne \(j\) de \(AB\) coïncide avec \(A b_j\) coefficient par coefficient, et ces deux matrices colonnes sont donc égales.
Proposition — Règles du produit
Pour toutes les fois où les tailles rendent les produits définis, pour \(A, A' \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(B, B' \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\), \(C \in \mathcal{M}_{q,r}(\mathbb{R})\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\) : - associativité : \((AB)C = A(BC)\) ;
- distributivité : \(A(B + B') = AB + AB'\) et \((A + A')B = AB + A'B\) ;
- compatibilité avec les scalaires : \(\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)\) ;
- identité : \(A I_p = A\) et \(I_n A = A\) ;
- nulle : \(A\, 0_{p,q} = 0_{n,q}\) et \(0_{m,n}\, A = 0_{m,p}\).
On démontre les deux règles les moins évidentes, l'associativité et l'identité à droite ; les autres règles (distributivité, compatibilité avec les scalaires, nulle) suivent le même modèle (écrire le coefficient en \((i, j)\) de chaque membre via la somme définissante, appliquer les règles de calcul sur les sommes du chapitre Méthodes de calcul).
- Associativité. Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\), \(C \in \mathcal{M}_{q,r}(\mathbb{R})\). Les deux matrices \((AB)C\) et \(A(BC)\) sont dans \(\mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{R})\). Pour tous \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\) et \(j \in \llbracket 1, r \rrbracket\) : $$ \begin{aligned} ((AB) C)_{ij} &= \sum_{\ell=1}^{q} (AB)_{i\ell}\, c_{\ell j} && \text{(définition du produit)} \\ &= \sum_{\ell=1}^{q} \Big(\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{k\ell}\Big)\, c_{\ell j} && \text{(définition de \((AB)_{i\ell}\))} \\ &= \sum_{k=1}^{p} \sum_{\ell=1}^{q} a_{ik}\, b_{k\ell}\, c_{\ell j} && \text{(échange de sommes finies)} \\ &= \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, \Big(\sum_{\ell=1}^{q} b_{k\ell}\, c_{\ell j}\Big) && \text{(on sort \(a_{ik}\) de la somme intérieure)} \\ &= \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, (BC)_{kj} && \text{(définition de \((BC)_{kj}\))} \\ &= (A(BC))_{ij} && \text{(définition de \(A(BC)\)).} \end{aligned} $$ Donc \((AB)C\) et \(A(BC)\) ont même coefficient à chaque position, et sont donc égales.
- Identité à droite. Pour \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), le coefficient de \(A I_p\) en \((i, j)\) vaut $$ \begin{aligned} (A I_p)_{ij} &= \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, (I_p)_{kj} && \text{(définition du produit)} \\ &= \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, \delta_{kj} && \text{(définition de \(I_p\))} \\ &= a_{ij} && \text{(seul \(k = j\) contribue).} \end{aligned} $$ Donc \(A I_p\) et \(A\) ont même coefficient à chaque position, et sont donc égales. La règle d'identité à gauche est symétrique.
Non-commutativité et diviseurs de zéro
Attention. Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général \(AB \neq BA\), même si les deux produits sont définis et de même taille. De plus, \(AB\) peut être nulle sans que \(A\) ni \(B\) ne le soient. Par exemple, avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) : $$ AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix} = 0_2, \qquad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix} = 0_2, $$ et pourtant \(A \neq 0_2\) et \(B \neq 0_2\). De l'équation \(AB = 0\) on ne peut donc pas déduire \(A = 0\) ou \(B = 0\).
Exemple
Un test rapide de non-commutativité sur \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) : $$ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\
1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\
1 & 2 \end{pmatrix}, $$ donc \(AB \neq BA\). Méthode — Calculer un produit \(AB\)
Trois vérifications et un calcul : - contrôle des tailles : lire les tailles ; si \(A\) est \(n \times p\) et \(B\) est \(p' \times q\) avec \(p \neq p'\), le produit n'est pas défini — arrêt ;
- forme du résultat : \(AB\) est de taille \(n \times q\) ;
- coefficient par coefficient : pour chaque \((i, j)\), calculer \((AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}\) en lisant la ligne \(i\) de \(A\) et la colonne \(j\) de \(B\), en multipliant coefficient par coefficient, puis en sommant.
Compétences à pratiquer
- Calculer des produits
II.3
Transposée d'un produit
La transposée interagit avec le produit de façon légèrement surprenante : elle transpose chaque facteur mais inverse aussi leur ordre. C'est l'identité à mémoriser sur les transposées ; combinée à \(({}^{t}\!A)^{-1}\) au section 4, elle fait de \({}^{t}{}\) une opération qui s'accorde bien avec tout le reste.
Proposition — Transposée d'un produit
Pour tous \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\) : $$ {}^{t}(AB) \;=\; {}^{t}B\, {}^{t}\!A. $$
Les deux membres appartiennent à \(\mathcal{M}_{q,n}(\mathbb{R})\), donc les tailles concordent. Pour tous \(i \in \llbracket 1, q \rrbracket\) et \(j \in \llbracket 1, n \rrbracket\) : $$ \begin{aligned} ({}^{t}(AB))_{ij} &= (AB)_{ji} && \text{(définition de la transposée)} \\
&= \sum_{k=1}^{p} a_{jk}\, b_{ki} && \text{(définition du produit)} \\
&= \sum_{k=1}^{p} b_{ki}\, a_{jk} && \text{(commutativité dans \(\mathbb{R}\))} \\
&= \sum_{k=1}^{p} ({}^{t}B)_{ik}\, ({}^{t}\!A)_{kj} && \text{(définition de la transposée)} \\
&= ({}^{t}B\, {}^{t}\!A)_{ij} && \text{(définition du produit).} \end{aligned} $$ Les deux matrices ont même coefficient à chaque position, donc \({}^{t}(AB) = {}^{t}B\, {}^{t}\!A\).
Exemple
Sur \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\) : $$ AB = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\
6 & 0 \end{pmatrix}, \quad {}^{t}(AB) = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\
1 & 0 \end{pmatrix}, \quad {}^{t}B\, {}^{t}\!A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\
1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\
2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\
1 & 0 \end{pmatrix}. $$ Les deux membres de droite coïncident. Noter que l'ordre est inversé dans la formule : \(({}^{t}\!A)({}^{t}B)\) n'est généralement pas égal à \({}^{t}(AB)\), et peut même ne pas être défini — lorsque \(A\) est \(n \times p\) et \(B\) est \(p \times q\) avec \(n \neq q\), le produit \({}^{t}\!A\, {}^{t}B\) n'est pas défini, alors que \({}^{t}B\, {}^{t}\!A\) l'est toujours. Compétences à pratiquer
- Transposer un produit
III
Matrices carrées et leur structure
III.1
Puissances et méthode du binôme
À l'intérieur de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) le produit \(AB\) est toujours défini et redonne une matrice de même ordre \(n\). Cela permet d'itérer le produit et de définir les puissances d'une matrice carrée. Lorsque deux matrices commutent, la formule du binôme du chapitre Méthodes de calcul s'applique mot pour mot — une astuce puissante, et la source la plus simple de formes closes pour \(A^n\) dans ce cours.
Définition — Puissance d'une matrice carrée
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Les puissances de \(A\) sont définies par récurrence : $$ A^0 = I_n, \qquad A^{k+1} = A \cdot A^k \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}. $$ Ainsi \(A^1 = A\), \(A^2 = A\, A\), \(A^3 = A\, A\, A\), etc. Exemple
Pour \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), les puissances sont immédiates : $$ D^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\
0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad D^3 = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\
0 & 27 \end{pmatrix}, \qquad D^k = \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\
0 & 3^k \end{pmatrix} \text{ pour tout } k \in \mathbb{N}. $$ Exemple
Pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), un calcul direct donne \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(A^3 = A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), ce qui suggère \(A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\) (démonstration formelle par récurrence sur \(k\)). Définition — Matrices qui commutent et matrices nilpotentes
Deux matrices \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) commutent lorsque \(AB = BA\). Une matrice \(N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est nilpotente lorsqu'il existe un entier \(k \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(N^k = 0_n\) ; le plus petit tel \(k\) est l'indice de nilpotence de \(N\). Exemple
La matrice identité commute avec toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) : \(I_n A = A = A I_n\). Plus généralement, la matrice scalaire \(\lambda I_n\) commute avec toute \(A\), puisque \((\lambda I_n) A = \lambda A = A (\lambda I_n)\). Exemple
La matrice \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) est nilpotente d'indice \(2\) : \(N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_2\) alors que \(N \neq 0_2\). Donc \(N^k = 0_2\) pour tout \(k \ge 2\). Méthode — Formule du binôme pour matrices qui commutent
Si \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) commutent, la même démonstration que sur les réels (récurrence sur \(m\), en utilisant \(AB = BA\) pour réordonner les facteurs à chaque étape) montre que pour tout \(m \in \mathbb{N}\) : $$ (A + B)^m \;=\; \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k}\, A^k\, B^{m-k}. $$ Sans commutation la formule est fausse (déjà \((A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \neq A^2 + 2AB + B^2\) en général). Usage typique : \(B\) est \(I_n\) (qui commute toujours avec \(A\)), ou \(B\) est une matrice nilpotente \(N\) qui commute avec le reste — la somme se réduit alors à ses premiers termes non nuls. Exemple
Prenons \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Alors \(I_2\) et \(N\) commutent (puisque \(I_2\) commute avec tout). Fixons \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et appliquons la méthode du binôme avec \(A = I_2\), \(B = N\), \(m = n\) : puisque \(N^2 = 0_2\), tout terme avec exposant \(n - k \ge 2\) s'annule, donc seuls \(k = n\) (donnant \(N^0 = I_2\)) et \(k = n - 1\) (donnant \(N^1 = N\)) survivent. Donc $$ \begin{aligned} (I_2 + N)^n &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, I_2^{\,k}\, N^{n-k} \\
&= \binom{n}{n}\, I_2 + \binom{n}{n-1}\, N + 0 + \cdots + 0 && \text{(seuls \(N^0 = I_2\) et \(N^1 = N\) survivent)} \\
&= I_2 + n\, N \\
&= \begin{pmatrix} 1 & n \\
0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned} $$ Le cas \(n = 0\) est cohérent : \((I_2 + N)^0 = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), en accord avec la forme close. On retrouve la formule pour \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{n}\) remarquée plus haut. Compétences à pratiquer
- Calculer des puissances et appliquer la méthode du binôme
III.2
Matrices triangulaires et diagonales
Parmi les matrices carrées, trois formes méritent leur propre nom : triangulaire supérieure (coefficients sous la diagonale principale nuls), triangulaire inférieure (coefficients au-dessus de la diagonale principale nuls), et diagonale (coefficients hors de la diagonale principale nuls, donc à la fois triangulaire supérieure et inférieure). Le produit de deux matrices triangulaires de même forme reste dans cette forme, fait qui sera utile pour calculer des inverses.
Définition — Matrices triangulaires et diagonales
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). - \(A\) est triangulaire supérieure si \(a_{ij} = 0\) pour tout \(i > j\) (tout coefficient strictement en dessous de la diagonale principale est nul) ;
- \(A\) est triangulaire inférieure si \(a_{ij} = 0\) pour tout \(i < j\) (tout coefficient strictement au-dessus de la diagonale principale est nul) ;
- \(A\) est diagonale si \(a_{ij} = 0\) pour tout \(i \neq j\) (donc à la fois triangulaire supérieure et inférieure).
Exemple
Exemples concrets d'ordre \(3\) : $$ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6 \end{pmatrix}}_{\text{triangulaire sup.}}, \qquad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
7 & 4 & 0 \\
8 & 9 & 6 \end{pmatrix}}_{\text{triangulaire inf.}}, \qquad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 6 \end{pmatrix}}_{\text{diagonale}}. $$ La matrice identité \(I_n\) est la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent \(1\). Proposition — Produit de matrices triangulaires
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est triangulaire supérieure ; le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure ; le produit de deux matrices diagonales est diagonale. Dans chaque cas, les coefficients diagonaux du produit sont les produits des coefficients diagonaux correspondants.
On traite le cas triangulaire supérieur ; les deux autres sont analogues. Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) triangulaires supérieures, donc \(a_{ik} = 0\) pour \(i > k\) et \(b_{kj} = 0\) pour \(k > j\). Fixons \(i > j\). Alors pour tout \(k \in \llbracket 1, n \rrbracket\), soit \(k < i\) (et alors \(a_{ik} = 0\) car \(i > k\)), soit \(k \ge i > j\) (et alors \(k > j\), donc \(b_{kj} = 0\)). Dans tous les cas \(a_{ik}\, b_{kj} = 0\), et donc $$ (AB)_{ij} \;=\; \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj} \;=\; 0, $$ donc \(AB\) est triangulaire supérieure. Pour les coefficients diagonaux, prenons \(i = j\) : dans la même somme, tout terme avec \(k \neq i\) s'annule (même disjonction de cas), donc le seul terme potentiellement non nul est \(k = i = j\), ce qui donne \((AB)_{ii} = a_{ii}\, b_{ii}\).
Exemple
Une vérification à l'ordre \(2\) : $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\
0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 \\
0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 17 \\
0 & 18 \end{pmatrix}. $$ Le produit est triangulaire supérieure, et ses coefficients diagonaux \(4 = 1 \cdot 4\) et \(18 = 3 \cdot 6\) sont les produits des coefficients diagonaux des facteurs. Les puissances d'une matrice triangulaire supérieure restent donc triangulaires supérieures. Compétences à pratiquer
- Manipuler des matrices triangulaires et diagonales
III.3
Matrices symétriques et antisymétriques
Deux dernières classes de matrices carrées se distinguent par leur comportement sous la transposée : celles qu'elle laisse inchangées (symétriques) et celles qu'elle renvoie sur leur opposée (antisymétriques). La seconde classe a une conséquence immédiate frappante : ses coefficients diagonaux sont tous nuls.
Définition — Matrice symétrique
Une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est symétrique lorsque \({}^{t}\!A = A\), c'est-à-dire \(a_{ij} = a_{ji}\) pour tous \(i, j\). De manière équivalente, \(A\) est inchangée par symétrie par rapport à sa diagonale principale. Définition — Matrice antisymétrique
Une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est antisymétrique lorsque \({}^{t}\!A = -A\), c'est-à-dire \(a_{ji} = -a_{ij}\) pour tous \(i, j\). En particulier, en prenant \(i = j\) on a \(a_{ii} = -a_{ii}\), donc \(a_{ii} = 0\) : tous les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls. Exemple
\(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\) est symétrique (les deux coefficients hors diagonale sont égaux). \(\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}\) est antisymétrique (les deux coefficients hors diagonale sont opposés, et les coefficients diagonaux nuls). Exemple
Une conséquence simple des règles du Somme et multiple scalaire : pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matrice \(A + {}^{t}\!A\) est symétrique, et \(A - {}^{t}\!A\) est antisymétrique — en effet \({}^{t}(A + {}^{t}\!A) = {}^{t}\!A + A = A + {}^{t}\!A\), et \({}^{t}(A - {}^{t}\!A) = {}^{t}\!A - A = -(A - {}^{t}\!A)\). Compétences à pratiquer
- Identifier et construire des matrices symétriques et antisymétriques
IV
Matrices inversibles
IV.1
Définition et unicité
Une matrice carrée est inversible lorsqu'on peut la « défaire » par une autre matrice, des deux côtés. On verra que c'est l'analogue matriciel de la division par un réel non nul, avec une subtilité : la condition de test est symétrique (\(AB = I_n\) et \(BA = I_n\) ensemble), et seules les matrices carrées peuvent être inversibles. Deux règles algébriques gouvernent ensuite l'interaction de l'inverse avec le produit et la transposée.
Définition — Matrice inversible et inverse
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). La matrice \(A\) est inversible lorsqu'il existe \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que $$ AB \;=\; BA \;=\; I_n. $$ La matrice \(B\) est alors appelée inverse de \(A\) et notée \(A^{-1}\). L'ensemble des matrices inversibles d'ordre \(n\) se note \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\). Proposition — Unicité de l'inverse
Si \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est inversible, son inverse est unique. La notation \(A^{-1}\) est donc sans ambiguïté.
Supposons que \(B\) et \(B'\) vérifient toutes deux \(AB = BA = I_n\) et \(AB' = B'A = I_n\). Alors $$ \begin{aligned} B &= B\, I_n && \text{(l'identité est neutre à droite)} \\
&= B\, (A B') && \text{(car \(AB' = I_n\))} \\
&= (B A)\, B' && \text{(associativité du produit)} \\
&= I_n\, B' && \text{(car \(BA = I_n\))} \\
&= B' && \text{(l'identité est neutre à gauche).} \end{aligned} $$ Donc \(B = B'\).
Inverse unilatéral
Pour une matrice carrée, un inverse à gauche ou à droite suffit à être l'inverse : si \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifie \(AB = I_n\) ou \(BA = I_n\), alors \(A\) est inversible et \(B = A^{-1}\). Ce résultat est admis à ce niveau ; une démonstration utilise le théorème du rang du chapitre suivant. En pratique cela signifie que pour vérifier \(B = A^{-1}\), il suffit de tester un seul des deux produits \(AB\) et \(BA\).
Exemple
Prenons \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\). Alors $$ AB = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 1\cdot (-1) & 2\cdot (-1) + 1\cdot 2 \\
1\cdot 1 + 1\cdot (-1) & 1\cdot (-1) + 1\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix} = I_2. $$ D'après la Remarque précédente, \(A\) est inversible et \(A^{-1} = B\). Exemple
La matrice nulle \(0_n\) n'est jamais inversible : pour toute \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(0_n B = 0_n \neq I_n\). De même, si une ligne de \(A\) est nulle, alors la même ligne de \(AB\) est nulle pour toute \(B\), donc \(A\) ne peut pas vérifier \(AB = I_n\) et n'est pas inversible. Proposition — Inverse d'un produit
Si \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) sont toutes deux inversibles, alors \(AB\) est inversible et $$ (AB)^{-1} \;=\; B^{-1}\, A^{-1}. $$ L'ordre est inversé — comme pour la transposée d'un produit.
On calcule, en utilisant l'associativité et les règles d'inversion : $$ \begin{aligned} (AB)\, (B^{-1} A^{-1}) &= A\, (B\, B^{-1})\, A^{-1} && \text{(associativité)} \\
&= A\, I_n\, A^{-1} && \text{(définition de \(B^{-1}\))} \\
&= A\, A^{-1} && \text{(l'identité est neutre)} \\
&= I_n && \text{(définition de \(A^{-1}\)).} \end{aligned} $$ D'après la Remarque sur les inverses unilatéraux, cette seule vérification suffit : \(AB\) est inversible et son inverse est \(B^{-1} A^{-1}\).
Proposition — Transposée d'un inverse
Si \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est inversible, alors \({}^{t}\!A\) est inversible et $$ ({}^{t}\!A)^{-1} \;=\; {}^{t}(A^{-1}). $$
On applique la transposée du produit à \(A^{-1} A = I_n\) : $$ \begin{aligned} {}^{t}I_n &= {}^{t}(A^{-1} A) && \text{(transposition des deux membres de \(A^{-1} A = I_n\))} \\
&= {}^{t}\!A\, {}^{t}(A^{-1}) && \text{(transposée d'un produit, ordre inversé)}. \end{aligned} $$ Or \({}^{t}I_n = I_n\) (l'identité est symétrique), donc \({}^{t}\!A\, {}^{t}(A^{-1}) = I_n\). D'après la Remarque sur les inverses unilatéraux, cette seule vérification suffit : \({}^{t}\!A\) est inversible et \(({}^{t}\!A)^{-1} = {}^{t}(A^{-1})\).
Compétences à pratiquer
- Vérifier et utiliser des inverses
IV.2
La formule d'inverse en taille 2
À l'ordre \(2\) on dispose d'un critère d'inversibilité fermé et d'une expression close de l'inverse, gouvernés par un seul scalaire attaché à la matrice : son déterminant. Cette formule est universellement utile dans ce cours ; le test général d'inversibilité (pivot de Gauss) est l'objet du chapitre suivant sur les systèmes linéaires.
Définition — Déterminant d'ordre 2
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Le déterminant de \(A\) est le réel $$ \det(A) \;=\; ad - bc. $$ On le note aussi \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\). Proposition — Inversibilité d'une matrice d'ordre 2
Une matrice \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) est inversible si et seulement si \(\det(A) = ad - bc \neq 0\). Dans ce cas $$ A^{-1} \;=\; \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\
-c & a \end{pmatrix}. $$
On pose \(B = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) et on calcule directement : $$ \begin{aligned} A B &= \begin{pmatrix} a & b \\
c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\
-c & a \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} ad - bc & -ab + ab \\
cd - cd & -bc + ad \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\
0 & ad - bc \end{pmatrix} \\
&= (ad - bc)\, I_2. \end{aligned} $$ On distingue deux cas.
- Cas \(ad - bc \neq 0\). Alors \(A \cdot \frac{1}{ad - bc} B = I_2\). D'après la Remarque sur les inverses unilatéraux, \(A\) est inversible et \(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} B\).
- Cas \(ad - bc = 0\). Alors \(AB = 0_2\). Si \(A\) était inversible, en multipliant par \(A^{-1}\) à gauche on aurait \(B = A^{-1} \cdot 0_2 = 0_2\), soit \(a = b = c = d = 0\), donc \(A = 0_2\), qui n'est pas inversible — contradiction. Donc \(A\) n'est pas inversible.
Méthode — Inverser une matrice d'ordre 2
Pour \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) : - calculer \(\det(A) = ad - bc\) ;
- si \(\det(A) = 0\) : \(A\) est non inversible ; arrêt ;
- si \(\det(A) \neq 0\) : écrire \(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) (échanger les coefficients diagonaux, changer le signe des coefficients hors diagonale), puis diviser chaque coefficient par \(\det(A)\).
Exemple
Pour \(A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) : \(\det(A) = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 1 \neq 0\), donc \(A\) est inversible et $$ A^{-1} \;=\; \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\
-1 & 3 \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 2 & -5 \\
-1 & 3 \end{pmatrix}. $$ Vérification : \(A A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) & 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2\). Exemple
Pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) : \(\det(A) = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0\), donc \(A\) n'est pas inversible. On le voit directement : la seconde ligne est la moitié de la première, les deux lignes sont proportionnelles. Compétences à pratiquer
- Inverser une matrice d'ordre 2
IV.3
Inversibilité des matrices diagonales et triangulaires
Pour les matrices diagonales et triangulaires, ce sont les coefficients diagonaux seuls qui gouvernent l'inversibilité. Pour les matrices diagonales, la démonstration est courte et l'inverse se lit coefficient par coefficient — c'est la voie que nous suivons. Pour les matrices triangulaires, la même équivalence reste vraie ; nous l'énonçons et l'admettons à ce stade (une démonstration passe par l'algorithme du pivot du chapitre suivant), et des exemples concrets de petits inverses triangulaires apparaissent dans les exercices. Notation. Pour \(d_1, \dots, d_n \in \mathbb{R}\), la matrice diagonale de coefficients diagonaux \(d_1, \dots, d_n\) se note $$ \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n) \;=\; \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_n \end{pmatrix}. $$ Ainsi \(I_n = \mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1)\) et \(0_n = \mathrm{diag}(0, 0, \dots, 0)\).
Proposition — Inversibilité d'une matrice diagonale
Soit \(D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Alors \(D\) est inversible si et seulement si tous les \(d_i\) sont non nuls, et dans ce cas $$ D^{-1} \;=\; \mathrm{diag}\Big(\tfrac{1}{d_1}, \tfrac{1}{d_2}, \dots, \tfrac{1}{d_n}\Big). $$ - (\(\Leftarrow\)) Supposons tous les \(d_i \neq 0\). Posons \(E = \mathrm{diag}(1/d_1, \dots, 1/d_n)\). Par la formule du produit de diagonales du Matrices triangulaires et diagonales, \(DE\) est diagonale, de coefficients diagonaux \(d_i \cdot (1/d_i) = 1\) pour tout \(i\), donc \(DE = I_n\). D'après la Remarque sur les inverses unilatéraux, \(D\) est inversible et \(D^{-1} = E\).
- (\(\Rightarrow\)) Supposons qu'un \(d_k = 0\). Alors la ligne \(k\) de \(D\) est nulle, donc la même ligne de \(DB\) est nulle pour toute \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). L'équation \(DB = I_n\) n'a donc aucune solution, et \(D\) n'est pas inversible.
Proposition — Inversibilité d'une matrice triangulaire
Une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. De plus son inverse est triangulaire de même forme, de coefficients diagonaux inverses de ceux de la matrice initiale.
Résultat admis. Une démonstration complète passe par le théorème du rang et l'algorithme du pivot de Gauss développés dans le chapitre suivant sur les systèmes linéaires, où l'on résout \(TX = I_n\) colonne par colonne pour \(T\) triangulaire. Nous admettons l'énoncé et l'utilisons librement ci-dessous ; les inversions concrètes de petites matrices triangulaires se font coefficient par coefficient (voir La formule d'inverse en taille 2 à l'ordre \(2\), et les exercices à l'ordre \(3\)).
Exemple
Pour \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\) : les trois coefficients diagonaux sont non nuls, donc \(D\) est inversible et \(D^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/5 \end{pmatrix}\). La matrice \(D' = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\) a un zéro sur la diagonale, donc \(D'\) n'est pas inversible. Compétences à pratiquer
- Inverser des matrices diagonales et triangulaires
V
Matrices avec numpy
V.1
L'inventaire de commandes numpy
Tout au long de l'année les calculs matriciels seront réalisés en Python avec les bibliothèques
numpy (construction et arithmétique matricielle) et numpy.linalg (inversion, rang, résolution de systèmes). Les conventions ici sont : import numpy as np et import numpy.linalg as al. Une matrice est représentée par un tableau numpy dont les lignes sont des listes.
Méthode — Matrices avec numpy
Les commandes essentielles, en deux groupes. Construction (numpy). -
np.array([[1, 2], [3, 4]])— la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) ; -
np.zeros((n, p))— la matrice nulle \(0_{n,p}\) ; -
np.ones((n, p))— la matrice ne contenant que des \(1\) ; -
np.eye(n)— la matrice identité \(I_n\) ; -
np.linspace(a, b, N),np.arange(a, b, h)— tableaux unidimensionnels de valeurs régulièrement espacées (utilisés comme discrétisations dans la suite, en analyse).
A.shape renvoie le couple \((n, p)\) ; A[i, j] renvoie le coefficient \(a_{i+1,\, j+1}\) (l'indexation Python commence à \(0\)) ; les tranches A[i, :] et A[:, j] renvoient la ligne \(i+1\) et la colonne \(j+1\) respectivement. Arithmétique (numpy). Avertissement crucial — distinguer les deux produits : -
A + B,A - B— somme et différence coefficient par coefficient, comme au Somme et multiple scalaire ; -
c * A(oùcest un scalaire Python) — multiplication scalaire coefficient par coefficient, comme \(\lambda A\) ; -
A * B— produit coefficient par coefficient (produit de Hadamard), pas le produit matriciel ; -
A ** k— puissance coefficient par coefficient, pas la puissance matricielle \(A^k\) ; -
np.dot(A, B)ouA @ B— produit matriciel \(AB\) ; -
np.transpose(A)ouA.T— la transposée \({}^{t}\!A\).
numpy.linalg, importée sous le nom al). -
al.inv(A)— l'inverse \(A^{-1}\), valable lorsqueAest une matrice carrée inversible ; -
al.matrix_power(A, k)— la puissance matricielle \(A^k\) avecAcarrée ; pour \(k \in \mathbb{N}\) aucune hypothèse supplémentaire, et pour \(k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\) la matriceAdoit en outre être inversible ; -
al.matrix_rank(A)— le rang de \(A\) (introduit au chapitre suivant) ; -
al.solve(A, B)— la solution \(X\) de l'équation matricielle \(AX = B\) (utilisée au chapitre suivant).
Exemple
Le produit \(2 \times 2\) du Le produit matriciel en Python : \begin{verbatim} import numpy as np A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) B = np.array([[5, 6], [7, 8]]) print(A @ B) # produit matriciel # [[19 22] # [43 50]] print(A * B) # coefficient par coefficient, PAS le produit matriciel # [[ 5 12] # [21 32]] \end{verbatim} Les deux sorties diffèrent — c'est le piège que l'avertissement ci-dessus cherche à éviter. Exemple
L'inverse et la puissance matricielle du section 3 et du section 4 : \begin{verbatim} import numpy as np import numpy.linalg as al A = np.array([[3., 5.], [1., 2.]]) print(al.inv(A)) # inverse par la formule 2x2 # [[ 2. -5.] # [-1. 3.]] print(al.matrix_power(A, 3)) # A**3 est coefficient par coefficient; utiliser matrix_power \end{verbatim} Sur la même \(A\), A ** 3 renverrait \(\begin{pmatrix} 27 & 125 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}\), qui n'est pas le cube matriciel — autre raison d'utiliser al.matrix_power.
Pour aller plus loin
Le chapitre suivant, Systèmes linéaires, fait agir les matrices sur les colonnes : un système linéaire se lit \(AX = B\), l'algorithme du pivot calcule le rang de \(A\) et l'inverse de \(A\) lorsqu'il existe (étendant le Inversibilité des matrices diagonales et triangulaires au cas triangulaire général), et la commande
al.solve devient l'outil quotidien. Plus tard dans l'année, le chapitre Introduction aux espaces vectoriels relit les colonnes de \(A\) comme une famille de vecteurs — la face géométrique de ce qui n'est ici qu'une algèbre de tableaux.
Compétences à pratiquer
- Utiliser numpy pour les matrices
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Combiner les outils du chapitre
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