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Polynômes

⌚ ~202 min ▢ 23 blocs ✓ 72 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Méthodes de calcul

À partir des fonctions polynomiales du lycée — affines $ax + b$, trinômes $ax^2 + bx + c$, monômes $x^n$ —, ce chapitre étudie toute la famille des fonctions polynomiales d'une variable réelle. L'invariant essentiel est le degré, la plus grande puissance effectivement présente ; la famille est stable par les opérations algébriques (somme, produit par un scalaire, produit, composition) et par la dérivation, et la façon dont chaque opération agit sur le degré se lit sur le terme dominant. La division euclidienne permet d'écrire tout polynôme comme un multiple d'un diviseur choisi plus un reste de degré strictement inférieur, exactement comme $17 = 5 \times 3 + 2$ dans $\mathbb{Z}$. L'objet central du chapitre est la racine : une valeur de $x$ où le polynôme s'annule, ou de manière équivalente une valeur où l'on peut mettre $(x - \alpha)$ en facteur. La formule de Taylor fait le pont entre les deux points de vue — coefficients d'un côté, valeurs et dérivées en un point de l'autre —, et le chapitre se clôt sur la factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : tout polynôme réel non nul se décompose comme une constante multipliée par un produit de facteurs $(x - \alpha)^m$ pour ses racines réelles (avec multiplicité) et des facteurs irréductibles de degré $2$ de la forme $x^2 + \beta x + \gamma$ à discriminant strictement négatif. Conventions : on identifie polynômes et fonctions polynomiales sur $\mathbb{R}$. L'indéterminée formelle $X$ désigne le polynôme identité $x \mapsto x$, donc $X^k$ est la fonction $x \mapsto x^k$, et le polynôme $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$ prend la valeur $P(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ en tout réel $x$ ; les ensembles $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}$ sont supposés connus. Par convention $\deg 0 = -\infty$, avec l'arithmétique $-\infty + d = -\infty$ pour tout $d \in \mathbb{N}$. Les coefficients binomiaux $\binom{n}{p}$, les règles de dérivation, les limites en $\pm\infty$ de $x^n$ et le théorème des valeurs intermédiaires sont supposés connus des chapitres précédents et du lycée.

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I L'ensemble $\mathbb{R}[X]$ et le degré

I.1 Polynômes et identification des coefficients

Au lycée vous avez manipulé la fonction affine $x \mapsto ax + b$, le trinôme $x \mapsto ax^2 + bx + c$ et le monôme $x \mapsto x^n$. On nomme maintenant toute la famille à laquelle elles appartiennent et on fixe le point de vue précis de l'année : un polynôme est une fonction $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, écrite comme une somme finie de monômes. Le premier vrai résultat sera que cette écriture est unique — un polynôme détermine ses coefficients.

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Définition — Polynôme

Un polynôme (ou fonction polynomiale) à coefficients réels est une fonction $P : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de la forme $$P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n,$$ où $n \in \mathbb{N}$ et les $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont des nombres réels fixés appelés les coefficients de $P$. Chaque terme $a_k x^k$ est un monôme ; le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul, noté $0$ ; un polynôme $P = a_0$ est un polynôme constant. L'ensemble des polynômes à coefficients réels se note $\mathbb{R}[X]$. La lettre $X$ désigne le polynôme identité $x \mapsto x$, donc $X^k$ est la fonction $x \mapsto x^k$, et l'on écrit $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n$ pour le polynôme lui-même et $P(x)$ pour sa valeur au réel $x$.

Exemple

Les fonctions ci-dessous sont des polynômes :

$P = 3X + 5$ (affine), de coefficients $a_1 = 3$, $a_0 = 5$ ;
$Q = -2X^2 + X - 7$ (un trinôme), avec $a_2 = -2$, $a_1 = 1$, $a_0 = -7$ ;
$R = X^5$ (un seul monôme) ;
$S = 4$ (un polynôme constant non nul) ;
$T = 0$ (le polynôme nul).

Exemple

Les fonctions ci-dessous ne sont pas des polynômes sur $\mathbb{R}$ :

$x \mapsto 1/x$, définie seulement sur $\mathbb{R}^*$, ne satisfait pas même le domaine requis par la définition ;
$x \mapsto \sqrt{x}$, définie seulement sur $\mathbb{R}_+$, est dans le même cas ;
$x \mapsto \cos x$ est définie sur $\mathbb{R}$ mais ne peut pas s'écrire comme une somme finie $\sum_{k=0}^n a_k x^k$ : supposons par l'absurde qu'une telle écriture existe avec $n \in \mathbb{N}$ ; les coefficients de degré $> n$ sont alors tous nuls, or $\cos$ est bornée entre $-1$ et $1$ sur $\mathbb{R}$ tandis qu'aucune $\sum_{k=0}^n a_k x^k$ non constante n'est bornée ($a_n x^n \to \pm \infty$ quand $x \to +\infty$ dès que $a_n \ne 0$ et $n \ge 1$) ; donc $\cos$ serait constante sur $\mathbb{R}$, ce qui est faux puisque $\cos 0 = 1 \ne 0 = \cos(\pi/2)$ ;
$x \mapsto e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas non plus un polynôme : en $+\infty$ elle croît plus vite que tout polynôme ($e^x / x^n \to +\infty$ pour tout $n$ fixé, croissance comparée rappelée du lycée), donc elle ne peut coïncider avec aucun polynôme de degré fixé.

Proposition — Identification des coefficients

Soit $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$. Si $P$ est le polynôme nul (c'est-à-dire $P(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$), alors tous ses coefficients sont nuls : $a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0$. Par conséquent, deux polynômes sont égaux en tant que fonctions si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients (en les écrivant tous deux jusqu'à un degré commun en complétant le plus court par des coefficients nuls).

Preuve

On démontre par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ l'énoncé $H(n)$ : « si $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ s'annule en tout réel, alors $a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0$ ».
Initialisation $H(0)$ : $P = a_0$, et $P(0) = a_0 = 0$ donne $a_0 = 0$, comme voulu.
Hérédité. Supposons $H(n)$, et soit $P = \sum_{k=0}^{n+1} a_k X^k$ avec $P(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Évaluer en $x = 0$ annule tous les monômes sauf la constante : $$a_0 = P(0) = 0.$$ Maintenant que $a_0 = 0$, la fonction $P$ s'écrit aussi $P(x) = x \cdot R(x)$ où $R = a_1 + a_2 X + \dots + a_{n+1} X^n$ (une expression polynomiale dans la forme couverte par $H(n)$). Pour tout $x \ne 0$, $0 = P(x) = x R(x)$ avec $x \ne 0$ donne $R(x) = 0$. La valeur de $R$ en $x = 0$ vaut aussi $0$ : $R$ étant une somme finie de monômes, la fonction $R$ est continue sur $\mathbb{R}$ (la continuité des fonctions polynomiales est établie au lycée et rappelée dans le chapitre sur les limites et la continuité), donc en passant à la limite $x \to 0$ dans $R(x) = 0$ on obtient $R(0) = 0$. Ainsi $R(x) = 0$ pour tout réel $x$. Par $H(n)$ appliqué à $R$, tous les coefficients de $R$ sont nuls : $a_1 = a_2 = \dots = a_{n+1} = 0$. Ceci démontre $H(n+1)$.
Conséquence. Si $P$ et $Q$ ont les mêmes valeurs, la différence $P - Q$ s'annule partout ; par ce qui vient d'être prouvé, ses coefficients (les différences $a_k - b_k$) s'annulent tous, c'est-à-dire $a_k = b_k$ pour tout $k$. La réciproque est claire.

Méthode — Identifier des coefficients

Pour trouver les coefficients d'un polynôme écrit sous une autre forme, on développe tout, on regroupe les termes de même degré, puis on identifie les coefficients des puissances égales de $x$ des deux côtés. L'identification des coefficients rend la procédure non ambiguë : les deux membres ont les mêmes coefficients si et seulement s'ils définissent le même polynôme.

Exemple

Trouver les nombres réels $a$, $b$, $c$ tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$x^3 + 2x^2 - x + 3 = (x + 1)(x^2 + a x + b) + c.$$

Correction

On développe le membre de droite : $$\begin{aligned} (x + 1)(x^2 + ax + b) + c &= x^3 + ax^2 + bx + x^2 + ax + b + c && \text{(distributivité)} \\ &= x^3 + (a + 1) x^2 + (a + b) x + (b + c). && \text{(on regroupe)} \end{aligned}$$ Par identification des coefficients avec $x^3 + 2x^2 - x + 3$ : $$\begin{aligned} a + 1 &= 2 && \text{(coefficient de $x^2$)} \\ a + b &= -1 && \text{(coefficient de $x$)} \\ b + c &= 3. && \text{(terme constant)} \end{aligned}$$ La première équation donne $a = 1$, puis $b = -1 - a = -2$, et $c = 3 - b = 5$. On obtient $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$.

Compétences à pratiquer

Identifier des coefficients
Vérifier une égalité polynomiale

I.2 Degré et l'ensemble $\mathbb{R}_n[X]$

Un seul nombre contrôle tout d'un polynôme — sa croissance à l'infini, le nombre maximal de racines qu'il peut avoir, le degré de tout produit dans lequel il apparaît. Ce nombre est le degré : la plus grande puissance qui apparaît effectivement.

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Définition — Degré, coefficient dominant, $\mathbb{R}_n[X]$

Soit $P \ne 0$ un polynôme. Son degré $\deg P$ est le plus grand indice $k$ tel que $a_k \ne 0$ : $$\deg P = \max\{\, k \in \mathbb{N} \mid a_k \ne 0 \,\}.$$ Le coefficient correspondant $a_{\deg P}$ est le coefficient dominant de $P$ et $a_0$ est le terme constant. Un polynôme de coefficient dominant $1$ est unitaire. Par convention le polynôme nul a pour degré $\deg 0 = -\infty$. Pour $n \in \mathbb{N}$, l'ensemble $$\mathbb{R}_n[X] = \{\, P \in \mathbb{R}[X] \mid \deg P \le n \,\}$$ est l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ — il contient $0$, les constantes non nulles (degré $0$), tous les polynômes de degré $1, 2, \dots, n$.

Exemple

$\deg(2X^3 + X - 1) = 3$, coefficient dominant $2$, terme constant $-1$ ;
$\deg(X^n) = n$, coefficient dominant $1$ (un monôme unitaire) ;
$\deg(7) = 0$ (constante non nulle) ;
$\deg 0 = -\infty$ par convention.

Exemple

Le degré se lit une fois le polynôme entièrement développé. Pour $(X - 1)(X + 3)$, on développe d'abord : $$(X - 1)(X + 3) = X^2 + 3X - X - 3 = X^2 + 2X - 3,$$ donc le degré est $2$ — et non le nombre de facteurs. Les polynômes de $\mathbb{R}_2[X]$ sont exactement $0$, les constantes non nulles, les affines $aX + b$ ($a \ne 0$) et les trinômes $aX^2 + bX + c$ ($a \ne 0$) : degrés $-\infty, 0, 1, 2$.

Méthode — Nommer un polynôme par son degré

On développe et on réduit, puis on cherche la plus grande puissance à coefficient non nul : le degré $0$ est une constante non nulle, le degré $1$ est affine, le degré $2$ quadratique (un trinôme), le degré $3$ cubique, le degré $4$ quartique. On lit le coefficient dominant (facteur de la plus haute puissance) et le terme constant (la valeur en $x = 0$).

Compétences à pratiquer

Calculer le degré
Lire le coefficient dominant

II Opérations et polynôme dérivé

II.1 Somme, produit, composée et degré

Additionner deux polynômes, en multiplier un par un réel, multiplier ou composer deux d'entre eux redonne à chaque fois un polynôme : la famille $\mathbb{R}[X]$ est stable par les opérations algébriques. Le degré se comporte très simplement vis-à-vis de chacune d'elles, et les coefficients dominants suivent directement.

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Proposition — Degré des opérations

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls et $\lambda \in \mathbb{R}^*$. Alors :

$\deg(\lambda P) = \deg P$ ;
$\deg(P + Q) \le \max(\deg P, \deg Q)$, avec égalité dès que $\deg P \ne \deg Q$ ;
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$, et le coefficient dominant de $PQ$ est le produit des coefficients dominants de $P$ et $Q$ ;
si de plus $Q$ est non constant, $\deg(P \circ Q) = \deg P \times \deg Q$.

Avec la convention $\deg 0 = -\infty$ et l'arithmétique $-\infty + d = -\infty$ pour tout $d \in \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ (en particulier $-\infty + (-\infty) = -\infty$), la règle du produit $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ reste valable lorsque l'un ou les deux des $P, Q$ est le polynôme nul.

Preuve

Écrivons $\deg P = n$ de coefficient dominant $a_n \ne 0$, et $\deg Q = m$ de coefficient dominant $b_m \ne 0$.

Produit scalaire. Multiplier par $\lambda \ne 0$ change le terme dominant en $\lambda a_n \, X^n$, avec $\lambda a_n \ne 0$, donc $\deg(\lambda P) = n$.
Somme. Aucune puissance supérieure à $\max(n, m)$ ne peut apparaître dans $P + Q$, d'où $\deg(P + Q) \le \max(n, m)$. Si $n \ne m$, disons $n > m$, le terme $a_n X^n$ n'a pas de partenaire pour l'annuler, donc il subsiste et $\deg(P + Q) = n = \max(n, m)$.
Produit. La plus haute puissance que l'on puisse obtenir dans $PQ$ est $X^{n+m}$, et son coefficient est exactement le produit des coefficients dominants : $$PQ = a_n b_m \, X^{n+m} + \text{(termes de degré inférieur)}.$$ Comme $a_n \ne 0$ et $b_m \ne 0$, le réel $a_n b_m$ est non nul, donc le terme $X^{n+m}$ ne s'annule pas et $\deg(PQ) = n + m$ avec coefficient dominant $a_n b_m$.
Composition. Supposons $Q$ non constant ($m \ge 1$) et $P$ non nul. Le terme dominant de $P \circ Q$ provient de $a_n \, Q(x)^n$, dont la plus haute puissance est $a_n (b_m x^m)^n = a_n b_m^n \, x^{nm}$ de coefficient $a_n b_m^n \ne 0$, d'où $\deg(P \circ Q) = nm$.

Lorsque $P = 0$ ou $Q = 0$, le produit vaut $0$ et la règle annoncée donne $\deg(PQ) = -\infty$, conforme à $-\infty + d = -\infty$.

Exemple

Prenons $P = 2X^3 - X$ et $Q = 3X^2 + X + 2$. Leur produit se développe terme à terme : $$\begin{aligned} PQ &= (2X^3 - X)(3X^2 + X + 2) \\ &= 6X^5 + 2X^4 + 4X^3 - 3X^3 - X^2 - 2X && \text{(on développe terme à terme)} \\ &= 6X^5 + 2X^4 + X^3 - X^2 - 2X. && \text{(on regroupe)} \end{aligned}$$ Le degré est $5 = 3 + 2 = \deg P + \deg Q$, de coefficient dominant $6 = 2 \times 3$, comme annoncé.

Exemple

Le degré d'une somme peut chuter strictement en dessous de $\max(\deg P, \deg Q)$ lorsque les deux termes dominants s'annulent. Avec $P = X^2 + X$ et $Q = -X^2$, tous deux de degré $2$ : $$P + Q = (X^2 + X) + (-X^2) = X,$$ donc $\deg(P + Q) = 1 < 2 = \max(\deg P, \deg Q)$. L'inégalité stricte a lieu précisément parce que les deux degrés étaient égaux et que les deux coefficients dominants ($1$ et $-1$) se sont annulés. Lorsque les degrés diffèrent, le plus grand l'emporte toujours.

Proposition — $\mathbb{R}[X]$ est intègre

Pour tous $P, Q \in \mathbb{R}[X]$ : $$PQ = 0 \iff (P = 0 \text{ ou } Q = 0).$$ En particulier (règle de simplification) : si $A \ne 0$ et $AP = AQ$, alors $P = Q$.

Preuve

$(\Leftarrow)$ Clair : un produit dont un facteur est $0$ vaut $0$.
$(\Rightarrow)$ Par contraposée : supposons $P \ne 0$ et $Q \ne 0$, c'est-à-dire $\deg P \in \mathbb{N}$ et $\deg Q \in \mathbb{N}$. Par la règle du degré du produit (dans le cas fini démontré plus haut), $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q \in \mathbb{N}$, donc $\deg(PQ) \ne -\infty$, d'où $PQ \ne 0$.
Simplification. Si $AP = AQ$ avec $A \ne 0$, alors $A(P - Q) = 0$. Comme $A \ne 0$, l'équivalence ci-dessus donne $P - Q = 0$, c'est-à-dire $P = Q$.

Méthode — Calculer un produit ou une composée et son degré

Pour un produit, on développe et on regroupe ; on vérifie que le degré est la somme des deux degrés et que le coefficient dominant est le produit des coefficients dominants. Pour une composition $P \circ Q$, on remplace la variable de $P$ par $Q(x)$, on développe, et on vérifie que le degré vaut $\deg P \times \deg Q$ (valable lorsque $P \ne 0$ et $Q$ non constant).

Exemple

Calculer le degré, le coefficient dominant et le terme constant du produit $R = (X^2 + 1)(X^3 - X + 2)$.

Correction

$\deg(X^2 + 1) = 2$ de coefficient dominant $1$ et terme constant $1$ ; $\deg(X^3 - X + 2) = 3$ de coefficient dominant $1$ et terme constant $2$. Par la règle du produit, $\deg R = 2 + 3 = 5$ et le coefficient dominant vaut $1 \times 1 = 1$. Le terme constant d'un produit est le produit des termes constants (la seule façon d'obtenir $X^0$ est de multiplier $X^0$ par $X^0$), donc il vaut $1 \times 2 = 2$. On vérifie en développant : $$\begin{aligned} R &= (X^2 + 1)(X^3 - X + 2) \\ &= X^5 - X^3 + 2X^2 + X^3 - X + 2 && \text{(distributivité)} \\ &= X^5 + 2X^2 - X + 2. && \text{(les deux termes en $X^3$ s'annulent)} \end{aligned}$$ Coefficient dominant $1$, terme constant $2$, $\deg R = 5$.

Compétences à pratiquer

Calculer des produits et des composées
Borner ou calculer un degré

II.2 Le polynôme dérivé

La dérivée d'un polynôme, déjà rencontrée au lycée, est encore un polynôme ; elle se lit directement sur les coefficients et son degré baisse d'exactement un (lorsque le polynôme est non constant). Les dérivées successives sont l'outil clé pour la formule de Taylor et pour détecter les racines multiples.

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Définition — Polynôme dérivé, dérivées successives

Le polynôme dérivé de $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ est $$P' = \sum_{k=1}^{n} k\, a_k X^{k-1} = a_1 + 2 a_2 X + 3 a_3 X^2 + \dots + n\, a_n X^{n-1}.$$ Il coïncide avec la dérivée ordinaire de la fonction polynomiale $P$ étudiée dans le chapitre sur la dérivation. Les dérivées successives (ou dérivées itérées) de $P$ sont définies par $P^{(0)} = P$ et $P^{(j+1)} = (P^{(j)})'$ pour tout $j \in \mathbb{N}$. Les premières s'écrivent $P^{(1)} = P'$, $P^{(2)} = P''$, $P^{(3)} = P'''$.

Exemple

Pour $P = -2X^5 + X^3 + 3X^2 - 1$, on dérive monôme par monôme : $$P' = -2 \cdot 5 \, X^4 + 3 X^2 + 3 \cdot 2 \, X - 0 = -10 X^4 + 3 X^2 + 6 X.$$

Exemple

Pour $P = X^4 - 2 X^2 + 5$ (la constante disparaît à la dérivation) : $$P' = 4 X^3 - 4 X.$$ En itérant : $P'' = 12 X^2 - 4$, $P''' = 24 X$, $P^{(4)} = 24$, et $P^{(j)} = 0$ pour tout $j \ge 5$.

Proposition — Degré de la dérivée

Si $\deg P \ge 1$, alors $\deg P' = \deg P - 1$. Si $P$ est constant ($\deg P \le 0$), alors $P' = 0$.

Preuve

Écrivons $\deg P = n \ge 1$ de terme dominant $a_n X^n$, $a_n \ne 0$. En dérivant, ce terme devient $n\, a_n X^{n-1}$, dont le coefficient $n\, a_n$ est non nul car $n \ge 1$ et $a_n \ne 0$. Aucune puissance de $X$ plus haute n'apparaît dans $P'$, donc $X^{n-1}$ est la plus haute puissance et $\deg P' = n - 1$. Si $P$ est constant ($n = 0$ ou $P = 0$), il n'y a aucun terme à dériver et $P' = 0$.

Proposition — Dérivée itérée d'un monôme et d'un polynôme

Pour $Q = X^n$ et $0 \le j \le n$ : $$Q^{(j)} = \frac{n!}{(n - j)!}\, X^{n - j},$$ et $Q^{(j)} = 0$ pour tout $j > n$. Par conséquent, pour $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ et $0 \le j \le n$ : $$P^{(j)} = \sum_{k=j}^{n} \frac{k!}{(k - j)!}\, a_k X^{k - j},$$ et $P^{(j)} = 0$ pour tout $j > n$.

Preuve

Pour $Q = X^n$, on démontre la formule par récurrence sur $j \ge 0$.
Initialisation $j = 0$ : $Q^{(0)} = Q = X^n = \frac{n!}{n!} X^n$, la formule est vraie.
Hérédité. Supposons $Q^{(j)} = \frac{n!}{(n - j)!} X^{n - j}$ pour un certain $j$ avec $0 \le j \le n - 1$. En dérivant : $$Q^{(j+1)} = \bigl(Q^{(j)}\bigr)' = \frac{n!}{(n - j)!} \cdot (n - j) \, X^{n - j - 1} = \frac{n!}{(n - j - 1)!} X^{n - (j + 1)},$$ ce qui est la formule annoncée à l'indice $j + 1$. La récurrence se poursuit tant que $j + 1 \le n$ ; en $j = n$ on obtient $Q^{(n)} = n!$ (une constante non nulle), et $Q^{(n + 1)} = 0$, donc $Q^{(j)} = 0$ pour tout $j > n$ puisque la dérivée d'une constante est nulle.
Pour $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$, par linéarité de la dérivée (et donc de toute dérivée itérée), $P^{(j)} = \sum_{k=0}^{n} a_k \bigl(X^k\bigr)^{(j)}$. Le terme s'annule lorsque $k < j$ (par le résultat sur le monôme) et vaut $\frac{k!}{(k - j)!} a_k X^{k - j}$ lorsque $j \le k \le n$, donnant la somme annoncée.

Méthode — Calculer les dérivées successives

On dérive terme à terme : chaque monôme $a_k X^k$ devient $k a_k X^{k - 1}$, puis $k(k - 1) a_k X^{k - 2}$, etc. ; après $j$ dérivations le facteur devant $X^{k - j}$ vaut $\frac{k!}{(k - j)!} a_k$. Pour un polynôme $P$ non nul, après strictement plus de $\deg P$ dérivations le polynôme devient nul (chaque étape baisse le degré de $1$ à partir d'une valeur de départ finie) ; le polynôme nul est inchangé par dérivation.

Compétences à pratiquer

Calculer le polynôme dérivé
Calculer les dérivées successives

III Division euclidienne, multiples et diviseurs

III.1 Division euclidienne

Comme pour les entiers, où tout $a$ s'écrit $a = bq + r$ avec $0 \le r < b$, tout polynôme $A$ se découpe en un multiple d'un polynôme non nul $B$ plus un reste $R$ de degré strictement inférieur — de manière unique. C'est l'analogue polynomial de $17 = 5 \times 3 + 2$.

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Théorème — Division euclidienne dans $\mathbb{R}[X]$ — admise

Pour tous $A, B \in \mathbb{R}[X]$ avec $B \ne 0$, il existe un unique couple $(Q, R) \in (\mathbb{R}[X])^2$ tel que $$A = B Q + R \qquad \text{et} \qquad \deg R < \deg B.$$ $Q$ est le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.

Résultat admis

La démonstration de ce théorème n'est pas exigible à ce niveau et est omise ; ce qui est à maîtriser, c'est l'algorithme donné dans la Méthode ci-dessous.

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Méthode — Effectuer une division euclidienne à la main

L'algorithme est l'analogue polynomial de la division posée des entiers. On écrit $A$ en haut, $B$ à droite. À chaque étape :

Repérer le terme dominant du dividende courant (initialement $A$, ensuite $A$ moins ce qui a déjà été soustrait), disons $a_d X^d$ avec $d \ge \deg B$.
Ajuster sur le terme dominant de $B$ : prendre $c X^{d - \deg B}$ où $c = a_d / (\text{coefficient dominant de } B)$. Ce monôme est la prochaine contribution au quotient.
Soustraire $c X^{d - \deg B} \cdot B$ du dividende courant ; le terme en $X^d$ s'annule par construction, donc le degré du dividende courant baisse.
Arrêter lorsque le degré du dividende courant est strictement inférieur à $\deg B$. Les monômes accumulés forment le quotient $Q$, et le dividende courant à cet instant est le reste $R$.

Exemple

Effectuer la division euclidienne de $A = X^3 + X^2 - 2 X + 3$ par $B = X^2 - X + 1$.

Correction

$\deg A = 3$, $\deg B = 2$, donc $\deg Q = 1$ et $\deg R \le 1$.
Étape 1. Terme dominant de $A$ : $X^3 = X \cdot X^2$. On soustrait $X \cdot B$ : $$\begin{aligned} A_1 &= A - X \cdot B \\ &= (X^3 + X^2 - 2 X + 3) - X(X^2 - X + 1) \\ &= (X^3 + X^2 - 2 X + 3) - (X^3 - X^2 + X) \\ &= 2 X^2 - 3 X + 3. \end{aligned}$$ Étape 2. Terme dominant de $A_1$ : $2 X^2 = 2 \cdot X^2$. On soustrait $2 \cdot B$ : $$\begin{aligned} A_2 &= A_1 - 2 \cdot B \\ &= (2 X^2 - 3 X + 3) - 2(X^2 - X + 1) \\ &= (2 X^2 - 3 X + 3) - (2 X^2 - 2 X + 2) \\ &= - X + 1. \end{aligned}$$ $\deg A_2 = 1 < 2 = \deg B$ : arrêt. Quotient $Q = X + 2$, reste $R = -X + 1$. Vérification : $B Q + R = (X^2 - X + 1)(X + 2) + (-X + 1) = X^3 + 2 X^2 - X^2 - 2 X + X + 2 - X + 1 = X^3 + X^2 - 2 X + 3 = A$ $\checkmark$

Méthode — Trouver le reste avec les valeurs de $A$ aux racines de $B$

Le reste $R$ a un degré $< \deg B$, donc il possède $\deg B$ coefficients inconnus (une constante si $\deg B = 1$, $aX + b$ si $\deg B = 2$, etc.). Cette méthode ne fonctionne que lorsque $B$ a $\deg B$ racines réelles distinctes (donc $B$ est « scindé » à racines simples) : on évalue alors l'identité $A = BQ + R$ en chaque racine $x_0$ de $B$ pour obtenir $A(x_0) = R(x_0)$ (puisque $B(x_0) = 0$), ce qui donne $\deg B$ équations linéaires indépendantes en les $\deg B$ coefficients inconnus de $R$ — assez pour déterminer $R$. Concrètement :

$\deg B = 1$ de racine $x_0$ : $R$ est la constante $A(x_0)$.
$\deg B = 2$ à deux racines réelles distinctes $x_1, x_2$ : $R = aX + b$ est déterminé par $a x_1 + b = A(x_1)$ et $a x_2 + b = A(x_2)$.

Lorsque $B$ a moins de racines réelles distinctes que $\deg B$ (par exemple $\deg B = 2$ à racine double, ou sans racine réelle), cette méthode telle quelle ne fonctionne pas ; on doit revenir à la division posée, ou, dans le cas de la racine double, à la formule de Taylor du La formule de Taylor pour un polynôme.

Compétences à pratiquer

Effectuer une division euclidienne
Trouver le reste avec les valeurs aux racines

III.2 Multiples, diviseurs et degrés

« $B$ divise $A$ » signifie que la division euclidienne de $A$ par $B$ a un reste nul ; c'est l'analogue algébrique de la divisibilité dans $\mathbb{Z}$. Le degré donne une inégalité immédiate entre $B$ et $A$, et le cas d'égalité est rigide.

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Définition — Divise, diviseur, multiple

Soient $A, B \in \mathbb{R}[X]$ avec $B \ne 0$. On dit que $B$ divise $A$, et l'on note $B \mid A$, lorsqu'il existe $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $A = B Q$. De manière équivalente, le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ est nul. On dit alors que $B$ est un diviseur de $A$ et que $A$ est un multiple de $B$.

Exemple

$X - 1$ divise $X^2 - 1$, car $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ ;
le polynôme nul est divisible par tout $B \ne 0$ (prendre $Q = 0$) ;
tout polynôme non nul $A$ est divisible par toute constante non nulle $\lambda$ (prendre $Q = (1/\lambda) A$) ;
$X^2 + 1$ ne divise pas $X$ (le quotient $Q$ devrait vérifier $X = (X^2 + 1) Q$ avec $\deg Q = -1$, impossible).

Proposition — Diviseurs et degré

Soient $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tous deux non nuls avec $B \mid A$. Alors $\deg B \le \deg A$. Si de plus $\deg B = \deg A$, il existe $\lambda \in \mathbb{R}^*$ tel que $A = \lambda B$.

Preuve

Écrivons $A = B Q$. Comme $A \ne 0$, on a aussi $Q \ne 0$ (sinon $A = 0$, contradiction). Par la règle du degré du produit : $$\deg A = \deg B + \deg Q.$$ Avec $\deg Q \ge 0$, on obtient $\deg A \ge \deg B$. Si $\deg A = \deg B$, alors $\deg Q = 0$ : $Q$ est une constante non nulle $\lambda \in \mathbb{R}^*$, et $A = \lambda B$.

Compétences à pratiquer

Tester la divisibilité
Utiliser l'inégalité du degré

IV Racines, multiplicité et le cas du degré 2

IV.1 Racines et le facteur $(X - \alpha)$

Une racine d'un polynôme est une valeur de $x$ où la courbe rencontre l'axe horizontal. Le fait fondamental de tout le chapitre est qu'une racine ne disparaît jamais sans laisser de trace : elle laisse derrière elle un facteur $(X - \alpha)$, ce qui permet de factoriser le polynôme étape par étape jusqu'à ce qu'il ne reste plus aucune racine réelle ou que le polynôme soit entièrement décomposé.

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Définition — Racine

Un nombre réel $\alpha$ est une racine (ou un zéro) d'un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ lorsque $P(\alpha) = 0$. Graphiquement, $\alpha$ est une racine exactement lorsque la courbe de la fonction $P$ croise ou touche l'axe des abscisses au point d'abscisse $\alpha$.

Exemple

$X + 1$ a pour seule racine $-1$ ;
$X^2 - 5 X + 6 = (X - 2)(X - 3)$ a les deux racines $2$ et $3$ ;
$X^3 - 1$ a pour seule racine réelle $1$ (alors $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$, et le trinôme $X^2 + X + 1$ a pour discriminant $1 - 4 = -3 < 0$, donc aucune racine réelle).

Proposition — Factoriser par une racine

Soient $P \in \mathbb{R}[X]$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - \alpha) \mid P$, c'est-à-dire qu'il existe $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $$P = (X - \alpha) \, Q.$$ Lorsque $P \ne 0$, ce $Q$ est unique et $\deg Q = \deg P - 1$.

Preuve

Division euclidienne de $P$ par $X - \alpha$ (un polynôme non nul de degré $1$) : il existe $Q \in \mathbb{R}[X]$ et une constante $c \in \mathbb{R}$ (le reste est de $\deg < 1$, donc constant) tels que $$P = (X - \alpha) Q + c.$$ On évalue en $x = \alpha$ : $P(\alpha) = 0 \cdot Q(\alpha) + c = c$, donc $c = P(\alpha)$. Par conséquent $P(\alpha) = 0$ si et seulement si $c = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $P = (X - \alpha) Q$.
Pour le degré, lorsque $P \ne 0$ la règle du produit donne $\deg P = \deg(X - \alpha) + \deg Q = 1 + \deg Q$, donc $\deg Q = \deg P - 1$. L'unicité de $Q$ provient de la règle de simplification : si $P = (X - \alpha) Q_1 = (X - \alpha) Q_2$ alors $(X - \alpha)(Q_1 - Q_2) = 0$, et $X - \alpha \ne 0$, donc $Q_1 = Q_2$.

Méthode — Factoriser par une racine connue

Une fois une racine $\alpha$ de $P$ connue (par inspection : on essaie $0, 1, -1, 2, -2$ pour des polynômes à coefficients entiers ou rationnels simples), le quotient $Q$ a un degré de moins. On peut écrire $P = (X - \alpha)(b_{n-1} X^{n-1} + \dots + b_0)$ avec des coefficients inconnus $b_i$, développer et identifier ; ou bien effectuer la division euclidienne de $P$ par $X - \alpha$.

Exemple

Factoriser $P = X^3 - 3 X + 2$ dans $\mathbb{R}[X]$ à partir d'une racine évidente.

Correction

On teste les petits entiers. $P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$, donc $1$ est racine. Par la proposition de factorisation, $P = (X - 1) Q$ avec $\deg Q = 2$. Écrivons $Q = X^2 + b X + c$ et développons : $$\begin{aligned} (X - 1)(X^2 + b X + c) &= X^3 + b X^2 + c X - X^2 - b X - c \\ &= X^3 + (b - 1) X^2 + (c - b) X - c. \end{aligned}$$ Identification avec $X^3 + 0 \cdot X^2 - 3 X + 2$ : $$\begin{aligned} b - 1 &= 0 && \text{(coefficient de $X^2$)} \\ c - b &= -3 && \text{(coefficient de $X$)} \\ -c &= 2. && \text{(terme constant)} \end{aligned}$$ La première donne $b = 1$ ; la troisième donne $c = -2$ ; la seconde est vérifiée ($c - b = -2 - 1 = -3$ $\checkmark$). Donc $Q = X^2 + X - 2$. On factorise $Q$ : discriminant $1 + 8 = 9$, racines $\frac{-1 \pm 3}{2}$, soit $1$ et $-2$, donc $Q = (X - 1)(X + 2)$. D'où $$P = (X - 1) \cdot (X - 1)(X + 2) = (X - 1)^2 (X + 2).$$

Proposition — Au plus $\deg P$ racines distinctes

Un polynôme non nul $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles distinctes. Par conséquent, un polynôme de degré $\le n$ ayant strictement plus de $n$ racines réelles distinctes est le polynôme nul ; un polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul.

Preuve

Par récurrence sur $n = \deg P$.
Initialisation $n = 0$ : $P$ est une constante non nulle, donc n'a aucune racine, donc la borne $0$ est respectée.
Hérédité. Supposons le résultat à tout degré $\le n - 1$, et soit $\deg P = n \ge 1$. Si $P$ n'a pas de racine, la borne $n$ est triviale. Sinon, on choisit une racine $\alpha_1$ et l'on écrit $P = (X - \alpha_1) Q$ avec $\deg Q = n - 1$. Pour toute racine $\alpha \ne \alpha_1$ de $P$ : $$0 = P(\alpha) = (\alpha - \alpha_1) \, Q(\alpha)$$ avec $\alpha - \alpha_1 \ne 0$, donc $Q(\alpha) = 0$ : toute autre racine distincte de $P$ est racine de $Q$. Par hypothèse de récurrence $Q$ a au plus $n - 1$ racines distinctes, donc $P$ en a au plus $1 + (n - 1) = n$.
Conséquences. Si $P$ a un degré $\le n$ et plus de $n$ racines distinctes, la seule issue est $P = 0$ (qui a tout réel pour racine). Le même argument avec « plus de $n$ » remplacé par « une infinité » force encore $P = 0$, puisque tout polynôme non nul de degré $n_0$ a au plus $n_0$ racines.

Théorème — Le degré impair force une racine réelle

Tout polynôme de degré impair dans $\mathbb{R}[X]$ a au moins une racine réelle.

Preuve

Soit $\deg P = n$ impair de coefficient dominant $a_n \ne 0$. Factorisons la puissance dominante : pour tout $x \ne 0$, $$P(x) = x^n \biggl( a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_0}{x^n} \biggr).$$ Quand $x \to \pm\infty$ chaque $\frac{a_k}{x^{n - k}} \to 0$ ($k < n$), donc la parenthèse tend vers $a_n \ne 0$. Comme $n$ est impair, $x^n \to +\infty$ en $+\infty$ et $x^n \to -\infty$ en $-\infty$. Par les opérations sur les limites $P$ a donc des limites infinies opposées : l'une des limites $\lim_{x \to -\infty} P$ et $\lim_{x \to +\infty} P$ vaut $+\infty$ et l'autre $-\infty$. Comme $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ (une fonction polynomiale est continue), le théorème des valeurs intermédiaires du chapitre sur les limites et la continuité garantit que $P$ prend la valeur $0$ quelque part : il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $P(\alpha) = 0$.

L'énoncé est faux en degré pair : $X^2 + 1$ a pour degré $2$ et n'a aucune racine réelle, car $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ pour tout réel $x$. Les deux limites infinies sont alors égales (toutes deux $+\infty$ dans ce cas), donc la courbe peut ne pas traverser l'axe.

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Exemple

La cubique $P = X^3 - 6 X + 1$ a trois racines réelles distinctes. Sa dérivée est $P' = 3 X^2 - 6 = 3(X - \sqrt{2})(X + \sqrt{2})$, positive en dehors de $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ et négative à l'intérieur, avec un maximum local en $x = -\sqrt{2}$ (valeur $P(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1 > 0$) et un minimum local en $x = \sqrt{2}$ (valeur $P(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1 < 0$). La courbe continue traverse donc l'axe une fois sur chacun des trois morceaux monotones (TVI). La figure ci-dessous montre une cubique semblable, à trois racines distinctes en $-1, 1, 2$ :

Compétences à pratiquer

Tester des racines et factoriser par $(X-\alpha)$
Compter les racines et factoriser

IV.2 Racines multiples et critère par la dérivée

Certaines racines comptent plusieurs fois : le nombre de fois où l'on peut extraire le facteur $(X - \alpha)$ est la multiplicité de la racine, qui gouverne la façon dont la courbe rencontre l'axe (multiplicité paire = touche et rebrousse ; multiplicité impaire = traverse). Détecter une racine multiple ne demande en général pas de factoriser : il suffit de regarder la dérivée.

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Définition — Multiplicité d'une racine

Soit $P \ne 0$ et $\alpha$ une racine de $P$. La multiplicité (ou ordre) de $\alpha$ est le plus grand entier $m \ge 1$ pour lequel il existe $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $$P = (X - \alpha)^m \, Q.$$ Pour ce plus grand $m$ on a nécessairement $Q(\alpha) \ne 0$ (sinon $(X - \alpha)$ se factoriserait aussi dans $Q$ et $(X - \alpha)^{m+1}$ dans $P$, ce qui contredirait la maximalité de $m$), et $m \le \deg P$. Une racine de multiplicité $1$ est simple, de multiplicité $2$ double, de multiplicité $\ge 2$ multiple.

Exemple

La multiplicité se lit sur une forme factorisée. Dans $(X - 2)^3 (X + 5)(X - 1)^2$, la racine $2$ est triple ($m = 3$), $-5$ simple ($m = 1$), $1$ double ($m = 2$). La figure ci-dessous oppose les deux parités : une racine simple, où la courbe traverse, et une racine double, où elle touche l'axe et rebrousse chemin.

Exemple

Factorisons $X^3 - X^2 - X + 1$ par regroupement : $$X^3 - X^2 - X + 1 = X^2 (X - 1) - (X - 1) = (X - 1)(X^2 - 1) = (X - 1)^2 (X + 1).$$ Donc $1$ est racine de multiplicité $2$ (double) et $-1$ racine de multiplicité $1$ (simple). Avec $Q = X + 1$, $Q(1) = 2 \ne 0$, ce qui confirme bien que $m = 2$ est maximal.

Proposition — Critère par la dérivée première (simple ou multiple)

Soit $P \ne 0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$ une racine de $P$. Alors $\alpha$ est racine multiple ($m \ge 2$) si et seulement si $P'(\alpha) = 0$. De manière équivalente, $\alpha$ est racine simple ($m = 1$) si et seulement si $P(\alpha) = 0$ et $P'(\alpha) \ne 0$. (Le critère itéré complet faisant intervenir $P, P', \dots, P^{(m)}$ est énoncé et démontré au La formule de Taylor pour un polynôme comme conséquence de la formule de Taylor.)

Preuve

Écrivons la racine $\alpha$ avec sa multiplicité $m \ge 1$ : $P = (X - \alpha)^m Q$ avec $Q(\alpha) \ne 0$. On dérive par la règle du produit : $$\begin{aligned} P' &= \bigl((X - \alpha)^m\bigr)' \, Q + (X - \alpha)^m \, Q' \\ &= m (X - \alpha)^{m - 1} \, Q + (X - \alpha)^m \, Q' && \text{(règle de la chaîne sur $(X - \alpha)^m$)} \\ &= (X - \alpha)^{m - 1} \bigl( m Q + (X - \alpha) Q' \bigr). && \text{(on factorise $(X - \alpha)^{m - 1}$)} \end{aligned}$$ On évalue en $x = \alpha$. Si $m \ge 2$, le facteur $(X - \alpha)^{m - 1}$ s'annule en $\alpha$, donc $P'(\alpha) = 0$. Si $m = 1$, alors $P'(\alpha) = m \, Q(\alpha) + 0 = Q(\alpha) \ne 0$ : une racine simple n'est pas racine de $P'$. Ainsi $P'(\alpha) = 0$ exactement quand $m \ge 2$, c'est-à-dire exactement quand $\alpha$ est racine multiple.

Méthode — Tester une racine multiple

Pour vérifier si $\alpha$ est racine multiple de $P$, on vérifie les deux égalités $P(\alpha) = 0$ et $P'(\alpha) = 0$ ; si les deux ont lieu, $\alpha$ est multiple ($m \ge 2$) ; si seule $P(\alpha) = 0$, $\alpha$ est simple. Pour rendre une valeur donnée $\alpha$ racine multiple d'un polynôme paramétré, on écrit le système $P(\alpha) = 0$, $P'(\alpha) = 0$ et l'on résout en les paramètres.

Exemple

Trouver les réels $a$ et $b$ tels que $1$ soit racine double de $P = X^3 + a X^2 + b X - 2$.

Correction

On impose $P(1) = 0$ et $P'(1) = 0$ avec $P' = 3 X^2 + 2 a X + b$ : $$\begin{aligned} P(1) = 1 + a + b - 2 &= 0 && \text{(valeur en $1$)} \\ P'(1) = 3 + 2 a + b &= 0. && \text{(dérivée en $1$)} \end{aligned}$$ Les deux équations s'écrivent $a + b = 1$ et $2 a + b = -3$. En soustrayant la première de la seconde : $a = -4$, donc $b = 1 - a = 5$. Donc $a = -4$ et $b = 5$, ce qui donne $P = X^3 - 4 X^2 + 5 X - 2$. Vérification : $P(1) = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$, $P'(1) = 3 - 8 + 5 = 0$ $\checkmark$, et la factorisation $P = (X - 1)^2 (X - 2)$ confirme bien que $1$ est double (une troisième racine évidente : $P(2) = 8 - 16 + 10 - 2 = 0$).

Compétences à pratiquer

Détecter les racines multiples
Construire un polynôme à multiplicités prescrites

IV.3 Le cas du degré 2

En degré $2$ le programme demande un traitement explicite. Le trinôme $a x^2 + b x + c$ ($a \ne 0$) est le plus petit polynôme non affine, et la forme canonique / l'analyse par le discriminant du lycée s'insèrent dans le cadre polynomial comme règle de factorisation complète.

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Proposition — Le trinôme du degré 2

Soit $P = a X^2 + b X + c \in \mathbb{R}[X]$ avec $a \ne 0$. Posons $\Delta = b^2 - 4 a c$ (le discriminant). Trois cas :

$\Delta > 0$ : $P$ a deux racines réelles distinctes $$x_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2 a}, \qquad x_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2 a},$$ et $P = a (X - x_1)(X - x_2)$.
$\Delta = 0$ : $P$ a une unique racine double $x_0 = - \frac{b}{2 a}$, et $P = a (X - x_0)^2$.
$\Delta < 0$ : $P$ n'a aucune racine réelle ; $P$ est irréductible sur $\mathbb{R}$ (il ne s'écrit pas comme produit de deux polynômes réels de degré $1$) ; la fonction polynomiale $P$ garde un signe constant sur $\mathbb{R}$, égal au signe de $a$.

Preuve

On utilise la forme canonique. On factorise $a$, puis on complète le carré à l'intérieur de la parenthèse : $$\begin{aligned} P(x) &= a x^2 + b x + c \\ &= a \biggl( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \biggr) && \text{(on factorise $a$)} \\ &= a \biggl( \Bigl(x + \frac{b}{2 a}\Bigr)^2 - \frac{b^2}{4 a^2} + \frac{c}{a} \biggr) && \text{(on complète le carré)} \\ &= a \biggl( \Bigl(x + \frac{b}{2 a}\Bigr)^2 - \frac{b^2 - 4 a c}{4 a^2} \biggr) && \text{(dénominateur commun)} \\ &= a \biggl( \Bigl(x + \frac{b}{2 a}\Bigr)^2 - \frac{\Delta}{4 a^2} \biggr). \end{aligned}$$ On discute le signe de $\Delta$ :

$\Delta > 0$ : $\Delta / (4 a^2) = (\sqrt{\Delta} / (2 |a|))^2$, donc la parenthèse est une différence de carrés : $P(x) = a \, (x + b/(2a) - \sqrt{\Delta}/(2|a|))(x + b/(2a) + \sqrt{\Delta}/(2|a|))$. Les deux racines sont $x = -b/(2a) \pm \sqrt{\Delta} / (2|a|)$. En tant que paire non ordonnée, échanger le signe du $\pm$ et le signe de $|a|$ (c'est-à-dire diviser par $a$ au lieu de $|a|$) donne le même ensemble de deux valeurs ; l'écriture standard de cette paire non ordonnée est $x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{\Delta}) / (2 a)$, et $P = a (X - x_1)(X - x_2)$.
$\Delta = 0$ : la parenthèse se réduit à $(x + b/(2 a))^2$, donc $P = a (X - x_0)^2$ avec $x_0 = -b/(2 a)$, racine double.
$\Delta < 0$ : $-\Delta / (4 a^2) > 0$ est une constante strictement positive, donc la parenthèse $(x + b/(2 a))^2 + (-\Delta)/(4 a^2)$ est strictement positive pour tout $x$ réel. Donc $P(x)$ a partout le signe de $a$, n'atteint jamais $0$, et ne peut pas se factoriser en un produit de deux polynômes réels de degré $1$ (il faudrait une racine réelle).

Proposition — Somme et produit des deux racines

Soit $P = a X^2 + b X + c$ avec $a \ne 0$ et $\Delta = b^2 - 4 a c \ge 0$. Notons $x_1, x_2$ les deux racines réelles (avec $x_1 = x_2$ lorsque $\Delta = 0$). Alors $$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$

Preuve

Par la proposition précédente $P = a (X - x_1)(X - x_2)$. On développe : $$\begin{aligned} a (X - x_1)(X - x_2) &= a \bigl( X^2 - (x_1 + x_2) X + x_1 x_2 \bigr) && \text{(on développe)} \\ &= a X^2 - a (x_1 + x_2) X + a \, x_1 x_2. \end{aligned}$$ L'identification avec $a X^2 + b X + c$ donne $- a (x_1 + x_2) = b$ et $a \, x_1 x_2 = c$, c'est-à-dire $x_1 + x_2 = - b/a$ et $x_1 x_2 = c/a$.

Méthode — Factoriser un trinôme du degré 2

On calcule $\Delta = b^2 - 4 a c$ et on discute. Si $\Delta > 0$, on obtient les deux racines par la formule et on écrit $P = a (X - x_1)(X - x_2)$. Si $\Delta = 0$, la racine est $-b/(2a)$ et $P = a (X - x_0)^2$. Si $\Delta < 0$, on laisse $P$ non factorisé sur $\mathbb{R}$ (il est irréductible) et on lit le signe de $P$ comme le signe de $a$.

Exemple

Factoriser $P = 2 X^2 - X - 1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Correction

$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 > 0$. Les deux racines réelles sont $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = - \frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1.$$ D'où $P = 2 (X - 1)(X + \tfrac{1}{2}) = (X - 1)(2 X + 1)$. Vérification : $(X - 1)(2 X + 1) = 2 X^2 + X - 2 X - 1 = 2 X^2 - X - 1$ $\checkmark$. (Recoupement par les relations de Viète : $x_1 + x_2 = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2} = -b/a = 1/2$ $\checkmark$, $x_1 x_2 = -\tfrac{1}{2} = c/a = -1/2$ $\checkmark$.)

Compétences à pratiquer

Factoriser un trinôme
Utiliser la somme et le produit des racines

V Formule de Taylor et factorisation dans $\mathbb{R}[X]$

V.1 La formule de Taylor pour un polynôme

La formule de Taylor exprime tout polynôme comme une somme de monômes en $(X - a)$, avec coefficients $P^{(k)}(a)/k!$. C'est le pont entre les deux points de vue utilisés jusqu'ici : coefficients (les $a_k$ dans $\sum a_k X^k$) et valeurs et dérivées en un point fixé. Comme corollaire, la formule donne immédiatement le critère itéré de multiplicité : lorsque $\alpha$ est racine de $P \ne 0$, la multiplicité de $\alpha$ est le plus petit indice $k \ge 1$ pour lequel $P^{(k)}(\alpha) \ne 0$ (donc $P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(k-1)}(\alpha) = 0$).

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Proposition — Taylor à l'origine — coefficients par les dérivées

Pour tout $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$ et tout $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ : $$a_k = \frac{P^{(k)}(0)}{k!}, \qquad \text{donc} \qquad P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(0)}{k!} X^k.$$

Preuve

Par la formule de la dérivée itérée d'un polynôme (Proposition du Le polynôme dérivé), pour $0 \le j \le n$ : $$P^{(j)} = \sum_{k = j}^{n} \frac{k!}{(k - j)!}\, a_k \, X^{k - j}.$$ Évaluons en $x = 0$ : chaque terme $X^{k - j}$ avec $k > j$ s'annule, donc seul le terme $k = j$ survit, donnant $$P^{(j)}(0) = \frac{j!}{0!}\, a_j = j! \, a_j.$$ D'où $a_j = P^{(j)}(0) / j!$ pour tout $j \in \{0, 1, \dots, n\}$, et la réécriture de $P = \sum a_k X^k$ avec cette identité donne $P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(0)}{k!} X^k$.

Théorème — Formule de Taylor en $a$

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ avec $\deg P \le n$ et $a \in \mathbb{R}$. Alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k = P(a) + P'(a)(x - a) + \frac{P''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n.$$ En $a = 0$ c'est la Proposition précédente.

Preuve

Posons $Q(X) = P(X + a)$. Alors $Q$ est encore un polynôme de degré $\le n$ (la composition avec le polynôme $X + a$ de degré $1$ préserve le degré). Par la Proposition précédente appliquée à $Q$ : $$Q(X) = \sum_{k=0}^{n} \frac{Q^{(k)}(0)}{k!} X^k.$$ Or $Q^{(k)}(X) = P^{(k)}(X + a)$ (chaque dérivation de $P(X + a)$ en $X$ donne $P^{(k)}$ évalué en $X + a$, puisque la dérivée intérieure vaut $1$), donc $Q^{(k)}(0) = P^{(k)}(a)$. Par conséquent $$Q(X) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!} X^k.$$ La substitution $X = x - a$ redonne $P(x) = Q(x - a) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$, la formule annoncée.

Méthode — Développer un polynôme autour d'un point

Pour récrire un polynôme de degré $n$ comme polynôme en $(x - a)$, on calcule $P(a), P'(a), \dots, P^{(n)}(a)$ (chaque dérivée étant d'un degré de moins que la précédente), puis on assemble la formule de Taylor. Le coefficient dominant de $P$ vaut $P^{(n)}(a)/n!$, le même en toute base.

Exemple

Développer $P = X^2 - X + 1$ autour de $a = 2$ à l'aide de la formule de Taylor.

Correction

On calcule les dérivées successives et leurs valeurs en $a = 2$ : $$\begin{aligned} P(x) &= x^2 - x + 1 && \Rightarrow P(2) = 4 - 2 + 1 = 3 \\ P'(x) &= 2x - 1 && \Rightarrow P'(2) = 3 \\ P''(x) &= 2 && \Rightarrow P''(2) = 2. \end{aligned}$$ Les dérivées d'ordre supérieur s'annulent (puisque $\deg P = 2$). Par la formule de Taylor en $a = 2$ avec $n = 2$ : $$P(x) = P(2) + P'(2)(x - 2) + \frac{P''(2)}{2!}(x - 2)^2 = 3 + 3(x - 2) + (x - 2)^2.$$ Vérification en développant : $3 + 3(x - 2) + (x - 2)^2 = 3 + 3x - 6 + x^2 - 4x + 4 = x^2 - x + 1$ $\checkmark$.

Proposition — Critère itéré de multiplicité

Soit $P \ne 0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors $\alpha$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $m \ge 1$ si et seulement si $$P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(m - 1)}(\alpha) = 0 \quad \text{et} \quad P^{(m)}(\alpha) \ne 0.$$

Preuve

On applique la formule de Taylor en $a = \alpha$ (avec $n = \deg P$) : $$P(x) = \sum_{k=0}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(x - \alpha)^k.$$ Soit $m$ le plus petit indice tel que $P^{(m)}(\alpha) \ne 0$ (si toutes les dérivées jusqu'à $\deg P$ s'annulaient en $\alpha$, alors par Taylor $P = 0$, ce qui contredit $P \ne 0$ ; donc un tel $m$ existe avec $m \le \deg P$). Alors $$P(x) = \sum_{k = m}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!} (x - \alpha)^k = (x - \alpha)^m \sum_{k = m}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!} (x - \alpha)^{k - m}.$$ Soit $Q(X) = \sum_{k = m}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!} (X - \alpha)^{k - m}$. Alors $P = (X - \alpha)^m Q$ et $Q(\alpha) = P^{(m)}(\alpha)/m! \ne 0$, donc par la Définition de la multiplicité, $\alpha$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $m$. Réciproquement, si $\alpha$ a pour multiplicité exactement $m$, alors $P = (X - \alpha)^m R$ avec $R(\alpha) \ne 0$, et le calcul du développement de Taylor de $P$ en $\alpha$ à partir de ce produit écrit le coefficient de $(X - \alpha)^k$ comme $0$ pour $k < m$ et comme $R(\alpha) \ne 0$ pour $k = m$, donc $P^{(j)}(\alpha) = 0$ pour $j < m$ et $P^{(m)}(\alpha) = m! \, R(\alpha) \ne 0$.

Compétences à pratiquer

Développer autour d'un point avec Taylor
Appliquer le critère itéré de multiplicité

V.2 Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$

En combinant les racines, les multiplicités et les trinômes irréductibles de degré 2, on obtient la forme que prend tout polynôme réel non nul — une constante dominante multipliée par un produit de $(X - \alpha_i)^{m_i}$ pour les racines réelles (avec multiplicité) et par un produit d'irréductibles $(X^2 + \beta_j X + \gamma_j)^{n_j}$ pour les « blocs de degré 2 » sans racine réelle. Le théorème général est admis ; la recette sur des exemples est ce qu'on utilise réellement.

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Théorème — Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ — admise

Tout polynôme non nul $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ peut s'écrire $$P = a \prod_{i = 1}^{r} (X - \alpha_i)^{m_i} \, \prod_{j = 1}^{s} (X^2 + \beta_j X + \gamma_j)^{n_j},$$ où :

$a \in \mathbb{R}^*$ est le coefficient dominant de $P$ ;
$\alpha_1, \dots, \alpha_r \in \mathbb{R}$ sont les racines réelles deux à deux distinctes de $P$ de multiplicités $m_1, \dots, m_r \in \mathbb{N}^*$ ($r \in \mathbb{N}$, éventuellement $r = 0$) ;
les facteurs de degré 2 $X^2 + \beta_j X + \gamma_j$ sont deux à deux distincts et chacun est irréductible sur $\mathbb{R}$ (son discriminant $\beta_j^2 - 4 \gamma_j$ est strictement négatif), d'exposants $n_1, \dots, n_s \in \mathbb{N}^*$ ($s \in \mathbb{N}$, éventuellement $s = 0$) ;
les facteurs sont uniques à l'ordre près (le multi-ensemble des couples $(\alpha_i, m_i)$ et le multi-ensemble des couples $((X^2 + \beta_j X + \gamma_j), n_j)$ sont déterminés par $P$) ;
les degrés s'additionnent : $n = m_1 + \dots + m_r + 2(n_1 + \dots + n_s)$.

Résultat admis

Le théorème général de factorisation est admis à ce niveau (sa démonstration nécessite soit les nombres complexes, hors programme ici, soit un argument d'analyse réelle non trivial) ; le programme demande « des exemples de factorisation dans $\mathbb{R}[X]$, le résultat général étant admis ». Les Méthodes et Exemples ci-dessous donnent la recette pratique.

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Méthode — Factoriser un polynôme dans $\mathbb{R}[X]$

On cherche une racine réelle $\alpha$ par inspection. Pour des polynômes à coefficients entiers ou rationnels simples, les valeurs naturelles à tester sont les petits entiers $0, 1, -1, 2, -2$ et les petits rationnels diviseurs du terme constant sur le coefficient dominant (c'est une heuristique — un polynôme à coefficients réels peut avoir une racine réelle sans expression rationnelle). Une fois une racine $\alpha$ trouvée, on détermine sa multiplicité $m$ par le critère par la dérivée ($P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(m - 1)}(\alpha) = 0$, $P^{(m)}(\alpha) \ne 0$) ; on factorise par $(X - \alpha)^m$ (division euclidienne ou identification des coefficients) ; on se ramène à un polynôme de degré $n - m$ ; on itère. Lorsqu'il ne reste plus aucune racine réelle, le facteur restant est un produit de trinômes irréductibles de degré 2 (à petit degré, en général un seul).

Exemple

Factoriser $P = X^3 - 4 X^2 + 5 X - 2$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Correction

On teste les petits entiers. $P(1) = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$, donc $1$ est racine. On teste la multiplicité par $P'$ : $P' = 3 X^2 - 8 X + 5$, et $P'(1) = 3 - 8 + 5 = 0$, donc $1$ est multiple ($m \ge 2$). On teste $P''$ : $P'' = 6 X - 8$, et $P''(1) = -2 \ne 0$, donc la multiplicité est exactement $2$ (racine double). Donc $(X - 1)^2$ divise $P$ et le quotient est de degré $1$ : $$P = (X - 1)^2 (X + c) \quad \text{pour un certain $c \in \mathbb{R}$}.$$ On identifie le terme constant : $P(0) = -2$, et $(X - 1)^2 (X + c)|_{X = 0} = 1 \cdot c = c$, donc $c = -2$. Par conséquent $$P = (X - 1)^2 (X - 2).$$

Exemple

Factoriser $P = X^4 - 1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Correction

On utilise l'identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = X^2$ et $b = 1$ : $$X^4 - 1 = (X^2)^2 - 1^2 = (X^2 - 1)(X^2 + 1).$$ On factorise davantage $X^2 - 1$ en $(X - 1)(X + 1)$ (deux racines réelles simples). Le facteur $X^2 + 1$ a pour discriminant $0 - 4 = -4 < 0$, donc il n'a pas de racine réelle et est irréductible sur $\mathbb{R}$. Par conséquent $$X^4 - 1 = (X - 1)(X + 1)(X^2 + 1).$$ Deux racines réelles simples ($1$ et $-1$) et un facteur irréductible de degré 2 ; les degrés s'additionnent : $1 + 1 + 2 = 4 = \deg P$ $\checkmark$.

Compétences à pratiquer

Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ (exemples à coefficients entiers de petit degré)
Factoriser via une racine évidente puis le critère par la dérivée

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Combiner les outils du chapitre
Quiz

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