Éducation Nationale Française · ECGappliquées 2
Convergences et approximations
Qu'advient-il d'une variable aléatoire \(X_n\) lorsque \(n\) grandit ? Deux notions de convergence y répondent. La convergence en probabilité dit que \(X_n\) est, avec une probabilité écrasante, arbitrairement proche d'une limite \(X\) — le langage dans lequel s'énonce la loi des grands nombres (la moyenne empirique converge vers l'espérance). La convergence en loi compare les lois : la fonction de répartition de \(X_n\) tend vers celle de \(X\). Son grand théorème est le théorème central limite — une somme de nombreuses variables indépendantes de même loi, une fois centrée et réduite, est approximativement normale, quelle que soit la loi commune (pourvu qu'elle ait une variance finie). C'est pourquoi la loi normale est partout, et cela fonde les approximations normales des lois binomiale et de Poisson. Ce chapitre est le pont des probabilités vers les statistiques. Conventions : toutes les variables sont définies sur un même espace probabilisé ; \(X_n \xrightarrow{P} X\) et \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X\) désignent la convergence en probabilité et en loi ; \(\overline{X_n} = \frac1n \sum_{k=1}^n X_k\) est la moyenne empirique ; \(\Phi\) est la fonction de répartition de \(\mathcal{N}(0,1)\).
I
Opérations sur les variables aléatoires quelconques
I.1
Indépendance et règles de calcul
Les variables rencontrées jusqu'ici étaient essentiellement discrètes ; le chapitre précédent a ajouté les variables à densité. Les résultats de convergence ci-dessous mélangent librement les deux, on enregistre donc d'abord comment l'indépendance et les règles de calcul sur l'espérance et la variance se lisent pour une variable aléatoire réelle quelconque. La définition générale de l'espérance d'une telle variable dépasse ce cours, et on ne la construit jamais : on admet simplement que les règles déjà connues pour les variables discrètes et à densité — linéarité de l'espérance, croissance, comportement de l'espérance et de la variance d'une somme ou d'un produit sous indépendance — se prolongent telles quelles. Tout énoncé de cette section est donc admis.
Définition — Indépendance de variables aléatoires quelconques
Deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(Y\) sont indépendantes lorsque $$ P\bigl( [X \in I] \cap [Y \in J] \bigr) = P(X \in I)\, P(Y \in J) \quad \text{pour tous intervalles réels } I, J. $$ Plus généralement, \(X_1, \dots, X_n\) sont mutuellement indépendantes lorsque, pour tous intervalles réels \(I_1, \dots, I_n\), $$ P\!\left( \bigcap_{i=1}^n [X_i \in I_i] \right) = \prod_{i=1}^n P(X_i \in I_i), $$ et une suite \((X_n)\) est indépendante lorsque toute sous-famille finie est mutuellement indépendante. Exemple
Deux dés indépendants : les valeurs \(X, Y\) vérifient \(P(X = i, Y = j) = \tfrac{1}{36} = \tfrac16 \cdot \tfrac16 = P(X = i) P(Y = j)\). Pour un exemple à densité, les coordonnées d'un point tiré uniformément dans le carré unité sont deux variables indépendantes, chacune \(\mathcal{U}([0,1])\). Dans les deux cas la probabilité conjointe se factorise en produit des probabilités séparées. Proposition — Lemme des coalitions
Admis. Soient \(X_1, \dots, X_n\) mutuellement indépendantes et \(p \in \{1, \dots, n-1\}\). Alors toute variable aléatoire fonction de \(X_1, \dots, X_p\) est indépendante de toute variable aléatoire fonction de \(X_{p+1}, \dots, X_n\). Exemple
Si \(X_1, X_2, X_3, X_4\) sont mutuellement indépendantes, alors \(X_1 + X_2\) est indépendante de \(X_3 X_4\), et \(\max(X_1, X_2)\) est indépendante de \(X_3 + X_4\) : chacune est fonction d'un bloc disjoint des variables. C'est l'outil qui permet de fabriquer de nouvelles variables indépendantes à partir des anciennes. Compétences à pratiquer
- Utiliser l'indépendance et le lemme des coalitions
I.2
Espérance et variance des sommes et des produits
Les deux énoncés qui suivent sont les seuls faits de calcul sur les variables aléatoires quelconques utilisés dans ce cours — et ce sont précisément le moteur de la loi des grands nombres ci-dessous. L'espérance est toujours linéaire ; la variance d'une somme ne se simplifie que lorsque les variables sont indépendantes.
Proposition — Espérance d'une somme et d'un produit
Admis. Soient \(X_1, \dots, X_n\) admettant une espérance. - Linéarité. \(\sum_{i} \lambda_i X_i\) admet une espérance et \(E\!\left( \sum_i \lambda_i X_i \right) = \sum_i \lambda_i E(X_i)\).
- Croissance. Si \(P([X_1 \le X_2]) = 1\), alors \(E(X_1) \le E(X_2)\).
- Produit sous indépendance. Si de plus \(X_1, \dots, X_n\) sont mutuellement indépendantes, alors \(\prod_i X_i\) admet une espérance et \(E\!\left( \prod_i X_i \right) = \prod_i E(X_i)\).
Proposition — Variance d'une somme de variables indépendantes
Admis. Soient \(X_1, \dots, X_n\) admettant une variance. Si elles sont mutuellement indépendantes, alors $$ V\!\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n V(X_i). $$ Méthode — Calculer avec des sommes de variables indépendantes
Pour une moyenne empirique \(\overline{X_n} = \frac1n \sum_{k=1}^n X_k\) de variables mutuellement indépendantes de même espérance \(m\) et de même variance \(\sigma^2\) : - par linéarité, \(E(\overline{X_n}) = \frac1n \sum_k E(X_k) = m\) ;
- par indépendance, \(V(\overline{X_n}) = \frac{1}{n^2} \sum_k V(X_k) = \frac{\sigma^2}{n}\).
Exemple
Soient \(X_1, \dots, X_n\) mutuellement indépendantes, chacune d'espérance \(m = 2\) et de variance \(\sigma^2 = 5\). Alors \(S = X_1 + \dots + X_n\) a \(E(S) = 2n\) (linéarité) et \(V(S) = 5n\) (indépendance). La moyenne \(\overline{X_n}\) a \(E(\overline{X_n}) = 2\) et \(V(\overline{X_n}) = \tfrac{5}{n}\), qui tend vers \(0\). Compétences à pratiquer
- Calculer l'espérance et la variance d'une somme
II
Convergence en probabilité
II.1
Inégalités de concentration et convergence en probabilité
Quelle est la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte fortement de sa moyenne ? Deux inégalités, rappelées de la première année, majorent cette probabilité à l'aide de la seule espérance et de la seule variance — et elles sont le moteur des résultats de convergence qui suivent.
Proposition — Inégalité de Markov
Rappel. Soit \(X\) une variable aléatoire positive admettant une espérance. Alors $$ \forall a > 0, \qquad P(X \ge a) \le \frac{E(X)}{a}. $$
Fixons \(a > 0\). La variable \(a\,\mathbf{1}_{X \ge a}\) vérifie \(a\,\mathbf{1}_{X \ge a} \le X\) (sur \(\{X \ge a\}\) elle vaut \(a \le X\) ; ailleurs elle vaut \(0 \le X\), car \(X \ge 0\)). En prenant les espérances et par croissance, $$ a\, P(X \ge a) = E\bigl( a\,\mathbf{1}_{X \ge a} \bigr) \le E(X), $$ et en divisant par \(a > 0\) on obtient l'inégalité.
Proposition — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Rappel. Soit \(X\) admettant une variance. Alors $$ \forall \varepsilon > 0, \qquad P\bigl( |X - E(X)| \ge \varepsilon \bigr) \le \frac{V(X)}{\varepsilon^2}. $$
On applique l'inégalité de Markov à la variable positive \((X - E(X))^2\), avec le seuil \(\varepsilon^2\) : $$ P\bigl( |X - E(X)| \ge \varepsilon \bigr) = P\bigl( (X - E(X))^2 \ge \varepsilon^2 \bigr) \le \frac{E\bigl( (X - E(X))^2 \bigr)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X)}{\varepsilon^2}. $$
Exemple
Pour tout \(X\) admettant une variance et \(\sigma = \sqrt{V(X)} > 0\), \(P\bigl( |X - E(X)| \ge 3\sigma \bigr) \le \dfrac{\sigma^2}{(3\sigma)^2} = \dfrac19\) : au moins \(\tfrac89\) de la masse est à moins de \(3\) écarts-types de la moyenne — une majoration grossière mais indépendante de la loi. Définition — Convergence en probabilité
Une suite \((X_n)\) de variables aléatoires converge en probabilité vers une variable aléatoire \(X\), ce que l'on note \(X_n \xrightarrow{P} X\), lorsque $$ \forall \varepsilon > 0, \qquad \lim_{n \to +\infty} P\bigl( |X_n - X| \ge \varepsilon \bigr) = 0, $$ de façon équivalente \(P\bigl( |X_n - X| < \varepsilon \bigr) \to 1\) pour tout \(\varepsilon > 0\). Exemple
Si \(E(X_n) \to m\) et \(V(X_n) \to 0\), alors \(X_n \xrightarrow{P} m\) (la constante \(m\)). En effet, fixons \(\varepsilon > 0\) ; pour \(n\) assez grand \(|E(X_n) - m| < \varepsilon/2\), et alors \(|X_n - m| \ge \varepsilon\) force \(|X_n - E(X_n)| \ge \varepsilon/2\), donc \(\{|X_n - m| \ge \varepsilon\} \subseteq \{|X_n - E(X_n)| \ge \varepsilon/2\}\) et, par Bienaymé-Tchebychev, \(P(|X_n - m| \ge \varepsilon) \le P(|X_n - E(X_n)| \ge \varepsilon/2) \le \dfrac{4 V(X_n)}{\varepsilon^2} \to 0\). Méthode — Démontrer une convergence en probabilité
Pour montrer \(X_n \xrightarrow{P} X\) : - reconnaître la loi des grands nombres si \(X_n\) est une moyenne empirique ;
- si \(E(X_n) \to m\) et \(V(X_n) \to 0\), conclure \(X_n \xrightarrow{P} m\) par Bienaymé-Tchebychev ;
- sinon, calculer directement \(P(|X_n - X| \ge \varepsilon)\) et passer à la limite.
Compétences à pratiquer
- Majorer des probabilités et prouver une convergence en probabilité
II.2
La loi faible des grands nombres et les opérations
La conséquence phare des inégalités de concentration est la loi des grands nombres : la moyenne empirique de variables indépendantes de même loi converge en probabilité vers leur espérance commune. C'est la forme précise de l'intuition qu'une moyenne « se stabilise ».
Théorème — Loi faible des grands nombres
Rappel (cours de première année), énoncé dans le langage de la convergence en probabilité. Soit \((X_n)\) mutuellement indépendantes, de même espérance \(m\) et de même variance finie \(\sigma^2\). Avec \(\overline{X_n} = \frac1n \sum_{k=1}^n X_k\), $$ \overline{X_n} \xrightarrow{P} m. $$
Par linéarité, \(E(\overline{X_n}) = \frac1n \sum_{k=1}^n E(X_k) = m\). Par l'additivité de la variance sous indépendance (chapitre des vecteurs aléatoires), \(V(\overline{X_n}) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n V(X_k) = \frac{\sigma^2}{n}\) où \(\sigma^2\) est la variance commune. Comme \(V(\overline{X_n}) = \sigma^2/n \to 0\) et \(E(\overline{X_n}) = m\), Bienaymé-Tchebychev donne, pour \(\varepsilon > 0\), $$ P\bigl( |\overline{X_n} - m| \ge \varepsilon \bigr) \le \frac{\sigma^2/n}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, $$ donc \(\overline{X_n} \xrightarrow{P} m\).
Exemple
Théorème de Bernoulli. Si \((X_n)\) sont i.i.d. \(\mathcal{B}(p)\) (donc \(X_k = 1\) si un événement \(A\) se réalise à l'épreuve \(k\), sinon \(0\)), alors \(m = p\) et la fréquence empirique \(\overline{X_n} = \frac1n \sum_{k=1}^n X_k\) vérifie \(\overline{X_n} \xrightarrow{P} p\) : la fréquence statistique d'un événement converge en probabilité vers sa probabilité — la justification formelle de l'intuition fréquentiste. Proposition — Opérations sur la convergence en probabilité
Soient \(X_n \xrightarrow{P} X\) et \(Y_n \xrightarrow{P} Y\). - Somme : \(X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y\).
- Produit : \(X_n Y_n \xrightarrow{P} XY\).
- Composée continue (admis) : pour \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue, \(f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)\).
Somme. Si \(|X_n - X| < \varepsilon/2\) et \(|Y_n - Y| < \varepsilon/2\), alors \(|(X_n + Y_n) - (X + Y)| < \varepsilon\) par l'inégalité triangulaire ; donc l'événement \(\{|(X_n + Y_n) - (X + Y)| \ge \varepsilon\}\) est contenu dans \(\{|X_n - X| \ge \varepsilon/2\} \cup \{|Y_n - Y| \ge \varepsilon/2\}\), de probabilité \(\le P(|X_n - X| \ge \varepsilon/2) + P(|Y_n - Y| \ge \varepsilon/2) \to 0\). L'énoncé sur la composée continue est admis ; le produit en découle alors avec la somme (via \(XY = \tfrac14[(X+Y)^2 - (X-Y)^2]\) et la composée continue \(t \mapsto t^2\)).
Exemple
Si \(\overline{X_n} \xrightarrow{P} m\), alors par la composée continue \(f(t) = t^2\), \(\overline{X_n}^2 \xrightarrow{P} m^2\) ; de même \(e^{\overline{X_n}} \xrightarrow{P} e^m\). Compétences à pratiquer
- Appliquer la loi des grands nombres
III
Convergence en loi
III.1
Définition et critère par la fonction de répartition
La convergence en loi compare les lois de \(X_n\) et \(X\), non les variables elles-mêmes ; elle se lit sur les fonctions de répartition. C'est la bonne notion lorsque la limite est une autre nature de variable (une somme qui devient normale, une loi discrète qui devient continue).
Définition — Convergence en loi
Soient \((X_n)\) de fonctions de répartition \(F_{X_n}\) et \(X\) de fonction de répartition \(F_X\). La suite converge en loi vers \(X\), ce que l'on note \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X\), lorsque $$ F_{X_n}(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} F_X(x) \quad \text{en tout point } x \text{ où } F_X \text{ est continue.} $$ (Lorsque \(X\) a une densité, \(F_X\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc la convergence est requise en tout \(x\).)
La loi limite est unique ; la variable limite ne l'est pas
La convergence en loi ne dépend que des lois en jeu. La loi limite est unique, mais la variable limite ne l'est pas : si \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X\) et que \(Y\) a la même loi que \(X\), alors aussi \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} Y\).
Proposition — La convergence en probabilité implique la convergence en loi
Admis. Si \(X_n \xrightarrow{P} X\), alors \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X\). La réciproque est fausse : par exemple, si \((X_n)\) sont i.i.d.\ de loi \(\mathcal{N}(0,1)\) et \(X \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)\) indépendante d'elles, alors \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X\) (même loi à tout \(n\)) sans que \(X_n\) converge en probabilité vers \(X\) (la différence \(X_n - X\) garde une variance strictement positive fixe). (On utilise souvent l'implication à rebours, de façon heuristique : pour deviner la loi limite d'une suite que l'on sait converger en probabilité.)
La figure montre des fonctions de répartition \(F_{X_n}\) convergeant vers une fonction de répartition limite \(F_X\) : la convergence en loi est exactement la convergence ponctuelle de ces courbes aux points de continuité de la limite. 
Proposition — Probabilité d'un intervalle
Si \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X\), alors pour \(a < b\) points de continuité de \(F_X\), $$ P(a < X_n \le b) \xrightarrow[n \to +\infty]{} P(a < X \le b). $$
\(P(a < X_n \le b) = F_{X_n}(b) - F_{X_n}(a) \to F_X(b) - F_X(a) = P(a < X \le b)\), en utilisant la convergence de \(F_{X_n}\) aux points de continuité \(a\) et \(b\).
Méthode — Montrer une convergence en loi dans le cas général
Pour identifier la loi limite à partir des fonctions de répartition : - calculer la fonction de répartition \(F_{X_n}(x)\) ;
- pour chaque \(x\) fixé, étudier la limite de \(F_{X_n}(x)\) quand \(n \to +\infty\), notée \(F(x)\) ;
- vérifier que \(F\) est une fonction de répartition (limites \(0\) en \(-\infty\) et \(1\) en \(+\infty\), croissante, continue à droite), puis identifier une variable \(X\) telle que \(F_X = F\).
Exemple
Soit \(X_n \hookrightarrow \mathcal{E}(n)\). Alors \(F_{X_n}(x) = 1 - e^{-nx}\) pour \(x \ge 0\) et \(0\) pour \(x < 0\). Pour \(x > 0\), \(F_{X_n}(x) \to 1\) ; pour \(x < 0\), \(F_{X_n}(x) = 0\). Donc \(F_{X_n}(x) \to F(x)\) où \(F(x) = 0\) pour \(x < 0\) et \(1\) pour \(x > 0\) — la fonction de répartition de la constante \(0\) en tout point sauf son saut en \(0\). Comme \(x = 0\) est l'unique discontinuité de la limite, le critère est vérifié : \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} 0\). Une suite de densités peut donc converger en loi vers une variable discrète (ici constante). Compétences à pratiquer
- Étudier une convergence en loi par la fonction de répartition
III.2
Le cas des variables à valeurs entières
Pour des variables à valeurs dans \(\mathbb{N}\), la convergence en loi prend une forme plus simple : c'est la convergence ponctuelle des probabilités individuelles \(P(X_n = k)\).
Théorème — Convergence en loi de variables à valeurs entières
Admis. Supposons que \((X_n)\) et \(X\) prennent toutes leurs valeurs dans \(\mathbb{Z}\). Alors $$ X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X \iff \forall k \in \mathbb{Z}, \quad P(X_n = k) \xrightarrow[n \to +\infty]{} P(X = k). $$ En pratique les variables prennent leurs valeurs dans \(\mathbb{N}\), et le critère se vérifie alors pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Méthode — Convergence en loi de variables à valeurs entières
- calculer \(P(X_n = k)\) ;
- pour chaque \(k\) fixé, déterminer sa limite \(p_k\) en \(n\) ;
- vérifier que \((p_k)\) est une loi de probabilité (\(p_k \ge 0\), \(\sum_{k \ge 0} p_k = 1\)), puis identifier \(X\) telle que \(P(X = k) = p_k\).
Exemple
Soit \(X_n\) (pour \(n \ge 2\)) prenant la valeur \(1\) avec probabilité \(1 - \tfrac1n\) et la valeur \(n\) avec probabilité \(\tfrac1n\). Pour chaque \(k\) fixé : \(P(X_n = 1) = 1 - \tfrac1n \to 1\), et \(P(X_n = k) \to 0\) pour \(k \ne 1\) (la masse \(\tfrac1n\) s'échappe à l'infini). La limite \((p_k)\) a \(p_1 = 1\) et \(p_k = 0\) sinon — la loi de la constante \(1\). Donc \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} 1\). (Le cours de première année étudie la convergence binomiale vers Poisson comme autre exemple à valeurs entières.) Compétences à pratiquer
- Étudier la convergence en loi de variables à valeurs entières
III.3
Le théorème central limite
La loi des grands nombres dit que la moyenne empirique \(\overline{X_n}\) converge vers \(m\). Le théorème central limite décrit comment \(\overline{X_n}\) fluctue autour de \(m\) : une fois remise à l'échelle par \(\sqrt n\), les fluctuations sont normales — quelle que soit la loi commune des variables (de variance finie non nulle). C'est le théorème le plus profond du chapitre, et il est admis.
Théorème — Théorème central limite
Admis. Soit \((X_n)\) i.i.d. d'espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2 \ne 0\), et \(\overline{X_n} = \frac1n \sum_{k=1}^n X_k\). Alors la moyenne centrée réduite $$ \overline{X_n}^* = \sqrt{n}\,\frac{\overline{X_n} - m}{\sigma} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1). $$ De façon équivalente, pour la somme \(S_n = \sum_{k=1}^n X_k\), \(\ S_n^* = \dfrac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)\).
Interprétation
Pour \(n\) grand, le théorème se lit \(\overline{X_n} \approx \mathcal{N}\bigl( m, \tfrac{\sigma^2}{n} \bigr)\) et \(S_n \approx \mathcal{N}(nm, n\sigma^2)\). Une somme de nombreuses variables indépendantes de même loi est approximativement normale — d'où le fait que la loi normale modélise tant de quantités naturelles (une mesure est la somme de nombreuses petites erreurs indépendantes).
La figure montre la fonction de répartition de \(\overline{X_n}^*\) s'approchant de celle de \(\mathcal{N}(0,1)\) à mesure que \(n\) grandit — le contenu visuel du théorème central limite, indépendant de la loi de départ. 
Méthode — Utiliser le théorème central limite
Pour approcher une probabilité portant sur une grande somme i.i.d. \(S_n\) (ou la moyenne \(\overline{X_n}\)) : centrer et réduire, \(S_n^* = \dfrac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n}\), puis \(P(S_n \le c) = P\bigl( S_n^* \le \tfrac{c - nm}{\sigma\sqrt n} \bigr) \approx \Phi\bigl( \tfrac{c - nm}{\sigma\sqrt n} \bigr)\), en lisant \(\Phi\) dans la table de la loi normale. Exemple
Soit \(S_{100} = \sum_{k=1}^{100} X_k\) avec les \(X_k\) i.i.d. \(\mathcal{E}(1)\) (donc \(m = 1\), \(\sigma = 1\)). Approcher \(P(S_{100} \le 110)\). Ici \(E(S_{100}) = 100\), \(V(S_{100}) = 100\), \(\sigma\sqrt{n} = 10\), donc $$ P(S_{100} \le 110) = P\Bigl( S_{100}^* \le \tfrac{110 - 100}{10} \Bigr) = P(S_{100}^* \le 1) \approx \Phi(1) \approx 0.84. $$ Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème central limite
IV
Approximation par la loi normale
IV.1
Approximation des lois binomiale et de Poisson par la loi normale
La loi binomiale est une somme de variables de Bernoulli indépendantes, donc le théorème central limite s'applique directement ; la loi de Poisson, pour un grand paramètre, est de même proche d'une loi normale. En pratique, on remplace la loi par une loi normale de même espérance et même variance. Chaque fois qu'une loi à valeurs entières est approchée par une loi continue, une correction de continuité affine l'estimation. Tous les seuils pratiques sont fournis dans l'énoncé.
Proposition — Approximation normale de la loi binomiale
Si \(S_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p)\) (avec \(0 < p < 1\)), alors $$ \frac{S_n - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1). $$
\(S_n\) est la somme de \(n\) variables de Bernoulli i.i.d. \(\mathcal{B}(p)\), chacune d'espérance \(p\) et de variance \(p(1-p)\). Le théorème central limite pour \(S_n\) donne \(\dfrac{S_n - np}{\sqrt{n\,p(1-p)}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)\).
Proposition — Approximation normale de la loi de Poisson
Si \(Y_\lambda \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)\), alors \(\dfrac{Y_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)\). En pratique, pour \(\lambda\) grand, \(\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)\). (Admis. Pour un paramètre entier, cela découle du théorème central limite en écrivant \(Y_n \hookrightarrow \mathcal{P}(n)\) comme somme de \(n\) variables indépendantes \(\mathcal{P}(1)\), chacune d'espérance et de variance \(1\) ; le cas général d'un paramètre réel \(\lambda \to +\infty\) est de même admis.) Méthode — Correction de continuité
Pour approcher une variable à valeurs entières \(X\) par une variable continue (normale) \(Y\), élargir chaque entier à l'intervalle de demi-unité autour de lui : remplacer \(P(X = k)\) par \(P\bigl( k - \tfrac12 \le Y \le k + \tfrac12 \bigr)\), \(P(X \le k)\) par \(P\bigl( Y \le k + \tfrac12 \bigr)\), et \(P(X \ge k)\) par \(P\bigl( Y \ge k - \tfrac12 \bigr)\). L'énoncé indique quand la correction est attendue. Exemple
Soit \(S \hookrightarrow \mathcal{B}(100, \tfrac12)\) (\(np = 50\), \(np(1-p) = 25\), \(\sigma = 5\)). Approcher \(P(S \le 60)\) avec correction de continuité. En remplaçant \(S \le 60\) par \(Y \le 60.5\) pour \(Y \hookrightarrow \mathcal{N}(50, 25)\), $$ P(S \le 60) \approx P\Bigl( \frac{Y - 50}{5} \le \frac{60.5 - 50}{5} \Bigr) = \Phi(2.1) \approx 0.982. $$
La figure superpose un histogramme binomial à la courbe normale approchante de même moyenne et même variance : pour un grand paramètre, les barres épousent la cloche. 
Méthode — Python — TP Thème 4 : visualiser la convergence
Pour voir le théorème central limite à l'œuvre, simuler de nombreux échantillons i.i.d., former la moyenne centrée réduite de chacun, et comparer l'histogramme empirique à la densité \(\mathcal{N}(0,1)\) : \begin{verbatim} import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt n, N = 100, 10000 # taille d'echantillon, nombre de repetitions # n exponentielles i.i.d. E(1): moyenne m = 1, sigma = 1 data = np.random.exponential(1.0, size=(N, n)) means = data.mean(axis=1) reduced = np.sqrt(n) * (means - 1.0) / 1.0 # moyenne centree reduite plt.hist(reduced, bins=40, density=True) t = np.linspace(-4, 4, 200) plt.plot(t, np.exp(-t**2 / 2) / np.sqrt(2 * np.pi)) # densite N(0,1) plt.show() \end{verbatim}
Pour aller plus loin
La convergence en probabilité et le théorème central limite sont le moteur de l'estimation statistique. Le prochain chapitre utilise la loi des grands nombres pour justifier des estimateurs convergents (un estimateur dont la valeur se fixe sur le vrai paramètre quand l'échantillon grandit) et le théorème central limite pour décrire les fluctuations d'un estimateur ; le chapitre des intervalles de confiance transforme alors ces fluctuations en intervalles de confiance asymptotiques construits à partir de la loi normale.
Compétences à pratiquer
- Approcher une loi par la loi normale
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de synthèse
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