Éducation Nationale Française · BCPST 2

Polynômes

⌚ ~35 min ▢ 4 blocs ✓ 17 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Polynômes, Nombres complexes

En première année un polynôme était une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Ce chapitre opère deux changements. D'abord, on autorise les coefficients à être complexes, en travaillant dans $\mathbb{C}[X]$ comme dans $\mathbb{R}[X]$, avec $X$ désignant l'indéterminée, c'est-à-dire l'application $x \mapsto x$. Ensuite — et c'est le résultat phare — on énonce le théorème de d'Alembert-Gauss : sur $\mathbb{C}$, tout polynôme non constant possède une racine, donc un polynôme de degré $n$ se factorise complètement en $n$ facteurs de degré un. Tout ce qui est structurel et construit dans Polynômes (le degré et son comportement sous les opérations, l'équivalence « $\alpha$ est racine $\iff (X-\alpha)$ divise $P$ », la majoration du nombre de racines par $\deg P$, l'ordre d'une racine) se transmet aux coefficients complexes sans changement, et est rappelé ici sans redémonstration. Les résultats véritablement nouveaux sont la symétrie des racines conjuguées d'un polynôme réel et la factorisation complète sur $\mathbb{C}$. Partout, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $\mathbb{R}[X] \subset \mathbb{C}[X]$, de sorte qu'un polynôme réel peut être vu dans $\mathbb{C}[X]$ et qu'on peut lui chercher ses racines complexes.

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I Polynômes à coefficients complexes

I.1 L'indéterminée et les coefficients complexes

On étend la notion de première année en autorisant des coefficients complexes. La notation $X$ pour l'indéterminée permet d'écrire un polynôme par ses coefficients, et les familles $\mathbb{R}[X]$, $\mathbb{C}[X]$, $\mathbb{K}_n[X]$ les regroupent par corps de coefficients et par degré.

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Définition — Polynôme et familles de polynômes

Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ est une somme finie $$P = \sum_{k=0}^{N} a_k X^k = a_0 + a_1 X + \dots + a_N X^N, \qquad a_k \in \mathbb{K},$$ où $X$ est l'indéterminée, l'application $x \mapsto x$ sur $\mathbb{C}$ (donc $P$ est une fonction de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$, à coefficients dans $\mathbb{K}$). L'ensemble de tous ces polynômes est noté $\mathbb{K}[X]$, et $\mathbb{K}_n[X]$ en est le sous-ensemble de ceux de degré au plus $n$. Comme $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, on a $\mathbb{R}[X] \subset \mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}_n[X] \subset \mathbb{C}_n[X]$.

Définition — Degré et coefficient dominant

Pour un polynôme non nul $P = \sum_{k=0}^N a_k X^k$, le degré $\deg P$ est le plus grand $k$ avec $a_k \ne 0$ ; le $a_{\deg P}$ correspondant est le coefficient dominant et $a_{\deg P} X^{\deg P}$ le terme dominant. Par convention $\deg 0 = -\infty$.

Proposition — Unicité des coefficients

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Par conséquent deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients.

Exemple

$P = (1+i) + 2X - iX^2$ est un polynôme de $\mathbb{C}[X]$, de degré $2$, de coefficient dominant $-i$. Le polynôme $Q = 3 - X^4 \in \mathbb{R}[X] \subset \mathbb{C}[X]$ est de degré $4$ et de coefficient dominant $-1$.

Compétences à pratiquer

Lire degré et coefficients

I.2 Opérations et degré

Somme, multiple scalaire, produit et composée de polynômes sont encore des polynômes, calculés en regroupant les coefficients exactement comme sur $\mathbb{R}$. Le degré se comporte sous ces opérations comme rappelé ci-dessous.

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Proposition — Degré sous les opérations

Pour $P, Q \in \mathbb{K}[X]$ : $$\deg(P + Q) \le \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q,$$ avec égalité dans la première lorsque $\deg P \ne \deg Q$ (les conventions $-\infty + n = -\infty$ et $\max(-\infty, n) = n$ traitent le polynôme nul).

Preuve

Supposons $P, Q$ non nuls (sinon les conventions donnent directement le résultat). Pour le produit, notons $p = \deg P$, $q = \deg Q$ de coefficients dominants $a_p, b_q \ne 0$. Le coefficient de $X^{p+q}$ dans $PQ$ est $a_p b_q$, et il n'y a pas de terme de degré supérieur ; comme $a_p b_q \ne 0$ (un produit de complexes non nuls est non nul), $\deg(PQ) = p + q$. Pour la somme, chaque coefficient de $P+Q$ a un indice au plus $\max(p,q)$, et lorsque $p \ne q$ le terme dominant du plus grand subsiste, d'où l'égalité.

Le polynôme dérivé de Polynômes était construit à partir de la dérivée d'une fonction réelle ; dans ce cours il n'est pas étendu à $\mathbb{C}[X]$. Donc sur $\mathbb{C}$ l'ordre d'une racine se définit uniquement par le facteur $(X-\alpha)^k$ (ci-dessous), jamais par les dérivées.

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Méthode — Calculer avec des polynômes complexes

On additionne et on multiplie en regroupant les coefficients, en traitant $i$ comme une constante quelconque ($i^2 = -1$). Pour trouver un degré, on repère la plus haute puissance à coefficient non nul. La règle $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ est la vérification de degré la plus rapide.

Exemple

Avec $P = 1 + iX$ et $Q = 1 + X^2$, $$PQ = (1 + iX)(1 + X^2) = 1 + X^2 + iX + iX^3,$$ de degré $\deg P + \deg Q = 1 + 2 = 3$, de coefficient dominant $i$.

Compétences à pratiquer

Calculer opérations et degrés

II Racines et factorisation

II.1 Racines et le facteur

Une racine est une valeur où le polynôme s'annule. Le fait central, rappelé de Polynômes et inchangé sur $\mathbb{C}$, est qu'une racine correspond à un facteur de degré un ; des racines distinctes donnent un produit de facteurs, ce qui majore le nombre de racines par le degré. Le seul fait nouveau est que les racines d'un polynôme réel vont par paires conjuguées.

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Définition — Racine

Une racine (ou zéro) de $P \in \mathbb{K}[X]$ est un élément $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que $P(\alpha) = 0$. Comme $\mathbb{R}[X] \subset \mathbb{C}[X]$, on peut chercher à un polynôme réel des racines complexes.

Proposition — Racine et facteur

Pour $P \in \mathbb{K}[X]$ et $\alpha \in \mathbb{K}$ : $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - \alpha)$ divise $P$, c'est-à-dire $P = (X - \alpha)Q$ pour un certain $Q \in \mathbb{K}[X]$. Plus généralement, si $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ sont des racines distinctes, alors $\prod_{i=1}^{m}(X - \alpha_i)$ divise $P$.

Proposition — Au plus $\deg P$ racines

Un polynôme non nul $P \in \mathbb{K}[X]$ a au plus $\deg P$ racines distinctes.

Les deux propositions ci-dessus sont rappelées de Polynômes, où elles ont été démontrées pour des coefficients réels ; les mêmes arguments valent mot pour mot sur $\mathbb{C}$. La majoration vient de ce que $m$ racines distinctes donnent un diviseur $\prod(X-\alpha_i)$ de degré $m \le \deg P$.

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Définition — Ordre d'une racine

Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ non nul et $\alpha$ une racine. L'ordre (ou multiplicité) de $\alpha$ est le plus grand entier $k \ge 1$ tel que $(X - \alpha)^k$ divise $P$. Une racine d'ordre $1$ est simple, d'ordre $\ge 2$ multiple.

Exemple

Pour $P = X^2(X-1)$, la valeur $0$ est une racine d'ordre $2$, car $X^2$ divise $P$ mais pas $X^3$, tandis que $1$ est une racine simple (ordre $1$). Comptées avec multiplicité, $P$ a $2 + 1 = 3 = \deg P$ racines.

Proposition — Racines conjuguées d'un polynôme réel

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et $\alpha \in \mathbb{C}$. Si $\alpha$ est racine de $P$, alors son conjugué $\bar\alpha$ est aussi racine de $P$.

Preuve

Écrivons $P = \sum_k a_k X^k$ avec $a_k \in \mathbb{R}$, donc $\bar a_k = a_k$. En utilisant que la conjugaison est compatible avec les sommes et les produits (rappelé de Nombres complexes), $$\begin{aligned} P(\bar\alpha) &= \sum_k a_k \bar\alpha^{\,k} = \sum_k \bar a_k\,\overline{\alpha^k} && \text{(} a_k = \bar a_k \text{ car } a_k \in \mathbb{R} \text{)} \\ &= \overline{\sum_k a_k \alpha^k} = \overline{P(\alpha)} && \text{(conjugaison sur sommes et produits)} \\ &= \bar 0 = 0. && \text{(} \alpha \text{ est racine)} \end{aligned}$$ Donc $\bar\alpha$ est racine de $P$.

Exemple

Un polynôme réel $P \in \mathbb{R}[X]$ ayant $1 + i$ pour racine a aussi $\overline{1+i} = 1 - i$ pour racine. Ces deux racines sont distinctes, donc le produit $$(X - (1+i))(X - (1-i)) = X^2 - 2X + 2$$ (qui se trouve avoir des coefficients réels) divise $P$. C'est ainsi qu'une racine non réelle d'un polynôme réel en fournit toujours une seconde gratuitement.

Méthode — Utiliser une racine connue

Si $\alpha$ est une racine connue de $P$, on factorise $P = (X-\alpha)Q$ et on trouve $Q$ par identification des coefficients. Pour un polynôme réel, une racine non réelle $\alpha$ donne automatiquement la deuxième racine $\bar\alpha$ ; étant distinctes, elles fournissent le facteur $(X-\alpha)(X-\bar\alpha)$ (un trinôme réel) divisant $P$.

Exemple

$P = X^2 + 1 \in \mathbb{R}[X]$ a la racine complexe $i$ (car $i^2 + 1 = 0$) ; par la propriété des racines conjuguées, $-i = \bar i$ est aussi racine. Les deux racines sont symétriques par rapport à l'axe réel :

Compétences à pratiquer

Trouver racines et racines conjuguées

II.2 D'Alembert-Gauss et factorisation complète

Sur $\mathbb{R}$ un polynôme peut n'avoir aucune racine ($X^2+1$ n'en a pas dans $\mathbb{R}$). Sur $\mathbb{C}$ cela n'arrive jamais : le théorème de d'Alembert-Gauss garantit une racine pour tout polynôme non constant, et en répétant la factorisation on détache un facteur de degré un à la fois jusqu'à scinder complètement le polynôme.

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Théorème — D'Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant $P \in \mathbb{C}[X]$ (de degré $\ge 1$) possède au moins une racine dans $\mathbb{C}$.

Ce théorème est admis ; sa démonstration dépasse ce cours. C'est la propriété qui fait de $\mathbb{C}$ le cadre naturel de la factorisation.

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Théorème — Factorisation complète sur les complexes

Tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n \ge 1$ et de coefficient dominant $a_n$ se factorise en $$P = a_n \prod_{i=1}^{n} (X - \alpha_i),$$ où $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ sont ses racines, chacune répétée selon son ordre. En particulier $P$ a exactement $n$ racines comptées avec multiplicité.

Preuve

Par récurrence sur $n = \deg P$. Pour $n = 1$, $P = a_1 X + a_0 = a_1\left(X - (-a_0/a_1)\right)$, un seul facteur de degré un. Supposons le résultat au degré $n-1$. Par d'Alembert-Gauss, $P$ a une racine $\alpha_n$, donc $P = (X - \alpha_n)Q$ avec $\deg Q = n - 1$ et le même coefficient dominant $a_n$. Par hypothèse de récurrence $Q = a_n\prod_{i=1}^{n-1}(X - \alpha_i)$, d'où $P = a_n\prod_{i=1}^{n}(X - \alpha_i)$. En regroupant les facteurs égaux, une racine $\alpha$ qui apparaît $k$ fois dans ce produit donne un facteur $(X-\alpha)^k$ ; les autres facteurs $(X-\beta)$ ont $\beta \ne \alpha$ donc sont non nuls en $\alpha$, d'où $(X-\alpha)^k$ divise $P$ mais pas $(X-\alpha)^{k+1}$, donc $k$ est exactement son ordre. Les $n$ facteurs réalisent ainsi chaque racine avec multiplicité égale à son ordre.

Méthode — Factoriser un polynôme complexe

On trouve une racine (par inspection, une valeur évidente, ou une factorisation connue comme les racines de l'unité pour $X^n - 1$). On écrit $P = (X - \alpha)Q$ et on trouve $Q$ par identification des coefficients. On recommence sur $Q$ jusqu'à atteindre le degré $0$. Par d'Alembert-Gauss le procédé se termine toujours avec $n$ facteurs de degré un sur $\mathbb{C}$.

Exemple

Factoriser $X^3 - 1$ sur $\mathbb{C}$. Ses racines sont les racines cubiques de l'unité $1$, $j = \mathrm{e}^{2i\pi/3}$ et $j^2 = \mathrm{e}^{4i\pi/3} = \bar j$, donc $$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2).$$ Les trois racines sont sur le cercle unité, régulièrement espacées ; $j$ et $\bar j$ sont conjuguées (le polynôme est réel) :

Pour aller plus loin

Regrouper chaque paire conjuguée $(X-\alpha)(X-\bar\alpha)$ d'un polynôme réel en un trinôme réel donne sa factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ — une étape laissée aux cours ultérieurs. Les racines de l'unité rencontrées dans Nombres complexes sont exactement les racines de $X^n - 1$, que d'Alembert-Gauss explique maintenant complètement. Dans Valeurs propres et diagonalisation, les valeurs propres d'une matrice seront les racines d'un polynôme, et d'Alembert-Gauss garantit qu'elles existent sur $\mathbb{C}$.

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Compétences à pratiquer

Factoriser sur les complexes