Mathématiques en PTSI

Au programme

1. Raisonner et rédiger — Ce chapitre code la rédaction sur laquelle repose toute démonstration : le vocabulaire d'un texte mathématique, les verbes qui introduisent les objets, la rédaction avec les fonctions, les schémas des énoncés universels, existentiels et d'unicité, des disjonctions, implications, contraposées et équivalences, la négation d'un énoncé quantifié et le contre-exemple, l'inclusion et l'égalité d'ensembles. Les principes de récurrence simple, double et forte sont démontrés à partir de la propriété du plus petit élément de l'ensemble des entiers naturels ; le raisonnement par l'absurde et l'analyse-synthèse ferment le chapitre, avec les fautes de copies, des gammes par niveau, des exercices de colle et des problèmes d'écrit.
2. Logique — Ce chapitre donne ses lois au langage mathématique : propositions et prédicats, connecteurs et tables de vérité, tautologies et équivalence logique, lois de De Morgan, lois de l'implication, conditions nécessaires et suffisantes, lois qui fondent les schémas de démonstration (modus ponens, transitivité, disjonction des cas, contraposée, absurde), quantificateurs, leur négation et leur ordre. Chaque loi est démontrée, souvent de deux façons, par le sens et par le calcul ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
3. Ensembles — Ce chapitre installe le langage des ensembles de toutes les mathématiques du supérieur : ensembles et éléments, description en extension et en compréhension, inclusion et ensemble des parties, réunion, intersection, différence et complémentaire, lois de De Morgan, réunion et intersection d'une famille, ensembles disjoints et partitions, produits cartésiens et leurs parties. Chaque loi est démontrée, par double inclusion ou par les lois de la logique ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
4. Applications — Ce chapitre étudie les applications entre ensembles : application, graphe et égalité, familles, restriction et prolongement, fonction indicatrice, composition, injections, surjections, bijections et application réciproque, permutations, parties et fonctions indicatrices, images directe et réciproque, fibres. Chaque énoncé est démontré, souvent de deux façons ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
5. Relations binaires — Ce chapitre étudie les relations binaires sur un ensemble : relations réflexives, symétriques, antisymétriques et transitives, relations d'équivalence et leurs classes, qui partitionnent l'ensemble, congruences modulo un entier et modulo un réel, relations d'ordre, ordres totaux et partiels, majorants et minorants, plus grand et plus petit éléments, bornes supérieure et inférieure dans un ensemble ordonné, applications croissantes entre ensembles ordonnés. Chaque énoncé est démontré ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
6. Compléments de calcul algébrique — Ce chapitre est l'atelier de calcul de la première année après le baccalauréat : les symboles somme et produit définis sur un ensemble fini, avec la linéarité, la relation de Chasles, la sommation par paquets et le changement d'indice ; le télescopage et les sommes classiques des premiers entiers, des carrés et d'une progression géométrique ; les sommes doubles sur un rectangle et sur un triangle, les produits doubles ; la factorielle et les coefficients binomiaux avec la symétrie, la formule d'absorption et la relation de Pascal ; la formule du binôme ; et les inégalités sur les sommes finies (Bernoulli, arithmético-géométrique, Cauchy-Schwarz). Chaque énoncé est démontré ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
7. Trigonométrie
8. Nombres complexes
9. Propriétés de \(\mathbb{R}\) — Ce chapitre installe la pratique de la droite réelle dont toute l'analyse se sert : l'ordre des réels et les règles de calcul sur les inégalités, la valeur absolue et l'inégalité triangulaire, les intervalles, majorants et minorants, la propriété de la borne supérieure et sa caractérisation par epsilon, la propriété d'Archimède et la partie entière, les approximations décimales, la densité des rationnels et des irrationnels, la droite achevée. Tout est démontré sauf la propriété de la borne supérieure ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
10. Fonctions réelles : rappels et compléments — Ce chapitre fixe le vocabulaire des fonctions réelles, sans limite ni dérivée : ensemble de définition, ensemble image et graphe, égalité de deux fonctions, opérations sur les fonctions, parties positive et négative, transformations d'un graphe, fonctions paires et impaires et parties paire et impaire, fonctions périodiques et ensemble des périodes, axes et centres de symétrie, fonctions bornées, maximum et minimum, bornes supérieure et inférieure d'une fonction, fonctions monotones. Chaque énoncé est démontré ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
11. Fonctions usuelles
12. Primitives — techniques élémentaires
13. Équations différentielles linéaires
14. Suites réelles — Ce chapitre étudie les suites réelles : suites monotones et bornées, suites explicites et récurrentes d'ordre un et deux, limite d'une suite définie par epsilon, opérations et ordre, théorème d'encadrement, théorème de la limite monotone et suites adjacentes, suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass, croissances comparées, moyennes de Cesàro, suites récurrentes u(n+1) = f(u(n)) sur un segment stable. Chaque énoncé est démontré, souvent de deux façons ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
15. Limites et continuité — Ce chapitre étudie la limite d'une fonction réelle et sa continuité : voisinages et définition par epsilon et alpha en un réel ou à l'infini, unicité, bornitude locale et signe, limites latérales et épointées, caractérisation séquentielle et composition de limites, opérations, ordre, encadrement et théorème de la limite monotone, croissances comparées, continuité en un point, prolongement par continuité et types de discontinuité, théorème des valeurs intermédiaires, image d'un intervalle, bornes atteintes sur un segment, théorème de la bijection, et continuité uniforme avec le théorème de Heine. Chaque énoncé est démontré, souvent de deux façons ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
16. Dérivabilité — Ce chapitre étudie la dérivée d'une fonction réelle : taux d'accroissement, nombre dérivé et tangente, dérivées à gauche et à droite, dérivabilité et continuité, règles de calcul (combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque), dérivées d'ordre supérieur, classes C^k et formule de Leibniz, extrema locaux et théorème de Fermat, théorème de Rolle et théorème des accroissements finis, fonctions lipschitziennes et inégalité des accroissements finis, suites récurrentes et points fixes, monotonie et tableaux de variations, théorème de la limite de la dérivée. Chaque énoncé est démontré, souvent de deux façons ; gammes par niveau, exercices de colle, problèmes d'écrit et deux devoirs suivent.
17. Calcul matriciel
18. Systèmes linéaires
19. Analyse asymptotique
20. Géométrie du plan et de l'espace
21. Polynômes
22. Espaces vectoriels
23. Espaces vectoriels de dimension finie
24. Applications linéaires
25. Représentation matricielle des applications linéaires
26. Changements de bases, équivalence, similitude
27. Déterminants
28. Intégration sur un segment
29. Dénombrement
30. Probabilités sur un univers fini
31. Variables aléatoires sur un univers fini
32. Espérance, variance, covariance
33. Séries numériques
34. Fonctions de deux variables