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Éducation Nationale Française · PTSI

Ensembles

⌚ ~458 min ▢ 55 blocs ✓ 224 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Logique

Vue d'ensemble du chapitre

Un ensemble est connu par ses éléments : tout ce que ce chapitre dit des ensembles, il le dit de leurs éléments. Les définitions du chapitre Théorie des ensembles — élément, égalité, ensemble vide, sous-ensemble, réunion, intersection, complémentaire — deviennent des formules, et chaque loi des ensembles se révèle être une loi du chapitre Logique lue sur l'appartenance : la réunion est « ou », l'intersection est « et », le complémentaire est « non », l'inclusion est « implique », l'égalité est « si et seulement si ». Ce dictionnaire, présenté dans le Texte « Des connecteurs aux opérations », est le fil du chapitre : chaque loi est démontrée une fois, en la traduisant en connecteurs, puis employée dans des calculs sur les ensembles, sans revenir aux éléments. Le chapitre rencontre aussi des objets nouveaux : des ensembles dont les éléments sont des ensembles, comme l'ensemble \(\mathcal{P}(E)\) des parties de \(E\) ; des ensembles décrits par un paramètre ; la réunion et l'intersection d'une famille ; les partitions ; les produits de \(n\) ensembles et leurs parties.
Notations. \(A \subset B\) désigne l'inclusion au sens large, notée \(A \subseteq B\) dans le chapitre Théorie des ensembles, et \(A \subsetneq B\) l'inclusion stricte. Le complémentaire d'une partie \(A\) d'un ensemble \(E\) se note \(\overline{A}\), comme dans le chapitre Théorie des ensembles, ou \(\complement_E A\) lorsque l'ensemble ambiant doit être nommé ; \(E \setminus A\) est toujours permis. Le nombre d'éléments d'un ensemble fini \(A\) se note \(\lvert A \rvert\) — \(\mathrm{card}(A)\) dans le chapitre Théorie des ensembles. L'ensemble vide est \(\emptyset\), et pour des entiers \(a\) et \(b\), \(\llbracket a, b \rrbracket\) désigne l'ensemble des entiers de \(a\) à \(b\). Dans un ensemble listé, un \(n\)-uplet ou un intervalle, le séparateur est la virgule.

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Prérequis

Ce chapitre suppose connu le chapitre Théorie des ensembles : élément, symboles \(\in\) et \(\notin\), ensembles égaux, ensemble vide, sous-ensembles (notés \(\subseteq\)), notation par compréhension, couples et \(n\)-uplets, produit cartésien de deux ensembles et son nombre d'éléments, intersection, réunion, complémentaire dans un ensemble universel (noté \(\overline{A}\)), diagrammes de Venn, et nombre d'éléments d'une réunion, d'une réunion disjointe et d'un complémentaire (noté \(\mathrm{card}(A)\) ; ici \(\lvert A \rvert\)). Il suppose connu le chapitre Ensembles de nombres : les ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) et leurs inclusions, les intervalles, leurs réunions et intersections, la valeur absolue. Du chapitre Dénombrement : les principes additif et multiplicatif, le nombre de \(k\)-uplets, les \(2^n\) parties d'un ensemble à \(n\) éléments, le nombre de combinaisons, et le compte de \(b - a + 1\) entiers de \(a\) à \(b\). Du chapitre Raisonner et rédiger : les Méthodes « Démontrer une inclusion » et « Démontrer une égalité d'ensembles », et les schémas de démonstration d'un énoncé universel ou existentiel, de l'unicité, par disjonction des cas, par contraposée, par l'absurde et par contre-exemple, la Méthode « Démontrer une disjonction » et la Proposition « Plus petit élément ». Du chapitre Logique : les tables de vérité des connecteurs, les lois des connecteurs (double négation, lois de De Morgan, commutativité, associativité, distributivité, contraposée, disjonction des cas, transitivité de l'implication, équivalence et double implication, négation d'une implication), les principes de non-contradiction et du tiers exclu, les quantificateurs bornés, leur négation, leurs lois avec « et » et « ou », et les quantificateurs sur l'ensemble vide. Les exemples et les exercices utilisent aussi : le calcul sur les réels (identités, inégalités, valeur absolue) ; la racine carrée ; les fonctions usuelles, leurs variations et leurs limites ; les formules d'addition du sinus et du cosinus ; le théorème des valeurs intermédiaires ; la partie entière d'un réel, et le fait qu'un entier dépasse tout réel donné ; la divisibilité dans \(\mathbb{Z}\) (entiers pairs et impairs, diviseurs, multiples, critère de divisibilité par \(3\), division euclidienne) ; les nombres complexes sous forme algébrique, avec \(i^2 = -1\).

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I Ensembles et éléments

I.1 Ensembles, éléments, égalité

Connu par ses éléments

Un ensemble est connu par ses éléments, et par rien d'autre : deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux. Il se décrit de trois façons — par la liste de ses éléments, par une condition que vérifient ses éléments, ou comme l'ensemble des valeurs d'une expression quand un paramètre varie. Deux relations relient un ensemble à d'autres objets, et elles ne doivent pas être confondues : l'appartenance, \(x \in E\), entre un élément et un ensemble, et l'inclusion, \(A \subset E\), entre deux ensembles.

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Une notion première

La notion d'ensemble est première : elle ne se définit pas à partir d'objets plus élémentaires, et le chapitre Théorie des ensembles en a donné le sens — une collection d'objets, ses éléments. Ce que ce chapitre ajoute, c'est la précision : les définitions s'écrivent en formules, avec les quantificateurs et les connecteurs du chapitre Logique, de sorte que les énoncés sur les ensembles se démontrent comme les autres, par un calcul sur des formules. Dans ces formules, la variable \(x\) parcourt tous les objets, comme dans la Définition « Universel, existentiel, unicité » ; les Propositions « Négation des quantificateurs » et « Quantificateurs et connecteurs », énoncées là pour un ensemble \(E\), valent de la même façon pour une variable qui parcourt tous les objets. Une nouveauté apparaît dès le départ : un élément d'un ensemble peut être lui-même un ensemble.

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Définition — Ensemble, élément, égalité

Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. Pour un objet \(x\) et un ensemble \(E\), \(x \in E\) se lit « \(x\) appartient à \(E\) », ou « \(x\) est un élément de \(E\) » ; sa négation s'écrit \(x \notin E\). Un élément d'un ensemble peut être lui-même un ensemble : l'ensemble \(\{1, \{1\}\}\) a deux éléments, le nombre \(1\) et l'ensemble \(\{1\}\).
Deux ensembles \(E\) et \(F\) sont égaux, et l'on note \(E = F\), lorsqu'ils ont les mêmes éléments : $$ E = F \iff \forall x, \ (x \in E \iff x \in F). $$

Exemple — Ni l'ordre ni les répétitions ne comptent

Pour l'ensemble \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) des résultats d'un dé, \(2 \in E\) et \(7 \notin E\). Les ensembles \(\{1, 2, 3\}\), \(\{3, 1, 2\}\) et \(\{1, 1, 2, 3\}\) sont égaux : un objet appartient à l'un d'eux exactement lorsqu'il vaut \(1\), \(2\) ou \(3\), donc ils ont les mêmes éléments, et la Définition « Ensemble, élément, égalité » donne l'égalité. Ni l'ordre dans lequel les éléments sont listés ni leurs répétitions ne changent l'ensemble.
L'ensemble \(\{1, \{1\}\}\) n'est pas égal à \(\{1\}\). Son élément \(\{1\}\) est un ensemble à un élément, donc ce n'est pas le nombre \(1\), qui est le seul élément de \(\{1\}\) : ainsi \(\{1\} \in \{1, \{1\}\}\) alors que \(\{1\} \notin \{1\}\). Deux objets différents sont listés dans \(\{1, \{1\}\}\) : il a deux éléments.

Définition — Ensemble vide

Il existe un unique ensemble sans élément, appelé l'ensemble vide et noté \(\emptyset\) (ou \(\{\}\)). Formellement : $$ \forall x, \ x \notin \emptyset. $$

Exemple — Vide ou non vide

Le carré d'un réel est positif, donc aucun réel \(x\) ne vérifie \(x^2 = -1\) : $$ \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = -1\} = \emptyset. $$ La même condition, lue dans \(\mathbb{C}\), donne un ensemble non vide : pour tout \(z \in \mathbb{C}\), $$ \begin{aligned} z^2 = -1 &\iff z^2 = i^2 && \text{(\(i^2 = -1\))} \\ &\iff z^2 - i^2 = 0 && \text{(en soustrayant \(i^2\))} \\ &\iff (z - i)(z + i) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff (z = i \text{ ou } z = -i), \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce qu'un produit de complexes est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc \(\{z \in \mathbb{C} \mid z^2 = -1\} = \{i, -i\}\) : un ensemble défini par une condition dépend de l'ensemble dans lequel on lit la condition.
Les ensembles \(\emptyset\) et \(\{\emptyset\}\) ne sont pas égaux : \(\emptyset\) n'a aucun élément, alors que \(\{\emptyset\}\) en a un, l'ensemble vide lui-même. Ainsi \(\emptyset \in \{\emptyset\}\), alors que \(\emptyset \notin \emptyset\).

Compétences à pratiquer

Compter les éléments distincts d'un ensemble ★
Décider l'appartenance à un ensemble défini par une condition ★
Décider si deux ensembles sont égaux ★

I.2 Décrire un ensemble

Une liste, une condition, un paramètre

Un ensemble se décrit de trois façons. En extension, on liste ses éléments : \(\{1, 2, 3\}\), ce qui ne convient qu'à un ensemble fini. En compréhension, une condition sélectionne des éléments dans un ensemble déjà connu : \(\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1\}\). Par un paramètre, l'ensemble est formé des valeurs d'une expression quand un paramètre parcourt un ensemble : \(\{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\) est l'ensemble des entiers pairs. La troisième description cache un quantificateur : y appartenir, c'est être l'une des valeurs, c'est-à-dire qu'il existe un paramètre qui la produit.

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Définition — Extension, compréhension

Extension. Pour des objets \(a_1, \dots, a_n\), l'ensemble \(\{a_1, \dots, a_n\}\) est l'ensemble dont les éléments sont exactement \(a_1, \dots, a_n\). Un ensemble \(\{a\}\) est un singleton ; un ensemble \(\{a, b\}\) avec \(a \ne b\) est une paire.
Compréhension. Pour un ensemble \(E\) et un prédicat \(P(x)\), l'ensemble \(\{x \in E \mid P(x)\}\) est l'ensemble des éléments \(x\) de \(E\) pour lesquels \(P(x)\) est vraie. La condition sélectionne toujours des éléments d'un ensemble \(E\) donné à l'avance.
Paramètre. Pour un ensemble \(I\) et une expression \(e(k)\) définie pour tout \(k \in I\), l'ensemble \(\{e(k) \mid k \in I\}\) est l'ensemble des valeurs de \(e(k)\) quand \(k\) parcourt \(I\) : ses éléments sont les objets \(y\) pour lesquels il existe \(k \in I\) tel que \(y = e(k)\). Plusieurs paramètres sont permis, comme dans \(\{a^2 + b^2 \mid a, b \in \mathbb{N}\}\).

Exemple — Un ensemble, trois descriptions

Les carrés des cinq premiers entiers strictement positifs forment un ensemble qui a trois descriptions :

en extension, \(\{1, 4, 9, 16, 25\}\) ;
par un paramètre, \(\{k^2 \mid k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\}\) ;
en compréhension, \(\{n \in \mathbb{N}^* \mid \sqrt{n} \in \mathbb{N} \text{ et } n \le 25\}\).

Les trois ensembles sont égaux : un entier \(n \ge 1\) a une racine carrée entière exactement lorsque \(n = k^2\) avec \(k \in \mathbb{N}^*\), et alors \(k^2 \le 25\) signifie \(k \le 5\). L'extension montre les valeurs, le paramètre la règle qui les produit, la compréhension la propriété qui les caractérise.

Méthode — Traduire une appartenance

Pour décider si un objet appartient à un ensemble, traduire l'appartenance en un énoncé, puis démontrer ou réfuter cet énoncé :

Condition. Pour un ensemble \(\{x \in E \mid P(x)\}\) et un objet \(a\) : \(a \in \{x \in E \mid P(x)\} \iff (a \in E \text{ et } P(a))\). La lettre \(x\) est une variable muette : l'objet testé reçoit un autre nom ; c'est le dépliage déjà employé dans la Méthode « Démontrer une inclusion ».
Paramètre. Pour un ensemble \(\{e(k) \mid k \in I\}\) et un objet \(y\) : \(y \in \{e(k) \mid k \in I\} \iff \exists k \in I, \ y = e(k)\). Pour démontrer l'appartenance, exhiber un \(k\), comme dans la Méthode « Démontrer une proposition existentielle » ; pour la réfuter, démontrer la négation \(\forall k \in I, \ y \ne e(k)\) : aucun \(k\) ne convient.

Par exemple, \(10 \in \{a^2 + b^2 \mid a, b \in \mathbb{N}\}\), avec les témoins \(a = 1\) et \(b = 3\) : \(1^2 + 3^2 = 10\). En revanche, \(7 \notin \{a^2 + b^2 \mid a, b \in \mathbb{N}\}\) : on démontre la négation \(\forall a, b \in \mathbb{N}, \ a^2 + b^2 \ne 7\). Soient \(a, b \in \mathbb{N}\). Si \(a \ge 3\), alors \(a^2 + b^2 \ge 9 > 7\), et de même si \(b \ge 3\). Sinon \(a, b \in \{0, 1, 2\}\), donc \(a^2\) et \(b^2\) sont dans \(\{0, 1, 4\}\), et les sommes possibles sont \(0\), \(1\), \(2\), \(4\), \(5\) et \(8\). Dans tous les cas \(a^2 + b^2 \ne 7\) : aucun choix de \(a\) et \(b\) ne produit \(7\).

Définition — Intervalle d'entiers

Pour des entiers \(a\) et \(b\), l'intervalle d'entiers \(\llbracket a, b \rrbracket\) est l'ensemble des entiers compris entre \(a\) et \(b\) au sens large : $$ \llbracket a, b \rrbracket = \{n \in \mathbb{Z} \mid a \le n \le b\} = [a, b] \cap \mathbb{Z}. $$ Il est vide lorsque \(a > b\). Les variantes excluent une borne : \(\llbracket a, b \llbracket \, = \{n \in \mathbb{Z} \mid a \le n < b\}\), \(\rrbracket a, b \rrbracket = \{n \in \mathbb{Z} \mid a < n \le b\}\) et \(\rrbracket a, b \llbracket \, = \{n \in \mathbb{Z} \mid a < n < b\}\).

Piège — un intervalle d'entiers n'est pas un intervalle de réels

\(\llbracket a, b \rrbracket\) ne contient que des entiers. L'intervalle de réels \([0, 3]\) contient \(\sqrt{2}\), \(\tfrac{1}{2}\) et une infinité d'autres nombres, alors que \(\llbracket 0, 3 \rrbracket = \{0, 1, 2, 3\}\) a quatre éléments. Pour des entiers \(a \le b\), \(\llbracket a, b \rrbracket\) a \(b - a + 1\) éléments, comme on l'a compté dans le chapitre Dénombrement, et non \(b - a\) : de \(3\) à \(7\), il y a cinq entiers, \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) et \(7\).

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Exemple — Cinq intervalles d'entiers

On liste les entiers compris entre les bornes : $$ \llbracket 0, 3 \rrbracket = \{0, 1, 2, 3\}, \qquad \llbracket -2, 1 \rrbracket = \{-2, -1, 0, 1\}, \qquad \llbracket 5, 5 \rrbracket = \{5\}, \qquad \llbracket 1, 4 \llbracket \, = \{1, 2, 3\}. $$ Et \(\llbracket 7, 4 \rrbracket = \emptyset\) : aucun entier \(n\) ne vérifie \(7 \le n \le 4\). De même, \(\llbracket 0, 3 \rrbracket = [0, 3] \cap \mathbb{Z}\), puisque les entiers de l'intervalle de réels \([0, 3]\) sont \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\).

Compétences à pratiquer

Compter les éléments d'un ensemble défini par une condition ★
Écrire un ensemble en extension ★
Écrire un ensemble par une condition ou un paramètre ★
Compter les entiers qui vérifient une condition ★★
Déplier un ensemble décrit par un paramètre ★★
Déterminer un ensemble décrit par un paramètre ★★★

I.3 Inclusion

Deux façons de se rapporter

Deux ensembles peuvent être égaux, ou l'un peut être contenu dans l'autre : tout élément du premier est élément du second. Cette seconde relation, l'inclusion, est celle que l'on démontre le plus souvent, parce qu'une égalité d'ensembles se démontre par deux inclusions. Une inclusion est une implication entre appartenances sous un quantificateur universel : elle se démontre avec un élément générique.

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Définition — Inclusion, sous-ensemble

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. \(E\) est inclus dans \(F\), et l'on note \(E \subset F\), lorsque tout élément de \(E\) est élément de \(F\) : $$ E \subset F \iff \forall x, \ (x \in E \Rightarrow x \in F). $$ On dit aussi que \(E\) est un sous-ensemble, ou une partie, de \(F\), et que \(F\) contient \(E\). Cette inclusion est prise au sens large — c'est le \(E \subseteq F\) du chapitre Théorie des ensembles — donc \(E \subset E\), tout élément de \(E\) étant élément de \(E\). Sa négation, notée \(E \not\subset F\), signifie \(\exists x \in E, \ x \notin F\), par les Propositions « Négation des quantificateurs » et « Négation d'une implication ». L'inclusion est stricte, et l'on note \(E \subsetneq F\), lorsque \(E \subset F\) et \(E \ne F\).

Exemple — La chaîne des ensembles de nombres

Les ensembles de nombres s'emboîtent, et chaque inclusion est stricte : $$ \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{D} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}. $$ Chaque inclusion est vraie parce que tout entier naturel est un entier relatif, tout entier \(n = \frac{n}{10^0}\) est un nombre décimal, tout décimal \(\frac{k}{10^p}\) est un rationnel, tout rationnel est réel, et tout réel \(x = x + 0i\) est complexe. Chaque inclusion est stricte à cause d'un élément du plus grand ensemble situé hors du plus petit — un témoin :

\(-1 \in \mathbb{Z}\) et \(-1 \notin \mathbb{N}\) ;
\(\tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{10} \in \mathbb{D}\) et \(\tfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\), puisque \(0 < \tfrac{1}{2} < 1\) ;
\(\tfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}\) et \(\tfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\) : une égalité \(\tfrac{1}{3} = \tfrac{k}{10^p}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) et \(p \in \mathbb{N}\) donnerait \(10^p = 3k\), alors que \(10^p\) n'est pas multiple de \(3\), la somme de ses chiffres valant \(1\) ;
\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) et \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\), puisque \(\sqrt{2}\) est irrationnel ;
\(i \in \mathbb{C}\) et \(i \notin \mathbb{R}\), puisque \(i^2 = -1\) alors que le carré d'un réel est positif.

Un témoin démontre \(E \ne F\) : il est dans \(F\) et pas dans \(E\), donc \(E\) et \(F\) n'ont pas les mêmes éléments. Sur la figure, chaque ensemble est un rectangle, et chaque couronne entre deux rectangles contient des témoins d'une inclusion stricte.

L'appartenance n'est pas l'inclusion

\(\in\) relie un élément à un ensemble ; \(\subset\) relie un ensemble à un ensemble. L'entier \(-1\) est un élément de \(\mathbb{Z}\), \(-1 \in \mathbb{Z}\), alors que le singleton \(\{-1\}\) en est une partie, \(\{-1\} \subset \mathbb{Z}\) ; l'écriture \(-1 \subset \mathbb{Z}\) n'a pas de sens, \(-1\) n'étant pas un ensemble, et \(\{-1\} \in \mathbb{Z}\) est fausse, les éléments de \(\mathbb{Z}\) étant des nombres. Pour un objet \(x\) et un ensemble \(E\), \(x \in E \iff \{x\} \subset E\), puisque le seul élément de \(\{x\}\) est \(x\). Quand les éléments sont eux-mêmes des ensembles, les deux relations peuvent être vraies à la fois : dans \(F = \{1, \{1\}\}\), l'ensemble \(\{1\}\) est un élément, \(\{1\} \in F\), et aussi une partie, \(\{1\} \subset F\), puisque son seul élément \(1\) appartient à \(F\).

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Méthode — Démontrer une inclusion

Pour démontrer \(A \subset B\) :

Soit \(x \in A\).
\(\vdots\) \(\quad\) (déduire \(x \in B\) de \(x \in A\), en dépliant les définitions)
Donc \(x \in B\). Comme \(x\) est quelconque dans \(A\), \(A \subset B\).

Quand \(A\) est défini par une propriété, \(A = \{x \in E \mid P(x)\}\), l'hypothèse « \(x \in A\) » se déplie en « \(x \in E\) et \(P(x)\) » ; quand \(P\) est existentielle, elle fournit un témoin.

Proposition — Égalité par double inclusion

Pour tous ensembles \(E\) et \(F\) : $$ E = F \iff (E \subset F) \wedge (F \subset E). $$ Deux ensembles sont égaux lorsque chacun est inclus dans l'autre.

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. $$ \begin{aligned} E = F &\iff \forall x, \ (x \in E \iff x \in F) && \text{(définition de l'égalité)} \\ &\iff \forall x, \ \big((x \in E \Rightarrow x \in F) \wedge (x \in F \Rightarrow x \in E)\big) && \text{(équivalence et double implication, sous \(\forall\))} \\ &\iff \big(\forall x, \ (x \in E \Rightarrow x \in F)\big) \wedge \big(\forall x, \ (x \in F \Rightarrow x \in E)\big) && \text{(« pour tout » et « et »)} \\ &\iff (E \subset F) \wedge (F \subset E). \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la définition de l'inclusion, deux fois ; la troisième est la loi de la Proposition « Quantificateurs et connecteurs » selon laquelle « pour tout » se distribue sur « et ».
Seconde démonstration : par les deux implications. Supposons \(E = F\). Tout \(x \in E\) vérifie \(x \in E \iff x \in F\), donc \(x \in F\) : ainsi \(E \subset F\), et de même \(F \subset E\). Réciproquement, supposons \(E \subset F\) et \(F \subset E\), et soit \(x\) un objet. Si \(x \in E\), alors \(x \in F\), puisque \(E \subset F\) ; si \(x \in F\), alors \(x \in E\), puisque \(F \subset E\). Donc \(x \in E \iff x \in F\) ; l'objet \(x\) étant quelconque, \(E = F\).

Méthode — Démontrer une égalité d'ensembles

Deux approches :

Par double inclusion. Démontrer \(A \subset B\) et \(B \subset A\), chacune par la Méthode « Démontrer une inclusion ».
Par une chaîne d'équivalences. Pour \(x\) dans un ensemble qui contient \(A\) et \(B\), démontrer \(x \in A \iff \dots \iff x \in B\), chaque étape justifiée.

La chaîne est plus courte quand chaque étape réécrit une définition ; la double inclusion s'impose quand les deux sens ont des démonstrations différentes.

Proposition — Transitivité de l'inclusion

Pour tous ensembles \(A\), \(B\), \(C\) : si \(A \subset B\) et \(B \subset C\), alors \(A \subset C\). Deux inclusions s'enchaînent en une seule.

Soient \(A\), \(B\), \(C\) des ensembles tels que \(A \subset B\) et \(B \subset C\). On applique la Méthode « Démontrer une inclusion ». Soit \(x \in A\). Comme \(A \subset B\), \(x \in B\) ; comme \(B \subset C\), \(x \in C\). Comme \(x\) est quelconque dans \(A\), \(A \subset C\).
Seconde démonstration : la transitivité de l'implication, sous le quantificateur. Par définition de l'inclusion, les hypothèses s'écrivent \(\forall x, \ (x \in A \Rightarrow x \in B)\) et \(\forall x, \ (x \in B \Rightarrow x \in C)\). Soit \(x\) un objet : les implications \(x \in A \Rightarrow x \in B\) et \(x \in B \Rightarrow x \in C\) sont toutes deux vraies. Par la Proposition « Transitivité de l'implication », appliquée aux propositions \(x \in A\), \(x \in B\) et \(x \in C\), l'implication \(x \in A \Rightarrow x \in C\) est vraie. L'objet \(x\) étant quelconque, \(\forall x, \ (x \in A \Rightarrow x \in C)\), c'est-à-dire \(A \subset C\).

Proposition — L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble

Pour tout ensemble \(E\) : $$ \emptyset \subset E. $$

Soit \(E\) un ensemble. Il faut démontrer \(\forall x, \ (x \in \emptyset \Rightarrow x \in E)\). Soit \(x\) un objet. Par la Définition « Ensemble vide », \(x \in \emptyset\) est fausse, et une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie (Définition « Implication ») : \(x \in \emptyset \Rightarrow x \in E\) est vraie. L'objet \(x\) étant quelconque, \(\emptyset \subset E\). C'est la convention de l'hypothèse fausse du Texte « Quantificateurs sur l'ensemble vide » : tout élément de \(\emptyset\) appartient à \(E\), puisqu'il n'y a rien à vérifier.
Seconde démonstration : par l'absurde. Supposons par l'absurde que \(\emptyset \not\subset E\). Par la négation de l'inclusion, il existe \(x \in \emptyset\) tel que \(x \notin E\) ; en particulier, un objet appartient à \(\emptyset\), ce qui contredit la Définition « Ensemble vide ». Contradiction ! Donc l'hypothèse est fausse, et \(\emptyset \subset E\).
Les deux démonstrations n'utilisent que l'absence d'éléments. Ainsi deux ensembles \(V\) et \(W\) sans élément vérifient \(V \subset W\) et \(W \subset V\), donc \(V = W\) par la Proposition « Égalité par double inclusion » : cela justifie l'unicité affirmée dans la Définition « Ensemble vide ».

Exemple — Un ensemble donné par une équation

Démontrer que \(\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = x\} = \{0, 1\}\).

Soit \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = x\}\). Chaque étape du calcul ci-dessous est une équivalence, donc une chaîne d'équivalences démontre les deux inclusions à la fois : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} x \in A &\iff x^2 = x && \text{(définition de \(A\), \(x \in \mathbb{R}\))} \\ &\iff x^2 - x = 0 && \text{(en soustrayant \(x\))} \\ &\iff x(x - 1) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff (x = 0 \text{ ou } x = 1), \end{aligned} $$ la dernière étape parce qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Ainsi \(x \in A \iff x \in \{0, 1\}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et les deux ensembles sont des parties de \(\mathbb{R}\) : ils sont égaux.
Seconde méthode : par double inclusion. Quand un sens demande un argument propre, une égalité se démontre par deux inclusions ; ici elles demandent deux arguments différents — résoudre l'équation, puis vérifier deux valeurs.
(\(\subset\)) Soit \(x \in A\) : \(x \in \mathbb{R}\) et \(x^2 = x\). Alors $$ \begin{aligned} x(x - 1) &= x^2 - x && \text{(développement)} \\ &= 0, \end{aligned} $$ la dernière égalité par l'hypothèse \(x^2 = x\). Un produit de réels n'est nul que si l'un de ses facteurs est nul, donc \(x = 0\) ou \(x = 1\), c'est-à-dire \(x \in \{0, 1\}\). Comme \(x\) est quelconque dans \(A\), \(A \subset \{0, 1\}\).
(\(\supset\)) Soit \(x \in \{0, 1\}\), c'est-à-dire \(x = 0\) ou \(x = 1\). Si \(x = 0\), alors \(x^2 = 0 = x\) ; si \(x = 1\), alors \(x^2 = 1 = x\). Dans les deux cas, \(x\) est un réel tel que \(x^2 = x\), donc \(x \in A\). Ainsi \(\{0, 1\} \subset A\).
Par la Proposition « Égalité par double inclusion », \(A = \{0, 1\}\).

Compétences à pratiquer

Choisir entre \(\in\) et \(\subset\) ★
Décider une inclusion ★
Démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ★★
Comparer des ensembles définis par des conditions ★★★

I.4 Ensemble des parties

Un niveau au-dessus

Les parties d'un ensemble \(E\) peuvent elles-mêmes être rassemblées en un ensemble, \(\mathcal{P}(E)\), dont les éléments sont des ensembles : un ensemble \(A\) est un élément de \(\mathcal{P}(E)\) exactement lorsqu'il est une partie de \(E\). Ce changement de niveau est le point délicat : \(\{1\}\) est une partie de \(\{1, 2\}\) et un élément de \(\mathcal{P}(\{1, 2\})\), alors que \(1\) est un élément de \(\{1, 2\}\) et pas un élément de \(\mathcal{P}(\{1, 2\})\), dont les éléments sont tous des ensembles.

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Définition — Ensemble des parties

Pour tout ensemble \(E\), l'ensemble des parties de \(E\) est l'ensemble de tous les sous-ensembles de \(E\) : $$ \mathcal{P}(E) = \{ A \ \mid \ A \subset E \}. $$ Pour tout ensemble \(A\) : $$ A \in \mathcal{P}(E) \ \iff \ A \subset E. $$

Exemple — Deux parties que tout ensemble possède

Pour tout ensemble \(E\), l'ensemble vide et \(E\) lui-même sont des éléments de \(\mathcal{P}(E)\) : $$ \emptyset \in \mathcal{P}(E) \qquad \text{et} \qquad E \in \mathcal{P}(E). $$ Le premier parce que \(\emptyset \subset E\), par la Proposition « L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble » ; le second parce que \(E \subset E\), tout élément de \(E\) étant élément de \(E\). Ainsi \(\mathcal{P}(E)\) n'est jamais vide : même \(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}\) a un élément, puisqu'une partie \(A\) de \(\emptyset\) vérifie \(A \subset \emptyset\), et \(\emptyset \subset A\) par la même Proposition : donc \(A = \emptyset\), par la Proposition « Égalité par double inclusion ».

Exemple — Les parties d'un ensemble à trois éléments

Pour \(E = \{0, 1, 2\}\), les parties de \(E\), classées selon leur nombre d'éléments, sont : \(\emptyset\) ; puis \(\{0\}\), \(\{1\}\), \(\{2\}\) ; puis \(\{0, 1\}\), \(\{0, 2\}\), \(\{1, 2\}\) ; et enfin \(\{0, 1, 2\}\). Donc $$ \mathcal{P}(E) = \big\{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{0, 1\}, \{0, 2\}, \{1, 2\}, \{0, 1, 2\}\big\}. $$ Il a \(1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3\) éléments, comme le prévoit le chapitre Dénombrement : un ensemble à \(n\) éléments a \(2^n\) parties.

Méthode — Lister les parties d'un ensemble fini

Pour lister les parties d'un ensemble fini \(E\) à \(n\) éléments, deux procédés :

Par taille. Lister la partie à \(0\) élément, \(\emptyset\), puis les parties à \(1\) élément, les singletons, puis celles à \(2\) éléments, et ainsi de suite jusqu'à \(E\) lui-même.
Élément par élément. Décider pour chaque élément, l'un après l'autre, s'il est dans la partie ou hors d'elle, comme dans un arbre : chaque chemin de l'arbre donne une partie, et deux chemins différents donnent deux parties différentes.

Contrôler le compte : un ensemble à \(n\) éléments a \(2^n\) parties, par le chapitre Dénombrement. Pour \(E = \{a, b\}\) avec \(a \ne b\), élément par élément : \(a\) dehors et \(b\) dehors donnent \(\emptyset\) ; \(a\) dehors et \(b\) dedans donnent \(\{b\}\) ; \(a\) dedans et \(b\) dehors donnent \(\{a\}\) ; \(a\) dedans et \(b\) dedans donnent \(\{a, b\}\) — quatre parties, et \(2^2 = 4\).

Exemple — Huit parties rangées par inclusion

Pour \(E = \{a, b, c\}\) avec \(a, b, c\) deux à deux distincts, les \(2^3 = 8\) parties de \(E\) sont rangées par taille, de \(\emptyset\) en bas jusqu'à \(E\) en haut. Un segment relie une partie \(X\) à une partie \(Y\) dessinée au-dessus lorsque \(X \subset Y\) et que \(Y\) a exactement un élément de plus que \(X\) ; les inclusions entre parties de \(E\) se lisent en suivant les segments vers le haut.

Deux parties d'une même ligne ne sont jamais incluses l'une dans l'autre : \(\{a\} \not\subset \{b\}\) et \(\{a, b\} \not\subset \{b, c\}\). L'inclusion ne compare pas toutes les parties de \(E\) ; par exemple, \(\{a\} \not\subset \{b, c\}\) et \(\{b, c\} \not\subset \{a\}\).

Compétences à pratiquer

Compter des parties ★
Lister les parties d'un ensemble fini ★
Distinguer un élément et une partie de \(\mathcal{P}(E)\) ★
Démontrer une propriété des ensembles de parties ★★

II Opérations sur les ensembles

II.1 Réunion et intersection

De nouveaux ensembles à partir d'ensembles donnés

Réunion, intersection, différence et complémentaire fabriquent de nouveaux ensembles à partir d'ensembles donnés. Chacune de ces opérations est un connecteur du chapitre Logique lu sur l'appartenance, et il en va de même de chaque relation entre ensembles : le Texte « Des connecteurs aux opérations » présente ce dictionnaire. Par conséquent, chaque loi des opérations — commutativité, associativité, distributivité, lois de De Morgan — est une loi de la logique lue sur l'appartenance. Chaque loi est démontrée une fois, en revenant aux éléments ; elle devient ensuite une règle de calcul sur les ensembles, employée sans revenir aux éléments.

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Des connecteurs aux opérations

Dans tout le tableau, \(A\) et \(B\) sont des parties d'un ensemble ambiant \(E\), dessiné comme un rectangle, et \(x\) est un objet. La première colonne donne une notation du langage des ensembles ; la deuxième, ce qu'elle dit dans le langage du chapitre Logique — pour une opération, la condition pour que \(x\) appartienne à l'ensemble, et pour une relation, l'énoncé qu'elle abrège ; la troisième, le diagramme de Venn du chapitre Théorie des ensembles.

Ensembles	Logique	Diagramme de Venn
\(x \in A \cap B\)	\(x \in A \wedge x \in B\)
\(x \in A \cup B\)	\(x \in A \vee x \in B\)
\(x \in \overline{A}\)	\(x \in E \wedge \neg(x \in A)\)
\(x \in A \setminus B\)	\(x \in A \wedge \neg(x \in B)\)
\(A \subset B\)	\(\forall x, \ (x \in A \Rightarrow x \in B)\)
\(A = B\)	\(\forall x, \ (x \in A \iff x \in B)\)	la même région
\(A \cap B = \emptyset\)	\(\neg \exists x, \ (x \in A \wedge x \in B)\)

Les diagrammes sont ceux du chapitre Théorie des ensembles ; la deuxième colonne est la nouvelle, et c'est elle qui démontre : une loi des ensembles se démontre en traduisant chaque membre en sa formule et en appliquant une loi de la logique.

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Deux connecteurs, deux opérations

La réunion de deux ensembles rassemble les éléments de l'un ou de l'autre ; l'intersection garde leurs éléments communs. Ce sont les connecteurs « ou » et « et » lus sur l'appartenance, et leurs lois — commutativité, associativité, distributivité — sont les lois de ces connecteurs. Deux autres faits organisent les calculs : la réunion de deux ensembles est le plus petit ensemble qui les contient tous les deux, et leur intersection le plus grand ensemble contenu dans les deux.

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Définition — Réunion et intersection

Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\) deux parties de \(E\).

La réunion de \(A\) et \(B\) est \(A \cup B = \{x \in E \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\).
L'intersection de \(A\) et \(B\) est \(A \cap B = \{x \in E \mid x \in A \text{ et } x \in B\}\).

Pour tout objet \(x\), $$ x \in A \cup B \iff (x \in A \vee x \in B) \qquad \text{et} \qquad x \in A \cap B \iff (x \in A \wedge x \in B). $$ En effet, pour \(x \notin E\), les deux membres de chaque équivalence sont faux, puisque \(A\) et \(B\) sont des parties de \(E\). Ainsi \(A \cup B\) et \(A \cap B\) ne dépendent pas de l'ensemble ambiant choisi.

Exemple — Réunions et intersections

\(\{1, 2, 3\} \cup \{2, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}\) et \(\{1, 2, 3\} \cap \{2, 4\} = \{2\}\) : la réunion liste une fois les éléments de l'un ou l'autre ensemble, l'intersection garde l'élément commun aux deux.
Dans \(\mathbb{R}\), \([0, 2] \cup [1, 3] = [0, 3]\) et \([0, 2] \cap [1, 3] = [1, 2]\) : un réel \(x\) vérifie \(0 \le x \le 2\) et \(1 \le x \le 3\) exactement lorsque \(1 \le x \le 2\), et il vérifie l'une des deux conditions exactement lorsque \(0 \le x \le 3\), les deux intervalles se chevauchant.
\(\mathbb{N} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}\) et \(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N}\) : tout entier naturel étant un entier relatif, un objet est dans \(\mathbb{N}\) ou dans \(\mathbb{Z}\) exactement lorsqu'il est dans \(\mathbb{Z}\), et il est à la fois dans \(\mathbb{N}\) et dans \(\mathbb{Z}\) exactement lorsqu'il est dans \(\mathbb{N}\).

Proposition — Lois de la réunion et de l'intersection

Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\), \(C\) des parties de \(E\).

Comparaison : \(A \cap B \subset A \subset A \cup B\) et \(A \cap B \subset B \subset A \cup B\).
Commutativité et associativité : \(A \cup B = B \cup A\), \(A \cap B = B \cap A\), \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) et \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\).
Idempotence : \(A \cup A = A\) et \(A \cap A = A\).
Les parties \(\emptyset\) et \(E\) : \(A \cup \emptyset = A\), \(A \cap \emptyset = \emptyset\), \(A \cup E = E\) et \(A \cap E = A\).
Distributivité : \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) et \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

L'associativité permet d'écrire \(A \cup B \cup C\) et \(A \cap B \cap C\) sans parenthèses ; une expression qui mélange \(\cup\) et \(\cap\) garde ses parenthèses.

Par la Définition « Réunion et intersection », pour tout objet \(x\), l'appartenance \(x \in A \cup B\) est la proposition « \(x \in A\) ou \(x \in B\) », et \(x \in A \cap B\) est « \(x \in A\) et \(x \in B\) ». Chaque loi est donc une loi du chapitre Logique appliquée aux propositions \(x \in A\), \(x \in B\), \(x \in C\) ; et deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux, par la Définition « Ensemble, élément, égalité ». Soit \(x\) un objet.

Comparaison. Si \(x \in A \cap B\), alors \(x \in A\) et \(x \in B\) : donc \(A \cap B \subset A\) et \(A \cap B \subset B\). Si \(x \in A\), la disjonction « \(x \in A\) ou \(x \in B\) » a une partie vraie, donc elle est vraie, par la Définition « Disjonction » : \(x \in A \cup B\), et \(A \subset A \cup B\). Si \(x \in B\), la même disjonction a son autre partie vraie, donc elle est vraie pour la même raison : \(x \in A \cup B\), et \(B \subset A \cup B\).
Commutativité et associativité. Pour l'intersection, d'abord l'associativité : $$ \begin{aligned} x \in (A \cap B) \cap C &\iff (x \in A \cap B) \wedge (x \in C) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff (x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in C && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C) && \text{(associativité de \(\wedge\))} \\ &\iff x \in A \wedge (x \in B \cap C) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in A \cap (B \cap C), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cap\) ; puis la commutativité : $$ \begin{aligned} x \in A \cap B &\iff x \in A \wedge x \in B && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in B \wedge x \in A && \text{(commutativité de \(\wedge\))} \\ &\iff x \in B \cap A, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cap\). Pour la réunion, l'associativité : $$ \begin{aligned} x \in (A \cup B) \cup C &\iff (x \in A \cup B) \vee (x \in C) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff (x \in A \vee x \in B) \vee x \in C && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff x \in A \vee (x \in B \vee x \in C) && \text{(associativité de \(\vee\))} \\ &\iff x \in A \vee (x \in B \cup C) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff x \in A \cup (B \cup C), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cup\) ; et la commutativité : $$ \begin{aligned} x \in A \cup B &\iff x \in A \vee x \in B && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff x \in B \vee x \in A && \text{(commutativité de \(\vee\))} \\ &\iff x \in B \cup A, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cup\). Les lois de connecteurs employées dans ces chaînes sont celles de la Proposition « Commutativité et associativité ».
Idempotence. Par la Définition « Conjonction », « \(x \in A\) et \(x \in A\) » a la valeur de vérité de \(x \in A\), donc \(x \in A \cap A \iff x \in A\). Par la Définition « Disjonction », « \(x \in A\) ou \(x \in A\) » a aussi la valeur de vérité de \(x \in A\), donc \(x \in A \cup A \iff x \in A\).
Les parties \(\emptyset\) et \(E\). La proposition \(x \in \emptyset\) est fausse, par la Définition « Ensemble vide ». Donc « \(x \in A\) ou \(x \in \emptyset\) » a la valeur de vérité de \(x \in A\), et « \(x \in A\) et \(x \in \emptyset\) » est fausse, comme \(x \in \emptyset\) : \(A \cup \emptyset = A\) et \(A \cap \emptyset = \emptyset\). Comme \(A \subset E\), l'implication \(x \in A \Rightarrow x \in E\) est vraie. Si \(x \in E\), alors « \(x \in A\) ou \(x \in E\) » est vraie ; si \(x \notin E\), alors \(x \notin A\), et elle est fausse : elle a la valeur de vérité de \(x \in E\), donc \(A \cup E = E\). Si \(x \in A\), alors \(x \in E\), et « \(x \in A\) et \(x \in E\) » est vraie ; si \(x \notin A\), elle est fausse : elle a la valeur de vérité de \(x \in A\), donc \(A \cap E = A\).
Distributivité. Première identité : $$ \begin{aligned} x \in A \cap (B \cup C) &\iff x \in A \wedge (x \in B \cup C) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in A \wedge (x \in B \vee x \in C) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff (x \in A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \in C) && \text{(distributivité de \(\wedge\) sur \(\vee\))} \\ &\iff (x \in A \cap B) \vee (x \in A \cap C) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cup\). Seconde identité : $$ \begin{aligned} x \in A \cup (B \cap C) &\iff x \in A \vee (x \in B \cap C) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff x \in A \vee (x \in B \wedge x \in C) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C) && \text{(distributivité de \(\vee\) sur \(\wedge\))} \\ &\iff (x \in A \cup B) \wedge (x \in A \cup C) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff x \in (A \cup B) \cap (A \cup C), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cap\).

Dans chaque cas, l'objet \(x\) étant quelconque, les deux membres ont les mêmes éléments : ils sont égaux.
Les parenthèses. Prenons \(E = \{1\}\), \(A = \emptyset\) et \(B = C = E\). D'une part, l'élément \(1\) est dans \((A \cap B) \cup C\), puisqu'il est dans \(C\) ; d'autre part, il n'est pas dans \(A \cap (B \cup C)\), puisqu'il n'est pas dans \(A\). Donc \((A \cap B) \cup C \ne A \cap (B \cup C)\) : les parenthèses d'une expression qui mélange \(\cup\) et \(\cap\) ne peuvent pas être supprimées. C'est la ligne du chapitre Logique où \(p\) est fausse et où \(q\), \(r\) sont vraies.

Exemple — La distributivité en image

À gauche, la partie \(B \cup C\) est légèrement grisée et son intersection avec \(A\) fortement ; à droite, les deux parties \(A \cap B\) et \(A \cap C\) sont fortement grisées. Les régions fortement grisées coïncident. La figure illustre l'identité \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) sur une configuration de trois ensembles ; la chaîne de la Proposition « Lois de la réunion et de l'intersection » la démontre pour toutes.

Proposition — Réunion et intersection comme bornes

Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\), \(C\) des parties de \(E\).

La réunion est la plus petite partie qui contient \(A\) et \(B\) : \(A \cup B \subset C \iff (A \subset C) \wedge (B \subset C)\).
L'intersection est la plus grande partie contenue dans \(A\) et \(B\) : \(C \subset A \cap B \iff (C \subset A) \wedge (C \subset B)\).
Conséquence : si \(A \subset B\), alors \(A \cup C \subset B \cup C\) et \(A \cap C \subset B \cap C\).

La réunion. $$ \begin{aligned} A \cup B \subset C &\iff \forall x, \ (x \in A \cup B \Rightarrow x \in C) && \text{(définition de \(\subset\))} \\ &\iff \forall x, \ \big((x \in A \vee x \in B) \Rightarrow x \in C\big) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff \forall x, \ \big((x \in A \Rightarrow x \in C) \wedge (x \in B \Rightarrow x \in C)\big) && \text{(disjonction des cas, sous \(\forall\))} \\ &\iff \big(\forall x, \ (x \in A \Rightarrow x \in C)\big) \wedge \big(\forall x, \ (x \in B \Rightarrow x \in C)\big) && \text{(« pour tout » et « et »)} \\ &\iff (A \subset C) \wedge (B \subset C). \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la définition de l'inclusion, deux fois. La troisième applique la Proposition « Disjonction des cas » aux propositions \(x \in A\), \(x \in B\), \(x \in C\), pour chaque \(x\) ; la quatrième est la loi de la Proposition « Quantificateurs et connecteurs » selon laquelle « pour tout » se distribue sur « et ».
L'intersection. On démontre d'abord, pour toutes propositions \(p\), \(q\), \(r\), la loi \(\big(r \Rightarrow (p \wedge q)\big) \iff \big((r \Rightarrow p) \wedge (r \Rightarrow q)\big)\), par le sens. Le membre de gauche est faux exactement lorsque \(r\) est vraie et \(p \wedge q\) fausse, c'est-à-dire lorsque \(r\) est vraie et que l'une des propositions \(p\), \(q\) est fausse. Le membre de droite est faux exactement lorsque l'une des deux implications est fausse, c'est-à-dire lorsque \(r\) est vraie et \(p\) fausse, ou \(r\) vraie et \(q\) fausse. Les deux membres sont faux sur les mêmes lignes : ils sont logiquement équivalents. Alors $$ \begin{aligned} C \subset A \cap B &\iff \forall x, \ (x \in C \Rightarrow x \in A \cap B) && \text{(définition de \(\subset\))} \\ &\iff \forall x, \ \big(x \in C \Rightarrow (x \in A \wedge x \in B)\big) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff \forall x, \ \big((x \in C \Rightarrow x \in A) \wedge (x \in C \Rightarrow x \in B)\big) && \text{(la loi ci-dessus, sous \(\forall\))} \\ &\iff \big(\forall x, \ (x \in C \Rightarrow x \in A)\big) \wedge \big(\forall x, \ (x \in C \Rightarrow x \in B)\big) && \text{(« pour tout » et « et »)} \\ &\iff (C \subset A) \wedge (C \subset B). \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la définition de l'inclusion, deux fois ; la quatrième est la même loi de la Proposition « Quantificateurs et connecteurs ».
La conséquence. Supposons \(A \subset B\). Comme \(B \subset B \cup C\), par la Proposition « Lois de la réunion et de l'intersection », la Proposition « Transitivité de l'inclusion » donne \(A \subset B \cup C\) ; et \(C \subset B \cup C\). Le premier point, appliqué aux parties \(A\), \(C\) et \(B \cup C\), donne \(A \cup C \subset B \cup C\). De même, \(A \cap C \subset A \subset B\) donne \(A \cap C \subset B\), et \(A \cap C \subset C\) ; le deuxième point donne \(A \cap C \subset B \cap C\).
Seconde démonstration des deux premiers points : les deux implications, élément par élément. Supposons \(A \cup B \subset C\). Soit \(x \in A\) : alors \(x \in A \cup B\), donc \(x \in C\) ; ainsi \(A \subset C\), et de même \(B \subset C\). Réciproquement, supposons \(A \subset C\) et \(B \subset C\), et soit \(x \in A \cup B\). On distingue deux cas, qui couvrent toutes les possibilités : si \(x \in A\), alors \(x \in C\), puisque \(A \subset C\) ; si \(x \in B\), alors \(x \in C\), puisque \(B \subset C\). Dans tous les cas \(x \in C\) : \(A \cup B \subset C\). Pour l'intersection, supposons \(C \subset A \cap B\) : tout élément de \(C\) est dans \(A \cap B\), donc dans \(A\) et dans \(B\), d'où \(C \subset A\) et \(C \subset B\). Réciproquement, si \(C \subset A\) et \(C \subset B\), tout élément de \(C\) est dans \(A\) et dans \(B\), c'est-à-dire dans \(A \cap B\) : \(C \subset A \cap B\).

Proposition — Inclusion caractérisée par réunion ou intersection

Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\) des parties de \(E\). Les trois énoncés $$ A \subset B, \qquad A \cup B = B, \qquad A \cap B = A $$ sont équivalents. Une inclusion s'écrit comme une égalité d'ensembles, ce qui la rend utilisable dans un calcul.

Première démonstration : par les bornes. L'inclusion \(B \subset A \cup B\) est toujours vraie, par la Proposition « Lois de la réunion et de l'intersection », donc $$ \begin{aligned} A \cup B = B &\iff (A \cup B \subset B) \wedge (B \subset A \cup B) && \text{(égalité par double inclusion)} \\ &\iff A \cup B \subset B && \text{(\(B \subset A \cup B\) est vraie)} \\ &\iff (A \subset B) \wedge (B \subset B) && \text{(réunion et intersection comme bornes)} \\ &\iff A \subset B, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(B \subset B\) est vraie. De même, \(A \cap B \subset A\) est toujours vraie, donc $$ \begin{aligned} A \cap B = A &\iff (A \cap B \subset A) \wedge (A \subset A \cap B) && \text{(égalité par double inclusion)} \\ &\iff A \subset A \cap B && \text{(\(A \cap B \subset A\) est vraie)} \\ &\iff (A \subset A) \wedge (A \subset B) && \text{(réunion et intersection comme bornes)} \\ &\iff A \subset B, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(A \subset A\) est vraie. La deuxième et la dernière étape de chaque chaîne utilisent la Définition « Conjonction » : une conjonction dont une partie est vraie a la valeur de vérité de l'autre partie.
Seconde démonstration : un cycle de trois implications, élément par élément.

Supposons \(A \subset B\). L'inclusion \(B \subset A \cup B\) est vraie. Réciproquement, soit \(x \in A \cup B\) : si \(x \in A\), alors \(x \in B\), puisque \(A \subset B\) ; si \(x \in B\), il n'y a rien à démontrer. Donc \(A \cup B \subset B\), et \(A \cup B = B\) par double inclusion.
Supposons \(A \cup B = B\). L'inclusion \(A \cap B \subset A\) est vraie. Réciproquement, soit \(x \in A\) : alors \(x \in A \cup B = B\), donc \(x \in A\) et \(x \in B\), c'est-à-dire \(x \in A \cap B\). Donc \(A \cap B = A\).
Supposons \(A \cap B = A\). Soit \(x \in A\) : alors \(x \in A \cap B\), donc \(x \in B\). Ainsi \(A \subset B\).

Les trois implications forment un cycle, donc les trois énoncés sont équivalents.

Compétences à pratiquer

Lire la condition d'appartenance à un ensemble ★
Calculer réunions et intersections ★
Simplifier une expression avec les lois de \(\cup\) et \(\cap\) ★★
Démontrer une relation entre réunions et intersections ★★
Caractériser une égalité entre ensembles ★★★

II.2 Différence et complémentaire

Ce qui n'est pas dans un ensemble

La différence \(A \setminus B\) garde les éléments de \(A\) qui ne sont pas dans \(B\) ; le complémentaire d'une partie \(A\) de \(E\) est la différence \(E \setminus A\), tout ce qui est dans \(E\) hors de \(A\). Toutes deux lisent « non » sur l'appartenance. Le chapitre Théorie des ensembles notait le complémentaire dans un ensemble universel \(U\) par \(\overline{A}\) ou \(U \setminus A\). Ici l'ensemble ambiant s'appelle \(E\), et le complémentaire se note \(\overline{A}\), ou \(\complement_E A\) lorsqu'il faut nommer \(E\) : le complémentaire de \([0, 1]\) n'est pas le même dans \(\mathbb{R}\) et dans \([0, 2]\).

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Définition — Différence, complémentaire

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles.

La différence \(A\) privé de \(B\) est $$ A \setminus B = \{ x \ \mid \ x \in A \ \wedge \ x \notin B \}. $$
Soit \(E\) un ensemble et \(A \subset E\). Le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est l'ensemble \(E \setminus A\), noté \(\overline{A}\) ou \(\complement_E A\) ou \(A^c\) lorsque \(E\) est clair par le contexte.

Exemple — Différences et complémentaires

\(\{1, 2, 3, 4\} \setminus \{2, 4\} = \{1, 3\}\) : les éléments du premier ensemble qui ne sont pas dans le second.
\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) est l'ensemble des nombres irrationnels ; par exemple \(\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).
Dans \(E = \mathbb{R}\), \(\overline{[0, 1]} = \, ]-\infty, 0[ \, \cup \, ]1, +\infty[\) : un réel \(x\) est hors de \([0, 1]\) exactement lorsque \(x < 0\) ou \(x > 1\), la négation de \(0 \le x \le 1\) par les lois de De Morgan. Dans \(E = [0, 2]\), en revanche, \(\complement_E [0, 1] = \, ]1, 2]\).
Pour toute partie \(A\) d'un ensemble \(E\), \(A \cap \overline{A} = \emptyset\) et \(A \cup \overline{A} = E\) : aucun objet n'est à la fois dans \(A\) et hors de \(A\), par le principe de non-contradiction, et tout élément de \(E\) est dans \(A\) ou hors de \(A\), par le principe du tiers exclu.

Proposition — Propriétés du complémentaire

Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\) des parties de \(E\) ; les complémentaires sont pris dans \(E\).

Double complémentaire : \(\overline{\overline{A}} = A\).
Les complémentaires de \(\emptyset\) et de \(E\) : \(\complement_E \emptyset = E\) et \(\complement_E E = \emptyset\).
Une partie et son complémentaire : \(A \cap \overline{A} = \emptyset\) et \(A \cup \overline{A} = E\).
La différence comme intersection : \(A \setminus B = A \cap \overline{B}\).
Le complémentaire renverse l'inclusion : \(A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}\).

Tous les ensembles comparés sont des parties de \(E\), donc, par la Méthode « Démontrer une égalité d'ensembles », il suffit de comparer les appartenances d'un élément de \(E\) ; et pour \(x \in E\), \(x \in \overline{A}\) signifie \(x \notin A\), par la Définition « Différence, complémentaire ». Soit \(x \in E\).

Double complémentaire. $$ \begin{aligned} x \in \overline{\overline{A}} &\iff \neg\big(x \in \overline{A}\big) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff \neg\neg(x \in A) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in A, \end{aligned} $$ la dernière étape par la Proposition « Double négation ».
Les complémentaires de \(\emptyset\) et de \(E\). La proposition \(x \notin \emptyset\) est vraie, par la Définition « Ensemble vide », donc \(x \in \complement_E \emptyset\) : tout élément de \(E\) appartient à \(\complement_E \emptyset\), et \(\complement_E \emptyset = E\). Alors $$ \begin{aligned} \complement_E E &= \complement_E (\complement_E \emptyset) && \text{(\(\complement_E \emptyset = E\))} \\ &= \emptyset, \end{aligned} $$ la dernière étape par le double complémentaire, appliqué à la partie \(\emptyset\) de \(E\).
Une partie et son complémentaire. Pour l'intersection, $$ \begin{aligned} x \in A \cap \overline{A} &\iff x \in A \wedge x \in \overline{A} && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in A \wedge \neg(x \in A) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in \emptyset, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que les deux propositions sont fausses : la première par le principe de non-contradiction, la seconde par la Définition « Ensemble vide ». Pour la réunion, $$ \begin{aligned} x \in A \cup \overline{A} &\iff x \in A \vee x \in \overline{A} && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff x \in A \vee \neg(x \in A) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in E, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que les deux propositions sont vraies : la première par le principe du tiers exclu, la seconde parce que \(x \in E\).
La différence comme intersection. $$ \begin{aligned} x \in A \setminus B &\iff x \in A \wedge x \notin B && \text{(définition de la différence)} \\ &\iff x \in A \wedge x \in \overline{B} && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in A \cap \overline{B}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cap\).
Le complémentaire renverse l'inclusion. Un objet hors de \(E\) n'appartient ni à \(A\) ni à \(\overline{B}\), donc les inclusions de ces deux parties ne se vérifient que sur les éléments de \(E\) : $$ \begin{aligned} A \subset B &\iff \forall x \in E, \ (x \in A \Rightarrow x \in B) && \text{(définition de \(\subset\), \(A \subset E\))} \\ &\iff \forall x \in E, \ (x \notin B \Rightarrow x \notin A) && \text{(équivalence avec la contraposée, sous \(\forall\))} \\ &\iff \forall x \in E, \ \big(x \in \overline{B} \Rightarrow x \in \overline{A}\big) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff \overline{B} \subset \overline{A}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\subset\), \(\overline{B}\) étant une partie de \(E\).

Seconde démonstration du renversement : par l'absurde. Supposons \(A \subset B\), et soit \(x \in \overline{B}\) : \(x \in E\) et \(x \notin B\). Supposons par l'absurde que \(x \notin \overline{A}\). Comme \(x \in E\), cela signifie \(x \in A\), et \(A \subset B\) donne \(x \in B\) — alors que \(x \notin B\). Contradiction ! Donc \(x \in \overline{A}\), et \(\overline{B} \subset \overline{A}\). Réciproquement, si \(\overline{B} \subset \overline{A}\), l'implication que l'on vient de démontrer, appliquée aux parties \(\overline{B}\) et \(\overline{A}\), donne \(\overline{\overline{A}} \subset \overline{\overline{B}}\), c'est-à-dire \(A \subset B\) par le double complémentaire.

Compétences à pratiquer

Calculer une différence ★
Calculer un complémentaire ★
Démontrer une identité avec différences et complémentaires ★★
Résoudre une équation ensembliste ★★★

II.3 Lois de De Morgan

Le complémentaire échange réunion et intersection

Les lois de De Morgan du chapitre Logique disent que la négation échange « et » et « ou ». Lues sur l'appartenance, elles disent que le complémentaire échange intersection et réunion : être hors de \(A \cup B\), c'est être hors de \(A\) et hors de \(B\). Avec ces lois, les lois de la réunion et de l'intersection et les propriétés du complémentaire, une identité entre ensembles se démontre par le calcul, une loi par ligne, comme une identité algébrique.

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Proposition — Lois de De Morgan pour deux ensembles

Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\) des parties de \(E\) ; les complémentaires sont pris dans \(E\). Alors $$ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad \text{et} \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}. $$ Le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires ; le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires.

Première loi. Les deux membres sont des parties de \(E\) ; soit \(x \in E\). $$ \begin{aligned} x \in \overline{A \cup B} &\iff \neg(x \in A \cup B) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff \neg(x \in A \vee x \in B) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff \neg(x \in A) \wedge \neg(x \in B) && \text{(lois de De Morgan)} \\ &\iff x \in \overline{A} \wedge x \in \overline{B} && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in \overline{A} \cap \overline{B}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cap\). C'est l'identité de l'Exemple « Loi de De Morgan pour deux ensembles » du chapitre Raisonner et rédiger, où elle illustre une Méthode ; elle est ici une loi, énoncée pour toutes les parties de \(E\) et employée dans les calculs qui suivent.
Seconde loi, par dualité. La première loi, appliquée aux parties \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\), donne \(\overline{\overline{A} \cup \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{B}}\). Alors $$ \begin{aligned} \overline{A \cap B} &= \overline{\overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{B}}} && \text{(double complémentaire, pour \(A\) et \(B\))} \\ &= \overline{\overline{\overline{A} \cup \overline{B}}} && \text{(première loi, pour \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\))} \\ &= \overline{A} \cup \overline{B}, \end{aligned} $$ la dernière étape par le double complémentaire, pour la partie \(\overline{A} \cup \overline{B}\).
Seconde démonstration de la seconde loi : la chaîne directe. Pour \(x \in E\), $$ \begin{aligned} x \in \overline{A \cap B} &\iff \neg(x \in A \cap B) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff \neg(x \in A \wedge x \in B) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff \neg(x \in A) \vee \neg(x \in B) && \text{(lois de De Morgan)} \\ &\iff x \in \overline{A} \vee x \in \overline{B} && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in \overline{A} \cup \overline{B}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cup\).

Exemple — De Morgan sur des intervalles

Dans \(E = \mathbb{R}\), soient \(A = \, ]-\infty, 0]\) et \(B = [1, +\infty[\). D'une part, \(A \cup B = \, ]-\infty, 0] \cup [1, +\infty[\), et un réel \(x\) est hors de \(A \cup B\) exactement lorsque \(x > 0\) et \(x < 1\) : \(\overline{A \cup B} = \, ]0, 1[\). D'autre part, \(\overline{A} = \, ]0, +\infty[\) et \(\overline{B} = \, ]-\infty, 1[\), donc \(\overline{A} \cap \overline{B} = \, ]0, 1[\). Les deux calculs donnent le même ensemble, comme le prévoit la première des lois de De Morgan pour deux ensembles. La seconde loi, avec \(A \cap B = \emptyset\) — aucun réel n'est à la fois inférieur ou égal à \(0\) et supérieur ou égal à \(1\) —, donne $$ \begin{aligned} \overline{A} \cup \overline{B} &= \overline{A \cap B} && \text{(lois de De Morgan pour deux ensembles)} \\ &= \complement_{\mathbb{R}} \emptyset && \text{(\(A \cap B = \emptyset\))} \\ &= \mathbb{R}, \end{aligned} $$ la dernière étape par \(\complement_E \emptyset = E\), le complémentaire de l'ensemble vide (Proposition « Propriétés du complémentaire »), ici avec \(E = \mathbb{R}\) ; et en effet tout réel est strictement positif ou strictement inférieur à \(1\).

Exemple — De Morgan en image

À gauche, le complémentaire de \(A \cup B\) est grisé : les points de \(E\) situés hors des deux disques. À droite, les points hors de \(A\) ont une teinte et les points hors de \(B\) l'autre ; les points à double teinte, hors des deux disques, forment l'intersection des deux complémentaires. Ce sont les points grisés à gauche : la première des lois de De Morgan pour deux ensembles, vue sur une configuration.

Méthode — Calculer sur les ensembles sans revenir aux éléments

Pour démontrer une identité entre parties d'un ensemble \(E\), ou pour simplifier une expression :

écrire une chaîne alignée d'égalités qui s'ouvre sur un membre, une loi par ligne, nommée dans la colonne de droite — les lois de la réunion et de l'intersection, les propriétés du complémentaire, en particulier \(A \setminus B = A \cap \overline{B}\), qui change toute différence en intersection, et les lois de De Morgan ; la loi de la dernière ligne est nommée dans la phrase qui suit la chaîne ;
faire entrer les complémentaires avec les lois de De Morgan et le double complémentaire, puis distribuer, et simplifier avec \(A \cap \overline{A} = \emptyset\) et \(A \cup \overline{A} = E\) (propriétés du complémentaire) et les lois des parties \(\emptyset\) et \(E\) ;
revenir aux éléments quand aucune loi ne s'applique directement : pour une inclusion qu'on n'a pas d'abord écrite comme une égalité par la Proposition « Inclusion caractérisée par réunion ou intersection », pour un ensemble défini par une condition, ou pour réfuter une identité, ce pour quoi un élément situé dans un membre et pas dans l'autre suffit.

Un calcul démontre l'identité pour toutes les parties à la fois ; un diagramme de Venn ne fait que l'illustrer.

Exemple — La différence d'une différence

Soient \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\), \(C\) des parties de \(E\). L'identité \((A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)\) se démontre par le calcul : $$ \begin{aligned} (A \setminus B) \setminus C &= (A \setminus B) \cap \overline{C} && \text{(différence comme intersection)} \\ &= (A \cap \overline{B}) \cap \overline{C} && \text{(différence comme intersection)} \\ &= A \cap (\overline{B} \cap \overline{C}) && \text{(associativité de \(\cap\))} \\ &= A \cap \overline{B \cup C} && \text{(lois de De Morgan pour deux ensembles)} \\ &= A \setminus (B \cup C). \end{aligned} $$ La dernière égalité est la différence comme intersection, lue de droite à gauche. Retirer \(B\), puis \(C\), c'est retirer \(B \cup C\) — et aucun élément n'a eu à être nommé.

Compétences à pratiquer

Reconnaître le complémentaire d'une réunion ou d'une intersection ★
Vérifier les lois de De Morgan sur un exemple ★
Simplifier une expression avec les lois de De Morgan ★★
Démontrer une identité par le calcul ensembliste ★★
Démontrer une propriété de la différence symétrique ★★★

II.4 Réunion et intersection d'une famille

Beaucoup d'ensembles à la fois

Il faut parfois combiner une infinité d'ensembles : les intervalles \([-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}]\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\), les multiples de chaque entier, les solutions d'une équation pour chaque valeur d'un paramètre. Une famille de parties de \(E\) est donnée par un ensemble \(I\), l'ensemble des indices, et, pour chaque \(i \in I\), par une partie \(A_i\) de \(E\) ; on la note \((A_i)_{i \in I}\). Pour \(I = \llbracket 1, n \rrbracket\), la famille est la liste \(A_1, \dots, A_n\). La réunion d'une famille rassemble les objets qui appartiennent à au moins un \(A_i\), son intersection ceux qui appartiennent à tous les \(A_i\) : les quantificateurs « il existe » et « pour tout » jouent maintenant les rôles de « ou » et de « et ». Une famille est aussi une application de \(I\) dans l'ensemble des parties de \(E\) : cette lecture appartient au chapitre Applications.

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Définition — Réunion et intersection d'une famille

Soient \(E\) un ensemble et \((A_i)_{i \in I}\) une famille de parties de \(E\).

La réunion de la famille est l'ensemble des éléments de \(E\) qui appartiennent à au moins un \(A_i\) : $$ \bigcup_{i \in I} A_i = \{x \in E \mid \exists i \in I, \ x \in A_i\}. $$
L'intersection de la famille est l'ensemble des éléments de \(E\) qui appartiennent à tous les \(A_i\) : $$ \bigcap_{i \in I} A_i = \{x \in E \mid \forall i \in I, \ x \in A_i\}. $$

Pour \(I = \llbracket 1, n \rrbracket\), on les note aussi \(A_1 \cup \dots \cup A_n\) et \(A_1 \cap \dots \cap A_n\) ; pour \(n = 2\), ce sont la réunion et l'intersection de deux ensembles. Si \(I = \emptyset\), aucun indice n'existe, et tout énoncé « pour tout \(i \in \emptyset\) » est vrai, par le Texte « Quantificateurs sur l'ensemble vide » : la réunion de la famille vide est \(\emptyset\), et son intersection est \(E\). Cette dernière convention est la raison de l'ensemble ambiant : l'intersection d'une famille ne dépend de \(E\) que lorsque \(I\) est vide.

Exemple — Des intervalles qui se resserrent sur un point

Dans \(E = \mathbb{R}\), pour \(n \in \mathbb{N}^*\), soit \(J_n = [-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}]\). Alors $$ \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} J_n = [-1, 1] \qquad \text{et} \qquad \bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} J_n = \{0\}. $$ La réunion. Pour tout \(n \ge 1\), \(\tfrac{1}{n} \le 1\), donc \(J_n \subset [-1, 1]\) : un élément de la réunion est dans un certain \(J_n\), donc dans \([-1, 1]\). Réciproquement, \([-1, 1] = J_1\) : tout élément de \([-1, 1]\) appartient à la réunion, avec le témoin \(n = 1\).
L'intersection. Le nombre \(0\) appartient à tous les \(J_n\), donc \(\{0\} \subset \bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} J_n\). Réciproquement, soit \(x \in \mathbb{R}\) avec \(x \ne 0\). Un entier dépasse le réel \(\tfrac{1}{\lvert x \rvert}\) : il existe \(n \in \mathbb{N}^*\) tel que \(n > \tfrac{1}{\lvert x \rvert}\), c'est-à-dire \(\tfrac{1}{n} < \lvert x \rvert\), donc \(x \notin J_n\) — et un seul indice suffit à exclure \(x\) de l'intersection. Par contraposée, tout élément de l'intersection vaut \(0\). Aucune limite n'est nécessaire : les intervalles se resserrent sur \(\{0\}\) parce qu'un entier dépasse tout réel donné.

Méthode — Déterminer la réunion ou l'intersection d'une famille

Soient \((A_i)_{i \in I}\) une famille de parties de \(E\) et \(x \in E\). Pour déterminer \(\bigcup_{i \in I} A_i\) ou \(\bigcap_{i \in I} A_i\) :

Conjecturer le résultat, en dessinant ou en listant quelques ensembles \(A_i\) ; puis démontrer deux inclusions, par la Méthode « Démontrer une égalité d'ensembles ».
Pour une réunion, l'appartenance est une existence : pour placer \(x\) dans la réunion, exhiber un indice \(i\) tel que \(x \in A_i\) ; pour démontrer que la réunion est incluse dans un ensemble \(S\), prendre \(x \in A_i\) pour un indice \(i\) donné, et non choisi, et démontrer \(x \in S\).
Pour une intersection, l'appartenance est un énoncé universel : pour placer \(x\) dans l'intersection, démontrer \(x \in A_i\) pour tout \(i \in I\) ; pour l'en exclure, un seul indice \(i\) tel que \(x \notin A_i\) suffit, par la négation des quantificateurs.
Pour des intervalles qui dépendent de \(n \in \mathbb{N}^*\), l'indice qui exclut un point se trouve grâce au fait qu'un entier dépasse tout réel donné : il remplace un passage à la limite.

Proposition — Lois de De Morgan pour une famille

Soient \(E\) un ensemble et \((A_i)_{i \in I}\) une famille de parties de \(E\) ; les complémentaires sont pris dans \(E\). Alors $$ \overline{\bigcup_{i \in I} A_i} = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i} \qquad \text{et} \qquad \overline{\bigcap_{i \in I} A_i} = \bigcup_{i \in I} \overline{A_i}. $$ Le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires, et réciproquement.

Première loi. Les deux membres sont des parties de \(E\) ; soit \(x \in E\). $$ \begin{aligned} x \in \overline{\bigcup_{i \in I} A_i} &\iff \neg\Big(x \in \bigcup_{i \in I} A_i\Big) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff \neg\big(\exists i \in I, \ x \in A_i\big) && \text{(définition de la réunion d'une famille)} \\ &\iff \forall i \in I, \ \neg(x \in A_i) && \text{(négation des quantificateurs)} \\ &\iff \forall i \in I, \ x \in \overline{A_i} && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de l'intersection d'une famille.
Seconde loi, par dualité. La première loi, appliquée à la famille \((\overline{A_i})_{i \in I}\), donne \(\overline{\bigcup_{i \in I} \overline{A_i}} = \bigcap_{i \in I} \overline{\overline{A_i}}\). Alors $$ \begin{aligned} \overline{\bigcap_{i \in I} A_i} &= \overline{\bigcap_{i \in I} \overline{\overline{A_i}}} && \text{(double complémentaire, pour chaque \(A_i\))} \\ &= \overline{\overline{\bigcup_{i \in I} \overline{A_i}}} && \text{(première loi, pour la famille \((\overline{A_i})_{i \in I}\))} \\ &= \bigcup_{i \in I} \overline{A_i}, \end{aligned} $$ la dernière étape par le double complémentaire.
Seconde démonstration de la seconde loi : la chaîne directe. Pour \(x \in E\), $$ \begin{aligned} x \in \overline{\bigcap_{i \in I} A_i} &\iff \neg\Big(x \in \bigcap_{i \in I} A_i\Big) && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff \neg\big(\forall i \in I, \ x \in A_i\big) && \text{(définition de l'intersection d'une famille)} \\ &\iff \exists i \in I, \ \neg(x \in A_i) && \text{(négation des quantificateurs)} \\ &\iff \exists i \in I, \ x \in \overline{A_i} && \text{(définition du complémentaire)} \\ &\iff x \in \bigcup_{i \in I} \overline{A_i}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de la réunion d'une famille.

Proposition — Distributivité pour une famille

Soient \(E\) un ensemble, \(B\) une partie de \(E\) et \((A_i)_{i \in I}\) une famille de parties de \(E\). Alors $$ B \cap \bigcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} (B \cap A_i) \qquad \text{et} \qquad B \cup \bigcap_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} (B \cup A_i). $$ L'intersection se distribue sur toute réunion, et la réunion sur toute intersection.

Une étape sur les quantificateurs. Pour un objet \(x\), les propositions « \(x \in B\) et \(\exists i \in I, \ x \in A_i\) » et « \(\exists i \in I, \ (x \in B\) et \(x \in A_i)\) » sont équivalentes, parce que \(x \in B\) ne dépend pas de \(i\). Si la première est vraie, il existe un indice \(i_0\) tel que \(x \in A_{i_0}\), et \(i_0\) est un témoin pour la seconde, puisque \(x \in B\). Si la seconde est vraie, il existe un indice \(i_0\) tel que \(x \in B\) et \(x \in A_{i_0}\) : alors \(x \in B\), et \(i_0\) est un témoin pour \(\exists i \in I, \ x \in A_i\).
Première identité. Les deux membres sont des parties de \(E\) ; soit \(x \in E\). $$ \begin{aligned} x \in B \cap \bigcup_{i \in I} A_i &\iff x \in B \wedge \Big(x \in \bigcup_{i \in I} A_i\Big) && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in B \wedge \big(\exists i \in I, \ x \in A_i\big) && \text{(définition de la réunion d'une famille)} \\ &\iff \exists i \in I, \ (x \in B \wedge x \in A_i) && \text{(l'étape sur les quantificateurs)} \\ &\iff \exists i \in I, \ x \in B \cap A_i && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff x \in \bigcup_{i \in I} (B \cap A_i), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de la réunion d'une famille.
Seconde identité, par les complémentaires. $$ \begin{aligned} B \cup \bigcap_{i \in I} A_i &= \overline{\overline{B \cup \bigcap_{i \in I} A_i}} && \text{(double complémentaire)} \\ &= \overline{\overline{B} \cap \overline{\bigcap_{i \in I} A_i}} && \text{(lois de De Morgan pour deux ensembles)} \\ &= \overline{\overline{B} \cap \bigcup_{i \in I} \overline{A_i}} && \text{(lois de De Morgan pour une famille)} \\ &= \overline{\bigcup_{i \in I} \big(\overline{B} \cap \overline{A_i}\big)} && \text{(première identité, pour \(\overline{B}\) et \((\overline{A_i})_{i \in I}\))} \\ &= \bigcap_{i \in I} \overline{\overline{B} \cap \overline{A_i}} && \text{(lois de De Morgan pour une famille)} \\ &= \bigcap_{i \in I} \big(\overline{\overline{B}} \cup \overline{\overline{A_i}}\big) && \text{(lois de De Morgan pour deux ensembles)} \\ &= \bigcap_{i \in I} (B \cup A_i), \end{aligned} $$ la dernière étape par le double complémentaire, pour \(B\) et pour chaque \(A_i\).
Seconde démonstration de la seconde identité : par disjonction des cas sur « \(x \in B\) ». Soit \(x \in E\) ; on distingue deux cas, qui couvrent toutes les possibilités. Si \(x \in B\), alors \(x\) appartient à \(B \cup \bigcap_{i \in I} A_i\), et à chaque \(B \cup A_i\), donc à \(\bigcap_{i \in I} (B \cup A_i)\) : \(x\) est dans les deux membres. Si \(x \notin B\), alors \(x \in B \cup X \iff x \in X\) pour toute partie \(X\) de \(E\), donc $$ \begin{aligned} x \in B \cup \bigcap_{i \in I} A_i &\iff x \in \bigcap_{i \in I} A_i && \text{(\(x \notin B\))} \\ &\iff \forall i \in I, \ x \in A_i && \text{(définition de l'intersection d'une famille)} \\ &\iff \forall i \in I, \ x \in B \cup A_i && \text{(\(x \notin B\))} \\ &\iff x \in \bigcap_{i \in I} (B \cup A_i), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de l'intersection d'une famille. Dans les deux cas, \(x\) appartient à un membre exactement lorsqu'il appartient à l'autre : les deux parties de \(E\) sont égales.

Compétences à pratiquer

Calculer une réunion ou une intersection finie ★
Déterminer la réunion ou l'intersection d'une famille ★★
Démontrer une identité sur des familles ★★★

III Ensembles disjoints et partitions

III.1 Ensembles disjoints

Découper en morceaux

Découper un problème en cas, c'est découper un ensemble en morceaux : les entiers en pairs et impairs, les réels en strictement négatifs, nul et strictement positifs. Pour que chaque cas soit traité une fois, les morceaux ne doivent pas se chevaucher : ils doivent être disjoints. Une partition découpe un ensemble en morceaux non vides qui ne se chevauchent pas et qui couvrent tout l'ensemble ; c'est le langage du raisonnement par disjonction des cas, et du dénombrement morceau par morceau.

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Définition — Ensembles disjoints, famille deux à deux disjointe

Soit \(E\) un ensemble.

Deux parties \(A\) et \(B\) de \(E\) sont disjointes lorsque \(A \cap B = \emptyset\). Leur réunion se note alors aussi \(A \sqcup B\) et s'appelle une réunion disjointe : \(A \sqcup B\) est l'ensemble \(A \cup B\), et la notation ajoute que \(A\) et \(B\) sont disjointes.
Une famille \((A_i)_{i \in I}\) de parties de \(E\) est deux à deux disjointe lorsque deux ensembles de la famille d'indices distincts sont toujours disjoints : $$ \forall i, j \in I, \ \big(i \ne j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset\big). $$ Sa réunion se note alors aussi \(\bigsqcup_{i \in I} A_i\).

Une famille deux à deux disjointe n'est pas la même chose qu'une famille d'intersection vide. Lorsque \(I\) contient deux indices distincts \(i\) et \(j\), le fait que la famille soit deux à deux disjointe entraîne \(\bigcap_{k \in I} A_k \subset A_i \cap A_j = \emptyset\) ; la réciproque est fausse.

Exemple — Intersection vide, morceaux qui se chevauchent

Dans \(E = \{1, 2, 3\}\), les parties \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{2, 3\}\) et \(C = \{1, 3\}\) ont une intersection vide : \(A \cap B = \{2\}\) et \(2 \notin C\), donc \(A \cap B \cap C = \emptyset\). Pourtant, deux quelconques d'entre elles se rencontrent : \(A \cap B = \{2\}\), \(B \cap C = \{3\}\) et \(C \cap A = \{1\}\). La famille \((A, B, C)\) a une intersection vide et n'est pas deux à deux disjointe. Sur la figure, chaque ensemble est dessiné autour de ses deux éléments.

Toute réunion se récrit en réunion disjointe : pour toutes parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble \(E\), \(A \cup B = A \sqcup (B \setminus A)\). Les deux ensembles sont disjoints, puisqu'un élément de \(B \setminus A\) n'est pas dans \(A\) ; et $$ \begin{aligned} A \cup (B \setminus A) &= A \cup (B \cap \overline{A}) && \text{(différence comme intersection)} \\ &= (A \cup B) \cap (A \cup \overline{A}) && \text{(distributivité de \(\cup\) sur \(\cap\))} \\ &= (A \cup B) \cap E && \text{(\(A \cup \overline{A} = E\), une partie et son complémentaire)} \\ &= A \cup B, \end{aligned} $$ la dernière égalité par les lois de la réunion et de l'intersection, \(A \cup B\) étant une partie de \(E\). Le dénombrement morceau par morceau repose sur cette écriture : pour des ensembles finis, \(\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \setminus A \rvert\).

Compétences à pratiquer

Décider si deux ensembles sont disjoints ★
Dénombrer une réunion par morceaux disjoints ★★
Découper en morceaux disjoints ★★★

III.2 Partitions

Des morceaux qui couvrent tout

Une partition d'un ensemble \(E\) découpe \(E\) en morceaux non vides, qui ne se chevauchent pas, et qui couvrent \(E\) : chaque élément de \(E\) tombe dans exactement un morceau. La parité d'un entier, le reste dans une division euclidienne, le signe d'un réel définissent tous des partitions ; raisonner par disjonction des cas, c'est raisonner le long d'une partition. Une partition est un ensemble dont les éléments sont des parties de \(E\) — une fois de plus, un ensemble d'ensembles.

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Définition — Recouvrement disjoint, partition

Soit \(E\) un ensemble. Une partition de \(E\) est un ensemble \(\mathcal{A}\) de parties de \(E\), c'est-à-dire \(\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(E)\), tel que :

ses éléments sont non vides : \(\emptyset \notin \mathcal{A}\) ;
deux éléments distincts de \(\mathcal{A}\) sont disjoints : \(\forall A, B \in \mathcal{A}, \ \big(A \ne B \Rightarrow A \cap B = \emptyset\big)\) ;
leur réunion est \(E\) : \(\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A = E\), réunion de la famille indexée par \(\mathcal{A}\) lui-même.

Les éléments de \(\mathcal{A}\) sont les morceaux de la partition. Un recouvrement disjoint de \(E\) est une famille \((A_i)_{i \in I}\) de parties de \(E\), deux à deux disjointe, dont la réunion est \(E\), ce que l'on note \(E = \bigsqcup_{i \in I} A_i\) ; certains de ses morceaux peuvent être vides. Lorsque les morceaux d'un recouvrement disjoint sont tous non vides, deux morceaux d'indices distincts sont distincts, puisqu'ils sont disjoints et non vides, et l'ensemble \(\{A_i \mid i \in I\}\) des morceaux est une partition de \(E\).

Exemple — Quatre partitions

Pour une partie \(A\) d'un ensemble \(E\) telle que \(A \ne \emptyset\) et \(A \ne E\), l'ensemble \(\{A, \overline{A}\}\) est une partition de \(E\). D'abord, \(\overline{A} \ne \emptyset\) : supposons \(\overline{A} = \emptyset\) ; alors $$ \begin{aligned} A &= \overline{\overline{A}} && \text{(double complémentaire)} \\ &= \complement_E \emptyset && \text{(hypothèse \(\overline{A} = \emptyset\))} \\ &= E, \end{aligned} $$ la dernière étape par \(\complement_E \emptyset = E\) (Proposition « Propriétés du complémentaire »). Donc \(A = E\), ce qui contredit \(A \ne E\) ; ainsi \(\overline{A} \ne \emptyset\). Ensuite, \(A \cap \overline{A} = \emptyset\) et \(A \cup \overline{A} = E\), par la même Proposition.
Les entiers pairs et les entiers impairs forment la partition \(\{2\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z} + 1\}\) de \(\mathbb{Z}\), où \(2\mathbb{Z} = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\) et \(2\mathbb{Z} + 1 = \{2k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}\) : chaque morceau est non vide (\(0 \in 2\mathbb{Z}\) et \(1 \in 2\mathbb{Z} + 1\)) ; tout entier est pair ou impair, donc les morceaux recouvrent \(\mathbb{Z}\) ; et aucun entier n'est à la fois pair et impair, donc les deux morceaux sont disjoints.
Les restes dans la division par \(3\) donnent la partition \(\{3\mathbb{Z}, 3\mathbb{Z} + 1, 3\mathbb{Z} + 2\}\) de \(\mathbb{Z}\), où \(3\mathbb{Z} + r = \{3k + r \mid k \in \mathbb{Z}\}\) : chaque morceau est non vide (\(r \in 3\mathbb{Z} + r\)) ; par la division euclidienne, tout entier \(n\) s'écrit \(n = 3q + r\) avec \(q \in \mathbb{Z}\) et \(r \in \{0, 1, 2\}\), donc les morceaux recouvrent \(\mathbb{Z}\) ; et le reste est unique, donc deux morceaux distincts sont disjoints.
Pour un ensemble \(E\) non vide, les singletons forment la partition \(\{\{x\} \mid x \in E\}\), la plus fine : chaque \(\{x\}\) est non vide, deux singletons distincts \(\{x\} \ne \{y\}\) ont \(x \ne y\) et sont disjoints, et tout \(x \in E\) est dans \(\{x\}\). L'ensemble \(\{E\}\) est la plus grossière, à un seul morceau : il est non vide puisque \(E \ne \emptyset\), il n'a pas deux morceaux distincts à comparer, et sa réunion est \(E\).

Exemple — Une partition en image

Une partition de \(E\) en quatre morceaux \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) : aucun n'est vide, deux morceaux distincts ne se chevauchent pas, et ensemble ils couvrent le rectangle \(E\).

Proposition — Partitions élément par élément

Soient \(E\) un ensemble et \(\mathcal{A}\) un ensemble de parties de \(E\) tel que \(\emptyset \notin \mathcal{A}\). Alors \(\mathcal{A}\) est une partition de \(E\) si et seulement si tout élément de \(E\) appartient à exactement un morceau : $$ \forall x \in E, \ \exists ! \, A \in \mathcal{A}, \ x \in A. $$ La condition ne voit pas un morceau vide, c'est pourquoi on suppose \(\emptyset \notin \mathcal{A}\) : pour \(E \ne \emptyset\), l'ensemble \(\{\emptyset, E\}\) la vérifie sans être une partition.

Par la Définition « Universel, existentiel, unicité », la condition dit, pour tout \(x \in E\), qu'un morceau contient \(x\) — l'existence — et qu'au plus un morceau le contient — l'unicité. Comme \(\emptyset \notin \mathcal{A}\), l'ensemble \(\mathcal{A}\) est une partition exactement lorsque sa réunion est \(E\) et que deux morceaux distincts sont disjoints. On montre que la première propriété revient à l'existence pour tout \(x \in E\), et la seconde à l'unicité pour tout \(x \in E\) ; la loi « pour tout » se distribue sur « et » donne alors la Proposition.
Réunion et existence. Tout morceau est une partie de \(E\), donc \(\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A \subset E\) toujours. Ainsi la réunion vaut \(E\) exactement lorsque \(E \subset \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A\), c'est-à-dire, par la définition de la réunion d'une famille, lorsque tout \(x \in E\) appartient à au moins un morceau.
Morceaux disjoints et unicité. Supposons que deux morceaux distincts soient toujours disjoints, et soit \(x \in E\). On applique la Méthode « Démontrer l'unicité » : soient \(A, B \in \mathcal{A}\) tels que \(x \in A\) et \(x \in B\). Alors \(x \in A \cap B\), donc \(A \cap B \ne \emptyset\), et la contraposée de « deux morceaux distincts sont disjoints » donne \(A = B\). Réciproquement, supposons que tout \(x \in E\) appartienne à au plus un morceau, et soient \(A, B \in \mathcal{A}\) avec \(A \ne B\). Supposons par l'absurde qu'un objet \(x\) appartienne à \(A \cap B\). Alors \(x \in E\), et \(x\) appartient aux deux morceaux distincts \(A\) et \(B\), ce qui contredit l'unicité. Contradiction ! Donc \(A \cap B = \emptyset\).

Méthode — Démontrer qu'un ensemble de parties est une partition

Pour démontrer qu'un ensemble \(\mathcal{A}\) de parties de \(E\) est une partition de \(E\), deux voies :

Les trois vérifications de la définition : tout morceau est non vide ; deux morceaux distincts sont disjoints ; tout élément de \(E\) est dans un morceau — l'inclusion réciproque de la réunion dans \(E\) est automatique.
Le critère élément par élément : tout morceau est non vide, et tout \(x \in E\) est dans exactement un morceau, l'existence puis l'unicité, par la Proposition « Partitions élément par élément ».

Par exemple, les intervalles \([n, n + 1[\), pour \(n \in \mathbb{Z}\), forment une partition de \(\mathbb{R}\), ce que l'on note \(\mathbb{R} = \bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}} [n, n + 1[\). Chaque morceau est non vide, puisque \(n \in [n, n + 1[\). Pour \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{Z}\), \(x \in [n, n + 1[\) signifie \(n \le x < n + 1\), c'est-à-dire \(n = \lfloor x \rfloor\), la partie entière de \(x\) : tout réel est dans exactement un intervalle, celui pour lequel \(n = \lfloor x \rfloor\).

Compétences à pratiquer

Compter les partitions d'un petit ensemble ★
Décider si une famille est une partition ★
Construire une partition ★
Démontrer qu'une famille est une partition ★★
Raffiner et combiner des partitions ★★★

IV Produits cartésiens

IV.1 Couples et produits

L'ordre compte

Le chapitre Théorie des ensembles a introduit les couples \((a, b)\) et les \(n\)-uplets \((a_1, \dots, a_n)\), ainsi que le produit cartésien de deux ensembles. À la différence d'un ensemble, un \(n\)-uplet a un ordre — \((1, 2) \ne (2, 1)\) — et peut répéter une composante — \((1, 1)\) est un couple. Le produit de \(n\) ensembles rassemble tous les \(n\)-uplets dont la \(i\)-ième composante est prise dans le \(i\)-ième ensemble : le plan \(\mathbb{R}^2\), l'espace \(\mathbb{R}^3\), les issues de \(n\) tirages successifs.

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Définition — Produit cartésien

Soient \(n \ge 1\) un entier et \(E_1, \dots, E_n\) des ensembles.

Deux \(n\)-uplets sont égaux lorsque leurs composantes sont égales, rang par rang : $$ (x_1, \dots, x_n) = (y_1, \dots, y_n) \iff \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \ x_i = y_i. $$
Le produit cartésien de \(E_1, \dots, E_n\) est l'ensemble des \(n\)-uplets dont la \(i\)-ième composante appartient à \(E_i\) pour tout \(i\) : $$ E_1 \times \dots \times E_n = \{(x_1, \dots, x_n) \mid \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \ x_i \in E_i\}. $$ Lorsque \(E_1 = \dots = E_n = E\), le produit se note \(E^n\). Pour \(n = 2\), les éléments de \(E \times F\) sont les couples \((x, y)\) tels que \(x \in E\) et \(y \in F\).

Un quantificateur sur un produit abrège plusieurs quantificateurs : « \(\forall (x, y) \in E \times F, \ P(x, y)\) » abrège « \(\forall x \in E, \ \forall y \in F, \ P(x, y)\) », et « \(\exists (x, y) \in E \times F, \ P(x, y)\) » abrège « \(\exists x \in E, \ \exists y \in F, \ P(x, y)\) ».

Exemple — Produits d'ensembles

Avec \(a \ne b\), \(\{1, 2, 3\} \times \{a, b\} = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}\) : six couples, chaque élément du premier ensemble étant associé à chaque élément du second.
\(\mathbb{R}^2 = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}\}\) est l'ensemble des coordonnées des points d'un plan muni d'un repère, et \(\mathbb{R}^3\) celui des points de l'espace.
Pour des ensembles finis \(A\) et \(B\), \(\lvert A \times B \rvert = \lvert A \rvert \times \lvert B \rvert\), comme le chapitre Théorie des ensembles l'a montré avec un tableau de couples ; ici \(3 \times 2 = 6\).

Exemple — Un produit en grille

Pour \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) et \(B = \{1, 2, 3\}\), le produit \(A \times B\) se dessine comme une grille : la première composante sur l'axe horizontal, la seconde sur l'axe vertical, un point pour chaque couple. La grille a \(4\) colonnes de \(3\) points, donc \(\lvert A \times B \rvert = 4 \times 3 = 12\) ; les couples \((1, 2)\) et \((2, 1)\) sont deux points différents de la grille.

Piège — un n-uplet n'est pas un ensemble

Un \(n\)-uplet \((x_1, \dots, x_n)\) n'est pas l'ensemble \(\{x_1, \dots, x_n\}\). Deux différences :

L'ordre. \((1, 2) \ne (2, 1)\), alors que \(\{1, 2\} = \{2, 1\}\).
Les répétitions. \((1, 1, 2)\) est un \(3\)-uplet dont les deux premières composantes sont égales, alors que \(\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}\) a deux éléments.

Le produit fabrique des \(n\)-uplets, la réunion fabrique des ensembles. Écrire \(\{x, y\}\) pour le couple \((x, y)\) perd l'ordre et, lorsque \(x = y\), un élément.

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Compétences à pratiquer

Compter les éléments d'un produit ★
Lister les éléments d'un produit ★
Comparer \(n\)-uplets et ensembles ★

IV.2 Parties d'un produit

Des régions du plan

Une partie de \(E \times F\) se décrit par une condition sur les couples : \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2\}\) est une parabole, \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 1\}\) un disque. Certaines de ces parties sont des produits, comme le rectangle \([0, 1] \times [0, 2]\) ; la plupart n'en sont pas. Les produits se comportent bien avec l'intersection et la réunion, et une partie d'un produit se reconnaît comme un produit, ou non, en regardant ses couples.

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Proposition — Produits, intersections, réunions

Soient \(A\) et \(C\) des parties d'un ensemble \(E\), et \(B\) et \(D\) des parties d'un ensemble \(F\).

Intersection : \((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)\).
Réunion : \((A \cup C) \times B = (A \times B) \cup (C \times B)\) et \(A \times (B \cup D) = (A \times B) \cup (A \times D)\).
Produit vide : \(A \times B = \emptyset \iff (A = \emptyset \vee B = \emptyset)\).

Les ensembles comparés dans les deux premiers points sont des parties de \(E \times F\), dont les éléments sont des couples. Par la règle d'égalité des couples, un couple détermine ses composantes, donc \((x, y) \in A \times B \iff (x \in A \wedge y \in B)\). Soit \((x, y) \in E \times F\).

Intersection. $$ \begin{aligned} (x, y) \in (A \times B) \cap (C \times D) &\iff (x, y) \in A \times B \wedge (x, y) \in C \times D && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff (x \in A \wedge y \in B) \wedge (x \in C \wedge y \in D) && \text{(définition du produit)} \\ &\iff (x \in A \wedge x \in C) \wedge (y \in B \wedge y \in D) && \text{(commutativité et associativité)} \\ &\iff x \in A \cap C \wedge y \in B \cap D && \text{(définition de \(\cap\))} \\ &\iff (x, y) \in (A \cap C) \times (B \cap D), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition du produit.
Réunion. Première identité, la réunion portant sur la première composante : $$ \begin{aligned} (x, y) \in (A \cup C) \times B &\iff x \in A \cup C \wedge y \in B && \text{(définition du produit)} \\ &\iff (x \in A \vee x \in C) \wedge y \in B && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff y \in B \wedge (x \in A \vee x \in C) && \text{(commutativité de \(\wedge\))} \\ &\iff (y \in B \wedge x \in A) \vee (y \in B \wedge x \in C) && \text{(distributivité de \(\wedge\) sur \(\vee\))} \\ &\iff (x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in B) && \text{(commutativité de \(\wedge\), dans chaque conjonction)} \\ &\iff (x, y) \in A \times B \vee (x, y) \in C \times B && \text{(définition du produit)} \\ &\iff (x, y) \in (A \times B) \cup (C \times B), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cup\). Seconde identité, la réunion portant sur la seconde composante : $$ \begin{aligned} (x, y) \in A \times (B \cup D) &\iff x \in A \wedge y \in B \cup D && \text{(définition du produit)} \\ &\iff x \in A \wedge (y \in B \vee y \in D) && \text{(définition de \(\cup\))} \\ &\iff (x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in A \wedge y \in D) && \text{(distributivité de \(\wedge\) sur \(\vee\))} \\ &\iff (x, y) \in A \times B \vee (x, y) \in A \times D && \text{(définition du produit)} \\ &\iff (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times D), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de \(\cup\).
Produit vide. Si \(A = \emptyset\), aucun couple \((x, y)\) ne vérifie \(x \in A\), donc \(A \times B = \emptyset\) ; de même si \(B = \emptyset\). Réciproquement, montrons la contraposée : supposons \(A \ne \emptyset\) et \(B \ne \emptyset\), et soient \(a \in A\) et \(b \in B\). Alors \((a, b) \in A \times B\), donc \(A \times B \ne \emptyset\). Puisque nous avons prouvé la contraposée, \(A \times B = \emptyset\) entraîne \(A = \emptyset\) ou \(B = \emptyset\).

Exemple — Un carré et un disque

Le carré \([0, 1]^2 = [0, 1] \times [0, 1]\) est un produit. Le disque unité \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 1\}\) n'en est pas un : il n'est égal à \(A \times B\) pour aucun choix de parties \(A\) et \(B\) de \(\mathbb{R}\). Supposons par l'absurde que \(D = A \times B\). Comme \((1, 0) \in D\), \(1 \in A\) ; comme \((0, 1) \in D\), \(1 \in B\) ; donc \((1, 1) \in A \times B = D\). Or \(1^2 + 1^2 = 2 > 1\), donc \((1, 1) \notin D\). Contradiction ! Donc \(D\) n'est pas un produit. Un produit contient, avec deux couples, le couple formé de la première composante de l'un et de la seconde composante de l'autre ; le disque échoue à ce test au coin \((1, 1)\) du carré.

Pour aller plus loin

Le paradoxe de Russell. Pourquoi un ensemble défini par une condition est-il toujours pris dans un ensemble donné à l'avance ? Supposons que toute condition définisse un ensemble, et considérons \(R = \{x \mid x \notin x\}\), l'ensemble des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes. Si \(R \in R\), alors \(R\) vérifie la condition, donc \(R \notin R\) ; si \(R \notin R\), alors \(R\) vérifie la condition, donc \(R \in R\). Les deux cas sont contradictoires : un tel ensemble n'existe pas. Prise dans un ensemble \(E\), la condition est inoffensive : \(R_E = \{x \in E \mid x \notin x\}\) est un ensemble. Si \(R_E\) était un élément de \(E\), alors \(R_E \in R_E\) signifierait \(R_E \in E\) et \(R_E \notin R_E\), c'est-à-dire, puisque \(R_E \in E\), \(R_E \notin R_E\) : la même contradiction. Donc \(R_E \notin E\) — aucun ensemble ne contient tous les ensembles. C'est pourquoi une compréhension s'écrit \(\{x \in E \mid P(x)\}\), ou avec une condition qui impose elle-même l'appartenance à un ensemble donné, comme \(x \in A\) dans \(A \setminus B\). Les autres constructions du chapitre — l'ensemble des parties, la réunion d'une famille, le produit — sont accordées par les axiomes de la théorie des ensembles, qui énumèrent les façons de construire un ensemble.
Les couples comme ensembles. Un couple peut lui-même se définir comme un ensemble, comme l'a proposé Kuratowski : \((a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}\). Cette définition donne la règle d'égalité des couples. Supposons que \(\{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\}\). L'élément \(\{a\}\) du membre de gauche est \(\{c\}\) ou \(\{c, d\}\) ; dans les deux cas \(c = a\). Si \(a = b\), le membre de gauche est \(\{\{a\}\}\), donc \(\{c, d\} = \{a\}\), et \(d = a = b\). Si \(a \ne b\), l'ensemble \(\{a, b\}\) a deux éléments, donc ce n'est pas \(\{c\} = \{a\}\) : c'est \(\{c, d\}\), donc \(b \in \{a, d\}\) avec \(b \ne a\), c'est-à-dire \(b = d\). Dans tous les cas \(a = c\) et \(b = d\), et la réciproque est claire. L'ordre est porté par le singleton : \(\{a\}\) marque la première composante.

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Compétences à pratiquer

Compter les éléments d'une partie d'un produit ★
Décrire une partie du plan ★
Démontrer une identité sur des produits ★★
Décider si une partie d'un produit est un produit ★★★

V Exercices de colle

Compétences à pratiquer

Travailler un exercice de colle ★
Travailler un exercice de colle ★★
Travailler un exercice de colle ★★★

VI Problèmes d'écrit

Compétences à pratiquer

Travailler un problème d'écrit ★
Travailler un problème d'écrit ★★
Travailler un problème d'écrit ★★★
Quiz

Devoir facile : les codes d'une serrure

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

Devoir difficile : sommes de parties d'un groupe

3 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 3 h.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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