Éducation Nationale Française · PTSI

Géométrie du plan et de l'espace

⌚ ~99 min ▢ 12 blocs ✓ 40 exercices ➣ Prérequis : Nombres complexes

Ce chapitre reprend la géométrie du plan et de l'espace, vue au lycée, et la munit des outils du programme de prépa : le produit scalaire, le produit mixte dans le plan, le produit vectoriel et le produit mixte dans l'espace. On travaille partout avec des coordonnées dans un repère orthonormé fixé : chaque objet — une droite, un cercle, un plan, une sphère — est décrit par une équation, et chaque question géométrique (distance, orthogonalité, aire, volume, intersection) devient un calcul. Le plan $\mathbb{R}^2$ et l'espace $\mathbb{R}^3$ sont supposés orientés : un repère orthonormé direct est fixé une fois pour toutes, ce qui donne un signe au produit mixte dans le plan et une direction au produit vectoriel.

Signaler une erreur

I Géométrie du plan

I.1 Modes de repérage

Le plan est rapporté à un repère orthonormé fixe $(O ; \vec\imath, \vec\jmath)$. On repère un point soit par ses coordonnées cartésiennes, soit — lorsque les distances à l'origine et les angles sont centraux — par ses coordonnées polaires.

Signaler une erreur

Définition — Coordonnées cartésiennes et polaires

Un point $M$ du plan a pour coordonnées cartésiennes $(x, y)$ lorsque $\overrightarrow{OM} = x\,\vec\imath + y\,\vec\jmath$. Pour $M \ne O$, un couple $(r, \theta)$ avec $r > 0$ est un système de coordonnées polaires de $M$ lorsque $$ x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta . $$ Alors $r = \sqrt{x^2 + y^2} = OM$ est unique, et $\theta$ est défini modulo $2\pi$. L'origine $O$ a $r = 0$ et aucun angle défini.

Exemple

Le point $M(1 ; 1)$ a $r = \sqrt 2$ et $\theta = \pi/4$, donc $M$ a pour coordonnées polaires $(\sqrt 2, \pi/4)$.

Exemple

Le point de coordonnées polaires $(2, 2\pi/3)$ a pour coordonnées cartésiennes $x = 2\cos(2\pi/3) = -1$ et $y = 2\sin(2\pi/3) = \sqrt 3$, soit $(-1 ; \sqrt 3)$.

Méthode — Convertir entre coordonnées cartésiennes et polaires

Des polaires aux cartésiennes, appliquer $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Des cartésiennes aux polaires (pour $M \ne O$), calculer $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, puis trouver $\theta$ à partir de $\cos\theta = x/r$ et $\sin\theta = y/r$ ensemble (une seule équation laisse une ambiguïté de signe).

Compétences à pratiquer

Convertir entre systèmes de coordonnées

I.2 Produit scalaire

Le produit scalaire mesure longueurs et angles. On en donne la définition géométrique, puis l'expression en base orthonormée, qui transforme toute question de longueur et d'orthogonalité en calcul.

Signaler une erreur

Définition — Norme euclidienne et produit scalaire

Pour un vecteur $\vec u = (x, y)$ de $\mathbb{R}^2$, la norme euclidienne est $\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Le produit scalaire de deux vecteurs est $$ \vec u \cdot \vec v = \begin{cases} \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u, \vec v}) & \text{si } \vec u \ne \vec 0 \text{ et } \vec v \ne \vec 0,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Proposition — Propriétés du produit scalaire

Exemple

Pour $\vec u = (3 ; 1)$ et $\vec v = (-1 ; 2)$, $\vec u \cdot \vec v = 3(-1) + 1\cdot 2 = -1$ et $\|\vec u\| = \sqrt{10}$.

Exemple

Les vecteurs $(2 ; 1)$ et $(-1 ; 2)$ sont orthogonaux, car $2(-1) + 1\cdot 2 = 0$.

Méthode — Tester l'orthogonalité et calculer une distance

Pour tester si $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$, calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ en coordonnées : il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. La distance entre deux points est $AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Preuve

On part de l'expression en coordonnées $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ (admise équivalente à la définition géométrique). Avec $\vec u = (x,y)$, $\vec v = (x',y')$ : $$ \begin{aligned} \|\vec u + \vec v\|^2 &= (x+x')^2 + (y+y')^2 \\ &= (x^2+y^2) + (x'^2+y'^2) + 2(xx'+yy') && \text{(développement)} \\ &= \|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v. \end{aligned} $$ En résolvant en $\vec u \cdot \vec v$, on obtient la formule de polarisation.

Exemple

Calculer l'angle entre $\vec u = (1 ; 0)$ et $\vec v = (1 ; 1)$.

Correction

$$ \cos(\widehat{\vec u, \vec v}) = \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2}, $$ donc l'angle vaut $\pi/4$.

Méthode — Projeter orthogonalement un vecteur sur une direction

Le projeté orthogonal de $\vec v$ sur la direction d'un vecteur non nul $\vec u$ est $\dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|^2}\,\vec u$ ; sa longueur algébrique est $\dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|}$.

Compétences à pratiquer

Calculer produits scalaires et angles

I.3 Produit mixte dans le plan

Dans le plan orienté, le produit mixte de deux vecteurs mesure l'aire orientée qu'ils engendrent. C'est l'analogue plan d'un déterminant et il détecte la colinéarité.

Signaler une erreur

Définition — Produit mixte dans le plan

Le produit mixte de deux vecteurs du plan orienté, avec l'angle orienté $(\widehat{\vec u, \vec v})$, est $$ [\vec u, \vec v] = \begin{cases} \|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\widehat{\vec u, \vec v}) & \text{si } \vec u \ne \vec 0 \text{ et } \vec v \ne \vec 0,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Proposition — Propriétés du produit mixte

Le produit mixte est bilinéaire et antisymétrique ($[\vec v, \vec u] = -[\vec u, \vec v]$). Dans une base orthonormée directe, pour $\vec u = (x, y)$ et $\vec v = (x', y')$, $$ [\vec u, \vec v] = x y' - y x' . $$ Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $[\vec u, \vec v] = 0$, et $\bigl|[\vec u, \vec v]\bigr|$ est l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent. L'orientation du plan est admise ; l'équivalence avec la forme analytique est admise.

Exemple

Pour $\vec u = (2 ; 1)$ et $\vec v = (1 ; 3)$, $[\vec u, \vec v] = 2\cdot 3 - 1\cdot 1 = 5$ : le parallélogramme a pour aire $5$, et les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exemple

Les vecteurs $(2 ; 4)$ et $(1 ; 2)$ sont colinéaires, car $[\,(2,4),(1,2)\,] = 2\cdot 2 - 4\cdot 1 = 0$.

Méthode — Calculer une aire et tester la colinéarité

L'aire orientée du triangle $ABC$ est $\tfrac12 [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$. Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = 0$.

Compétences à pratiquer

Calculer des aires et tester la colinéarité

I.4 Droites

Une droite se décrit de trois façons équivalentes : par un point et un vecteur directeur, par deux points distincts, ou par un point et un vecteur normal. Chacune fournit une représentation paramétrique et une équation cartésienne.

Signaler une erreur

Définition — Droite : les trois modes

La droite passant par $A(x_0 ; y_0)$ dirigée par $\vec u(a, b) \ne \vec 0$, notée $A + \mathrm{Vect}(\vec u)$, a pour représentation paramétrique $(x, y) = (x_0 + \lambda a,\ y_0 + \lambda b)$, $\lambda \in \mathbb{R}$, et pour équation cartésienne $b(x - x_0) - a(y - y_0) = 0$. La droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec n(\alpha, \beta) \ne \vec 0$ a pour équation cartésienne $\alpha(x - x_0) + \beta(y - y_0) = 0$. Réciproquement $ux + vy + w = 0$ (avec $(u,v) \ne (0,0)$) est une droite de vecteur normal $(u, v)$ et de vecteur directeur $(-v, u)$.

Exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; -1)$.

Correction

Un vecteur directeur est $\overrightarrow{AB} = (2 ; -3)$, donc un vecteur normal est $(3 ; 2)$. Une équation est $3(x - 1) + 2(y - 2) = 0$, soit $$ 3x + 2y - 7 = 0 . $$

Proposition — Distance d'un point à une droite

La distance de $M(x_M ; y_M)$ à la droite $D : ux + vy + w = 0$ est $$ d(M, D) = \frac{|u x_M + v y_M + w|}{\sqrt{u^2 + v^2}} . $$

Preuve

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D$ et $A$ un point quelconque de $D$. Le vecteur normal $\vec n = (u, v)$ vérifie $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n = u x_M + v y_M + w$ (car $u x_A + v y_A + w = 0$). Alors $$ \begin{aligned} d(M, D) &= MH = \frac{|\overrightarrow{AM}\cdot\vec n|}{\|\vec n\|} && \text{(projection sur la normale)} \\ &= \frac{|u x_M + v y_M + w|}{\sqrt{u^2 + v^2}}. \end{aligned} $$

Méthode — Projeté orthogonal et lignes de niveau

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $D : ux + vy + w = 0$ s'obtient en écrivant $H = M + t\,\vec n$ (le long de la normale $\vec n = (u,v)$) et en imposant $H \in D$, ce qui donne $t$. Les lignes de niveau de $M \mapsto \vec u \cdot \overrightarrow{AM}$ (resp. $M \mapsto [\vec u, \overrightarrow{AM}]$) sont les droites orthogonales à $\vec u$ (resp. parallèles à $\vec u$) ; le signe de l'expression partage le plan en deux demi-plans, ce qui résout les problèmes de régionnement.

Exemple

Calculer la distance de $M(1 ; 1)$ à la droite $D : 3x + 2y - 7 = 0$.

Correction

$$ d(M, D) = \frac{|3\cdot 1 + 2\cdot 1 - 7|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}} . $$

Exemple

La droite $D : 3x + 2y - 7 = 0$ a pour vecteur normal $\vec n = (3, 2)$ et pour vecteur directeur $(-2, 3)$. La figure montre $D$, sa normale en un point, et la distance de $M(1 ; 1)$.

Exemple

Décrire l'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{OM} \ge 0$, où $\vec u = (1 ; 1)$, ainsi que la ligne de niveau $0$.

Correction

Ici $\vec u \cdot \overrightarrow{OM} = x + y$. La ligne de niveau $x + y = 0$ est la droite passant par $O$ orthogonale à $\vec u$ ; la condition $x + y \ge 0$ est le demi-plan fermé du côté de $\vec u$.

Compétences à pratiquer

Déterminer des équations de droites et des distances

I.5 Cercles

Un cercle est l'ensemble des points à distance fixée d'un centre. Outre son équation cartésienne, il admet un paramétrage et une caractérisation utile par un angle droit.

Signaler une erreur

Définition — Cercle

Le cercle de centre $\Omega(a ; b)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation cartésienne $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ et pour paramétrage $(x, y) = (a + R\cos t,\ b + R\sin t)$, $t \in [0, 2\pi[$.

Proposition — Cercle de diamètre $AB$

Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ (avec $A \ne B$) si et seulement si $$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 . $$

Preuve

Soit $\Omega$ le milieu de $[AB]$ et $R = \tfrac12 AB$. En écrivant $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M\Omega} - \overrightarrow{\Omega A}$ (car $\overrightarrow{\Omega B} = -\overrightarrow{\Omega A}$), $$ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= \|\overrightarrow{M\Omega}\|^2 - \|\overrightarrow{\Omega A}\|^2 && \text{(}(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=\|\vec a\|^2-\|\vec b\|^2\text{)} \\ &= M\Omega^2 - R^2. \end{aligned} $$ C'est nul si et seulement si $M\Omega = R$, c'est-à-dire si $M$ est sur le cercle de centre $\Omega$, rayon $R$ — le cercle de diamètre $[AB]$.

Exemple

Le cercle de centre $\Omega(1 ; -2)$ et de rayon $3$ a pour équation $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$.

Exemple

Trouver le cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(0 ; 0)$ et $B(2 ; 2)$, et vérifier la caractérisation par l'angle droit sur le point $M(2 ; 0)$.

Correction

Le centre est le milieu $\Omega(1 ; 1)$ et le rayon est $R = \tfrac12 AB = \sqrt 2$, donc le cercle est $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$. Pour $M(2 ; 0)$ : $\overrightarrow{MA} = (-2 ; 0)$, $\overrightarrow{MB} = (0 ; 2)$, d'où $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$ — $M$ est sur le cercle, avec un angle droit en $M$.

Exemple

Trouver l'intersection du cercle $x^2 + y^2 = 1$ avec la droite $y = x$.

Correction

En substituant $y = x$, on obtient $2x^2 = 1$, donc $x = \pm \tfrac{1}{\sqrt 2}$. Les deux points sont $\big(\tfrac{1}{\sqrt 2}, \tfrac{1}{\sqrt 2}\big)$ et $\big(-\tfrac{1}{\sqrt 2}, -\tfrac{1}{\sqrt 2}\big)$.

Compétences à pratiquer

Caractériser des cercles

II Géométrie de l'espace

II.1 Modes de repérage

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O ; \vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$. Outre les coordonnées cartésiennes, les coordonnées cylindriques combinent les coordonnées polaires de la projection sur le plan $(xy)$ avec la hauteur $z$. Le produit scalaire, la norme et la distance se transposent du plan sans changement : $\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Signaler une erreur

Définition — Coordonnées cartésiennes et cylindriques

Un point $M$ a pour coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ lorsque $\overrightarrow{OM} = x\,\vec\imath + y\,\vec\jmath + z\,\vec k$. Un système de coordonnées cylindriques est $(r, \theta, z)$ avec $r \ge 0$ et $$ x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad z = z , $$ où $(r, \theta)$ sont des coordonnées polaires du projeté de $M$ sur le plan $(xy)$, avec $r > 0$ (sur l'axe $z$, $r = 0$ et $\theta$ est arbitraire).

Exemple

Le point de coordonnées cylindriques $(2, \pi/2, 3)$ a pour coordonnées cartésiennes $(0 ; 2 ; 3)$.

Exemple

Le point $M(1 ; 1 ; 5)$ a $r = \sqrt 2$, $\theta = \pi/4$, $z = 5$, donc pour coordonnées cylindriques $(\sqrt 2, \pi/4, 5)$.

Méthode — Convertir entre coordonnées cartésiennes et cylindriques

Garder $z$ inchangé et appliquer la conversion polaire plane à $(x, y)$ : $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\theta$ à partir de $\cos\theta = x/r$, $\sin\theta = y/r$ ; réciproquement $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$.

Compétences à pratiquer

Convertir des coordonnées cylindriques

II.2 Produit scalaire

Le produit scalaire dans l'espace a la même définition géométrique et les mêmes propriétés que dans le plan, avec une troisième coordonnée ajoutée.

Signaler une erreur

Définition — Produit scalaire dans l'espace

Pour $\vec u = (x, y, z)$ et $\vec v = (x', y', z')$, le produit scalaire est $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u, \vec v})$ (et $0$ si un vecteur est nul) ; son expression dans la base orthonormée est $\vec u \cdot \vec v = x x' + y y' + z z'$.

Proposition — Propriétés

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, $\|\vec u\|^2 = \vec u \cdot \vec u$, et $\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$. Les démonstrations sont hors programme (définition géométrique admise).

Exemple

Pour $\vec u = (1 ; 2 ; 2)$ et $\vec v = (2 ; -1 ; 0)$, $\vec u \cdot \vec v = 2 - 2 + 0 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux, et $\|\vec u\| = 3$.

Exemple

Calculer l'angle entre $\vec u = (1 ; 1 ; 0)$ et $\vec v = (0 ; 1 ; 1)$.

Correction

$$ \cos(\widehat{\vec u, \vec v}) = \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \frac{1}{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \frac12 , $$ donc l'angle vaut $\pi/3$.

Méthode — Calculer angles et distances dans l'espace

Les formules du plan se transposent avec une troisième coordonnée : l'angle par $\cos(\widehat{\vec u, \vec v}) = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$, la distance $AB = \|\overrightarrow{AB}\|$, et l'orthogonalité par $\vec u \cdot \vec v = 0$.

Compétences à pratiquer

Calculer des angles dans l'espace

II.3 Produit vectoriel

Le produit vectoriel est propre à l'espace orienté : il produit un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés, dont la norme est l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent. C'est l'outil clé pour les normales aux plans.

Signaler une erreur

Définition — Produit vectoriel

Pour deux vecteurs $\vec u, \vec v$ de l'espace orienté : s'ils ne sont pas colinéaires, le produit vectoriel $\vec u \wedge \vec v$ est le vecteur $\vec n$ orthogonal à $\mathrm{Vect}(\vec u, \vec v)$, de norme $\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin(\widehat{\vec u, \vec v})|$, tel que $(\vec u, \vec v, \vec n)$ soit une base directe ; s'ils sont colinéaires, $\vec u \wedge \vec v = \vec 0$.

Proposition — Propriétés et coordonnées

Le produit vectoriel est bilinéaire et antisymétrique ($\vec v \wedge \vec u = -\vec u \wedge \vec v$). Dans une base orthonormée directe, pour $\vec u = (x, y, z)$, $\vec v = (x', y', z')$, $$ \vec u \wedge \vec v = (y z' - z y',\ z x' - x z',\ x y' - y x') . $$ Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $\vec u \wedge \vec v = \vec 0$, et $\|\vec u \wedge \vec v\|$ est l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent. Les démonstrations sont hors programme (orientation de l'espace admise).

Exemple

Calculer $\vec u \wedge \vec v$ pour $\vec u = (1 ; 0 ; 1)$ et $\vec v = (0 ; 1 ; 1)$.

Correction

$$ \begin{aligned} \vec u \wedge \vec v &= (0\cdot 1 - 1\cdot 1,\ 1\cdot 0 - 1\cdot 1,\ 1\cdot 1 - 0\cdot 0) \\ &= (-1,\ -1,\ 1) . \end{aligned} $$ Ce vecteur est bien orthogonal à $\vec u$ et à $\vec v$ (les produits scalaires sont nuls).

Méthode — Trouver un vecteur normal et une aire

Un vecteur normal au plan passant par trois points non alignés $A, B, C$ est $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$. L'aire du triangle $ABC$ est $\tfrac12 \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|$.

Exemple

Calculer l'aire du triangle $ABC$ avec $A(0 ; 0 ; 0)$, $B(1 ; 0 ; 0)$, $C(0 ; 2 ; 0)$.

Correction

$\overrightarrow{AB} = (1 ; 0 ; 0)$, $\overrightarrow{AC} = (0 ; 2 ; 0)$, donc $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (0 ; 0 ; 2)$ et l'aire est $\tfrac12\|(0,0,2)\| = 1$.

Exemple

La convention d'orientation : $(\vec u, \vec v, \vec u \wedge \vec v)$ est une base directe (règle de la main droite). Pour $\vec\imath \wedge \vec\jmath = \vec k$, les trois axes suivent la main droite.

Compétences à pratiquer

Calculer des produits vectoriels

II.4 Produit mixte

En combinant produit vectoriel et produit scalaire, on obtient le produit mixte de trois vecteurs, qui mesure le volume orienté qu'ils engendrent et détecte la coplanarité.

Signaler une erreur

Définition — Produit mixte dans l'espace

Le produit mixte de trois vecteurs est $[\vec u, \vec v, \vec w] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w$.

Proposition — Propriétés du produit mixte

Le produit mixte est trilinéaire et antisymétrique. Dans une base orthonormée directe, c'est le déterminant $3 \times 3$ des coordonnées, calculé par la règle de Sarrus ; $\bigl|[\vec u, \vec v, \vec w]\bigr|$ est le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs, et $[\vec u, \vec v, \vec w] = 0$ si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires. Les démonstrations sont hors programme. (Ce déterminant est revu dans le chapitre Déterminants.)

Exemple

Pour $\vec u = (1 ; 0 ; 0)$, $\vec v = (0 ; 1 ; 0)$, $\vec w = (1 ; 1 ; 2)$, $[\vec u, \vec v, \vec w] = (\vec u \wedge \vec v)\cdot\vec w = (0,0,1)\cdot(1,1,2) = 2$ : le parallélépipède a pour volume $2$, et les vecteurs ne sont pas coplanaires.

Méthode — Tester la coplanarité et calculer un volume

Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si $[\vec u, \vec v, \vec w] = 0$. Le volume du parallélépipède (resp. du tétraèdre) qu'ils engendrent est $\bigl|[\vec u, \vec v, \vec w]\bigr|$ (resp. $\tfrac16\bigl|[\vec u, \vec v, \vec w]\bigr|$).

Exemple

Les vecteurs $\vec u = (1 ; 1 ; 0)$, $\vec v = (0 ; 1 ; 1)$, $\vec w = (1 ; 2 ; 1)$ sont-ils coplanaires ?

Correction

$\vec u \wedge \vec v = (1 ; -1 ; 1)$, donc $[\vec u, \vec v, \vec w] = (1,-1,1)\cdot(1,2,1) = 1 - 2 + 1 = 0$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

Compétences à pratiquer

Calculer des volumes et tester la coplanarité

II.5 Plans et droites

Un plan est fixé par un point et deux vecteurs non colinéaires, par un point et un vecteur normal, ou par trois points non alignés. Une droite est fixée par un point et une direction, par deux points, ou comme intersection de deux plans — auquel cas elle est décrite par un système de deux équations cartésiennes, jamais par une seule.

Signaler une erreur

Définition — Plans et droites dans l'espace

Le plan passant par $A(x_0 ; y_0 ; z_0)$ de vecteur normal $\vec n(a, b, c) \ne \vec 0$ a pour équation cartésienne $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, soit $ax + by + cz + d = 0$. Par trois points non alignés $A, B, C$, un vecteur normal est $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$. Une droite est donnée paramétriquement par un point et un vecteur directeur, ou comme intersection de deux plans non parallèles par le système $\{ax + by + cz + d = 0 ;\ a'x + b'y + c'z + d' = 0\}$.

Exemple

Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $A(1 ; 0 ; 0)$, $B(0 ; 1 ; 0)$, $C(0 ; 0 ; 1)$.

Correction

Un vecteur normal est $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (-1,1,0) \wedge (-1,0,1) = (1, 1, 1)$. Le plan a pour équation $1(x - 1) + y + z = 0$, soit $$ x + y + z = 1 . $$

Proposition — Distance d'un point à un plan

La distance de $M(x_M ; y_M ; z_M)$ au plan $P : ax + by + cz + d = 0$ est $$ d(M, P) = \frac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} . $$

Preuve

Soit $A \in P$ et $\vec n = (a, b, c)$ le vecteur normal. Comme pour une droite, la distance est la longueur du projeté de $\overrightarrow{AM}$ sur $\vec n$ : $$ \begin{aligned} d(M, P) &= \frac{|\overrightarrow{AM}\cdot\vec n|}{\|\vec n\|} && \text{(projection sur la normale)} \\ &= \frac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} && \text{(}a x_A + b y_A + c z_A + d = 0\text{)}. \end{aligned} $$

Méthode — Projeté orthogonal sur une droite ou un plan

Pour projeter $M$ sur un plan $P$ de normale $\vec n$, écrire $H = M + t\,\vec n$ et imposer $H \in P$. Pour projeter $M$ sur une droite $D$ de direction $\vec u$ passant par $A$, écrire $H = A + s\,\vec u$ et imposer $\overrightarrow{HM} \cdot \vec u = 0$.

Proposition — Distance d'un point à une droite dans l'espace

Pour une droite $D$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec u \ne \vec 0$, la distance d'un point $M$ est $$ d(M, D) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec u\|}{\|\vec u\|} . $$

Preuve

La distance vaut $\|\overrightarrow{AM}\|\sin\theta$, où $\theta$ est l'angle entre $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$. Comme $\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\| = \|\overrightarrow{AM}\|\,\|\vec u\|\sin\theta$, la division par $\|\vec u\|$ donne la formule.

Exemple

La droite $D$ est donnée comme intersection des plans $x + y + z = 1$ et $x - y = 0$. Trouver un vecteur directeur de $D$.

Correction

Un vecteur directeur de $D$ est orthogonal aux deux normales $\vec n_1 = (1,1,1)$ et $\vec n_2 = (1,-1,0)$, donc $$ \vec u = \vec n_1 \wedge \vec n_2 = (1, 1, -2) . $$

Exemple

Calculer la distance de $M(1 ; 0 ; 0)$ au plan $P : x + y + z = 1$.

Correction

$$ d(M, P) = \frac{|1 + 0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 0 , $$ donc $M$ appartient à $P$ (en effet $1 + 0 + 0 = 1$).

Compétences à pratiquer

Déterminer des équations de plans et de droites

II.6 Sphères

Une sphère est l'analogue spatial d'un cercle : l'ensemble des points à distance fixée d'un centre. Son intersection avec un plan est un cercle (ou un point, ou vide).

Signaler une erreur

Définition — Sphère

La sphère de centre $\Omega(a ; b ; c)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation cartésienne $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.

Proposition — Intersection d'une sphère et d'un plan

Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, rayon $R$, et $P$ un plan à distance $\delta = d(\Omega, P)$. Si $\delta < R$, alors $S \cap P$ est un cercle centré au projeté orthogonal de $\Omega$ sur $P$, de rayon $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ ; si $\delta = R$, un point unique ; si $\delta > R$, vide.

Exemple

La sphère de centre $O$ et de rayon $3$, d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 9$, coupe le plan $z = 1$ selon le cercle $x^2 + y^2 = 8$, $z = 1$, de rayon $2\sqrt 2$.

Méthode — Trouver centre et rayon d'une sphère, étudier une intersection

À partir d'une équation développée $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$, compléter les carrés pour lire le centre et le rayon. Pour une intersection sphère–plan, comparer $\delta = d(\Omega, P)$ à $R$ : un cercle si $\delta < R$, un point si $\delta = R$, vide si $\delta > R$.

Exemple

Trouver le centre et le rayon de la sphère $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y = 4$.

Correction

En complétant les carrés : $(x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 4 + 1 + 4 = 9$, donc le centre est $\Omega(1 ; -2 ; 0)$ et le rayon $R = 3$.

Compétences à pratiquer

Caractériser des sphères

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes de synthèse