Espaces probabilisés et indépendance d'événements

Deux faits nous suffisent : les parties de \(\mathbb{N}\) sont au plus dénombrables, et le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est encore dénombrable. Il en découle la dénombrabilité de \(\mathbb{Z}\) et de \(\mathbb{Z}^2\) — les plus grands ensembles dénombrables que ce chapitre rencontre. En pratique, les événements de ce chapitre sont indexés par \(\mathbb{N}\) ou une de ses parties ; \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Z}^2\) apparaissent comme des univers dénombrables. Leurs démonstrations relèvent de la théorie dédiée et sont admises ici.

Sur un univers général, les événements sont pris dans une famille \(\mathcal{A}\) de parties de \(\Omega\) stable par les opérations nécessaires — complémentaire et réunion dénombrable. Cette famille est la tribu. Pourquoi on ne prend pas toujours toute partie relève de la théorie de la mesure et n'est pas étudié ici ; on rappelle le vocabulaire des événements de Probabilités sur un univers fini et on construit directement dessus. La figure ci-dessous illustre les opérations qu'une tribu doit respecter : la région grisée est la réunion \(A \cup B\), la lentille est l'intersection \(A \cap B\), et le complémentaire \(\overline{A}\) est tout ce qui se trouve hors du cercle \(A\) (l'étiquette est placée dans la partie de \(\overline{A}\) extérieure aux deux cercles).

La stabilité par réunion et intersection dénombrables permet de construire des événements-limites à partir d'une suite \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\). Les deux plus simples se lisent directement avec un quantificateur : $$ \omega \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \iff \exists\, n \in \mathbb{N},\ \omega \in A_n, \qquad \omega \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \iff \forall\, n \in \mathbb{N},\ \omega \in A_n. $$ Ainsi \(\bigcup_n A_n\) est l'événement « au moins un \(A_n\) se réalise » et \(\bigcap_n A_n\) « tous les \(A_n\) se réalisent ». En les combinant on construit des événements-limites plus riches, par exemple « une infinité de \(A_n\) se réalisent » \(= \bigcap_{N \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge N} A_n\). Chacun est un événement : une tribu est stable par réunion dénombrable par définition, et par intersection dénombrable d'après les propriétés de stabilité établies dans la proposition suivante.

La tribu est le cadre rigoureux dans lequel vivent les événements — et c'est tout ce qu'on lui demande ici : la notion de tribu n'appelle aucun développement au-delà de sa définition. On définit la tribu, on en donne les exemples naturels, on enregistre ses propriétés de stabilité, et on l'utilise comme une toile de fond silencieuse. On n'a jamais à construire une tribu exotique dans ce cours. Dans un modèle discret — l'univers au plus dénombrable — la tribu est prise égale à l'ensemble des parties \(\mathcal{P}(\Omega)\) tout entier, de sorte que toute partie est un événement ; cela couvre les modèles pondérés explicites de la sous-section suivante. Quelques expériences réclament en revanche un univers non dénombrable (une suite infinie de lancers a pour univers \(\{P, F\}^{\mathbb{N}^*}\), rencontrée plus loin) : l'univers n'y est alors pas explicité et l'on admet l'existence d'une tribu et d'une probabilité convenables, les seuls faits utilisés étant les valeurs de \(P\) sur les événements que l'on écrit.

Une probabilité pondère chaque événement par un nombre de \([0, 1]\). L'axiome nouveau, par rapport à la théorie sur un univers fini, est la \(\sigma\)-additivité : l'additivité pour une famille disjointe dénombrable d'événements. C'est la propriété qui permet à une probabilité de survivre à un passage à la limite, et tout le chapitre repose dessus.

Lorsque l'univers n'est pas discret, l'existence d'une probabilité sur une tribu convenable est admise, jamais construite : la construction d'espaces probabilisés dépasse ce niveau. En pratique on travaille avec un modèle discret — \(\Omega\) au plus dénombrable, tribu \(\mathcal{P}(\Omega)\) — où les deux sens liant une probabilité à ses poids élémentaires \(p_\omega = P(\{\omega\})\) sont tous deux admis. D'abord, tout choix de poids positifs \((p_\omega)_{\omega \in \Omega}\) de somme totale convergente \(\sum_{\omega \in \Omega} p_\omega = 1\) définit une probabilité par \(P(A) = \sum_{\omega \in A} p_\omega\) pour tout \(A \subseteq \Omega\). Réciproquement, toute probabilité \(P\) sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega))\) se retrouve à partir de ses propres poids : la réunion disjointe au plus dénombrable \(A = \bigsqcup_{\omega \in A} \{\omega\}\) jointe à la \(\sigma\)-additivité donne \(P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\})\). C'est la seule construction utilisée ici, et elle ne demande rien de plus qu'une série convergente.

Les identités de Probabilités sur un univers fini survivent inchangées dans le nouveau cadre. On les rétablit dans le cadre \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), en les déduisant de la \(\sigma\)-additivité plutôt que de l'additivité finie — elle-même récupérée au passage.

Voici le nouvel outil phare. Une probabilité est continue le long d'une suite monotone d'événements : la probabilité d'un événement-limite est la limite des probabilités. La sous-additivité majore ensuite la probabilité de toute réunion dénombrable, monotone ou non.

Deux éléments de vocabulaire terminent la section : les événements de probabilité \(0\) ou \(1\), et les familles dénombrables qui partitionnent \(\Omega\) — exactement, ou à un ensemble négligeable près.

Les événements négligeables, les événements presque sûrs et les systèmes quasi-complets sont introduits ici pour servir dans les formules qui suivent — on ne leur demande rien de plus. Ce sont exactement les outils nécessaires pour énoncer la formule des probabilités totales avec un système complet qui ne recouvre \(\Omega\) qu'à un ensemble négligeable près.

Le conditionnement « déforme » l'univers par un événement observé. La définition rappelée de Probabilités sur un univers fini se transpose mot pour mot ; ce qui est véritablement nouveau, c'est qu'il faut vérifier que l'application conditionnée est une probabilité au sens de la \(\sigma\)-additivité.

Trois formules organisent tout calcul conditionnel : la formule des probabilités composées multiplie le long d'une chaîne de conditionnements, la formule des probabilités totales somme sur un système complet, et la formule de Bayes inverse un conditionnement. Chacune étend son homologue sur un univers fini à un système au plus dénombrable.

L'indépendance signifie que — lorsque \(P(A) > 0\), de sorte que le conditionnement est défini — conditionner par \(A\) n'apporte aucune information sur \(B\). La définition elle-même est la règle produit \(P(A \cap B) = P(A) \, P(B)\), qui ne requiert aucune positivité, et elle s'étend à une famille quelconque d'événements.