Espaces vectoriels normés

Écrivons \(x = (x - y) + y\) et appliquons l'inégalité triangulaire : $$ \begin{aligned} \norme{x} = \norme{(x-y) + y} &\le \norme{x-y} + \norme{y} && \text{(inégalité triangulaire)} \end{aligned} $$ d'où \(\norme{x} - \norme{y} \le \norme{x-y}\). En échangeant \(x\) et \(y\), et en utilisant \(\norme{y-x} = \norme{-(x-y)} = \norme{x-y}\) par homogénéité, on obtient \(\norme{y} - \norme{x} \le \norme{x-y}\). Les deux inégalités donnent ensemble \(\bigl|\norme{x} - \norme{y}\bigr| \le \norme{x-y}\). En remplaçant \(y\) par \(-y\), on obtient la forme en \(\norme{x+y}\).

Notons \(\norme{x} = \sqrt{\langle x,x\rangle}\), bien défini puisque \(\langle x,x\rangle \ge 0\).

• Séparation. \(\norme{x} = 0 \iff \langle x,x\rangle = 0 \iff x = 0_E\), car le produit scalaire est défini positif.
• Homogénéité. Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(\norme{\lambda x} = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x\rangle} = \sqrt{\lambda^2 \langle x,x\rangle} = |\lambda|\,\norme{x}\).
• Inégalité triangulaire. En développant par bilinéarité, $$ \begin{aligned} \norme{x+y}^2 = \langle x+y, x+y\rangle &= \norme{x}^2 + 2\langle x,y\rangle + \norme{y}^2 && \text{(bilinéarité)}\\ &\le \norme{x}^2 + 2\,\norme{x}\,\norme{y} + \norme{y}^2 && \text{(Cauchy--Schwarz)}\\ &= \bigl(\norme{x} + \norme{y}\bigr)^2. \end{aligned} $$ En prenant les racines carrées, on obtient \(\norme{x+y} \le \norme{x} + \norme{y}\).

Chaque application est positive et à valeurs réelles. Soit \(x,y \in \mathbb{K}^n\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\).

• La norme \(\norme{\cdot}_1\). Séparation : \(\norme{x}_1 = \sum |x_i| = 0\) force chaque \(|x_i| = 0\), donc \(x = 0\). Homogénéité : \(\norme{\lambda x}_1 = \sum |\lambda x_i| = |\lambda| \sum |x_i| = |\lambda|\,\norme{x}_1\). Inégalité triangulaire : de \(|x_i + y_i| \le |x_i| + |y_i|\) pour chaque \(i\), la sommation donne \(\norme{x+y}_1 \le \norme{x}_1 + \norme{y}_1\).
• La norme \(\norme{\cdot}_\infty\). Séparation : \(\norme{x}_\infty = \max |x_i| = 0\) force chaque \(|x_i| = 0\), donc \(x = 0\). Homogénéité : \(\norme{\lambda x}_\infty = \max |\lambda x_i| = |\lambda| \max |x_i| = |\lambda|\,\norme{x}_\infty\). Inégalité triangulaire : pour chaque \(i\), \(|x_i + y_i| \le |x_i| + |y_i| \le \norme{x}_\infty + \norme{y}_\infty\) ; en prenant le maximum sur \(i\), on obtient \(\norme{x+y}_\infty \le \norme{x}_\infty + \norme{y}_\infty\).
• La norme \(\norme{\cdot}_2\). Séparation et homogénéité sont comme pour \(\norme{\cdot}_1\). Pour l'inégalité triangulaire, on développe et on utilise l'inégalité de Cauchy–Schwarz sur les familles \((|x_i|)\) et \((|y_i|)\) de réels positifs : $$ \begin{aligned} \norme{x+y}_2^2 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^2 &\le \sum_{i=1}^n \bigl(|x_i| + |y_i|\bigr)^2 && \text{(inégalité triangulaire de \(|\cdot|\))}\\ &= \norme{x}_2^2 + 2 \sum_{i=1}^n |x_i|\,|y_i| + \norme{y}_2^2 && \text{(développement)}\\ &\le \norme{x}_2^2 + 2\,\norme{x}_2\,\norme{y}_2 + \norme{y}_2^2 && \text{(Cauchy--Schwarz)}\\ &= \bigl(\norme{x}_2 + \norme{y}_2\bigr)^2. \end{aligned} $$ En prenant les racines carrées, on obtient \(\norme{x+y}_2 \le \norme{x}_2 + \norme{y}_2\). Cet argument est identique pour \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) et \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\), puisqu'il n'utilise que les modules \(|x_i|\), \(|y_i|\). Pour \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\), \(\norme{\cdot}_2\) est la norme préhilbertienne du produit scalaire canonique.

Pour \(f \in \mathcal{C}([a,b], \mathbb{K})\), les fonctions \(|f|\) et \(|f|^2\) sont continues et à valeurs réelles sur le segment \([a,b]\) (composée de \(f\) avec l'application continue \(z \mapsto |z|\)) ; le théorème des bornes atteintes et le lemme de l'intégrale nulle s'appliquent à elles dans le cas réel comme dans le cas complexe.

• La norme uniforme \(\norme{\cdot}_\infty\). Bien définie : \(|f|\) est continue sur un segment, donc bornée (théorème des bornes atteintes, rappelé de Limites et continuité), donc \(\sup_{[a,b]} |f|\) existe. Séparation : \(\norme{f}_\infty = 0\) force \(|f| \equiv 0\), donc \(f = 0\). Homogénéité : \(\sup |\lambda f| = |\lambda| \sup |f|\). Inégalité triangulaire : de \(|f+g| \le |f| + |g|\) ponctuellement, \(\norme{f+g}_\infty \le \norme{f}_\infty + \norme{g}_\infty\).
• La norme \(\norme{\cdot}_1\). Séparation : si \(\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t = 0\) alors, \(|f|\) étant continue et positive sur \([a,b]\), le lemme de l'intégrale nulle (rappelé de Intégration sur un segment) donne \(|f| \equiv 0\), donc \(f = 0\). L'homogénéité et l'inégalité triangulaire découlent de la linéarité et de la croissance de l'intégrale : \(\int |\lambda f| = |\lambda| \int |f(t)|\,\mathrm{d}t\), et \(|f+g| \le |f| + |g|\) donne \(\int |f+g| \le \int |f(t)|\,\mathrm{d}t + \int |g(t)|\,\mathrm{d}t\).
• La norme \(\norme{\cdot}_2\). Séparation : \(\int_a^b |f|^2 = 0\) avec \(|f|^2\) continue et positive donne \(|f|^2 \equiv 0\), donc \(f = 0\). L'homogénéité est immédiate. Inégalité triangulaire : de \(|f+g|^2 \le \bigl(|f| + |g|\bigr)^2\) ponctuellement, on intègre et on majore le terme croisé par l'inégalité de Cauchy–Schwarz intégrale : $$ \begin{aligned} \norme{f+g}_2^2 = \int_a^b |f+g|^2 &\le \int_a^b |f|^2 + 2\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t\,|g| + \int_a^b |g|^2 && \text{(développement et croissance)}\\ &\le \norme{f}_2^2 + 2\,\norme{f}_2\,\norme{g}_2 + \norme{g}_2^2 && \text{(Cauchy--Schwarz)}\\ &= \bigl(\norme{f}_2 + \norme{g}_2\bigr)^2. \end{aligned} $$ En prenant les racines carrées, on obtient l'inégalité triangulaire. Pour \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\), \(\norme{\cdot}_2\) est la norme préhilbertienne du produit scalaire \(\langle f,g\rangle = \int_a^b fg\,\mathrm{d}t\).

Soit \(x = (x_1, \dots, x_p)\) et \(y = (y_1, \dots, y_p)\) dans le produit, et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Les trois axiomes se vérifient composante par composante.

• Séparation. \(N(x) = 0\) signifie \(\max_i N_i(x_i) = 0\), donc \(N_i(x_i) = 0\) pour tout \(i\), donc \(x_i = 0_{E_i}\) pour tout \(i\), c'est-à-dire \(x = 0\).
• Homogénéité. \(N(\lambda x) = \max_i N_i(\lambda x_i) = \max_i |\lambda|\, N_i(x_i) = |\lambda| \max_i N_i(x_i) = |\lambda|\, N(x)\).
• Inégalité triangulaire. Pour chaque \(i\), \(N_i(x_i + y_i) \le N_i(x_i) + N_i(y_i) \le N(x) + N(y)\) ; en prenant le maximum sur \(i\), on obtient \(N(x+y) \le N(x) + N(y)\).

Chaque propriété découle directement d'un axiome de norme.

• Positivité. \(d(x,y) = \norme{x-y} \ge 0\) puisqu'une norme est positive.
• Symétrie. \(d(y,x) = \norme{y-x} = \norme{-(x-y)} = |-1|\,\norme{x-y} = \norme{x-y} = d(x,y)\) par homogénéité.
• Séparation. \(d(x,y) = 0 \iff \norme{x-y} = 0 \iff x - y = 0_E \iff x = y\).
• Inégalité triangulaire. \(d(x,y) = \norme{(x-z) + (z-y)} \le \norme{x-z} + \norme{z-y} = d(x,z) + d(z,y)\).

Prenons la boule fermée \(B_f(a,r)\), soit \(x,y \in B_f(a,r)\) et \(t \in [0,1]\). Comme \(t \ge 0\) et \(1-t \ge 0\), l'homogénéité et l'inégalité triangulaire donnent $$ \begin{aligned} \norme{\bigl(t x + (1-t) y\bigr) - a} = \norme{t(x-a) + (1-t)(y-a)} &\le t\,\norme{x-a} + (1-t)\,\norme{y-a} && \text{(inégalité triangulaire et homogénéité)}\\ &\le t r + (1-t) r = r && \text{(car \(\norme{x-a} \le r\) et \(\norme{y-a} \le r\))}. \end{aligned} $$ Donc \(t x + (1-t) y \in B_f(a,r)\), et la boule fermée est convexe. Pour une boule ouverte \(B(a,r)\), le même calcul vaut avec \(\le\) remplacé par \(<\) (chacun de \(\norme{x-a}\) et \(\norme{y-a}\) est \(< r\), et une combinaison convexe de deux nombres \(< r\) est \(< r\)).

La condition « \(\norme{x} \le M\) pour tout \(x \in A\) » signifie exactement \(A \subset B_f(0_E, M)\), c'est donc un cas particulier de « bornée ».

• Si \(A \subset B_f(0_E, M)\), alors \(A\) est contenue dans une boule fermée, donc bornée.
• Réciproquement, supposons \(A\) bornée, disons \(A \subset B_f(a,r)\). Pour \(x \in A\), l'inégalité triangulaire donne \(\norme{x} = \norme{(x - a) + a} \le \norme{x-a} + \norme{a} \le r + \norme{a}\). Donc \(M = r + \norme{a}\) convient : on peut toujours ramener le centre en \(0_E\) en agrandissant le rayon.

La condition de définition « \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ \norme{u_n - \ell} < \varepsilon\) » est, mot pour mot, la définition \(\varepsilon\)-\(N\) de « la suite réelle \(\bigl(\norme{u_n - \ell}\bigr)\) converge vers \(0\) » (rappelée de Suites réelles). Les deux énoncés sont donc identiques.

Supposons que \((u_n)\) converge à la fois vers \(\ell\) et vers \(\ell'\). Pour tout \(n\), l'inégalité triangulaire donne $$ 0 \le \norme{\ell - \ell'} = \norme{(\ell - u_n) + (u_n - \ell')} \le \norme{u_n - \ell} + \norme{u_n - \ell'}. $$ Le membre de droite tend vers \(0\), donc par encadrement \(\norme{\ell - \ell'} = 0\), d'où \(\ell = \ell'\).

Soit \((u_n)\) convergeant vers \(\ell\). En appliquant la définition avec \(\varepsilon = 1\), il existe un \(N\) — que l'on peut prendre \(\ge 1\), un \(N\) plus grand convenant encore — tel que \(\norme{u_n - \ell} < 1\) pour \(n \ge N\) ; donc, pour \(n \ge N\), \(\norme{u_n} \le \norme{u_n - \ell} + \norme{\ell} < \norme{\ell} + 1\). En posant $$ M = \max\bigl(\norme{u_0}, \norme{u_1}, \dots, \norme{u_{N-1}},\ \norme{\ell} + 1\bigr), $$ maximum d'un nombre fini de réels, on obtient \(\norme{u_n} \le M\) pour tout \(n\). Par la caractérisation des parties bornées, \((u_n)\) est bornée.

Pour tout \(n\), l'homogénéité et l'inégalité triangulaire donnent $$ \begin{aligned} \norme{(\alpha u_n + \beta v_n) - (\alpha \ell + \beta \ell')} &= \norme{\alpha(u_n - \ell) + \beta(v_n - \ell')} && \text{(regroupement)}\\ &\le |\alpha|\,\norme{u_n - \ell} + |\beta|\,\norme{v_n - \ell'} && \text{(inégalité triangulaire et homogénéité)}. \end{aligned} $$ Les deux termes de droite tendent vers \(0\), donc le membre de gauche tend vers \(0\) ; par la proposition « norme de la différence », \((\alpha u_n + \beta v_n)\) converge vers \(\alpha \ell + \beta \ell'\). Ceci montre que l'ensemble des suites convergentes est stable par combinaison linéaire — donc un sous-espace — et que le passage à la limite est linéaire.

Soit \(\ell = (\ell_1, \dots, \ell_p) \in E\). Par définition de la norme produit, \(N(u_n - \ell) = \max_{1 \le j \le p} N_j(u_{j,n} - \ell_j)\).

• Sens direct. Supposons \(u_n \to \ell\). Pour chaque \(i\) fixé, \(N_i(u_{i,n} - \ell_i) \le N(u_n - \ell) \to 0\), donc \(N_i(u_{i,n} - \ell_i) \to 0\) par encadrement : la \(i\)-ème composante converge vers \(\ell_i\).
• Sens réciproque. Supposons que chaque composante converge, disons \(u_{j,n} \to \ell_j\), c'est-à-dire \(N_j(u_{j,n} - \ell_j) \to 0\) pour tout \(j\). Alors \(N(u_n - \ell) = \max_{1 \le j \le p} N_j(u_{j,n} - \ell_j)\) est un maximum d'un nombre fini de suites tendant chacune vers \(0\), donc tend vers \(0\). Donc \(u_n \to \ell\). La finitude de \(p\) est essentielle dans ce sens : c'est elle qui permet au maximum d'hériter de la limite \(0\) de ses termes en nombre fini.

On démontre les deux implications, puis on en déduit la conséquence.

• Sens direct. Supposons \(u_n \to \ell\), et soit \(\bigl(u_{\varphi(n)}\bigr)\) une suite extraite. Fixons \(\varepsilon > 0\) ; il existe un \(N\) tel que \(\norme{u_n - \ell} < \varepsilon\) pour \(n \ge N\). Pour \(n \ge N\), l'extractrice vérifie \(\varphi(n) \ge n \ge N\), donc \(\norme{u_{\varphi(n)} - \ell} < \varepsilon\). Donc \(\bigl(u_{\varphi(n)}\bigr)\) converge vers \(\ell\).
• Sens réciproque. Supposons que toute suite extraite converge vers \(\ell\). La suite \((u_n)\) est l'une de ses propres suites extraites — prendre l'extractrice \(\varphi = \operatorname{id}_{\mathbb{N}}\) — donc \((u_n)\) converge elle-même vers \(\ell\).

Pour la conséquence : si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), le sens direct montre que toute suite extraite convergente a pour limite \(\ell\), donc \(\ell\) est la seule valeur d'adhérence.

C'est la contraposée de la proposition précédente : une suite convergente a sa limite pour unique valeur d'adhérence, donc ne peut en avoir deux distinctes. Une suite ayant deux valeurs d'adhérence distinctes n'est donc pas convergente.

Soit \(N\), \(N'\), \(N''\) des normes sur \(E\).

• Réflexivité. \(N\) est équivalente à elle-même : \(1 \cdot N(x) \le N(x) \le 1 \cdot N(x)\), donc \(\alpha = \beta = 1\) convient.
• Symétrie. Si \(\alpha N \le N' \le \beta N\), alors en divisant par les constantes strictement positives on obtient \(\tfrac{1}{\beta} N' \le N \le \tfrac{1}{\alpha} N'\), donc \(N'\) est équivalente à \(N\).
• Transitivité. Si \(\alpha N \le N' \le \beta N\) et \(\alpha' N' \le N'' \le \beta' N'\), alors pour tout \(x\), \(N''(x) \le \beta' N'(x) \le \beta' \beta\, N(x)\) et \(N''(x) \ge \alpha' N'(x) \ge \alpha' \alpha\, N(x)\). Donc \(\alpha' \alpha\, N \le N'' \le \beta' \beta\, N\), et \(N\) est équivalente à \(N''\).

Soit \(\alpha, \beta > 0\) avec \(\alpha N \le N' \le \beta N\). Par symétrie de la relation, il suffit de démontrer chaque sens direct.

• Caractère borné. Si \(A\) est bornée pour \(N\), il existe un \(M\) avec \(N(x) \le M\) pour tout \(x \in A\) ; alors \(N'(x) \le \beta N(x) \le \beta M\), donc \(A\) est bornée pour \(N'\). La réciproque utilise \(\alpha N \le N'\) de la même manière.
• Convergence. \((u_n)\) converge vers \(\ell\) pour \(N\) signifie \(N(u_n - \ell) \to 0\) ; alors \(0 \le N'(u_n - \ell) \le \beta\, N(u_n - \ell) \to 0\), donc \(N'(u_n - \ell) \to 0\) par encadrement, c'est-à-dire \((u_n)\) converge vers le même \(\ell\) pour \(N'\). La réciproque utilise \(\alpha N \le N'\).

Comme les suites convergentes et leurs limites coïncident, les limites des suites extraites coïncident aussi, donc les valeurs d'adhérence.

Raisonnons par l'absurde. Supposons \(N\) et \(N'\) équivalentes : il existerait \(\beta > 0\) avec \(N'(x) \le \beta\, N(x)\) pour tout \(x \in E\). Comme chaque \(u_n \ne 0_E\), la séparation donne \(N(u_n) > 0\), on peut donc diviser : $$ \frac{N'(u_n)}{N(u_n)} \le \beta \qquad \text{pour tout } n. $$ Le rapport serait alors majoré par la constante \(\beta\) — ce qui contredit \(\dfrac{N'(u_n)}{N(u_n)} \to +\infty\). Donc \(N\) et \(N'\) ne sont pas équivalentes. Seule l'inégalité supérieure de l'équivalence a été utilisée.

L'ensemble \(\emptyset\) est ouvert : la condition « \(\forall x \in \emptyset, \dots\) » est vraie de manière vide. L'ensemble \(E\) est ouvert : pour tout \(x \in E\) et tout \(r > 0\), \(B(x,r) \subset E\).
Soit maintenant \(B(a,r)\) une boule ouverte et \(x \in B(a,r)\), donc \(\norme{x-a} < r\). Posons \(\rho = r - \norme{x-a} > 0\). Pour tout \(y \in B(x,\rho)\), $$ \begin{aligned} \norme{y-a} &\le \norme{y-x} + \norme{x-a} && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &< \rho + \norme{x-a} && \text{(car \(y \in B(x,\rho)\))}\\ &= r && \text{(définition de \(\rho\)),} \end{aligned} $$ donc \(y \in B(a,r)\). Ainsi \(B(x,\rho) \subset B(a,r)\), et \(B(a,r)\) est un voisinage de \(x\). Comme \(x\) était quelconque, \(B(a,r)\) est ouverte.

Les complémentaires de \(\emptyset\) et \(E\) sont \(E\) et \(\emptyset\), tous deux ouverts, donc \(\emptyset\) et \(E\) sont fermés.
La boule fermée. Soit \(x \in B_f(a,r)^c\), donc \(\norme{x-a} > r\). Posons \(\rho = \norme{x-a} - r > 0\). Pour \(y \in B(x,\rho)\), l'inégalité triangulaire renversée donne \(\norme{y-a} \ge \norme{x-a} - \norme{y-x} > \norme{x-a} - \rho = r\), donc \(y \in B_f(a,r)^c\). Ainsi \(B(x,\rho) \subset B_f(a,r)^c\), le complémentaire est ouvert, et \(B_f(a,r)\) est fermée.
La sphère. Soit \(x \in S(a,r)^c\), donc \(\norme{x-a} \ne r\). Posons \(\rho = \bigl|\,\norme{x-a} - r\,\bigr| > 0\). Pour \(y \in B(x,\rho)\), l'inégalité triangulaire renversée donne \(\bigl|\,\norme{y-a} - \norme{x-a}\,\bigr| \le \norme{y-x} < \rho\). Si \(\norme{x-a} > r\) alors \(\norme{y-a} > \norme{x-a} - \rho = r\) ; si \(\norme{x-a} < r\) alors \(\norme{y-a} < \norme{x-a} + \rho = r\). Dans les deux cas \(\norme{y-a} \ne r\), donc \(B(x,\rho) \subset S(a,r)^c\) : la sphère est fermée. (C'est un argument direct — la stabilité du sous-section 1.3 n'est pas encore disponible.)
Enfin un singleton \(\{a\} = B_f(a,0)\) est la boule fermée de rayon \(0\), donc fermé.

• \((\Rightarrow)\) Supposons \(A\) fermée. Soit \((a_n)\) une suite de \(A\) convergeant vers une limite \(x \in E\). Si \(x \notin A\), alors \(x \in A^c\), qui est ouvert, donc il existe \(r > 0\) tel que \(B(x,r) \subset A^c\). Comme \(a_n \to x\), il existe un rang \(N\) tel que \(\norme{a_n - x} < r\) pour \(n \ge N\) ; alors \(a_n \in B(x,r) \subset A^c\), ce qui contredit \(a_n \in A\). Donc \(x \in A\).
• \((\Leftarrow)\) Supposons que toute suite convergente de \(A\) ait sa limite dans \(A\) ; montrons que \(A^c\) est ouvert. Par contraposition, supposons \(A^c\) non ouvert. Alors un point \(x \in A^c\) n'admet aucune boule \(B(x,r) \subset A^c\), c'est-à-dire \(B(x,r) \cap A \ne \emptyset\) pour tout \(r > 0\). Pour chaque \(n \ge 1\), choisissons \(a_n \in B(x,1/n) \cap A\). Alors \(\norme{a_n - x} < 1/n \to 0\), donc \((a_n)\) est une suite de \(A\) convergeant vers \(x\) ; par hypothèse \(x \in A\), ce qui contredit \(x \in A^c\). Donc \(A^c\) est ouvert et \(A\) est fermée.

• Réunion d'ouverts. Soit \((O_i)_{i \in I}\) une famille d'ouverts et \(x \in \bigcup_{i \in I} O_i\). Alors \(x\) appartient à un certain \(O_{i_0}\) ; comme \(O_{i_0}\) est ouvert, il existe \(r > 0\) avec \(B(x,r) \subset O_{i_0} \subset \bigcup_{i \in I} O_i\). Donc la réunion est ouverte.
• Intersection finie d'ouverts. Soit \(O_1, \dots, O_n\) des ouverts et \(x \in \bigcap_{i=1}^n O_i\). Pour chaque \(i\) il existe \(r_i > 0\) avec \(B(x,r_i) \subset O_i\). Posons \(r = \min(r_1, \dots, r_n) > 0\) — le minimum d'un nombre fini de réels strictement positifs est strictement positif. Alors \(B(x,r) \subset B(x,r_i) \subset O_i\) pour tout \(i\), donc \(B(x,r) \subset \bigcap_{i=1}^n O_i\), et l'intersection est ouverte. (L'intersection vide vaut \(E\) et la réunion vide vaut \(\emptyset\), toutes deux ouvertes : ces cas dégénérés sont donc également couverts.)
• Côté fermé. En passant aux complémentaires, \(\bigl(\bigcap_i F_i\bigr)^c = \bigcup_i F_i^{\,c}\) et \(\bigl(\bigcup_i F_i\bigr)^c = \bigcap_i F_i^{\,c}\). Si chaque \(F_i\) est fermé, chaque \(F_i^{\,c}\) est ouvert ; toute intersection des \(F_i\) a pour complémentaire une réunion d'ouverts, donc est fermée, et une réunion finie des \(F_i\) a pour complémentaire une intersection finie d'ouverts, donc est fermée.

Rappelons d'Espaces vectoriels normés que, \(N\) et \(N'\) étant équivalentes, il existe des réels \(\alpha > 0\) et \(\beta > 0\) tels que \(\alpha\, N(x) \le N'(x) \le \beta\, N(x)\) pour tout \(x \in E\). Notons \(B_N(x,r)\) et \(B_{N'}(x,r)\) les boules ouvertes des deux normes.

• Inclusion des boules. Pour tout \(x \in E\) et tout \(\delta > 0\), $$ \begin{aligned} y \in B_{N'}(x, \alpha\delta) &\implies N'(y-x) < \alpha\delta && \text{(définition de la boule \(N'\))}\\ &\implies \alpha\, N(y-x) \le N'(y-x) < \alpha\delta && \text{(inégalité gauche de l'équivalence)}\\ &\implies N(y-x) < \delta && \text{(division par \(\alpha > 0\))}, \end{aligned} $$ donc \(B_{N'}(x, \alpha\delta) \subset B_N(x, \delta)\).
• Un ouvert pour \(N\) est ouvert pour \(N'\). Soit \(U\) ouvert pour \(N\) et \(x \in U\). Il existe \(\delta > 0\) avec \(B_N(x,\delta) \subset U\), d'où \(B_{N'}(x, \alpha\delta) \subset B_N(x,\delta) \subset U\). Donc \(U\) est un voisinage de chacun de ses points pour \(N'\) : il est ouvert pour \(N'\).
• Réciproque et conclusion. La relation « \(N\) équivalente à \(N'\) » est symétrique, donc le même argument avec \(N\) et \(N'\) échangées montre qu'un ouvert pour \(N'\) est ouvert pour \(N\). Les deux normes ont ainsi exactement les mêmes ouverts ; en passant aux complémentaires, les mêmes fermés. Toute notion définie uniquement à partir des ouverts ou des fermés — voisinage, intérieur, adhérence, frontière — est donc la même pour \(N\) et pour \(N'\).

L'intérieur. Si \(x \in \mathring{A}\), une boule \(B(x,r) \subset A\). Tout \(y \in B(x,r)\) est alors un point intérieur de \(A\), car la boule ouverte \(B(x,r)\) est ouverte et contient donc une boule autour de \(y\) ; ainsi \(B(x,r) \subset \mathring{A}\), et \(\mathring{A}\) est ouvert. Chaque point intérieur de \(A\) appartient à \(A\), donc \(\mathring{A} \subset A\). Enfin, si \(O\) est un ouvert avec \(O \subset A\), alors tout \(x \in O\) porte une boule \(B(x,r) \subset O \subset A\), donc \(x \in \mathring{A}\) ; ainsi \(O \subset \mathring{A}\), et \(\mathring{A}\) est le plus grand ouvert contenu dans \(A\).
L'adhérence. Établissons d'abord l'identité $$ \overline{A} = E \setminus \mathring{\,(A^c)\,}. $$ En effet, \(x \in \overline{A}\) signifie \(B(x,r) \cap A \ne \emptyset\) pour tout \(r > 0\), c'est-à-dire : aucune boule \(B(x,r)\) n'est incluse dans \(A^c\), ce qui est exactement \(x \notin \mathring{\,(A^c)\,}\). Comme \(\mathring{\,(A^c)\,}\) est ouvert, \(\overline{A}\) est fermé ; et \(A \subset \overline{A}\), car un point de \(A\) est adhérent à \(A\) (toute boule autour de lui contient le point lui-même). Pour le caractère « plus petit », soit \(F\) un fermé avec \(A \subset F\). Alors \(F^c\) est ouvert et \(F^c \subset A^c\), donc \(F^c \subset \mathring{\,(A^c)\,}\) par la partie sur l'intérieur ; en passant aux complémentaires, \(\overline{A} = E \setminus \mathring{\,(A^c)\,} \subset E \setminus F^c = F\). Donc \(\overline{A}\) est le plus petit fermé contenant \(A\).
Les deux équivalences en découlent : \(A\) ouverte \(\Rightarrow\) \(A\) est un ouvert inclus dans \(A\), donc \(A \subset \mathring{A}\), et \(\mathring{A} \subset A\) toujours, d'où \(A = \mathring{A}\) ; réciproquement \(A = \mathring{A}\) est ouvert. De même \(A\) fermée \(\iff A = \overline{A}\).

• \((\Rightarrow)\) Supposons \(x \in \overline{A}\). Pour chaque \(n \ge 1\), la boule \(B(x,1/n)\) rencontre \(A\), on peut donc choisir \(a_n \in B(x,1/n) \cap A\). Alors \(\norme{a_n - x} < 1/n \to 0\), donc la suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) converge vers \(x\).
• \((\Leftarrow)\) Supposons que \((a_n)\) soit une suite de \(A\) avec \(a_n \to x\). Soit \(r > 0\). Il existe un rang \(N\) avec \(\norme{a_N - x} < r\), donc \(a_N \in B(x,r) \cap A\) ; ainsi \(B(x,r) \cap A \ne \emptyset\). Comme \(r\) était quelconque, \(x \in \overline{A}\).

Chaque énoncé dit « tout point de \(A\) est adhérent à \(D\) », décliné de trois façons. En effet \(A \subset \overline{D}\) signifie précisément que tout \(a \in A\) appartient à \(\overline{D}\). Par la définition même de l'adhérence, \(a \in \overline{D}\) équivaut à \(B(a,r) \cap D \ne \emptyset\) pour tout \(r > 0\) — c'est le deuxième énoncé, quantifié sur \(a \in A\). Par la caractérisation séquentielle des points adhérents (sous-section 2.1), \(a \in \overline{D}\) équivaut aussi à ce que \(a\) soit limite d'une suite de \(D\) — c'est le troisième énoncé, quantifié sur \(a \in A\). Les trois énoncés sont donc équivalents.

Supposons que \(f\) admette deux limites \(b\) et \(b'\) en \(a\). Fixons \(\varepsilon > 0\). La définition donne \(\alpha > 0\) et \(\alpha' > 0\) tels que \(\norme{x-a} \le \alpha \Rightarrow \norme{f(x)-b} < \varepsilon\) et \(\norme{x-a} \le \alpha' \Rightarrow \norme{f(x)-b'} < \varepsilon\). Comme \(a \in \overline{A}\), la boule \(B\bigl(a,\min(\alpha,\alpha')\bigr)\) rencontre \(A\) : il existe au moins un \(x \in A\) avec \(\norme{x-a} \le \min(\alpha,\alpha')\). Pour un tel \(x\), $$ \begin{aligned} \norme{b-b'} &= \norme{\bigl(b-f(x)\bigr) + \bigl(f(x)-b'\bigr)} && \\ &\le \norme{f(x)-b} + \norme{f(x)-b'} && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &< \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon. && \text{(les deux implications ci-dessus)} \end{aligned} $$ Ainsi \(\norme{b-b'} < 2\varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\), donc \(\norme{b-b'} = 0\) et \(b = b'\).

• (i) \(\iff\) (ii). L'appartenance \(x \in A \cap B_f(a,\alpha)\) est exactement « \(x \in A\) et \(\norme{x-a} \le \alpha\) », et \(f(x) \in B(b,\varepsilon)\) est exactement \(\norme{f(x)-b} < \varepsilon\). Donc « \(f\bigl(A \cap B_f(a,\alpha)\bigr) \subset B(b,\varepsilon)\) » est une réécriture de « \(\forall x \in A,\ \norme{x-a} \le \alpha \Rightarrow \norme{f(x)-b} < \varepsilon\) », et (ii) est la définition de la limite posée avec des inclusions d'ensembles.
• (ii) \(\Rightarrow\) (iii). Soit \(W\) un voisinage de \(b\) : il contient une boule \(B(b,\varepsilon)\). Par (ii) il existe \(\alpha > 0\) avec \(f\bigl(A \cap B_f(a,\alpha)\bigr) \subset B(b,\varepsilon) \subset W\). La boule \(V = B(a,\alpha)\) est un voisinage de \(a\), et \(A \cap V \subset A \cap B_f(a,\alpha)\), donc \(f(A \cap V) \subset W\).
• (iii) \(\Rightarrow\) (ii). Soit \(\varepsilon > 0\). La boule \(W = B(b,\varepsilon)\) est un voisinage de \(b\) ; (iii) donne un voisinage \(V\) de \(a\) avec \(f(A \cap V) \subset W\), et \(V\) contient une boule \(B(a,\alpha)\). Alors \(f\bigl(A \cap B_f(a,\alpha/2)\bigr) \subset f(A \cap V) \subset B(b,\varepsilon)\).

• \((\Rightarrow)\) Supposons \(\lim_a f = b\), et soit \((u_n)\) une suite de \(A\) avec \(u_n \to a\). Fixons \(\varepsilon > 0\) ; la limite donne \(\alpha > 0\) avec \(\norme{x-a} \le \alpha \Rightarrow \norme{f(x)-b} < \varepsilon\) pour \(x \in A\). Comme \(u_n \to a\), il existe un rang \(N\) à partir duquel \(\norme{u_n-a} \le \alpha\) ; alors \(\norme{f(u_n)-b} < \varepsilon\) pour \(n \ge N\). Donc \(f(u_n) \to b\).
• \((\Leftarrow)\) On démontre la contraposée : supposons que \(\lim_a f = b\) échoue, et construisons une suite mettant en défaut le membre de droite. La négation de la définition s'écrit $$ \exists \varepsilon > 0,\ \forall \alpha > 0,\ \exists x \in A,\quad \norme{x-a} \le \alpha \ \text{ et }\ \norme{f(x)-b} \ge \varepsilon. $$ Appliquons-la avec \(\alpha = \tfrac{1}{n+1}\) : pour chaque \(n\) il existe \(u_n \in A\) avec \(\norme{u_n-a} \le \tfrac{1}{n+1}\) et \(\norme{f(u_n)-b} \ge \varepsilon\). Alors \(u_n \to a\), mais \(\bigl(f(u_n)\bigr)\) ne converge pas vers \(b\) — donc le membre de droite échoue aussi.

Par la caractérisation séquentielle, \(f\) admet la limite \(b = (b_1,\dots,b_p)\) en \(a\) exactement lorsque \(f(u_n) \to b\) pour toute suite \((u_n)\) de \(A\) avec \(u_n \to a\). Or \(f(u_n) = \bigl(f_1(u_n),\dots,f_p(u_n)\bigr)\), et une suite d'un produit fini converge vers \((b_1,\dots,b_p)\) pour la norme produit si et seulement si chaque suite de coordonnées \(\bigl(f_k(u_n)\bigr)\) converge vers \(b_k\) — c'est la convergence dans un produit fini rappelée d'Espaces vectoriels normés. Donc \(f(u_n) \to b\) pour toute telle \((u_n)\) si et seulement si \(f_k(u_n) \to b_k\) pour toute telle \((u_n)\) et tout \(k\), c'est-à-dire — de nouveau par la caractérisation séquentielle — si et seulement si chaque \(f_k\) admet la limite \(b_k\) en \(a\).

Notons \(b = \lim_a f\), \(c = \lim_a g\), \(\ell = \lim_a \varphi\). Soit \((u_n)\) une suite quelconque de \(A\) avec \(u_n \to a\). Par la caractérisation séquentielle, \(f(u_n) \to b\), \(g(u_n) \to c\) et \(\varphi(u_n) \to \ell\).

• Combinaison linéaire. Par les opérations sur les suites convergentes (rappelées d'Espaces vectoriels normés), \(\lambda f(u_n) + \mu g(u_n) \to \lambda b + \mu c\). Comme cela vaut pour toute telle \((u_n)\), la caractérisation séquentielle donne \(\lim_a (\lambda f + \mu g) = \lambda b + \mu c\).
• Produit par une application scalaire. De même le produit de la suite scalaire convergente \(\bigl(\varphi(u_n)\bigr)\) par la suite convergente \(\bigl(f(u_n)\bigr)\) converge : \(\varphi(u_n) f(u_n) \to \ell\,b\), d'où \(\lim_a (\varphi f) = \ell\,b\).
• Quotient. Supposons \(\ell \ne 0\). En appliquant la limite de \(\varphi\) avec \(\varepsilon = \tfrac{|\ell|}{2}\) on obtient \(\alpha > 0\) tel que \(|\varphi(x)-\ell| < \tfrac{|\ell|}{2}\) pour \(x \in A \cap B(a,\alpha)\) ; alors \(|\varphi(x)| \ge |\ell| - \tfrac{|\ell|}{2} = \tfrac{|\ell|}{2} > 0\), donc \(\varphi\) ne s'annule pas sur \(A \cap B(a,\alpha)\), et \(a\) reste adhérent à cette partie. Sur celle-ci, pour \(u_n \to a\) le quotient de suites convergentes donne \(\tfrac{f(u_n)}{\varphi(u_n)} \to \tfrac{b}{\ell}\), d'où \(\lim_a \tfrac{f}{\varphi} = \tfrac{b}{\ell}\).

Comme \(a \in \overline{A}\), il existe une suite \((u_n)\) de \(A\) avec \(u_n \to a\) ; alors \(f(u_n) \to b\) par la caractérisation séquentielle, et \(\bigl(f(u_n)\bigr)\) est une suite de \(f(A) \subset B\), donc \(b\) est limite d'une suite de \(B\), d'où \(b \in \overline{B}\) — la limite \(\lim_b g\) a donc un sens. Prenons maintenant une suite \((u_n)\) quelconque de \(A\) avec \(u_n \to a\). Alors \(f(u_n) \to b\), et \(\bigl(f(u_n)\bigr)\) est une suite de \(B\) convergeant vers \(b\) ; par la caractérisation séquentielle appliquée à \(g\), \(g\bigl(f(u_n)\bigr) \to \ell\). Comme cela vaut pour toute telle \((u_n)\), la caractérisation séquentielle donne \(\lim_a (g \circ f) = \ell\).

La continuité en \(a\) est l'égalité \(\lim_a f = f(a)\). On applique la caractérisation séquentielle de la limite avec \(b = f(a)\) : \(\lim_a f = f(a)\) a lieu si et seulement si \(f(u_n) \to f(a)\) pour toute suite \((u_n)\) de \(A\) avec \(u_n \to a\). C'est exactement l'équivalence annoncée.

La continuité en \(a\) est l'égalité \(\lim_a = (\text{valeur en }a)\), donc chaque énoncé est la règle correspondante du sous-section 1.3 lue avec les limites égales aux valeurs.

• Pour la combinaison linéaire : \(\lim_a f = f(a)\) et \(\lim_a g = g(a)\) donnent, par la proposition d'opérations algébriques, \(\lim_a (\lambda f + \mu g) = \lambda f(a) + \mu g(a) = (\lambda f + \mu g)(a)\).
• Pour les produits : \(\lim_a (\varphi f) = \varphi(a) f(a) = (\varphi f)(a)\), et le produit scalaire est le cas \(F = \mathbb{K}\).
• Pour le quotient : \(f\) et \(\varphi\) continues en \(a\) donnent \(\lim_a f = f(a)\) et \(\lim_a \varphi = \varphi(a) \ne 0\) ; la règle de quotient du sous-section 1.3 rend alors \(\varphi\) non nulle sur un certain \(A \cap B(a,\alpha)\) et donne \(\lim_a \tfrac{f}{\varphi} = \tfrac{f(a)}{\varphi(a)}\).
• Pour la composée : \(f\) continue en \(a\) et \(g\) continue en \(f(a)\) sont \(\lim_a f = f(a)\) et \(\lim_{f(a)} g = g(f(a))\) ; la proposition de composée du sous-section 1.3 donne \(\lim_a (g \circ f) = g(f(a)) = (g \circ f)(a)\).

Soit \(x \in A\). Comme \(D\) est dense dans \(A\), la forme séquentielle de la densité (rappelée de Topologie d'un espace normé) donne une suite \((u_n)\) d'éléments de \(D\) avec \(u_n \to x\). Comme \(f\) et \(g\) sont continues en \(x\), la caractérisation séquentielle de la continuité donne \(f(u_n) \to f(x)\) et \(g(u_n) \to g(x)\). Mais \(u_n \in D\), où \(f\) et \(g\) coïncident, donc \(f(u_n) = g(u_n)\) pour tout \(n\) ; les deux suites \(\bigl(f(u_n)\bigr)\) et \(\bigl(g(u_n)\bigr)\) sont égales, donc ont la même limite, et par unicité de la limite \(f(x) = g(x)\). Comme \(x \in A\) était quelconque, \(f = g\) sur \(A\).

• (i) \(\Rightarrow\) (ii). Soit \(O\) ouvert dans \(F\) et \(x \in f^{-1}(O)\), donc \(f(x) \in O\). Comme \(O\) est ouvert il existe \(\varepsilon > 0\) avec \(B(f(x),\varepsilon) \subset O\). Par continuité de \(f\) en \(x\) il existe \(\alpha > 0\) tel que : \(y \in A\) et \(\norme{y-x} \le \alpha\) entraînent \(\norme{f(y)-f(x)} < \varepsilon\), c.-à-d. \(f(y) \in B(f(x),\varepsilon) \subset O\), c.-à-d. \(y \in f^{-1}(O)\). Donc \(A \cap B(x,\alpha) \subset f^{-1}(O)\). Comme cela vaut en tout \(x \in f^{-1}(O)\), la caractérisation des ouverts relatifs (de Topologie d'un espace normé) fait de \(f^{-1}(O)\) un ouvert relatif de \(A\).
• (ii) \(\Rightarrow\) (i). Soit \(x \in A\) et \(\varepsilon > 0\). La boule \(B(f(x),\varepsilon)\) est ouverte dans \(F\), donc par (ii) \(f^{-1}\bigl(B(f(x),\varepsilon)\bigr)\) est un ouvert relatif de \(A\) contenant \(x\) ; la caractérisation des ouverts relatifs donne \(\alpha > 0\) avec \(A \cap B(x,\alpha) \subset f^{-1}\bigl(B(f(x),\varepsilon)\bigr)\). Alors \(y \in A\), \(\norme{y-x} \le \alpha/2\) entraînent \(\norme{f(y)-f(x)} < \varepsilon\) : \(f\) est continue en \(x\).
• (ii) \(\iff\) (iii). Pour toute partie \(X\) de \(F\), \(f^{-1}(F \setminus X) = A \setminus f^{-1}(X)\), le complémentaire du côté image réciproque étant pris dans le domaine \(A\) (car \(f^{-1}(X) \subset A\)). Une partie \(C\) de \(F\) est fermée exactement lorsque \(F \setminus C\) est ouverte ; et \(f^{-1}(C)\) est un fermé relatif de \(A\) exactement lorsque \(A \setminus f^{-1}(C) = f^{-1}(F \setminus C)\) est un ouvert relatif de \(A\). Donc (iii) vaut pour tout fermé \(C\) si et seulement si (ii) vaut pour tout ouvert \(F \setminus C\) — c'est-à-dire que (ii) et (iii) sont équivalentes.

On applique le théorème avec \(A = E\). Un ouvert relatif de \(E\) est une partie de la forme \(E \cap O = O\) avec \(O\) ouvert dans \(E\) — c'est-à-dire simplement un ouvert de \(E\) ; de même un fermé relatif de \(E\) est un fermé de \(E\). Donc les énoncés relatifs (ii) et (iii) deviennent : l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, l'image réciproque d'un fermé est fermée.

• Lipschitzienne \(\Rightarrow\) uniformément continue. Supposons \(f\) \(k\)-lipschitzienne. Fixons \(\varepsilon > 0\). Si \(k = 0\), alors \(\norme{f(x)-f(y)} \le 0\) pour tous \(x,y\), donc \(f\) est constante et tout \(\alpha > 0\) convient. Si \(k > 0\), posons \(\alpha = \varepsilon/(2k) > 0\) ; alors \(\norme{x-y} \le \alpha\) donne \(\norme{f(x)-f(y)} \le k\,\norme{x-y} \le k\alpha = \varepsilon/2 < \varepsilon\). Dans les deux cas \(f\) est uniformément continue.
• Uniformément continue \(\Rightarrow\) continue. Supposons \(f\) uniformément continue, et fixons \(a \in A\) et \(\varepsilon > 0\). Le \(\alpha\) de continuité uniforme, lu avec la seconde variable figée à \(y = a\), donne : \(x \in A\), \(\norme{x-a} \le \alpha\) entraînent \(\norme{f(x)-f(a)} < \varepsilon\). C'est la continuité de \(f\) en \(a\) ; comme \(a\) était quelconque, \(f\) est continue sur \(A\).

• La norme. L'inégalité triangulaire renversée (rappelée d'Espaces vectoriels normés) donne \(\bigl|\,\norme{x}-\norme{y}\,\bigr| \le \norme{x-y}\) pour tous \(x,y\), ce qui est exactement l'inégalité \(1\)-lipschitzienne pour \(x \mapsto \norme{x}\).
• La distance à \(A\). Fixons \(x,y \in E\). Pour tout \(a \in A\), l'inégalité triangulaire donne $$ \begin{aligned} d(x,A) &\le \norme{x-a} && \text{(la borne inférieure est un minorant)}\\ &\le \norme{x-y} + \norme{y-a}. && \text{(inégalité triangulaire)} \end{aligned} $$ Donc \(d(x,A) - \norme{x-y} \le \norme{y-a}\) pour tout \(a \in A\) ; le membre de gauche est un minorant de \(\{\norme{y-a} : a \in A\}\), donc est \(\le\) sa borne inférieure : \(d(x,A) - \norme{x-y} \le d(y,A)\), soit \(d(x,A) - d(y,A) \le \norme{x-y}\). En échangeant \(x\) et \(y\) on obtient \(d(y,A) - d(x,A) \le \norme{x-y}\), donc \(\bigl|\,d(x,A)-d(y,A)\,\bigr| \le \norme{x-y}\).

Dans les deux cas l'application est \(1\)-lipschitzienne, donc continue par la hiérarchie.

Par la caractérisation de la borne inférieure, \(d(x,A) = 0\) signifie : pour tout \(r > 0\) il existe \(a \in A\) avec \(\norme{x-a} < r\), c'est-à-dire \(a \in B(x,r) \cap A\). Donc \(d(x,A) = 0\) a lieu exactement lorsque toute boule ouverte \(B(x,r)\) rencontre \(A\) — ce qui est précisément la définition d'un point adhérent de \(A\), rappelée de Topologie d'un espace normé. D'où \(d(x,A) = 0 \iff x \in \overline{A}\).

• \((\Leftarrow)\) Supposons \(\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}\) pour tout \(x\). Pour tout \(x_0 \in E\) et tout \(x \in E\), la linéarité donne \(u(x) - u(x_0) = u(x - x_0)\), d'où $$ \norme{u(x) - u(x_0)} = \norme{u(x-x_0)} \le C\,\norme{x - x_0}. $$ Donc \(u\) est \(C\)-lipschitzienne, donc continue sur \(E\) par la hiérarchie du sous-section 2.3.
• \((\Rightarrow)\) Supposons \(u\) continue ; en particulier elle est continue en \(0_E\), où \(u(0_E) = 0_F\) par linéarité. En appliquant la définition avec \(\varepsilon = 1\), il existe \(\alpha > 0\) tel que \(\norme{x} \le \alpha \Rightarrow \norme{u(x)} \le 1\). Soit \(x \in E\) avec \(x \ne 0_E\). Le vecteur \(\dfrac{\alpha x}{\norme{x}}\) a pour norme \(\alpha\), donc \(\norme{u\!\left(\dfrac{\alpha x}{\norme{x}}\right)} \le 1\) ; par linéarité et homogénéité, $$ \begin{aligned} \norme{u\!\left(\tfrac{\alpha x}{\norme{x}}\right)} &= \tfrac{\alpha}{\norme{x}}\,\norme{u(x)} && \text{(linéarité et homogénéité de la norme)}\\ &\le 1, && \end{aligned} $$ d'où \(\norme{u(x)} \le \tfrac{1}{\alpha}\,\norme{x}\). Cette inégalité vaut aussi en \(x = 0_E\) (les deux membres sont nuls). Donc \(C = \tfrac{1}{\alpha}\) convient.

Le théorème donne déjà (i) \(\iff\) (iii), et sa démonstration montre (iii) \(\Rightarrow\) (v) (\(u\) est \(C\)-lipschitzienne) et (v) \(\Rightarrow\) (i) (lipschitzienne entraîne continue). Il reste à y intégrer (ii) et (iv).

• (i) \(\Rightarrow\) (ii) est immédiat : la continuité sur \(E\) contient la continuité en \(0_E\).
• (ii) \(\Rightarrow\) (iii) : la démonstration du théorème n'a utilisé que la continuité en \(0_E\) pour produire \(C = 1/\alpha\).
• (iii) \(\Rightarrow\) (iv) : si \(\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}\), alors pour \(\norme{x} \le 1\) on a \(\norme{u(x)} \le C\), donc \(u\) est bornée sur \(B_f(0_E,1)\).
• (iv) \(\Rightarrow\) (iii) : supposons \(\norme{u(x)} \le M\) pour \(\norme{x} \le 1\). Pour \(x \ne 0_E\), le vecteur \(x/\norme{x}\) est dans \(B_f(0_E,1)\), donc \(\norme{u(x/\norme{x})} \le M\), soit \(\norme{u(x)} \le M\,\norme{x}\) par homogénéité ; l'inégalité vaut aussi en \(0_E\).

Les implications s'enchaînent pour rendre (i)–(v) toutes équivalentes.