Éducation Nationale Française · PSI

Suites et séries de fonctions

⌚ ~59 min ▢ 7 blocs ✓ 88 exercices ➣ Prérequis : Espaces vectoriels normés, Compléments sur les séries numériques, Intégration sur un segment

Ce chapitre fait partie du cœur de l'analyse PC et établit un lien vers son équivalent MP pour le contenu standard. Le programme PC en délimite la portée ; le matériel MP hors programme est silencieusement omis. Les notations permanentes coïncident avec le cours Espaces vectoriels normés (Espaces vectoriels normés) lorsque pertinent.

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I Suites de fonctions

I.1 Convergence simple et convergence uniforme

La manière la plus naturelle de donner un sens à « $f_n \to f$ » gèle la variable $x$ : pour chaque $x$, la suite de nombres $(f_n(x))_n$ doit converger vers $f(x)$. C'est la convergence simple (ou ponctuelle). Elle est trop lâche, comme le montre le premier Exemple : elle autorise la fonction limite à perdre des propriétés que chaque $f_n$ avait. Le remède est de contrôler l'écart uniformément en $x$ — pas « pour chaque $x$ séparément » mais « un $N$ marche pour tous les $x$ d'un coup ». Cette seconde notion utilise la norme uniforme $\|g\|_\infty = \sup_{x \in I} |g(x)|$ rappelée dans l'introduction depuis Espaces vectoriels normés : la convergence uniforme sur $I$ est exactement $\|f_n - f\|_\infty \to 0$. Désormais, dire qu'une fonction $g$ est bornée sur $I$ signifie $\|g\|_\infty < +\infty$ (rappelé de MPSI Limites et continuité, étendu aux fonctions à valeurs dans $K$ par le module).

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Définition — Convergence simple

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $I \to K$ et $f : I \to K$ une fonction. La suite $(f_n)$ converge simplement (ou ponctuellement) vers $f$ sur $I$ lorsque, pour tout $x \in I$, la suite de nombres $(f_n(x))_n$ converge vers $f(x)$. En quantificateurs : $$ \forall x \in I,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon. $$ La fonction $f$ est alors appelée limite simple de $(f_n)$ sur $I$.

Exemple — Une limite simple discontinue

Prenons $I = [0, 1]$ et $f_n(x) = x^n$. Pour $0 \leq x < 1$, $x^n \to 0$ ; pour $x = 1$, $x^n = 1$ pour tout $n$. Donc $(f_n)$ converge simplement sur $[0, 1]$ vers $$ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1,\\ 1 & \text{si } x = 1. \end{cases} $$ Chaque $f_n$ est continue sur $[0, 1]$ ; la limite simple $f$ ne l'est pas. La convergence simple ne transmet pas la continuité.

Définition — Convergence uniforme

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $I \to K$ et $f : I \to K$ une fonction. La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ lorsque $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ \forall x \in I,\ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon. $$ De manière équivalente : pour $n \geq N$ la fonction $f_n - f$ est bornée sur $I$ et $\|f_n - f\|_\infty \leq \varepsilon$, de sorte que la condition se lit $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ une fois que l'on sait que $f_n - f$ est bornée à partir d'un certain rang. La fonction $f$ est alors appelée limite uniforme de $(f_n)$ sur $I$. L'ordre des quantificateurs $\exists N$ et $\forall x$ est crucial : en convergence uniforme l'indice $N$ dépend de $\varepsilon$ mais pas de $x$ ; en convergence simple $N$ peut dépendre des deux.

Exemple — Lecture géométrique de la norme uniforme

La Définition admet une traduction géométrique immédiate : $\|f_n - f\|_\infty \leq \varepsilon$ signifie que le graphe de $f_n$ se loge dans la bande horizontale de demi-hauteur $\varepsilon$ autour du graphe de $f$. La convergence uniforme est l'exigence qu'à partir d'un certain rang, tout le graphe entre dans toute bande imposée — la convergence simple ne demanderait que, pour chaque $x$, la valeur $f_n(x)$ entre dans la fenêtre verticale de hauteur $\varepsilon$ au-dessus de $f(x)$, sans lien entre deux $x$ distincts.

Proposition — La convergence uniforme entraîne la convergence simple

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, alors $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$. La réciproque est fausse en général.

Preuve

Fixons $x \in I$. De la définition par quantificateurs, $\forall n \geq N,\ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon$ (la borne est uniforme en $x$, donc a fortiori vraie au $x$ choisi). Donc la suite numérique $(f_n(x))_n$ converge vers $f(x)$. Comme $x$ est arbitraire dans $I$, c'est la convergence simple sur $I$. L'Exemple précédent (les $x^n$ sur $[0,1]$) fournit un contre-exemple à la réciproque : convergence simple vers l'indicatrice $f$, mais $\|f_n - f\|_\infty \geq |f_n(x_n) - f(x_n)|$ pour $x_n = 1 - 1/n \in [0, 1)$, où $f_n(x_n) = (1 - 1/n)^n \to 1/e$ et $f(x_n) = 0$, donc $\|f_n - f\|_\infty \geq 1/e - 1/n$ reste minorée loin de $0$ et la convergence n'est pas uniforme.

Exemple — Une suite uniformément convergente

Sur $\mathbb{R}$, posons $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|f_n(x)| \leq \frac{1}{n}$, donc $\|f_n\|_\infty \leq \frac{1}{n}$. Par conséquent $\|f_n - 0\|_\infty \to 0$, donc $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.

Exemple — Convergence uniforme sur une partie plus petite

Reprenons $f_n(x) = x^n$, mais sur $[0, r]$ avec $0 < r < 1$. On y a $\|f_n\|_\infty = r^n \to 0$, donc $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0, r]$. Pourtant sur $[0, 1]$, par la discussion précédente, la même suite ne converge pas uniformément. La convergence uniforme d'une suite dépend de l'ensemble sur lequel on l'examine : elle peut avoir lieu sur tout compact de $[0, 1)$ et échouer sur $[0, 1]$ lui-même.

Méthode — Tester la convergence simple et la convergence uniforme

Les deux tests s'enchaînent dans cet ordre.

Convergence simple. Fixer $x \in I$ et étudier la suite numérique $(f_n(x))_n$. La limite, lorsqu'elle existe, définit la fonction candidate $f(x)$.
Convergence uniforme. Calculer $\|f_n - f\|_\infty$ sur $I$. La voie standard est l'étude de variations : dériver $g_n(x) = f_n(x) - f(x)$ en $x$, localiser l'extremum, évaluer, puis étudier la suite numérique obtenue en $n$ (lorsque $K = \mathbb{C}$, étudier $|g_n(x)|$ ou $|g_n(x)|^2$ à la place de $g_n$, les outils de variation requérant des valeurs réelles). Un raccourci est un majorant uniforme : si $|f_n(x) - f(x)| \leq a_n$ pour tout $x \in I$ avec $a_n \to 0$, alors $\|f_n - f\|_\infty \leq a_n \to 0$ et la convergence uniforme est acquise. Pour infirmer la convergence uniforme sur $I$, utiliser la route par suite test : exhiber une suite $(x_n)$ de $I$ telle que $|f_n(x_n) - f(x_n)|$ ne tende pas vers $0$ ; alors $\|f_n - f\|_\infty \geq |f_n(x_n) - f(x_n)|$ empêche la norme de tendre vers $0$.

Compétences à pratiquer

Tester la convergence simple et uniforme

I.2 Continuité et théorème de la double limite

La première question de régularité est celle qu'a déjà ouverte l'Exemple à limite discontinue de sous-section 1.1 : si chaque $f_n$ est continue et $f_n \to f$ simplement, $f$ est-elle continue ? Non — et la convergence uniforme est le bon remède. L'argument est le canonique « $\varepsilon/3$ » : découper l'écart entre $f(x)$ et $f(y)$ en trois morceaux, $f(x) \to f_n(x)$, $f_n(x) \to f_n(y)$ (continuité de $f_n$), et $f_n(y) \to f(y)$. Le théorème de la double limite étend la même idée à une question différente — peut-on intervertir les limites en $n$ et en $x$ ? — et là encore la convergence uniforme l'autorise.

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Théorème — Continuité de la limite uniforme

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions $I \to K$ convergeant uniformément sur tout segment de $I$ vers $f : I \to K$. Si chaque $f_n$ est continue sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$. La convergence uniforme sur $I$ tout entier entraîne la convergence uniforme sur tout segment de $I$, et est donc également suffisante ; la forme locale énoncée ici est celle qui s'adapte aux exemples sur intervalle ouvert (par exemple $\sum x^n$ sur $(-1, 1)$, qui converge uniformément sur tout $[-r, r]$ mais pas sur $(-1, 1)$ lui-même).

Preuve

La continuité est une propriété locale : il suffit de montrer $f$ continue en tout $a \in I$. Fixons $a \in I$ et $\varepsilon > 0$, et choisissons un segment $J = [\alpha, \beta] \subset I$ contenant un voisinage relatif de $a$ dans $I$ : si $a$ est intérieur à $I$, prendre $\alpha < a < \beta$ ; si $a$ est l'extrémité gauche (resp.\ droite) de $I$, prendre $\alpha = a < \beta$ (resp.\ $\alpha < a = \beta$). Trois étapes.

Choisir $n$ pour contrôler l'erreur uniforme sur $J$. Par convergence uniforme sur $J$ il existe $N$ tel que $\|f_N - f\|_{\infty, J} \leq \varepsilon/3$. Alors $|f(x) - f_N(x)| \leq \varepsilon/3$ pour tout $x \in J$.
Utiliser la continuité de $f_N$ en $a$. $f_N$ est continue sur $I$, en particulier en $a$, donc il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout $x \in I$ avec $|x - a| \leq \eta$, $|f_N(x) - f_N(a)| \leq \varepsilon/3$. En réduisant $\eta$ si besoin, on peut de plus supposer $\{x \in I : |x - a| \leq \eta\} \subset J$, de sorte que la borne précédente s'applique à un tel $x$.
Combiner. Pour un tel $x$, $$ \begin{aligned} |f(x) - f(a)| & \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(a)| + |f_N(a) - f(a)| && \text{(inég. triangulaire)}\\ & \leq \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} && \text{(par les trois bornes ci-dessus)}\\ & = \varepsilon. \end{aligned} $$

Cela prouve $f$ continue en $a$. Comme $a$ est arbitraire dans $I$, $f$ est continue sur $I$.

Exemple — Infirmer la convergence uniforme par contraposée

Une fois encore $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$. Chaque $f_n$ est continue ; la limite simple $f$ (nulle sur $[0, 1)$, valant $1$ en $1$) ne l'est pas. Le Théorème appliqué par contraposée exclut la convergence uniforme : des $f_n$ continues uniformément convergentes forceraient une limite continue, ce qui est contredit ici.

Théorème — Théorème de la double limite

Soit $a$ une extrémité de $I$ (éventuellement $\pm\infty$), et lisons toutes les limites en $x$ comme des limites relatives le long de $I$, i.e.\ $x \in I$ tendant vers $a$. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions $I \to K$ convergeant uniformément vers $f$ sur $I$. Supposons que pour chaque $n$, $f_n(x)$ admette une limite $\ell_n \in K$ quand $x \to a$ le long de $I$. Alors $(\ell_n)_n$ converge vers un certain $\ell \in K$, $f(x)$ admet une limite quand $x \to a$ le long de $I$, et les deux coïncident : $$ \lim_{\substack{x \to a \\ x \in I}}\, \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \,=\, \lim_{n \to +\infty}\, \lim_{\substack{x \to a \\ x \in I}} f_n(x) \,=\, \ell. $$

La démonstration du théorème de la double limite est hors programme (le programme la déclare non exigible). On l'énonce et on l'utilise ; la technique — un troisième argument $\varepsilon/3$ calqué sur la preuve de continuité — est omise.

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Exemple — Une permutation qui réussit

Sur $I = [1, +\infty)$ d'extrémité $a = +\infty$, posons $f_n(x) = \frac{nx}{1 + nx} = 1 - \frac{1}{1 + nx}$. La convergence uniforme sur $I$ vers la fonction constante $1$ a lieu : $$ \|f_n - 1\|_{\infty, [1, +\infty)} = \sup_{x \geq 1} \frac{1}{1 + nx} = \frac{1}{1 + n} \;\xrightarrow[n \to +\infty]{}\; 0. $$ Les hypothèses du Théorème sont remplies : chaque $f_n$ admet une limite en $+\infty$, à savoir $\ell_n = \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 1$. Le Théorème assure alors $\ell_n \to \ell$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ ; on vérifie directement : $\ell_n = 1$ pour tout $n$ (donc $\ell = 1$), $f \equiv 1$ sur $[1, +\infty)$ (donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$). Les deux limites itérées coïncident : $$ \lim_{n \to +\infty} \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 1 = \lim_{x \to +\infty} \lim_{n \to +\infty} f_n(x). $$

Exemple — Une permutation qui échoue

La même famille sur le domaine plus large $I = [0, +\infty)$ d'extrémité $a = 0$, $f_n(x) = \frac{nx}{1 + nx}$. Calculons les deux limites intérieures.

Pour chaque $n$, $f_n(0) = 0$ et $f_n(x) \to 0$ quand $x \to 0^+$ (puisque $\frac{nx}{1+nx} \sim nx \to 0$). Donc $\ell_n := \lim_{x \to 0^+} f_n(x) = 0$.
Pour chaque $x > 0$, $f_n(x) = \frac{nx}{1+nx} \to 1$ quand $n \to +\infty$. Donc la limite simple est $f(x) = 1$ pour $x > 0$ et $f(0) = 0$ — discontinue en $0$.

Les deux limites itérées diffèrent : $$ \lim_{n \to +\infty} \lim_{x \to 0^+} f_n(x) = \lim_n \ell_n = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1. $$ Par contraposée, la convergence ne peut pas être uniforme sur $[0, +\infty)$. Directement : pour $x > 0$, $|f_n(x) - f(x)| = |nx/(1+nx) - 1| = 1/(1+nx)$, donc $\sup_{x > 0} |f_n(x) - f(x)| = \lim_{x \to 0^+} 1/(1+nx) = 1$ ; combiné à $|f_n(0) - f(0)| = 0$, cela donne $\|f_n - f\|_{\infty} = 1$ (non atteint) pour tout $n$, donc la norme ne tend pas vers $0$. Le diagramme résume la situation : les deux chemins de $f_n(x)$ vers le coin $\ell$ ne s'accordent pas, parce que la convergence n'est pas uniforme.

Méthode — Infirmer la convergence uniforme sur $I$

Trois voies en complément de la route « suite test » de la Méthode du sous-section 1.1.

Contraposée du théorème de continuité. Si chaque $f_n$ est continue sur $I$ et que la limite simple $f$ est discontinue en un point de $I$, la convergence n'est pas uniforme sur un segment de $I$ contenant ce point.
Contraposée du théorème d'intégration. Sur un segment $[a, b]$ : si chaque $f_n$ est continue, $f_n \to f$ simplement vers $f$ continue, mais $\int_a^b f_n \not\to \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$, alors la convergence n'est pas uniforme sur $[a, b]$ (voir l'Exemple de la bosse au sous-section 1.3 pour un échec concret).
Contraposée du théorème de la double limite. À une extrémité $a$ de $I$ : si chaque $f_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$, que les deux limites itérées $\lim_n \ell_n$ et $\lim_{x \to a} f(x)$ existent mais diffèrent, alors la convergence n'est pas uniforme sur un sous-intervalle ayant $a$ pour point d'accumulation (présent Exemple).

Compétences à pratiquer

Appliquer la continuité et le théorème de la double limite

I.3 Intégration et dérivation

Les deux autres questions de régularité suivent le même schéma : une limite simple de fonctions intégrables / dérivables peut ne pas l'être, et même lorsqu'elle l'est, l'intégrale / la dérivée de la limite peut différer de la limite des intégrales / dérivées. La convergence uniforme répare directement l'intégration, sur un segment. La dérivation demande davantage : convergence uniforme des dérivées, plus convergence de $(f_n)$ en un point.

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Théorème — Intégration d'une limite uniforme sur un segment

Soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$, $(f_n)$ une suite de $\mathcal{C}([a, b], K)$ convergeant uniformément vers $f$ sur $[a, b]$. Alors $f \in \mathcal{C}([a, b], K)$ et $$ \int_a^b f_n(t)\,\mathrm{d}t \;\xrightarrow[n \to +\infty]{}\; \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t. $$ Plus précisément, $\left|\int_a^b f_n - \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right| \leq (b - a)\,\|f_n - f\|_\infty$.

Preuve

La continuité de $f$ sur $[a, b]$ est le théorème de continuité-de-la-limite-uniforme de sous-section 1.2 appliqué au segment $[a, b]$. Ensuite $$ \begin{aligned} \left|\int_a^b f_n(t)\,\mathrm{d}t - \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right| & = \left|\int_a^b (f_n(t) - f(t))\,\mathrm{d}t\right| && \text{(linéarité de l'intégrale)}\\ & \leq \int_a^b |f_n(t) - f(t)|\,\mathrm{d}t && \text{(module sous l'intégrale, MPSI \textit{Intégration sur un segment})}\\ & \leq \int_a^b \|f_n - f\|_\infty\,\mathrm{d}t && \text{(définition de $\|\cdot\|_\infty$)}\\ & = (b - a)\,\|f_n - f\|_\infty. \end{aligned} $$ Le membre de droite tend vers $0$ par convergence uniforme, donc celui de gauche aussi.

Exemple — Une bosse qui s'évanouit

Sur $[0, 1]$, posons $f_n(x) = n^2 x (1 - x)^n$ pour $n \geq 1$. Pour $x = 0$, $f_n(0) = 0$ ; pour $0 < x \leq 1$, le facteur géométrique $(1 - x)^n$ tend vers $0$ plus vite que $n^2$ ne croît, donc $f_n(x) \to 0$. Donc $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0, 1]$. Cependant $$ \int_0^1 f_n(t)\,\mathrm{d}t = n^2 \int_0^1 t(1 - t)^n\,\mathrm{d}t = n^2 \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)} \;\xrightarrow[n \to +\infty]{}\; 1 $$ (intégrale calculée par l'identité de la fonction Bêta, ou par intégration par parties). La limite des intégrales vaut $1$, l'intégrale de la limite vaut $0$ : elles diffèrent, donc la convergence n'est pas uniforme sur $[0, 1]$ — sinon le Théorème imposerait l'égalité. (Un calcul donne $\|f_n\|_\infty \sim n/e$, qui explose effectivement.)

Théorème — Théorème de dérivation

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $(f_n)$ une suite de $\mathcal{C}^1(I, K)$. Supposons :

il existe $x_0 \in I$ tel que la suite numérique $(f_n(x_0))_n$ converge dans $K$ ;
la suite des dérivées $(f_n')$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $g : I \to K$.

Alors $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $f \in \mathcal{C}^1(I, K)$ vérifiant $f' = g$ sur $I$.

Preuve

Soit $\ell = \lim_n f_n(x_0)$. Par Newton-Leibniz pour les fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ (rappelé de MPSI Intégration sur un segment), $$ f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'(t)\,\mathrm{d}t \qquad \text{pour tout } x \in I. $$ Fixons un segment $J' \subset I$. Agrandissons-le en un segment $J'' \subset I$ contenant $J' \cup \{x_0\}$ (un tel $J''$ existe car $I$ est un intervalle). Sur $J''$, $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ par hypothèse. Le théorème de continuité-de-la-limite-uniforme de sous-section 1.2 appliqué sur $J''$ donne $g \in \mathcal{C}(J'', K)$ (et, en faisant varier $J''$, $g \in \mathcal{C}(I, K)$ car la continuité est une propriété locale). Donc la fonction $$ F(x) = \ell + \int_{x_0}^x g(t)\,\mathrm{d}t $$ est bien définie, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J''$, et $F' = g$. Or sur $J''$, $$ \begin{aligned} |f_n(x) - F(x)| & = \left|(f_n(x_0) - \ell) + \int_{x_0}^x (f_n'(t) - g(t))\,\mathrm{d}t\right| && \text{(différence)}\\ & \leq |f_n(x_0) - \ell| + \left|\int_{x_0}^x (f_n' - g)(t)\,\mathrm{d}t\right| && \text{(inég. triangulaire)}\\ & \leq |f_n(x_0) - \ell| + |J''|\cdot \|f_n' - g\|_{\infty, J''} && \text{(MPSI \textit{Intégration sur un segment}, majoration uniforme)} \end{aligned} $$ où $|J''|$ désigne la longueur de $J''$. Les deux termes tendent vers $0$ (le premier par choix de $\ell$, le second par convergence uniforme de $(f_n')$ sur $J''$), indépendamment de $x \in J''$. Donc $(f_n) \to F$ uniformément sur $J''$, et a fortiori uniformément sur $J'$. Posons $f = F$ sur $I$ (la valeur $F(x)$ ne dépend pas de l'agrandissement $J''$ par Chasles). Alors $f \in \mathcal{C}^1(I, K)$ et $f' = g$.

Exemple — La convergence uniforme ne suffit pas pour les dérivées

Sur $\mathbb{R}$, prenons $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$. Alors $|f_n(x)| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ pour tout $x$, donc $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle. Cependant $f_n'(x) = \sqrt{n}\cos(nx)$, et en $x = 0$, $f_n'(0) = \sqrt{n} \to +\infty$. La suite $(f_n')$ ne converge même pas simplement. Donc « convergence uniforme de $(f_n)$ » est à elle seule inutile pour la dérivation : la bonne hypothèse est la convergence uniforme de $(f_n')$, pas de $(f_n)$.

Méthode — Appliquer les théorèmes d'intégration et de dérivation

Intégration. Sur un segment $[a, b]$ : vérifier (i) chaque $f_n$ continue sur $[a, b]$, (ii) $f_n \to f$ uniformément sur $[a, b]$. Conclure $\int_a^b f_n \to \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. Hors d'un segment le théorème ne s'applique pas directement — voir Intégrales à paramètre pour l'extension aux intervalles non bornés.
Dérivation. Sur un intervalle $I$ : vérifier (i) chaque $f_n \in \mathcal{C}^1(I)$, (ii) $(f_n')$ converge uniformément sur tout segment de $I$ (pas sur un seul segment), (iii) $(f_n)$ converge en un point $x_0 \in I$. Conclure $f \in \mathcal{C}^1(I)$ et $f' = \lim f_n'$. L'hypothèse « convergence uniforme de $(f_n)$ elle-même » n'est pas requise — la conclusion la fournit en bonus.

Compétences à pratiquer

Intégrer une limite uniforme sur un segment
Étudier la régularité d'une limite

II Séries de fonctions

II.1 Modes de convergence

Une série de fonctions $\sum u_n$ est, par définition, la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$. Toute notion de convergence pour les suites de fonctions (simple, uniforme) se transporte donc automatiquement aux séries — on applique la définition pour les suites à $(S_n)$. Les séries portent un mode de convergence supplémentaire, la convergence normale, sans pendant pour les suites : elle contrôle $\sum \|u_n\|_\infty$, pas $\|S_n - S\|_\infty$. C'est la plus forte des trois et la plus facile à tester en pratique (une seule série numérique, pas de supremum à étudier).

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Définition — Modes de convergence d'une série de fonctions

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $I \to K$, et soit $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ la somme partielle d'ordre $n$.

La série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ lorsque $(S_n)$ converge simplement sur $I$. Sa somme est $S(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n(x)$.
La série $\sum u_n$ converge uniformément sur $I$ lorsque $(S_n)$ converge uniformément sur $I$. De manière équivalente, le reste $R_n = S - S_n$ vérifie $\|R_n\|_\infty \to 0$.
La série $\sum u_n$ converge normalement sur $I$ lorsque chaque $u_n$ est bornée sur $I$ et que la série numérique $\sum \|u_n\|_\infty$ converge.

Proposition — Normale entraîne uniforme entraîne simple

Pour une série de fonctions sur $I$ : $$ \text{convergence normale sur } I \;\Longrightarrow\; \text{convergence uniforme sur } I \;\Longrightarrow\; \text{convergence simple sur } I. $$ Les deux réciproques sont fausses en général. Les trois modes forment trois classes emboîtées ; en image :

Preuve

La seconde implication est l'énoncé pour les suites de sous-section 1.1 appliqué à $(S_n)$. Pour la première, supposons $\sum u_n$ normalement convergente sur $I$. Pour chaque $x \in I$, $|u_n(x)| \leq \|u_n\|_\infty$, donc $\sum u_n(x)$ converge absolument, donc converge (rappelé de Séries réelles ou complexes, séries vectorielles). Soit $S(x)$ sa somme et $S_n(x)$ sa somme partielle. Alors, pour tout $x \in I$, $$ \begin{aligned} |S(x) - S_n(x)| & = \left|\sum_{k = n+1}^{+\infty} u_k(x)\right| && \text{(définition du reste)}\\ & \leq \sum_{k = n+1}^{+\infty} |u_k(x)| && \text{(inég. triangulaire pour les séries)}\\ & \leq \sum_{k = n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty && \text{(définition de $\|\cdot\|_\infty$)}. \end{aligned} $$ La majoration ne dépend pas de $x$. Donc $\|S - S_n\|_\infty \leq \sum_{k = n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty$. Le membre de droite est le reste d'une série numérique convergente et tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ (reste d'une série convergente, rappelé de MPSI Séries réelles). Donc $\|S - S_n\|_\infty \to 0$, ce qui est la convergence uniforme.

Exemple — Convergence normale par majoration en $1/n^2$

Sur $[-1, 1]$, posons $u_n(x) = \frac{x^n}{n^2}$ pour $n \geq 1$. Alors $|u_n(x)| \leq \frac{1}{n^2}$, donc $\|u_n\|_\infty \leq \frac{1}{n^2}$ sur $[-1, 1]$. La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est la série de Bâle ; elle converge (rappelé de MPSI Séries réelles). Donc $\sum \|u_n\|_\infty$ converge, et $\sum u_n$ converge normalement sur $[-1, 1]$. Par la Proposition, elle converge uniformément et simplement sur $[-1, 1]$.

Exemple — Uniforme sans normale

Sur $[0, +\infty)$, posons $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x + n}$ pour $n \geq 1$. Pour chaque $x \geq 0$ fixé, $\sum u_n(x)$ est une série numérique alternée dont le terme général $\frac{1}{x + n}$ décroît vers $0$, donc elle converge (critère des séries alternées, rappelé de MPSI Séries réelles) ; et le reste est majoré par le premier terme négligé : $$ |R_n(x)| \leq \frac{1}{x + n + 1} \leq \frac{1}{n + 1}. $$ La majoration est indépendante de $x$, donc $\|R_n\|_\infty \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ : convergence uniforme sur $[0, +\infty)$. Mais $\|u_n\|_\infty = \frac{1}{n}$ sur $[0, +\infty)$, et $\sum \frac{1}{n}$ diverge (série harmonique). Donc la convergence normale échoue.

Méthode — Démontrer la convergence normale

Trouver une série numérique convergente $\sum a_n$ à termes positifs et une majoration uniforme $|u_n(x)| \leq a_n$ pour tout $x \in I$ et tout $n$. Alors $\|u_n\|_\infty \leq a_n$ et $\sum \|u_n\|_\infty$ converge par comparaison. Le candidat $a_n$ est le plus souvent $\sup_{x \in I} |u_n(x)|$ lui-même, localisé par une étude de variations ; pour de nombreuses séries la décroissance géométrique ou polynomiale de $|u_n(x)|$ à $n$ fixé donne le $a_n$ à vue. Piège : la convergence normale sur $I$ entraîne la convergence normale sur toute partie de $I$, mais pas l'inverse — l'exemple $\sum \frac{x^n}{n^2}$ ci-dessus converge normalement sur $[-1, 1]$ et a fortiori sur tout $[-r, r]$ avec $r \leq 1$ ; mais $\sum x^n$ converge normalement sur tout $[-r, r]$ avec $r < 1$ et pas sur $[-1, 1)$ (le $\|u_n\|_\infty$ sur $[-r, r]$ est $r^n$, alors que sur $[-1, 1)$ il vaut $1$, ce qui fait exploser la série).

Compétences à pratiquer

Démontrer la convergence normale

II.2 Régularité de la somme

Les théorèmes de régularité pour les suites (sous-section 1.2, sous-section 1.3) donnent immédiatement trois énoncés pour les séries, via la somme partielle $S_n$. Ils disent : sous convergence uniforme de $\sum u_n$ sur tout segment, la somme $S$ hérite de la continuité des $u_n$ ; sous convergence uniforme de $\sum u_n$ sur le segment fixé $[a, b]$, l'intégrale sur $[a, b]$ et la somme commutent (les extensions aux intervalles non bornés requièrent des hypothèses de domination supplémentaires, traitées dans Intégrales à paramètre) ; sous convergence uniforme de $\sum u_n'$ sur tout segment plus convergence en un point, la somme est $\mathcal{C}^1$ et se dérive terme à terme.

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Proposition — Continuité de la somme

Soit $(u_n)$ une suite de fonctions $I \to K$, toutes continues sur $I$, telle que $\sum u_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$. Alors la somme $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)$ est continue sur $I$.

Preuve

La somme partielle $S_n = u_0 + \dots + u_n$ est continue sur $I$ (somme finie de fonctions continues, MPSI Limites et continuité). Par hypothèse, sur tout segment $J \subset I$, $S_n \to S$ uniformément. Le théorème de continuité-de-la-limite-uniforme de sous-section 1.2 s'applique et donne $S$ continue sur $I$.

Exemple — Continuité d'une différence géométrique

Sur $(-1, 1)$, $\sum x^n$ converge normalement sur tout $[-r, r]$ avec $r < 1$ (alors $\|u_n\|_\infty = r^n$, $\sum r^n$ converge). Chaque $u_n(x) = x^n$ est continue sur $[-r, r]$, donc par la Proposition la somme $S(x) = \frac{1}{1 - x}$ est continue sur tout $[-r, r]$, donc sur $(-1, 1)$ (la continuité est locale). C'est une redérivation par argument de série d'un fait familier, utile comme modèle.

Théorème — Intégration terme à terme sur un segment

Soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$, $(u_n)$ une suite de $\mathcal{C}([a, b], K)$ telle que $\sum u_n$ converge uniformément sur $[a, b]$. Alors la somme $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ appartient à $\mathcal{C}([a, b], K)$ et $$ \int_a^b S(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b u_n(t)\,\mathrm{d}t. $$

Preuve

La somme partielle $S_n$ est continue sur $[a, b]$ et $S_n \to S$ uniformément sur $[a, b]$ par hypothèse. Appliquons le théorème d'intégration de sous-section 1.3 à $(S_n)$ : $S \in \mathcal{C}([a, b], K)$ et $\int_a^b S_n \to \int_a^b S(t)\,\mathrm{d}t$. Alors $$ \begin{aligned} \int_a^b S(t)\,\mathrm{d}t & = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b S_n(t)\,\mathrm{d}t && \text{(théorème d'intégration du \S 1.3 appliqué à $(S_n)$)}\\ & = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n \int_a^b u_k(t)\,\mathrm{d}t && \text{(linéarité de l'intégrale sur la somme finie $S_n$)}\\ & = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b u_n(t)\,\mathrm{d}t && \text{(définition de la somme d'une série).} \end{aligned} $$

Théorème — Dérivation terme à terme

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $(u_n)$ une suite de $\mathcal{C}^1(I, K)$. Supposons :

il existe $x_0 \in I$ tel que la série numérique $\sum u_n(x_0)$ converge ;
la série des dérivées $\sum u_n'$ converge uniformément sur tout segment de $I$.

Alors $\sum u_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$, sa somme $S$ appartient à $\mathcal{C}^1(I, K)$, et $$ S'(x) \,=\, \sum_{n=0}^{+\infty} u_n'(x) \qquad \text{pour tout } x \in I. $$

Preuve

Appliquons le théorème de dérivation de sous-section 1.3 aux sommes partielles $S_n = u_0 + \dots + u_n$. Chaque $S_n$ est dans $\mathcal{C}^1(I, K)$ comme somme finie. En $x_0$, $(S_n(x_0))_n$ est la suite des sommes partielles de $\sum u_n(x_0)$, qui converge par hypothèse. La dérivée $S_n' = u_0' + \dots + u_n'$ est la somme partielle de $\sum u_n'$, qui converge uniformément sur tout segment de $I$ par hypothèse. Le théorème de sous-section 1.3 s'applique et donne $(S_n) \to S$ uniformément sur tout segment de $I$, $S \in \mathcal{C}^1(I, K)$, et $S' = \lim_n S_n' = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n'$.

Exemple — Une somme $\mathcal{C}^\infty$

Sur $\mathbb{R}$, $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}$ est $\mathcal{C}^\infty$, en itérant $k$ fois le théorème de dérivation terme à terme. À chaque itération les deux hypothèses se vérifient en $x_0 = 0$ et sur chaque segment $[-A, A]$. Posons $u_n(x) = \frac{1}{n^2 + x^2}$ et observons la factorisation $u_n(x) = \frac{1}{n^2}\, g(x/n)$ avec $g(t) = \frac{1}{1 + t^2}$. Chaque dérivation en $x$ fait apparaître un facteur $1/n$ par l'argument interne : $$ u_n^{(k)}(x) \,=\, \frac{g^{(k)}(x/n)}{n^{k+2}}. $$ La fonction $g^{(k)}$ est une fonction rationnelle $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ dont le dénominateur est une puissance de $1 + t^2$ (jamais nul sur $\mathbb{R}$), donc $g^{(k)}$ est bornée sur tout compact de $\mathbb{R}$. Posons $C_k(A) = \sup_{|t| \leq A} |g^{(k)}(t)| < +\infty$.

Convergence en un point en $x_0 = 0$ pour $\sum u_n^{(k)}(0)$. En $x = 0$, $u_n^{(k)}(0) = g^{(k)}(0)/n^{k+2} = O(1/n^{k+2})$ en $n$. La série $\sum 1/n^{k+2}$ converge (série de Riemann, $k + 2 \geq 2$), donc $\sum u_n^{(k)}(0)$ converge absolument.
Convergence uniforme sur tout segment de $\sum u_n^{(k+1)}$. Sur $[-A, A]$, $|x/n| \leq A$ pour tout $n \geq 1$, donc $|u_n^{(k+1)}(x)| = |g^{(k+1)}(x/n)|/n^{k+3} \leq C_{k+1}(A)/n^{k+3}$. Puisque $\sum 1/n^{k+3}$ converge, $\sum u_n^{(k+1)}$ converge normalement sur $[-A, A]$, et a fortiori uniformément sur ce segment.

Le théorème de dérivation terme à terme du sous-section 2.2 s'applique donc et donne $S^{(k+1)}(x) = \sum_n u_n^{(k+1)}(x)$ sur $\mathbb{R}$. Par récurrence sur $k \geq 0$, $S$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $\mathbb{R}$ pour tout $k$, donc de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.

Méthode — Étudier la régularité de la somme d'une série

Continuité. Prouver que $\sum u_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$ (le plus souvent par convergence normale sur tout segment). Conclure $S$ continue sur $I$. L'hypothèse « uniforme sur tout segment » est la naturelle — la convergence uniforme sur $I$ tout entier est suffisante mais rarement disponible sur les intervalles ouverts ($\sum x^n$ sur $(-1, 1)$ ne converge pas uniformément sur l'intervalle ouvert, seulement sur chaque $[-r, r]$ avec $r < 1$). Lorsque la version « uniforme sur $I$ tout entier » est vérifiée, la conclusion s'obtient directement — ainsi pour $\sum 1/(n^2 + x^2)$ sur $\mathbb{R}$, où $\|u_n\|_{\infty, \mathbb{R}} = 1/n^2$ donne la convergence normale sur $\mathbb{R}$ lui-même.
Intégration terme à terme sur $[a, b]$. Prouver que $\sum u_n$ converge uniformément sur $[a, b]$. Conclure $\int_a^b S(t)\,\mathrm{d}t = \sum \int_a^b u_n$.
$\mathcal{C}^1$. Prouver que $\sum u_n$ converge en un point $x_0 \in I$ et que $\sum u_n'$ converge uniformément sur tout segment de $I$. Conclure $S \in \mathcal{C}^1(I)$ et $S' = \sum u_n'$.
$\mathcal{C}^k$. Itérer l'étape précédente $k$ fois.
L'hypothèse « uniformément sur tout segment » se vérifie le plus souvent en montrant la convergence normale sur tout segment.

Compétences à pratiquer

Étudier la régularité de la somme d'une série

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes de synthèse