Éducation Nationale Française · PSI

Compléments sur les séries numériques

⌚ ~35 min ▢ 4 blocs ✓ 52 exercices ➣ Prérequis : Séries numériques

Ce chapitre fait partie du cœur de l'analyse PC et établit un lien vers son équivalent MP pour le contenu standard. Le programme PC en délimite la portée ; le matériel MP hors programme est silencieusement omis. Les notations permanentes coïncident avec le cours Espaces vectoriels normés (Espaces vectoriels normés) lorsque pertinent.

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Conventions

Dans tout ce chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb{K}$, de norme $\|\cdot\|$. La dimension de $E$ est $p \ge 1$ ; une base de $E$, lorsqu'elle est fixée, sera notée $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$. Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $E$ donne naissance à sa série, notée $\sum u_n$ ; lorsque la série converge, sa somme est notée $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \in E$. Les séries numériques sont le cas $E = \mathbb{K}$, $\|\cdot\| = |\cdot|$, et toute la théorie de première année s'applique — on la rappellera quand on l'utilise, jamais on ne la redémontrera. Les propriétés des espaces normés de dimension finie qui apparaissent — équivalence de toutes les normes, continuité automatique des applications linéaires, convergence composante par composante pour une norme produit — sont rappelées depuis Espaces vectoriels normés et Compacité, connexité, dimension finie là où elles sont nécessaires.

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I Compléments sur les séries numériques

I.1 La règle de d'Alembert

La règle de d'Alembert est un test de rapport pour les séries numériques à termes positifs : lorsque le rapport de deux termes consécutifs admet une limite, la nature de la série est décidée selon que cette limite est strictement inférieure à $1$ (convergence) ou strictement supérieure (divergence). La règle figurait en première année comme non exigible ; le programme MP $\S\,5b$ la rend exigible, donc la démonstration apparaît ici en entier. C'est l'outil naturel pour les séries dont le terme général combine factorielles et puissances.

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Théorème — Règle de d'Alembert

Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs à partir d'un certain rang, telle que le rapport $u_{n+1}/u_n$ admette une limite $\ell \in [0, +\infty]$. Alors :

si $\ell < 1$, la série $\sum u_n$ converge ;
si $\ell > 1$, la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ et $\sum u_n$ diverge grossièrement ;
si $\ell = 1$, la règle ne permet pas de conclure — aucune conclusion ne peut être tirée du seul rapport.

Preuve

Les deux cas non triviaux sont $\ell < 1$ et $\ell > 1$. Le cas $\ell = 1$ douteux est complété par les deux contre-exemples du bloc d'exemple « cas douteux » ci-dessous ($\sum 1/n$ et $\sum 1/n^2$, tous deux de rapport limite $1$ mais de natures opposées), qui ensemble prouvent qu'aucune conclusion générale ne suit de $\ell = 1$.

Cas $\ell < 1$. On choisit $\rho$ avec $\ell < \rho < 1$ — par exemple $\rho = (\ell + 1)/2$, strictement entre $\ell$ et $1$. Comme $u_{n+1}/u_n \to \ell < \rho$, il existe un rang $N$ à partir duquel $u_{n+1}/u_n \le \rho$. Pour $n \ge N$, en télescopant les rapports, $$ u_n \;=\; u_N \cdot \frac{u_{N+1}}{u_N} \cdot \frac{u_{N+2}}{u_{N+1}} \cdots \frac{u_n}{u_{n-1}} \;\le\; u_N \, \rho^{n-N}. $$ Par comparaison à la série géométrique convergente $\sum u_N \, \rho^{n-N}$ (raison $\rho \in [0, 1[$), la série à termes positifs $\sum u_n$ converge.
Cas $\ell > 1$. On choisit $\rho$ avec $1 < \rho < \ell$ — par exemple $\rho = (\ell + 1)/2$ si $\ell$ est fini, ou n'importe quel $\rho > 1$ si $\ell = +\infty$. À partir d'un rang $N$, $u_{n+1}/u_n \ge \rho > 1$, et le même télescopage donne $u_n \ge u_N \rho^{n-N} \to +\infty$. Donc $u_n \not\to 0$, et $\sum u_n$ diverge grossièrement.

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Méthode — Utiliser d'Alembert

On utilise d'Alembert lorsque le terme général combine factorielles (par exemple $n!$, $(2n)!$) et puissances ($x^n$, $a^n$) : le rapport $u_{n+1}/u_n$ télescope souvent l'essentiel de la formule et laisse une limite simple à calculer. Pour une série à termes de signe variable ou vectoriels, dont les termes sont non nuls à partir d'un rang, on applique la règle à $\|u_{n+1}\|/\|u_n\|$ : si ce rapport tend vers $\ell < 1$, la série des normes converge (convergence absolue), donc la série initiale converge. Si $\ell = 1$, d'Alembert ne dit rien ; on se rabat sur les équivalents, $O$, $o$, ou la comparaison série-intégrale.

Exemple — $\sum n! / n^n$

Posons $u_n = n!/n^n$ pour $n \ge 1$. Le rapport vaut $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \;=\; \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \;=\; \frac{n+1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} \;=\; \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \;=\; \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!-n} \;\longrightarrow\; \mathrm{e}^{-1}. $$ La limite $\mathrm{e}^{-1} < 1$, donc $\sum n!/n^n$ converge par d'Alembert.

Exemple — Convergence absolue de $\sum z^n / n!$ pour tout $z \in \mathbb{C}$

Pour $z \neq 0$, appliquons d'Alembert aux modules $|z|^n / n!$ : $$ \frac{|z|^{n+1}/(n+1)!}{|z|^n / n!} \;=\; \frac{|z|}{n+1} \;\longrightarrow\; 0 \;<\; 1. $$ Donc $\sum |z|^n / n!$ converge ; la série complexe $\sum z^n / n!$ est alors absolument convergente. (Pour $z = 0$ la série se réduit au seul terme $1$, trivialement convergente.) La somme vaut, bien sûr, $\mathrm{e}^z$ — rappel de première année.

Exemple — Le cas douteux $\ell \equal 1$

Pour $u_n = 1/n$, $u_{n+1}/u_n = n/(n+1) \to 1$, et $\sum 1/n$ diverge (série harmonique). Pour $v_n = 1/n^2$, $v_{n+1}/v_n = n^2/(n+1)^2 \to 1$, et $\sum 1/n^2$ converge (série de Riemann, $\alpha = 2 > 1$). Deux séries de natures opposées avec un rapport limite $1$ : d'Alembert ne sait pas les distinguer, et il faut recourir à un outil plus fin (équivalents, $O$, comparaison série-intégrale).

Compétences à pratiquer

Appliquer la règle de d'Alembert

I.2 Comparaison série-intégrale

La comparaison série-intégrale était déjà un critère de convergence en première année : pour $f$ continue, positive et décroissante sur $[a, +\infty[$, la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ partagent la même nature, avec l'encadrement $\int_a^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le \sum_{k=a}^{n} f(k) \le f(a) + \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$ pour les sommes partielles. L'apport de la MP est l'utilisation de la même idée sur la queue : lorsque l'intégrale converge, on obtient l'encadrement symétrique pour le reste $\sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k)$. Les deux encadrements ensemble permettent d'estimer des sommes partielles de séries divergentes et des restes de séries convergentes — la capacité nommée du programme $\S\,5b$.

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Théorème — Comparaison série-intégrale

Soit $a \in \mathbb{N}$ et $f : [a, +\infty[ \,\to \mathbb{R}$ continue, positive et décroissante. Alors :

l'encadrement terme à terme $\forall k \in \mathbb{N},\, k \ge a, \quad f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le f(k)$ est vrai ;
la série $\sum_{n \ge a} f(n)$ et l'intégrale impropre $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature ;
(sommes partielles, cas divergent — rappel de première année.) Pour tout $n \ge a$, $$ \int_a^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;\le\; \sum_{k=a}^{n} f(k) \;\le\; f(a) + \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t; $$
(restes, cas convergent — apport de la MP.) Lorsque l'intégrale converge, pour tout $n \ge a$, $$ \int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \;\le\; \sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k) \;\le\; \int_{n}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t. $$

Preuve

La preuve utilise une seule convention d'indice : la forme MPSI $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le f(k)$ pour $k \ge a$.

Encadrement terme à terme. La décroissance de $f$ sur $[k, k+1]$ donne $f(k+1) \le f(t) \le f(k)$ pour $t \in [k, k+1]$. En intégrant sur $[k, k+1]$ (longueur $1$), on obtient l'encadrement terme à terme $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le f(k)$ pour tout $k \ge a$.
Même nature. On somme la minoration $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $k = a, \dots, n-1$ : $\sum_{k=a+1}^{n} f(k) \le \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$. Donc si $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge, les sommes partielles de la série positive sont bornées, donc la série converge. Réciproquement, en sommant la majoration $\int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le f(k)$ pour $k = a, \dots, n-1$, on a $\int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t \le \sum_{k=a}^{n-1} f(k)$, donc la convergence de la série entraîne celle de $(\int_a^{x} f(t)\,\mathrm{d}t)_{x \ge a}$ (croissante en $x$), donc celle de $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$.
Encadrement des sommes partielles. Minoration. On somme la majoration terme à terme $\int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \le f(k)$ pour $k = a, \dots, n$ : $$ \int_a^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \sum_{k=a}^{n} \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;\le\; \sum_{k=a}^{n} f(k). $$ Majoration. On somme la minoration terme à terme $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $k = a, \dots, n-1$ : $$ \sum_{k=a}^{n-1} f(k+1) \;\le\; \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t, \quad\text{soit}\quad \sum_{j=a+1}^{n} f(j) \;\le\; \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t, $$ donc $\sum_{j=a}^{n} f(j) - f(a) \le \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$, d'où $\sum_{k=a}^{n} f(k) \le f(a) + \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$.
Encadrement des restes. Supposons $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ convergente. On somme l'encadrement terme à terme pour $k = n+1, \dots, N$ ($n \ge a$) : $$ \sum_{k=n+1}^{N} f(k+1) \;\le\; \sum_{k=n+1}^{N} \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_{n+1}^{N+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;\le\; \sum_{k=n+1}^{N} f(k). $$ La somme de gauche se réindexe en $\sum_{j=n+2}^{N+1} f(j)$ ; en faisant tendre $N \to +\infty$, les deux côtés tendent vers des limites finies (série et intégrale convergentes), et on obtient $R_{n+1} \le \int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \le R_n$. En remplaçant $n$ par $n-1$ dans l'inégalité de gauche (ou en relançant la sommation à partir de $k = n$), on obtient l'encadrement annoncé $\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \le R_n \le \int_n^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$.

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Méthode — Estimer sommes partielles et restes par comparaison série-intégrale

Face à une fonction $f(n)$ positive décroissante :

Si $\sum f(n)$ diverge, on encadre la somme partielle $\sum_{k=a}^{n} f(k)$ entre $\int_a^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t$ et $f(a) + \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$. Les deux intégrales admettent généralement une primitive close ; l'encadrement fournit un équivalent de la somme partielle (le plus souvent, $\sim \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$).
Si $\sum f(n)$ converge, on encadre le reste $R_n = \sum_{k > n} f(k)$ entre $\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_n^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$. Les deux intégrales admettent une primitive close ; l'encadrement fournit un équivalent du reste.

Dans les deux directions, la recette est la même : une intégrale est plus simple qu'une somme, donc on échange l'objet discret contre son jumeau continu et on lit l'asymptotique.

Exemple — Somme partielle : série harmonique et constante d'Euler

On applique l'encadrement des sommes partielles à $f(x) = 1/x$ sur $[1, +\infty[$ : $$ \int_1^{n+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \;\le\; \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \;\le\; 1 + \int_1^{n} \frac{\mathrm{d}t}{t}, \quad\text{soit}\quad \ln(n+1) \;\le\; H_n \;\le\; 1 + \ln n, $$ où $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$. En divisant par $\ln n$ et en faisant tendre $n \to +\infty$, $H_n / \ln n \to 1$, donc $$ H_n \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; \ln n. $$ L'encadrement série-intégrale donne aussi l'existence de la constante d'Euler $\gamma$ : posant $u_n = H_n - \ln n$, on vérifie que $u_{n+1} - u_n = 1/(n+1) - \ln(1 + 1/n) = O(1/n^2)$, donc $\sum (u_{n+1} - u_n)$ converge absolument ; par le lien suite-série du sous-section 1.2, $(u_n)$ converge vers une limite $\gamma$, et $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$.

Exemple — Reste : série de Riemann convergente avec $\alpha \equal 2$

On applique l'encadrement des restes à $f(x) = 1/x^2$ sur $[1, +\infty[$ : $$ \int_{n+1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \;\le\; \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \;\le\; \int_{n}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}, \quad\text{soit}\quad \frac{1}{n+1} \;\le\; R_n \;\le\; \frac{1}{n}. $$ En divisant par $1/n$, $R_n \cdot n \to 1$, donc $$ \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; \frac{1}{n}. $$

Compétences à pratiquer

Estimer sommes et restes par comparaison série-intégrale

I.3 Sommation des relations de comparaison

Les trois relations de comparaison de première année — domination ($O$), négligeabilité ($o$) et équivalence ($\sim$) — se transfèrent du terme général de deux séries aux restes (lorsque la série de référence converge) ou aux sommes partielles (lorsqu'elle diverge). La contrainte est légère mais réelle : la série de référence doit être de signe constant (positive dans ce chapitre) ; le terme comparé peut être de signe variable, voire à valeurs dans $\mathbb{K}$, pour les relations $O$ et $o$, puisque la preuve ne repose que sur l'inégalité triangulaire $|\sum u_k| \le \sum |u_k|$, valable sur $\mathbb{C}$ comme sur $\mathbb{R}$.

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Théorème — Sommation des relations de comparaison – cas convergent

Soit $\sum v_n$ une série numérique à termes positifs convergente, de reste $R_n' = \sum_{k > n} v_k$. Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Alors, dans l'ordre du programme :

si $u_n = O(v_n)$, alors $\sum u_n$ converge et son reste $R_n$ vérifie $R_n = O(R_n')$ ;
si $u_n = o(v_n)$, alors $\sum u_n$ converge et $R_n = o(R_n')$ ;
si $u_n \sim v_n$ — dans ce cas $\sim$ on suppose $u_n$ réel, et la relation force $u_n > 0$ à partir d'un rang puisque $v_n > 0$ — alors $\sum u_n$ converge et $R_n \sim R_n'$.

La convergence de $\sum u_n$ est une conclusion, pas une hypothèse.

Preuve

Cas $O$. Il existe $M \ge 0$ et un rang $n_0$ tels que $|u_n| \le M v_n$ pour $n \ge n_0$. Par comparaison à la série à termes positifs convergente $\sum v_n$, la série $\sum |u_n|$ converge ; donc $\sum u_n$ converge absolument (première année), et en particulier converge. Pour le reste, l'inégalité triangulaire et la majoration $|u_n| \le M v_n$ donnent, pour $p \ge n_0$, $$ |R_p| \;=\; \left|\sum_{n > p} u_n\right| \;\le\; \sum_{n > p} |u_n| \;\le\; M \sum_{n > p} v_n \;=\; M R_p', $$ donc $R_n = O(R_n')$.
Cas $o$. On fixe $\varepsilon > 0$ ; à partir d'un rang $n_0$, $|u_n| \le \varepsilon v_n$. Le même argument par l'inégalité triangulaire borne $|R_p| \le \varepsilon R_p'$ pour $p \ge n_0$, soit $R_n = o(R_n')$. La convergence de $\sum u_n$ se déduit comme dans le cas $O$ (avec $M = 1$ par exemple).
Cas $\sim$. On écrit $u_n = v_n + (u_n - v_n)$ avec $u_n - v_n = o(v_n)$ par hypothèse. Les deux séries $\sum v_n$ et $\sum (u_n - v_n)$ convergent (la seconde par le cas $o$ qu'on vient de prouver), donc $\sum u_n$ converge par linéarité. Leurs restes vérifient $R_n = R_n' + (R_n - R_n')$ avec $R_n - R_n' = o(R_n')$ (par le cas $o$ appliqué à $u_n - v_n$). En divisant par $R_n'$, $R_n / R_n' \to 1$, soit $R_n \sim R_n'$.

Théorème — Sommation des relations de comparaison – cas divergent

Soit $\sum v_n$ une série numérique à termes positifs divergente, de somme partielle $S_n' = \sum_{k=0}^{n} v_k$. Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{K}$. Alors, dans l'ordre du programme :

si $u_n = O(v_n)$, la somme partielle $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ vérifie $S_n = O(S_n')$ ;
si $u_n = o(v_n)$, alors $S_n = o(S_n')$ ;
si $u_n \sim v_n$ — dans ce cas $\sim$ on suppose $u_n$ réel, et la relation force $u_n > 0$ à partir d'un rang puisque $v_n > 0$ — alors $\sum u_n$ diverge également et $S_n \sim S_n'$.

Preuve

Cas $o$. On fixe $\varepsilon > 0$ ; à partir du rang $n_0$, $|u_n| \le \varepsilon v_n$. Pour $n \ge n_0$, on coupe la somme partielle en $n_0$ : $$ |S_n| \;\le\; \underbrace{\sum_{k=0}^{n_0} |u_k|}_{\text{constante } C} \;+\; \sum_{k=n_0+1}^{n} |u_k| \;\le\; C + \varepsilon \sum_{k=n_0+1}^{n} v_k \;\le\; C + \varepsilon S_n'. $$ Comme $S_n' \to +\infty$, il existe $n_1$ tel que $C \le \varepsilon S_n'$ pour $n \ge n_1$, donc $|S_n| \le 2\varepsilon S_n'$ pour $n \ge \max(n_0, n_1)$. Comme $\varepsilon$ est arbitraire, $S_n = o(S_n')$.
Cas $O$. Même découpage avec $\varepsilon$ remplacé par un $M$ fixé : $|S_n| \le C + M S_n'$, et $C / S_n' \to 0$, donc $S_n = O(S_n')$.
Cas $\sim$. On écrit $u_n = v_n + (u_n - v_n)$ avec $u_n - v_n = o(v_n)$. Le cas $o$ donne $\sum_{k \le n}(u_k - v_k) = o(S_n')$, donc $S_n - S_n' = o(S_n')$, ce qui équivaut à $S_n \sim S_n'$. L'hypothèse $u_n \sim v_n$ avec $v_n > 0$ donne aussi que $u_n$ est positif à partir d'un rang, et $S_n \to +\infty$ (divergence de $\sum u_n$).

Méthode — Sommer une relation de comparaison

La recette est la même dans les deux cas : choisir une série de référence de signe positif $\sum v_n$ dont on connaît la nature — Riemann convergente $\sum 1/n^\alpha$ ($\alpha > 1$), Riemann divergente ($\alpha \le 1$), géométrique, etc. — comparer le terme général $u_n$ à $v_n$ par $\sim$, $o$ ou $O$, puis transférer la comparaison au reste si $\sum v_n$ converge, à la somme partielle si elle diverge. Le cadre fournit presque gratuitement les équivalents des restes et des sommes partielles, dès que la bonne référence est identifiée.

Exemple — Équivalent d'un reste par $\sim$

Prenons $u_n = 1/n^2$ et $v_n = 1/(n(n+1))$. On a $u_n \sim v_n$ (tous deux $\sim 1/n^2$), positifs, donnant des séries convergentes. Le reste de $\sum v_n$ se calcule directement par télescopage : $v_n = 1/n - 1/(n+1)$, donc $$ \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)} \;=\; \frac{1}{n+1}. $$ Par sommation de $\sim$ sur les restes convergents, $$ R_n \;=\; \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \;\sim\; \frac{1}{n+1} \;\sim\; \frac{1}{n}, $$ ce qui retrouve l'estimation du sous-section 2.2 sans comparaison série-intégrale explicite.

Exemple — Équivalent d'une somme partielle : $\sum 1/\sqrt{k}$

La série de Riemann $\sum 1/k^{1/2}$ diverge ($\alpha = 1/2 \le 1$). La référence $v_n = 1/\sqrt{n}$ a pour somme partielle $S_n' = \sum_{k=1}^{n} 1/\sqrt{k}$ (on part de $k = 1$ pour éviter $1/\sqrt{0}$ ; le rang initial d'une série n'affecte pas son comportement asymptotique, les termes manquants formant une constante finie), que l'on encadre par comparaison série-intégrale : $S_n' \sim 2\sqrt{n}$. Prenons à présent $u_n = 1/\sqrt{n} \cdot (1 + 1/n)$ ; alors $u_n \sim 1/\sqrt{n} = v_n$, positifs. Par sommation de $\sim$ dans le cas divergent, $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\left(1 + \frac{1}{k}\right) \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; 2\sqrt{n}. $$

Compétences à pratiquer

Sommer des relations de comparaison

I.4 Le théorème de Cesàro

Le théorème de Cesàro est une conséquence précise de la sommation dans le cas divergent, assez importante pour mériter son propre nom : si une suite converge (dans $\mathbb{K}$), alors ses moyennes arithmétiques convergent vers la même limite. Pour les suites réelles, le résultat persiste avec $\ell = \pm \infty$, par un argument direct qui ne passe pas par le théorème de sommation.

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Théorème — Théorème de Cesàro

Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) avec $u_n \to \ell \in \mathbb{K}$. Alors $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \;\xrightarrow[n \to +\infty]{}\; \ell. $$ Pour une suite réelle, le résultat persiste pour $\ell = \pm\infty$ (avec la convention que la moyenne arithmétique tend alors vers $\pm \infty$).

Preuve

Cas $\ell \in \mathbb{K}$ fini. On pose $w_n = u_n - \ell$, donc $w_n \to 0$, soit $w_n = o(1)$ contre la référence positive divergente $v_n = 1$. La sommation des $o$ dans le cas divergent — valable pour un $w_n$ à valeurs dans $\mathbb{K}$, la preuve du sous-section 2.3 n'utilisant que l'inégalité triangulaire — donne $\sum_{k=0}^{n} w_k = o(\sum_{k=0}^{n} 1) = o(n+1)$. Donc $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \;=\; \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} (\ell + w_k) \;=\; \ell + \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} w_k \;=\; \ell + o(1) \;\longrightarrow\; \ell. $$
Cas réel $\ell = +\infty$. Étant donné $A \in \mathbb{R}$, il existe $n_0$ tel que $u_n \ge A$ pour $n \ge n_0$. Pour $n \ge n_0$, $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \;=\; \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0 - 1} u_k \;+\; \frac{1}{n+1}\sum_{k=n_0}^{n} u_k \;\ge\; \frac{C}{n+1} \;+\; \frac{n - n_0 + 1}{n+1} A, $$ où $C = \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k$ est une constante. Quand $n \to +\infty$, $C/(n+1) \to 0$ et $(n - n_0 + 1)/(n+1) \to 1$, donc le membre de droite tend vers $A$ ; en particulier $\liminf_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \ge A$. Comme $A \in \mathbb{R}$ est arbitraire, ce $\liminf$ vaut $+\infty$, donc la moyenne tend vers $+\infty$. Le cas $\ell = -\infty$ est identique en renversant les inégalités.

Méthode — Reconnaître une situation de Cesàro

Dès qu'apparaît une moyenne $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} u_k$ avec une suite $(u_n)$ ayant une limite connue, la moyenne a la même limite — aucune autre démarche nécessaire. Attention : la réciproque de Cesàro est fausse : une suite dont la moyenne de Cesàro converge n'est pas forcément convergente (contre-exemple $u_n = (-1)^n$, moyenne $\to 0$ alors que $(u_n)$ n'a pas de limite).

Exemple — Application de Cesàro à une suite de carrés

Soit $(u_n)$ réelle avec $u_n \to \ell \in \mathbb{R}$. Alors $u_n^2 \to \ell^2$ par continuité de l'élévation au carré, donc par Cesàro $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k^2 \;\longrightarrow\; \ell^2. $$ Cas concret : posons $u_0 = 1$ et $u_n = 1 + 1/n$ pour $n \ge 1$ (toute valeur de $u_0$ convient ; un bloc initial fini n'affecte pas la limite de Cesàro). Alors $u_n \to 1 = \ell$, $u_n^2 = 1 + 2/n + 1/n^2 \to 1$, et la moyenne $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} u_k^2$ tend vers $1$.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Cesàro