Éducation Nationale Française · PSI

Fonctions vectorielles d'une variable réelle

⌚ ~35 min ▢ 4 blocs ✓ 47 exercices ➣ Prérequis : Espaces vectoriels normés, Dérivabilité

Ce chapitre fait partie du cœur de l'analyse PC et établit un lien vers son équivalent MP pour le contenu standard. Le programme PC en délimite la portée ; le matériel MP hors programme est silencieusement omis. Les notations permanentes coïncident avec le cours Espaces vectoriels normés (Espaces vectoriels normés) lorsque pertinent.

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I Dérivabilité

I.1 Dérivée en un point et sur un intervalle

Le taux d'accroissement d'une fonction vectorielle est $\bigl(f(t) - f(t_0)\bigr)/(t - t_0)$ — un vecteur divisé par un scalaire, donc un vecteur. Lorsqu'il admet une limite quand $t \to t_0$, cette limite est encore un vecteur, le vecteur dérivé. Comme annoncé, toute la notion se ramène aux fonctions composantes.

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Définition — Dérivabilité

Soit $f \colon I \to E$ et $t_0 \in I$. La fonction $f$ est dérivable en $t_0$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$ admet une limite dans $E$ quand $t \to t_0$, $t \ne t_0$. Cette limite est alors le vecteur dérivé $f'(t_0)$. De manière équivalente, pour $h$ tel que $t_0 + h \in I$, $$ f(t_0 + h) = f(t_0) + h\, f'(t_0) + o(h), $$ le reste étant un $o(|h|)$ quand $h \to 0$. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ ; l'application $f' \colon t \mapsto f'(t)$ est alors sa dérivée. En une extrémité de $I$ la limite, et le développement, sont pris d'un seul côté.

Exemple — L'hélice

L'hélice $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $f(t) = (\cos t, \sin t, t)$, est dérivable sur $\mathbb{R}$. Son taux d'accroissement tend composante par composante (comme le justifie la proposition ci-dessous) vers $f'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$ : le vecteur dérivé est la vitesse du point mobile.

Proposition — Dérivabilité composante par composante

Soit $f \colon I \to E$ de composantes $f_1, \dots, f_p$ dans une base $\mathcal{B}$, et soit $t_0 \in I$. Alors $f$ est dérivable en $t_0$ si et seulement si chaque composante $f_i$ l'est, et dans ce cas $$ \textcolor{colorprop}{f'(t_0) = \sum_{i=1}^p f_i'(t_0)\, e_i}. $$

Preuve

Le taux d'accroissement se lit lui-même composante par composante : $$ \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = \sum_{i=1}^p \frac{f_i(t) - f_i(t_0)}{t - t_0}\, e_i. $$ Une limite dans l'espace de dimension finie $E$ se prend composante par composante (rappelé de Limites et continuité dans un espace normé). Ainsi le taux admet une limite quand $t \to t_0$ si et seulement si chaque taux composante $\bigl(f_i(t) - f_i(t_0)\bigr)/(t - t_0)$ en admet une, c'est-à-dire si et seulement si chaque $f_i$ est dérivable en $t_0$ ; et la limite est alors $\sum_i f_i'(t_0)\, e_i$.

Proposition — Une fonction dérivable est continue

Si $f \colon I \to E$ est dérivable en $t_0$, alors $f$ est continue en $t_0$.

Preuve

Par le développement à l'ordre $1$, $f(t_0 + h) = f(t_0) + h\, f'(t_0) + o(h)$. Quand $h \to 0$, $h\, f'(t_0)$ et $o(h)$ tendent vers $0_E$, donc $f(t_0 + h) \to f(t_0)$ : la fonction $f$ est continue en $t_0$.

Exemple — Une fonction à valeurs matricielles

La matrice de rotation $R \colon \mathbb{R} \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $$ R(t) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}, $$ est une fonction vectorielle à valeurs dans l'espace de dimension quatre $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Dérivée coefficient par coefficient, elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $R'(t) = \begin{pmatrix} -\sin t & -\cos t \\ \cos t & -\sin t \end{pmatrix} = R\bigl(t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)$.

Méthode — Dériver une fonction vectorielle

Pour dériver $f \colon I \to E$ :

fixer une base, écrire les fonctions composantes $f_1, \dots, f_p$, dériver chacune comme une fonction scalaire ordinaire, et recombiner $f' = \sum_i f_i'\, e_i$ ;
ou bien, lorsque $f$ est construite à partir de fonctions vectorielles plus simples, appliquer les règles d'opération de la sous-section suivante plutôt que de revenir aux composantes.

Géométriquement, le taux d'accroissement est le vecteur sécant $f(t) - f(t_0)$ remis à l'échelle ; quand $t \to t_0$ il devient le vecteur dérivé $f'(t_0)$, qui — lorsqu'il est non nul — est tangent à la courbe décrite par $f$.

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Compétences à pratiquer

Dériver une fonction vectorielle

I.2 Opérations sur les fonctions dérivables

Toute règle de dérivation d'une fonction réelle a une contrepartie vectorielle, démontrée en lisant la règle composante par composante. Deux cas sont véritablement nouveaux — et centraux pour toute la suite : la composition avec une application linéaire, et la composition avec une application bilinéaire.

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Proposition — Premières opérations

Soit $f, g \colon I \to E$ dérivables sur $I$.

Pour $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$, $\alpha f + \beta g$ est dérivable et $(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$.
Pour une fonction scalaire dérivable $\mu \colon I \to \mathbb{K}$, le produit $\mu \cdot f$ est dérivable et $(\mu \cdot f)' = \mu' f + \mu f'$.
Pour une application dérivable $\varphi \colon J \to I$ ($J$ un intervalle de $\mathbb{R}$), $f \circ \varphi$ est dérivable sur $J$ et $(f \circ \varphi)' = \varphi' \cdot (f' \circ \varphi)$.

Preuve

Chaque énoncé se lit composante par composante et se ramène à une règle connue pour les fonctions scalaires d'une variable réelle (rappelée de Dérivabilité).

Les composantes de $\alpha f + \beta g$ sont $\alpha f_i + \beta g_i$ ; en dérivant, $(\alpha f_i + \beta g_i)' = \alpha f_i' + \beta g_i'$, qui se recombinent en $\alpha f' + \beta g'$.
Les composantes de $\mu \cdot f$ sont les produits $\mu f_i$ ; la règle du produit scalaire donne $(\mu f_i)' = \mu' f_i + \mu f_i'$, qui se recombinent en $\mu' f + \mu f'$.
Les composantes de $f \circ \varphi$ sont $f_i \circ \varphi$ ; la règle de la chaîne donne $(f_i \circ \varphi)' = \varphi' \cdot (f_i' \circ \varphi)$, qui se recombinent en $\varphi' \cdot (f' \circ \varphi)$.

Proposition — Composition avec une application linéaire

Soit $F$ un espace vectoriel normé et $u \in \mathcal{L}(E,F)$ une application linéaire ($E$ est l'espace de dimension finie permanent). Si $f \colon I \to E$ est dérivable, alors $u \circ f$ est dérivable et $(u \circ f)' = u \circ f'$.

Preuve

Fixons une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ et écrivons $f = \sum_{i=1}^p f_i\, e_i$. Par linéarité de $u$, $$ u \circ f = \sum_{i=1}^p f_i \cdot u(e_i), $$ où chaque $u(e_i)$ est un vecteur fixé de $F$. Fixons $t_0 \in I$. Pour $t \ne t_0$ le taux d'accroissement du $i$-ième terme est $$ \frac{f_i(t)\, u(e_i) - f_i(t_0)\, u(e_i)}{t - t_0} = \frac{f_i(t) - f_i(t_0)}{t - t_0}\, u(e_i), $$ et quand $t \to t_0$ il tend vers $f_i'(t_0)\, u(e_i)$, car $f_i$ est dérivable en $t_0$ et multiplier le taux scalaire par le vecteur fixé $u(e_i)$ est continu ($\norme{\lambda\, u(e_i) - \lambda'\, u(e_i)} = |\lambda - \lambda'|\, \norme{u(e_i)}$). En sommant les $p$ termes, $u \circ f$ est dérivable en $t_0$ et $$ \begin{aligned} (u \circ f)'(t_0) = \sum_{i=1}^p f_i'(t_0)\, u(e_i) &= u\!\left( \sum_{i=1}^p f_i'(t_0)\, e_i \right) && \text{(linéarité de $u$)}\\ &= u(f'(t_0)) && \text{(formule composante $f' = \sum_i f_i'\, e_i$)}. \end{aligned} $$ L'argument est un calcul direct de taux d'accroissement : aucune continuité de $u$ ni dimension finie de $F$ n'est utilisée.

Proposition — Composition avec une application bilinéaire

Soit $F, G$ des espaces vectoriels normés de dimension finie, $H$ un espace vectoriel normé, et $B \colon F \times G \to H$ une application bilinéaire. Si $f \colon I \to F$ et $g \colon I \to G$ sont dérivables sur le même intervalle $I$, alors $B(f,g) \colon t \mapsto B(f(t), g(t))$ est dérivable et $$ \textcolor{colorprop}{B(f,g)' = B(f', g) + B(f, g')}. $$

Preuve

Fixons une base $(a_1, \dots, a_q)$ de $F$ et une base $(b_1, \dots, b_r)$ de $G$ ; écrivons $f = \sum_i f_i\, a_i$ et $g = \sum_j g_j\, b_j$. Par bilinéarité de $B$, $$ B(f,g) = B\!\left( \sum_i f_i\, a_i,\ \sum_j g_j\, b_j \right) = \sum_{i,j} (f_i\, g_j) \cdot B(a_i, b_j), $$ une combinaison linéaire des produits de la fonction scalaire $f_i\, g_j$ par le vecteur fixé $B(a_i, b_j) \in H$. Chaque $f_i\, g_j$ est un produit de deux fonctions scalaires dérivables, donc dérivable avec $(f_i\, g_j)' = f_i'\, g_j + f_i\, g_j'$ (rappelé de Dérivabilité). Pour chaque couple $(i,j)$, le taux d'accroissement de $(f_i\, g_j) \cdot B(a_i,b_j)$ est le taux scalaire de $f_i\, g_j$ multiplié par le vecteur fixé $B(a_i,b_j)$, donc — comme dans la démonstration précédente — il tend vers $(f_i\, g_j)'(t_0) \cdot B(a_i,b_j)$. En sommant les termes en nombre fini, $B(f,g)$ est dérivable et $$ \begin{aligned} B(f,g)' &= \sum_{i,j} (f_i'\, g_j + f_i\, g_j') \cdot B(a_i, b_j) && \text{(dériver chaque terme)}\\ &= \sum_{i,j} f_i'\, g_j\, B(a_i, b_j) + \sum_{i,j} f_i\, g_j'\, B(a_i, b_j) && \text{(scinder la somme)}\\ &= B(f', g) + B(f, g') && \text{(reconstituer par bilinéarité de $B$)}. \end{aligned} $$ Aucune continuité de $B$ n'est invoquée ; $F$ et $G$ sont prises de dimension finie seulement pour que $f$ et $g$ admettent les décompositions composantes finies utilisées ci-dessus.

Exemple — Produit scalaire et produit vectoriel

La règle de l'application bilinéaire couvre deux cas quotidiens. Sur un espace euclidien réel $(E, \langle\cdot\mid\cdot\rangle)$ — de dimension finie, donc la proposition sur l'application bilinéaire s'applique — le produit scalaire est une application $\mathbb{R}$-bilinéaire, donc pour $f, g \colon I \to E$ dérivables, $$ \langle f \mid g\rangle' = \langle f' \mid g\rangle + \langle f \mid g'\rangle. $$ Dans $\mathbb{R}^3$ le produit vectoriel $\wedge$ est bilinéaire, donc $(f \wedge g)' = f' \wedge g + f \wedge g'$. Ce sont une seule et même règle, appliquée à deux applications bilinéaires différentes.

Méthode — Choisir la bonne règle d'opération

Lire la fonction vectorielle comme une combinaison de fonctions plus simples et choisir la règle correspondante : une combinaison linéaire, une fonction scalaire fois une fonction vectorielle ($\mu \cdot f$), un reparamétrage ($f \circ \varphi$), une application linéaire ($u \circ f$), ou une application bilinéaire ($B(f,g)$ — produit scalaire, produit vectoriel, produit matriciel). Revenir aux composantes reste toujours disponible en dernier recours.

Compétences à pratiquer

Appliquer les règles d'opération

I.3 Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$

Dériver encore et encore produit les dérivées itérées. Une fonction dont les dérivées itérées existent jusqu'à un ordre donné, la dernière étant continue, est dite d'une classe correspondante. Comme la dérivabilité elle-même, la classe se lit composante par composante : en appliquant la proposition composante par composante du sous-section 1.1 à chaque ordre, $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$ exactement lorsque chaque composante $f_i$ l'est, et alors $f^{(j)} = \sum_i f_i^{(j)} e_i$ pour $0 \le j \le k$.

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Définition — Classe $\mathcal{C}^k$

Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Une fonction $f \colon I \to E$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ si elle est $k$ fois dérivable sur $I$ et si sa $k$-ième dérivée $f^{(k)}$ est continue. De classe $\mathcal{C}^0$ signifie simplement continue. La fonction est de classe $\mathcal{C}^\infty$ si elle est de classe $\mathcal{C}^k$ pour tout $k$.

Exemple — Une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$

La fonction $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $f(t) = (\mathrm{e}^t,\, t^2,\, \cos t)$, est de classe $\mathcal{C}^\infty$ : chaque composante $\mathrm{e}^t$, $t^2$, $\cos t$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$, et par la lecture composante par composante les dérivées itérées de $f$ existent et sont continues à tout ordre.

Proposition — Formule de Leibniz

Soit $n \in \mathbb{N}$. Si $\mu \colon I \to \mathbb{K}$ et $f \colon I \to E$ sont toutes deux de classe $\mathcal{C}^n$, alors $\mu \cdot f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ et $$ \textcolor{colorprop}{(\mu \cdot f)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k)}\, f^{(n-k)}}. $$

Preuve

Par récurrence sur $n$.

Initialisation. Pour $n = 0$, $\mu$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^0$ sont continues, donc $\mu \cdot f$ est continue (une fonction scalaire fois une fonction vectorielle), c'est-à-dire de classe $\mathcal{C}^0$, et la formule s'écrit $\mu \cdot f = \mu \cdot f$.
Hérédité. Supposons la formule pour l'ordre $n$. Soit maintenant $\mu$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ ; elles sont en particulier de classe $\mathcal{C}^n$, donc la formule à l'ordre $n$ s'applique à elles. Chaque terme $\mu^{(k)} f^{(n-k)}$ est une fonction scalaire fois une fonction vectorielle, toutes deux de classe $\mathcal{C}^1$ (puisque $\mu, f$ sont de classe $\mathcal{C}^{n+1}$), donc par la règle scalaire-fois-vecteur du sous-section 1.2 il est dérivable avec $\bigl(\mu^{(k)} f^{(n-k)}\bigr)' = \mu^{(k+1)} f^{(n-k)} + \mu^{(k)} f^{(n-k+1)}$. En dérivant la formule à l'ordre $n$, $$ \begin{aligned} (\mu \cdot f)^{(n+1)} &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k+1)} f^{(n-k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k)} f^{(n-k+1)} && \text{(dériver chaque terme)}\\ &= \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} \mu^{(k)} f^{(n+1-k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k)} f^{(n+1-k)} && \text{(décaler le premier indice)}\\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \mu^{(k)} f^{(n+1-k)} && \text{(règle de Pascal)}. \end{aligned} $$

La récurrence est achevée. Comme $\mu$ et $f$ sont de classe $\mathcal{C}^n$, toutes les dérivées $\mu^{(k)}$ et $f^{(n-k)}$ pour $0 \le k \le n$ sont continues ; la formule montre alors que $(\mu \cdot f)^{(n)}$ est continue, donc $\mu \cdot f$ est de classe $\mathcal{C}^n$.

Méthode — Établir une classe et une dérivée itérée

Pour montrer que $f \colon I \to E$ est de classe $\mathcal{C}^k$, vérifier que chaque composante est de classe $\mathcal{C}^k$ comme fonction scalaire ; la dérivée itérée est alors $f^{(k)} = \sum_i f_i^{(k)} e_i$. Pour un produit $\mu \cdot f$, appliquer la formule de Leibniz plutôt que de dériver $k$ fois à la main.

Compétences à pratiquer

Calculer une dérivée itérée

II Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Synthèse