Éducation Nationale Française · Troisième

Équations et inéquations

⌚ ~170 min ▢ 19 blocs ✓ 76 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Calcul littéral

I Les équations

I.1 Qu'est-ce qu'une équation ?

Découverte

Bienvenue dans la salle d'évasion mathématique. L'équipe doit résoudre une dernière énigme pour trouver le code secret à un chiffre (un nombre entre $0$ et $9$) et s'échapper.
L'indice est une équation où le code est représenté par le symbole $\triangle$ : $$\triangle + 10 = 1 + 2 \times 6$$ Il n'y a qu'une seule chance pour entrer le bon chiffre. Deux coéquipiers proposent des réponses différentes :

Louis propose de saisir $\boxed{8}$.
Su propose de saisir $\boxed{3}$.

Qui a raison, et quel est le code secret ?

Correction

Pour trouver le bon code, on teste chaque proposition pour voir quelle valeur de $\triangle$ rend l'équation vraie.
On commence par simplifier le membre de droite de l'équation, en effectuant d'abord la multiplication : $$1 + 2 \times 6 = 1 + 12 = 13.$$ L'équation devient alors : $$\triangle + 10 = 13.$$

Tester le code de Louis : on remplace $\triangle$ par $\textcolor{colordef}{8}$ dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{8} + 10 &= 18 \\ 18 &= 13 &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$ Le code de Louis est incorrect.
Tester le code de Su : on remplace $\triangle$ par $\textcolor{colordef}{3}$ dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{3} + 10 &= 13 \\ 13 &= 13 &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$ Le code de Su est correct.

Le code secret est $\triangle = 3$ car c'est la valeur qui rend l'équation vraie.

Définition — Équation et solution

Une équation est une phrase mathématique qui dit que deux expressions sont égales. Elle contient une inconnue : un symbole (comme $x$ ou $\triangle$) qui désigne un nombre fixe que l'on cherche — pas une quantité qui varie. Les deux expressions de part et d'autre du signe égal sont les membres de l'équation. Résoudre une équation, c'est déterminer la ou les valeurs de l'inconnue — parmi les nombres avec lesquels on travaille — qui rendent l'égalité vraie. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.

Exemple

Montrer que $x = 2$ est une solution de l'équation $3 + x = 5$.

Correction

On remplace $\textcolor{colordef}{x = 2}$ dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite : $$\begin{aligned} 3 + \textcolor{colordef}{(2)} &= 5 \\ 5 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation vraie.)} \end{aligned}$$ Comme l'égalité est vraie, $x = 2$ est une solution.

Exemple

Montrer que $x = 1$ n'est pas une solution de $3 + x = 5$.

Correction

On remplace $\textcolor{colordef}{x = 1}$ dans l'équation : $$\begin{aligned} 3 + \textcolor{colordef}{(1)} &= 5 \\ 4 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation fausse.)} \end{aligned}$$ Comme l'égalité est fausse, $x = 1$ n'est pas une solution.

Compétences à pratiquer

Salle d'évasion mathématique niveau 1
Salle d'évasion mathématique niveau 2

I.2 Résoudre une équation

Définition — Équations équivalentes

Deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions. Pour résoudre une équation, on la transforme en une série d'équations plus simples et équivalentes, jusqu'à ce que la solution soit évidente.

Proposition — Règles d'or de la résolution d'équations

Pour créer une équation équivalente, appliquer la même opération aux deux membres, avec les règles d'or ci-dessous :

Propriété d'addition/soustraction : Ajouter le même nombre aux deux membres, ou le soustraire des deux membres, produit une équation équivalente. $$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad A+c = B+c$$ (et de même $A-c = B-c$)
Propriété de multiplication/division : Multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul produit une équation équivalente. $$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad cA = cB \quad (c \neq 0)$$ $$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{A}{c} = \dfrac{B}{c} \quad (c \neq 0)$$

Méthode — Résoudre en inversant les opérations

Dans de nombreuses équations du premier degré, on peut isoler l'inconnue en appliquant les opérations inverses dans l'ordre inverse.

Identifier la suite d'opérations utilisée pour construire l'expression contenant l'inconnue.
Inverser cette suite en utilisant les opérations inverses correspondantes, en appliquant chaque étape aux deux membres de l'équation.

Exemple

Résoudre l'équation : $$2x+1=7$$

Correction

Séquence des opérations sur $x$ : D'abord, $x$ est multiplié par 2, puis 1 est ajouté. $$ \boxed{x}\xrightarrow{\times 2}\boxed{2x}\xrightarrow{+1}\boxed{2x+1} $$
Séquence inverse avec opérations inverses : Pour isoler $x$, il faut d'abord soustraire 1, puis diviser par 2. $$ \boxed{2x+1}\xrightarrow{-1}\boxed{2x}\xrightarrow{\div 2}\boxed{x} $$
Application des étapes : $$ \begin{aligned} 2x + 1 &= 7 \\ 2x + 1 - 1 &= 7 - 1 &&\text{(Soustraire 1 des deux membres)} \\ 2x &= 6 \\ \frac{2x}{2} &= \frac{6}{2} &&\text{(Diviser les deux membres par 2)} \\ x &= 3 \end{aligned} $$ La solution est $x = 3$.

Découverte

Par essais-erreurs, on trouve la solution de $2x + 3 = x + 7$. Peut-on maintenant la déterminer par le calcul, comme pour $2x + 1 = 7$ ? La nouveauté : il y a un $x$ dans les deux membres. Que pourrait-on faire aux deux membres pour faire disparaître le $x$ de droite ?

Méthode — Ramener l'inconnue d'un seul côté

Quand l'inconnue apparaît dans les deux membres d'une équation (avec deux coefficients de $x$ différents) :

Soustraire des deux membres le terme en $x$ qui a le plus petit coefficient — un terme en $x$ est lui aussi un nombre (inconnu) : les règles d'or s'appliquent ; l'équilibre est conservé, un membre ne contient plus de $x$, et le coefficient restant est positif. (Avec un terme en $x$ négatif, ajouter son opposé.)
L'équation n'a plus qu'un seul terme en $x$ : la résoudre en inversant les opérations (si le $x$ se retrouve à droite, on peut échanger les deux membres).
Contrôler : remplacer $x$ par la valeur obtenue dans les deux membres de l'équation de départ — ils doivent donner le même nombre.

Exemple

Résoudre l'équation : $5x + 2 = 3x + 10$.

Correction

$$\begin{aligned} 5x + 2 &= 3x + 10 \\ 5x + 2 \textcolor{colordef}{- 3x} &= 3x + 10 \textcolor{colordef}{- 3x} \quad (\textcolor{colordef}{- 3x}) \\ 2x + 2 &= 10 \\ 2x + 2 \textcolor{colordef}{- 2} &= 10 \textcolor{colordef}{- 2} \quad (\textcolor{colordef}{- 2}) \\ 2x &= 8 \\ \frac{2x}{2} &= \frac{8}{2} \quad (\div 2) \\ x &= \textcolor{colorprop}{4} \end{aligned}$$ Contrôle : $5 \times 4 + 2 = 22$ et $3 \times 4 + 10 = 22$ — les deux membres concordent. L'équation d'ouverture se résout de la même façon : $2x+3=x+7 \;\to\; x+3=7 \;\to\; x=4$ (contrôle : $11 = 11$).

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations linéaires : niveau 1
Résoudre des équations linéaires : niveau 2
Résoudre avec l'inconnue des deux membres : niveau 1
Résoudre avec l'inconnue des deux membres : niveau 2

I.3 L'équation produit nul

Factoriser une expression la transforme en produit. Cette compétence est essentielle pour résoudre des équations d'un nouveau genre, en particulier lorsqu'on peut écrire une équation comme un produit de facteurs égal à zéro. La puissance de la factorisation vient d'une propriété simple mais fondamentale du nombre zéro.

Signaler une erreur

Proposition — Règle du produit nul

Si le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins l'un des facteurs doit être égal à zéro. Si $\textcolor{colordef}{A}\,\textcolor{colorprop}{B} = 0$ alors $\textcolor{colordef}{A=0}$ ou $\textcolor{colorprop}{B=0}$. Remarque : un ou les deux facteurs peuvent être nuls. Réciproquement, si un facteur est nul, le produit est nul — chaque candidat ainsi trouvé est donc bien une solution.

Méthode — Résoudre par factorisation

La règle du produit nul donne une stratégie puissante pour résoudre des équations du type « produit de facteurs = 0 » :

Réécrire l'équation en regroupant tous les termes d'un membre et en ayant $0$ de l'autre membre.
Factoriser complètement le membre qui contient la ou les variables.
Poser que chaque facteur est égal à zéro et résoudre les équations du premier degré obtenues.

Exemple

Résoudre l'équation : $x(x+1)=0$

Correction

L'expression est déjà factorisée et égale à zéro, donc on peut appliquer directement la règle du produit nul en posant que chaque facteur est égal à zéro : $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{x}\,\textcolor{colorprop}{(x+1)} &= 0 \\ \textcolor{colordef}{x=0} &\text{ ou }\textcolor{colorprop}{(x+1)=0} &&\text{(règle du produit nul)}\\ \textcolor{colordef}{x=0} &\text{ ou }\textcolor{colorprop}{x=-1}\,. \end{aligned} $$ L'équation a deux solutions : $x=0$ et $x=-1$.

La démarche d'analyse-synthèse

Résoudre une équation est un raisonnement en deux temps.

L'analyse : si un nombre $x$ est solution, alors les règles lui imposent des conditions — de proche en proche, elles réduisent la recherche à des candidats. Pour $(x-1)(x+2) = 0$, la règle du produit nul laisse deux candidats : $1$ et $-2$.
La synthèse : réciproquement, chaque candidat doit être testé dans l'équation de départ, car l'analyse montre seulement à quoi une solution devrait ressembler.

Pour $x = 1$ : $(1-1)(1+2) = 0 \times 3 = 0$. Pour $x = -2$ : $(-2-1)(-2+2) = (-3) \times 0 = 0$. Les deux candidats passent le test : les solutions sont $1$ et $-2$. Le contrôle n'est pas un luxe — c'est la seconde moitié du raisonnement.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations avec la règle du produit nul : niveau 1
Résoudre des équations avec la règle du produit nul : niveau 2
Factoriser puis résoudre une équation produit

II Les inéquations

II.1 Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Découverte

Au cinéma, la séance coûte $9~\Euro$. Une carte de fidélité coûte $25~\Euro$, et avec elle chaque séance ne coûte plus que $4~\Euro$.

Combien coûtent $4$ séances sans la carte ? Avec la carte (carte comprise) ?
Et $10$ séances ?
À partir de combien de séances la carte devient-elle l'option la moins chère ?

Correction

Sans la carte : $4 \times 9 = 36$, soit $36~\Euro$. Avec la carte : $25 + 4 \times 4 = 41$, soit $41~\Euro$. Pour $4$ séances, la carte n'est pas rentable.
Sans : $10 \times 9 = 90$, soit $90~\Euro$. Avec : $25 + 4 \times 10 = 65$, soit $65~\Euro$. Pour $10$ séances, la carte gagne.
Pour $n$ séances, la carte est moins chère lorsque $$25 + 4n < 9n.$$ On teste des valeurs : pour $n = 5$ : $25 + 20 = 45$ et $45$ — égalité. Pour $n = 6$ : $49 < 54$ — la carte gagne. Et elle continue de gagner : chaque séance supplémentaire coûte $4~\Euro$ avec la carte contre $9~\Euro$ sans, donc l'écart se creuse de $5~\Euro$ par séance. Et avant l'égalité, c'est la carte qui perd — comme pour $4$ séances au 1. La réponse n'est pas un nombre mais tous les nombres entiers à partir de $6$. Une telle affirmation, $25 + 4n < 9n$, s'appelle une inéquation — on peut les résoudre par le calcul, sans tester toutes les valeurs.

Définition — Inéquation

Une inéquation est une affirmation qui compare deux expressions en utilisant l'un des symboles suivants :

$<$ (inférieur à)
$>$ (supérieur à)
$\leq$ (inférieur ou égal à)
$\geq$ (supérieur ou égal à)

Les signes $<$ et $>$ sont dits stricts, les signes $\leq$ et $\geq$ larges. Résoudre une inéquation signifie déterminer toutes les valeurs de la variable qui rendent l'affirmation vraie.

Exemple

Le nombre $2$ est-il solution de l'inéquation $3x - 1 < 5$ ? De l'inéquation $3x - 1 \leq 5$ ?
Pour $x = 2$ : $3 \times 2 - 1 = 5$. L'affirmation $5 < 5$ est fausse : $2$ n'est pas solution de $3x - 1 < 5$ ; avec un signe strict, l'égalité ne suffit pas. L'affirmation $5 \leq 5$ est vraie : $2$ est solution de $3x - 1 \leq 5$ ; avec un signe large, l'égalité suffit.

Définition — Solution d'une inéquation

Une solution d'une inéquation est un nombre qui la rend vraie quand on remplace la lettre. Pour tester un nombre : remplacer, calculer les deux membres, comparer.

Exemple

Le nombre $3$ est-il solution de l'inéquation $2x - 1 \geq 5$ ? Et $1$ ?

Correction

Pour $x = 3$ : $2 \times 3 - 1 = 5$, et $5 \geq 5$ est vraie — avec un signe large, l'égalité suffit : $3$ est solution.
Pour $x = 1$ : $2 \times 1 - 1 = 1$, et $1 \geq 5$ est fausse : $1$ n'est pas solution.

Compétences à pratiquer

Reconnaître les inéquations
Tester une valeur

II.2 Représenter les solutions sur la droite graduée

De telles inéquations n'ont pas une solution mais une infinité : tous les nombres d'un même côté d'une frontière (au cinéma, seuls les nombres entiers parmi eux ont un sens). Après avoir compté les séances une à une, on voit maintenant tous ces nombres d'un coup sur une droite graduée.

Signaler une erreur

Méthode — Représenter les solutions

Sur une droite graduée :

Marquer la frontière d'un rond plein $\bullet$ si elle est solution (signes $\leq$ ou $\geq$), d'un rond creux $\circ$ si elle ne l'est pas (signes $<$ ou $>$).
Colorier la demi-droite des solutions, avec une flèche qui montre qu'elle ne s'arrête pas.

Exemple

Représenter les solutions de $x \geq 2$ sur une droite graduée.

Correction

Les solutions sont $2$ et tous les nombres plus grands que $2$. La frontière $2$ est solution (signe $\geq$) : rond plein.

Exemple

Représenter les solutions de $x < -1$ sur une droite graduée.

Correction

Les solutions sont tous les nombres plus petits que $-1$. La frontière $-1$ n'est pas solution (signe $<$) : rond creux.

Compétences à pratiquer

Représenter des solutions
Lire une représentation

II.3 Résoudre une inéquation

Méthode — Règles pour la résolution d'inéquations

La résolution d'inéquations est presque identique à la résolution d'équations. On peut effectuer la même opération sur les deux membres pour isoler l'inconnue, à une exception cruciale près.

Ajouter un nombre quelconque aux deux membres, ou le soustraire des deux membres, conserve le sens de l'inégalité.
Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement positif conserve le sens de l'inégalité.
Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif inverse le sens du symbole d'inégalité. Par exemple, $<$ devient $>$.

Remarque

Pourquoi le sens s'inverse-t-il ? $2 < 3$, et pourtant en multipliant les deux par $-1$ : $-2 > -3$. Sur la droite graduée, multiplier par $-1$, c'est appliquer la symétrie par rapport à $0$ : chaque nombre va sur son opposé, et le nombre qui était le plus à droite se retrouve le plus à gauche — la symétrie par rapport à $0$ renverse l'ordre. Multiplier par un nombre strictement négatif revient à multiplier par un nombre strictement positif, puis par $-1$ : l'ordre est renversé aussi.

Signaler une erreur

Exemple

Résoudre l'inéquation $3x + 4 \leq 19$ et représenter les solutions sur une droite graduée.

Correction

$$\begin{aligned}[t]3x + 4 &\leq 19 \\ 3x &\leq 15 && \text{(Soustraire $4$ des deux membres : le sens est conservé)} \\ x &\leq 5 && \text{(Diviser les deux membres par $3$, positif : le sens est conservé)}\end{aligned}$$ Les solutions sont $5$ et tous les nombres plus petits que $5$.

Contrôle : pour $x = 5$ : $3 \times 5 + 4 = 19 \leq 19$ ; pour $x = 0$ : $4 \leq 19$. Les deux conviennent.

Exemple

Résoudre l'inéquation $7 - 2x < 1$ et représenter les solutions sur une droite graduée.

Correction

$$\begin{aligned}[t]7 - 2x &< 1 \\ -2x &< -6 && \text{(Soustraire $7$ des deux membres : le sens est conservé)} \\ x &> 3 && \text{(Diviser les deux membres par $-2$, négatif : le sens est inversé)}\end{aligned}$$ Les solutions sont tous les nombres plus grands que $3$ ; la frontière $3$ n'est pas solution.

Contrôle : pour $x = 4$ : $7 - 8 = -1 < 1$ — elle convient ; pour $x = 0$ : $7 < 1$ est faux — et en effet $0$ n'est pas dans la partie coloriée.

Exemple

Au cinéma, la séance coûte $9~\Euro$. Une carte de fidélité coûte $25~\Euro$, et avec elle chaque séance ne coûte plus que $4~\Euro$. Pour $n$ séances, la carte est l'option la moins chère lorsque $25 + 4n < 9n$. Résoudre cette inéquation : à partir de combien de séances la carte est-elle l'option la moins chère ?

Correction

Regrouper les termes en $n$ à droite évite de diviser par un nombre négatif : $$\begin{aligned}[t]25 + 4n &< 9n \\ 25 &< 9n - 4n && \text{(Soustraire $4n$ des deux membres : sens conservé)} \\ 25 &< 5n && \text{(Regrouper les termes semblables)} \\ 5 &< n && \text{(Diviser les deux membres par $5$, positif : sens conservé)}\end{aligned}$$ La carte est l'option la moins chère pour tous les nombres plus grands que $5$. En comptant des séances entières : à partir de $6$ séances. Contrôle : pour $6$ séances, $25 + 4 \times 6 = 49$ et $9 \times 6 = 54$, et $49 < 54$ ; pour $5$ séances, $25 + 20 = 45$ et $9 \times 5 = 45$ : les deux coûts sont égaux.

Compétences à pratiquer

Résoudre : niveau 1
Résoudre : niveau 2

II.4 Résolution graphique

Les deux membres d'une inéquation comme $2x - 1 \leq x + 2$ peuvent se dessiner : les valeurs de $2x - 1$ se lisent sur la droite d'équation $y = 2x - 1$, celles de $x + 2$ sur la droite d'équation $y = x + 2$. Comparer les deux membres revient alors à comparer les hauteurs de deux droites fournies.

Signaler une erreur

Méthode — Résoudre graphiquement une inéquation

Sur les droites fournies :

Repérer leur point d'intersection (quand les deux droites se coupent) : son abscisse est la frontière.
Lire pour quels $x$ la droite du membre de gauche est en dessous de l'autre (pour $<$ ou $\leq$) ou au-dessus (pour $>$ ou $\geq$) ; pour les signes larges $\leq$ et $\geq$, la frontière elle-même est aussi solution.
Conclure et contrôler une valeur par le calcul.

Exemple

Les droites d'équations $y = 2x - 1$ et $y = x + 2$ sont tracées ci-dessous. Résoudre graphiquement l'inéquation $2x - 1 \leq x + 2$.

Correction

Les deux droites se coupent au point d'abscisse $3$ : la frontière est $3$.
À gauche de $3$, la droite $y = 2x - 1$ est en dessous de la droite $y = x + 2$ ; en $x = 3$ les deux membres sont égaux.
Les solutions de $2x - 1 \leq x + 2$ sont $3$ et tous les nombres plus petits que $3$ : $x \leq 3$.

Contrôle par le calcul : pour $x = 0$ : $-1 \leq 2$ — vrai, et $0$ est bien dans les solutions ; en résolvant : $2x - x \leq 2 + 1$, c'est-à-dire $x \leq 3$ — le graphique et le calcul concordent.

Compétences à pratiquer

Lire graphiquement

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Type brevet
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.