Éducation Nationale Française · Quatrième
Pyramides et cônes
I
Les solides
I.1
Les solides connus
Définition — Face
Une face est une surface plate d’un solide. Définition — Arête
Une arête est un segment où deux faces se rencontrent. Définition — Sommet
Un sommet est un coin d’un solide. C’est un point où plusieurs arêtes se rencontrent. 
Définition — Polyèdre
Un polyèdre est un solide en trois dimensions dont les faces sont planes et sont des polygones. 
Définition — Classification
On peut classer les solides en comptant leurs faces, arêtes et sommets. | Nom | Forme | Faces | Arêtes | Sommets |
| Cube |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Pavé droit |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Boule |  | 0 face plane (1 surface courbe) | 0 | 0 |
| Pyramide à base carrée |  | 5 (faces planes) | 8 | 5 |
| Cylindre (de révolution) |  | 2 faces planes (1 surface courbe) | 0 | 0 |
| Cône |  | 1 face plane (1 surface courbe) | 0 | 0 |
Définition — Section transversale uniforme
Une section transversale uniforme signifie que, lorsqu’on coupe le solide dans la même direction, la section transversale a la même taille et la même forme en tout point de sa longueur. Définition — Prisme droit
Un prisme droit est un polyèdre dont la section transversale uniforme est un polygone. Il a deux faces parallèles et identiques appelées bases, et les autres faces sont des rectangles. Les prismes sont nommés en fonction de la forme de leur base. | Nom | Figure | Section transversale |
| Prisme triangulaire |  |  |
| Pavé droit (prisme rectangulaire) |  |  |
Définition — Perspective cavalière
Les dessins de solides utilisent la perspective cavalière. Ses règles sont : - la face avant, parallèle à la feuille, est dessinée en vraie grandeur — vraies longueurs et vrais angles ;
- les arêtes qui s'éloignent du lecteur (les fuyantes) sont toutes dessinées parallèles, selon un même angle fixe, et réduites du même facteur ;
- les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin ;
- les arêtes cachées derrière le solide sont dessinées en pointillés.
Compétences à pratiquer
- Classifier les solides
- Nommer les solides
- Dessiner en perspective cavalière
- Reconnaître des patrons de prismes et de cylindres
I.2
Pyramides et cônes
La pyramide de verre du Louvre à Paris et un cornet de glace ne sont ni des prismes ni des cylindres : un prisme droit garde la même section (coupée parallèlement à ses bases) sur toute sa longueur — ces deux solides, non. 
\(\quad\) 
Qu'ont ces deux solides en commun ? En quoi sont-ils différents ?
\(\quad\)
Les deux solides partent d'une base et se resserrent jusqu'à une seule pointe.
- La pyramide du Louvre repose sur une base carrée, et ses faces latérales sont des triangles plats.
- Le cornet repose sur une base ronde, et sa surface latérale est courbe.
Définition — Pyramide
Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent tous en un même sommet : le sommet de la pyramide.La hauteur de la pyramide est le segment qui joint le sommet au plan de la base et qui est perpendiculaire à ce plan.
Une pyramide est nommée d'après sa base : une pyramide dont la base est un carré est une pyramide à base carrée.
Exemple
Voici une pyramide à base carrée. - Combien de faces a-t-elle ? Quelles sont leurs formes ?
- Combien d'arêtes a-t-elle ?
- Combien de sommets a-t-elle ?
- Elle a \(1\) face carrée (la base) et \(4\) faces triangulaires (les faces latérales) : \(1 + 4 = \mathbf{5}\) faces.
- Elle a \(4\) arêtes autour de la base et \(4\) arêtes latérales qui montent vers le sommet : \(4 + 4 = \mathbf{8}\) arêtes.
- Elle a \(4\) sommets autour de la base et \(1\) sommet de la pyramide : \(4 + 1 = \mathbf{5}\) sommets.
Définition — Cône de révolution
Un cône de révolution est le solide engendré par un triangle rectangle en rotation autour d'un des deux côtés de son angle droit. - Sa base est un disque.
- Sa surface latérale est courbe : un cône n'est pas un polyèdre.
- Son sommet est la pointe du solide.
- Sa hauteur est le segment joignant le sommet au centre de la base ; elle est perpendiculaire à la base.
Exemple
Un triangle rectangle a les deux côtés de son angle droit qui mesurent \(3\) cm et \(4\) cm. Il tourne autour du plus long de ces deux côtés. 
Le triangle rectangle en rotation engendre un cône de révolution. 
- L'axe de rotation est le côté de \(4\) cm : la hauteur du cône est \(h = \mathbf{4}\) cm.
- Le côté de \(3\) cm balaie le disque de base : le rayon de la base est \(r = \mathbf{3}\) cm.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître des pyramides et des cônes
- Décrire des pyramides et des cônes
I.3
Représenter des pyramides et des cônes
Léa veut construire une petite maquette en carton d'une pyramide à base carrée. Sur sa feuille, elle dessine d'abord le solide pour montrer à quoi il ressemble (à gauche). Puis elle trace la pièce plate qu'elle va découper et plier pour le construire (à droite). 
\(\quad\) 
Ces deux dessins sont-ils les mêmes ? Comment s'appelle chacun d'eux ?
\(\quad\)
Non, ce sont deux dessins différents. \(\quad\)
- Le premier est un dessin en perspective : il donne l'impression du relief, avec les arêtes cachées en pointillés et la base carrée dessinée en parallélogramme.
- Le second est le patron : toutes les faces mises à plat, attachées le long des plis. En le découpant et en le pliant, on reconstruit le solide.
\(\quad\) Méthode — Dessiner une pyramide en perspective
- Dessiner la base telle qu'elle apparaît de biais : une base carrée se dessine en parallélogramme.
- Placer le sommet au-dessus du centre de la base.
- Relier le sommet à chaque sommet de la base.
- Repasser les arêtes cachées en pointillés ; les arêtes visibles restent en trait plein.
\(\quad\) 
\(\quad\) 
Exemple
Dessiner un cône de révolution en perspective et expliquer les étapes. - Dessiner la base en ellipse (le disque vu de biais) : la moitié avant est en trait plein ; la moitié arrière est cachée, donc en pointillés.
- Placer le sommet au-dessus du centre de l'ellipse.
- Relier le sommet à l'ellipse par les deux segments du contour.
Proposition — Patron d'une pyramide ou d'un cône
Mettre un solide à plat en le dépliant (après avoir coupé le long de certaines arêtes — pour un cône, le long d'un segment qui va du sommet au cercle de la base) donne son patron, comme pour les prismes. - Le patron d'une pyramide est formé de sa base polygonale et de ses faces latérales triangulaires — le plus souvent dessinées attachées aux côtés de la base.
- La surface latérale d'un cône de révolution est courbe, et pourtant elle se déroule à plat : son patron est formé d'un disque (la base) et d'une portion de disque appelée secteur circulaire (la surface latérale). Quand on enroule le patron, le bord courbe du secteur s'enroule exactement autour de la base : l'arc du secteur a la même longueur que le cercle qui borde le disque de base.
\(\quad\) 
Exemple
Dessiner le patron d'une pyramide à base carrée dont l'arête de la base mesure \(4\) cm, et dont les faces latérales sont des triangles isocèles de \(5\) cm de hauteur (mesurée depuis l'arête de la base).
Le patron est formé de la base carrée avec les quatre faces triangulaires attachées à ses côtés : 
Quand on replie les quatre triangles, leurs pointes se rejoignent au sommet de la pyramide.
- tracer un carré de \(4\) cm de côté ;
- sur chaque côté, tracer un triangle isocèle vers l'extérieur, de \(5\) cm de hauteur.
Compétences à pratiquer
- Dessiner des solides en perspective
- Reconnaître des patrons
II
Aires et volumes
II.1
Aires et volumes des solides connus
Proposition — Volume d’un pavé droit
Le volume d’un pavé droit se calcule en multipliant sa longueur, sa largeur et sa hauteur : $$\text{Volume} = \textcolor{colordef}{\text{longueur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{largeur}} \times \textcolor{olive}{\text{hauteur}}$$ $$V = \textcolor{colordef}{L} \times \textcolor{colorprop}{l} \times \textcolor{olive}{h}$$ 
Proposition — Volume d’un solide à section transversale uniforme
$$\text{Volume} = \textcolor{colordef}{\text{aire de la section}} \times \textcolor{olive}{\text{longueur}}$$ La longueur est la distance entre les deux extrémités, mesurée perpendiculairement à elles ; pour un solide posé sur une extrémité, c'est sa hauteur. 
Proposition — Aire d’un disque
L’aire d’un disque se trouve en multipliant \(\pi\) par le rayon au carré : $$\text{Aire d’un disque} = \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} $$ $$A = \pi r \times r = \pi r^2$$ 
Proposition — Volume d’un cylindre
$$\begin{aligned}\text{Volume d’un cylindre} &= \pi r^2 h\end{aligned}$$ 
Un cylindre a une section transversale uniforme.
- Aire de la base = Aire de
= Aire d’un disque = \(\pi r^2\)
- hauteur = \(h\)
- $$ \begin{aligned}[t] V &= \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \\ &= \pi r^2 \times h \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer les aires de carrés et de rectangles
- Calculer les aires de triangles
- Calculer des aires de disques
- Calculer les volumes de pavés droits
- Calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre
II.2
Le volume de la pyramide et du cône
Proposition — Volume d'une pyramide ou d'un cône
Le volume d'une pyramide ou d'un cône — un solide qui se rétrécit de sa base jusqu'à une seule pointe, son sommet — est égal au tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur, mesurée perpendiculairement à la base.$$ V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h $$ 
Exemple
Calculer le volume du cône. 
- Calculer l'aire de la base circulaire : $$ \begin{aligned} A_{\text{base}} &= \pi r^2 \\ &= \pi (3)^2 \\ &= 9\pi \, \text{cm}^2 \end{aligned} $$
- Calculer le volume du cône : $$ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h \\ &= \frac{1}{3} \times 9\pi \times 7 \\ &= 21\pi \, \text{cm}^3 \\ &\approx 65{,}97 \, \text{cm}^3 \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer des volumes de pyramides et de cônes
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes avec des pyramides et des cônes
- Quiz
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